Зміст "1-3" Вступ 3
§ 1. Основні визначення 4
§ 2. Алгоритм рішення. 6
II.
Нерівності з параметрами. 18
§ 1. Основні визначення 18
§ 2. Алгоритм рішення. 19
Література 26
Введення
Вивчення багатьох фізичних
процесів і
геометричних закономірностей часто призводить до вирішення завдань з параметрами. Деякі ВНЗ також включають в
екзаменаційні квитки рівняння,
нерівності та їх системи, які часто бувають досить складними і вимагають нестандартного підходу до вирішення. У школі ж цей один з найбільш важких розділів шкільного курсу математики розглядається тільки на нечисленних
факультативних заняттях.
Готуючи цю роботу, я ставив на меті більш глибокого вивчення цієї теми, виявлення найбільш раціонального рішення, швидко приводить до відповіді. На мій погляд графічний метод є зручним і швидким способом вирішення рівнянь і нерівностей з параметрами.
У моєму рефераті розглянуті часто зустрічаються типи рівнянь, нерівностей та їх систем, і, я сподіваюся, що
знання, отримані мною в
процесі роботи, допоможуть мені при здачі шкільних іспитів та при надходженні а ВНЗ.
§ 1. Основні визначення
Розглянемо рівняння
| (A, b, c, ..., k, x) = j (a, b, c, ..., k, x), (1)
де a, b, c, ..., k, x-змінні величини.
Будь-яка система значень змінних
а = а
0, b = b
0, c = c
0, ..., k = k
0, x = x
0, при якій і ліва і права частини цього рівняння беруть дійсні значення, називається системою допустимих значень змінних a, b, c, ..., k, x. Нехай А - множина всіх допустимих значень а, B - множина всіх допустимих значень b, і т.д., Х - множина всіх допустимих значень х, тобто аÎА, bÎB, ..., xÎX. Якщо у кожного з множин A, B, C, ..., K вибрати і зафіксувати
відповідно по одному значенню a, b, c, ..., k і
підставити їх у рівняння (1), то отримаємо рівняння відносно x, тобто рівняння з одним невідомим.
Змінні a, b, c, ..., k, які при вирішенні рівняння вважаються постійними, називаються параметрами, а
саме рівняння називається рівнянням, що містить параметри.
Параметри позначаються першими літерами
латинського алфавіту: a, b, c, d, ..., k, l, m, n а невідомі - літерами x, y, z.
Розв'язати
рівняння з параметрами - значить зазначити, при яких значеннях параметрів існують рішення і які вони.
Два рівняння, що містять одні й ті ж параметри, називаються рівносильними, якщо:
а) вони мають сенс при одних і тих же значеннях параметрів;
б) кожне рішення першого рівняння є рішенням другого і навпаки.
§ 2. Алгоритм рішення.
Знаходимо область визначення рівняння.
Висловлюємо a як функцію від х.
У системі координат хоа будуємо графік
функції а = | (х) для тих значень х, які входять в область визначення даного рівняння.
Знаходимо точки перетину прямої а = с, де сÎ (-¥;+¥) з графіком функції а = | (х). Якщо пряма а = с перетинає графік а = | (х), то визначаємо абсциси точок перетину. Для цього досить вирішити рівняння а = | (х) відносно х.
Записуємо
відповідь.
I. Розв'язати рівняння
(1)
Рішення. Оскільки х = 0 не є коренем рівняння, то можна дозволити рівняння відносно а:
або
Графік функції - дві "склеєних" гіперболи. Кількість рішень вихідного рівняння визначається кількістю точок перетину побудованої лінії і прямої у = а.
Якщо а Î (-¥;- 1] È (1; + ¥) È
, То пряма у = а перетинає графік рівняння (1) в одній точці. Абсцису цієї точки знайдемо при вирішенні рівняння
відносно х.
Таким чином, на цьому проміжку рівняння (1) має рішення
.
Якщо а Î
, То пряма у = а перетинає графік рівняння (1) у двох точках. Абсциси цих точок можна знайти з рівнянь
і
, Отримуємо
і
.
Якщо а Î
, То пряма у = а не перетинає графік рівняння (1), отже рішень немає.
Відповідь:
Якщо а Î (-¥;- 1] È (1; + ¥) È
, То
;
Якщо а Î
, То
,
;
Якщо а Î
, То рішень немає.
II. Знайти всі значення параметра а, при яких рівняння
має три різних кореня.
Рішення. Переписавши рівняння у вигляді
і розглянувши пару функцій
, Можна помітити, що шукані значення параметра а і тільки вони будуть
відповідати тим положенням графіка функції
, При яких він має точно три точки перетину з графіком функції
.
