Зворотній матриця. Матриця A
-1 - зворотна для
матриці A, якщо AA
-1 = A
-1 A = I
Для квадратної матриці A зворотна існує тоді і тільки тоді, коли detA ¹ 0.
де A
ij - алгебраїчні доповнення елементів a
ij матриці A.
Властивості: (A
-1) -1 = A,
(AB)
-1 = B
-1 A
-1, detA
-1 = 1/detA