У системі координат хОу побудуємо графік функції
). Для цього можна представити її у вигляді
і, розглянувши чотири виникають випадку, запишемо цю функцію у вигляді
Оскільки графік функції
- Це пряма, що має кут нахилу до осі Ох, рівний
, І яка перетинає вісь Оу у точці з координатами (0, а), укладаємо, що три вказані точки перетинання можна отримати лише у випадку, коли ця пряма стосується графіка функції
. Тому знаходимо похідну
Відповідь:
.
III. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких система рівнянь
має рішення.
Рішення.
З першого рівняння системи отримаємо
при
Отже, це рівняння задає сімейство "полупарабол" - праві гілки параболи
"Ковзають" вершинами по осі абсцис.
Виділимо в лівій частині другого рівняння повні квадрати і
розкладемо її на множники
Безліччю точок площини
, Що задовольняють другому рівнянню, є дві прямі
і
З'ясуємо, за яких значеннях параметра а крива з сімейства "полупарабол" має хоча б одну спільну точку з одного з отриманих прямих.
Якщо вершини полупарабол знаходяться правіше точки А, але лівіше точки В (точка У
відповідає вершині тієї "полупараболи", яка стосується
прямий
), То розглядаються графіки не мають спільних точок. Якщо вершина "полупараболи" збігається з точкою А, то
.
Випадок дотику "полупараболи" з прямою
визначимо з умови
існування єдиного розв'язку системи
У цьому випадку рівняння
має один корінь, звідки знаходимо:
Отже, вихідна система не має рішень при
, А при
або
має хоча б одне рішення.
Відповідь: а Î (-¥;- 3] È (
;+¥).
IV. Розв'язати рівняння
Рішення.
Використавши рівність
, Заданий рівняння перепишемо у вигляді
Це рівняння рівносильне системі
Рівняння
перепишемо у вигляді
. (*)
Останнє рівняння найпростіше вирішити, використовуючи
геометричні міркування. Побудуємо графіки функцій
і
З графіка випливає, що при
графіки не перетинаються і, отже, рівняння не має рішень.
Якщо
, То при
графіки функцій збігаються і, отже, всі значення
є рішеннями рівняння (*).
При
графіки перетинаються в одній точці, абсциса якої
. Таким чином, при
рівняння (*) має єдине рішення -
.
Досліджуємо тепер, при яких значеннях а знайдені рішення рівняння (*) будуть відповідати умовам
Нехай
, Тоді
. Система набуде вигляду
Її рішенням буде проміжок хÎ (1, 5). Враховуючи, що
, Можна зробити висновок, що при
вихідного рівняння задовольняють всі значення х з проміжку [3, 5).
Розглянемо
випадок, коли
. Система нерівностей набуде вигляду
Вирішивши цю систему, знайдемо аÎ (-1; 7). Але
, Тому при аÎ (3; 7) вихідне рівняння має єдине рішення
.
Відповідь:
якщо аÎ (- ¥; 3), то рішень немає;
якщо а = 3, то хÎ [3, 5);
якщо aÎ (3; 7), то
;
якщо aÎ [7 ;+¥), то рішень немає.
V. Розв'язати рівняння
, Де а - параметр. (5)
Рішення.
1. При будь-якому а:
2. Якщо
, То
;
якщо
, То
.
3. Будуємо графік функції
, Виділяємо ту його частину, яка відповідає
. Потім відзначимо ту частину графіка функції
, Яка відповідає
.
4. За графіком визначаємо, при яких значеннях а рівняння (5) має рішення і за яких - не має рішення.
Відповідь:
якщо
, То
якщо
, То
;
якщо
, То рішень немає;
якщо
, То
,
.
VI. Яким умовам повинні задовольняти ті значення параметрів
і
, При яких системи
(1)
і
(2)
мають однакове число рішень?
Рішення.
З урахуванням
того, що
має сенс тільки при
, Одержуємо після перетворень систему
(3)
рівносильну системі (1).
Система (2) рівносильна системі
(4)
Перше рівняння системи (4) задає в площині хОу сімейство прямих, друге рівняння задає сімейство концентричних кіл з центром у точці А (1; 1) і радіусом
Оскільки
, А
, То
, І, отже, система (4) має не менше чотирьох рішень. При
окружність стосується прямої
і система (4) має п'ять рішень.
Таким чином, якщо
, То система (4) має чотири рішення, якщо
, То таких рішень буде більше, ніж чотири.
Якщо ж
мати на увазі не радіуси кіл, а сам параметр а, то система (4) має чотири рішення в разі, коли
, І більше чотирьох рішень, якщо
.
Звернімося тепер до розгляду системи (3). Перше рівняння цієї системи задає в площині хОу сімейство гіпербол, розташованих в першому і другому квадрантах. Друге рівняння системи (3) задає в площині хОу сімейство прямих.
При фіксованих позитивних а і b система (3) може
мати два, три, або чотири рішення. Число ж рішень залежить від того, чи буде пряма, задана рівнянням
,
Мати спільні точки з гіперболою
при
(Пряма
завжди має одну точку перетину з графіком функції
).
Для вирішення цього розглянемо рівняння
,
яке зручніше переписати у вигляді
Тепер рішення задачі зводиться до розгляду дискриминанта D останнього рівняння:
* Якщо
, Тобто якщо
, То система (3) має два рішення;
* Якщо
, То система (3) має три рішення;
* Якщо
, То система (3) має чотири рішення.
Таким чином, однакове число рішень у систем (1) і (2) - це чотири. І це має місце, коли
.
Відповідь:
II. Нерівності з параметрами.
§ 1. Основні визначення
Нерівність
| (A, b, c, ..., k, x)> j (a, b, c, ..., k, x), (1)
де a, b, c, ..., k - параметри, а x - дійсна змінна величина, називається нерівністю з одним невідомим, що містить параметри.
Будь-яка система значень параметрів а = а
0, b = b
0, c = c
0, ..., k = k
0, при деякої функції
| (A, b, c, ..., k, x) і
j (a, b, c, ..., k, x
мають сенс в області дійсних чисел, називається системою допустимих значень параметрів.
називається допустимим значенням х, якщо
| (A, b, c, ..., k, x) і
j (a, b, c, ..., k, x
приймають дійсні значення при будь-якій допустимої системі значень параметрів.
Безліч всіх допустимих значень х називається областю визначення
нерівності (1).
Дійсне число х
0 називається приватним рішенням
нерівності (1), якщо нерівність
| (A, b, c, ..., k, x
0)> j (a, b, c, ..., k, x
0) вірно при будь-якій системі допустимих значень параметрів.
Сукупність усіх приватних рішень нерівності (1) називається загальним рішенням цієї нерівності.
Вирішити нерівність (1) - означає вказати, при яких значеннях параметрів існує спільне рішення і як воно.
Два нерівності
| (A, b, c, ..., k, x)> j (a, b, c, ..., k, x) і (1)
z (a, b, c, ..., k, x)> y (a, b, c, ..., k, x) (2)
називаються рівносильними, якщо вони мають однакові загальні рішення при одному і тому ж безлічі систем допустимих значень параметрів.
§ 2. Алгоритм рішення.
1. Знаходимо область визначення даного нерівності.
2. Зводимо нерівність до рівняння.
3. Висловлюємо а як функцію від х.
4. У системі координат хоа будуємо графіки функцій а = | (х) для тих значень х, які входять в область визначення даного нерівності.
5. Знаходимо безлічі точок, що задовольняють даному нерівності.
6. Досліджуємо вплив параметра на результат.
· Знайдемо абсциси точок перетину графіків.
· Задамо пряму а = соnst і будемо зрушувати її від - ¥ до + ¥
7. Записуємо відповідь.
Це всього лише один з алгоритмів рішення нерівностей з параметрами, з використанням
системи координат Хоа. Можливі й інші методи рішення, з використанням
стандартної системи координат хОy.
§ 3. Приклади I. Для всіх допустимих значень параметра а вирішити нерівність
Рішення.
В області визначення параметра а, визначеного системою нерівностей
таку нерівність рівносильно системі нерівностей
Якщо
, То рішення вихідного нерівності заповнюють відрізок
.
Відповідь:
,
.
II. При яких значеннях параметра а має рішення система
Рішення.
Знайдемо коріння тричлена лівої частини нерівності -
(*)
Прямі, задані равенствами (*), розбивають координатну площину аОх на чотири області, в кожній з яких квадратний тричлен
зберігає постійний знак. Рівняння (2) задає коло радіуса 2 з центром у початку координат. Тоді рішенням вихідної системи буде те що заштрихован
ської області з окружністю, де
, А значення
і
знаходяться з системи
а значення
і
знаходяться з системи
Вирішуючи ці системи, отримуємо, що
Відповідь:
III. Вирішити нерівність
на
в залежності від значень параметра а.
Рішення.
Знаходимо область допустимих значень -
Побудуємо графік функції в системі координат хОу.
· При
нерівність рішень не має.
· При
для
рішення x задовольняє співвідношенню
, Де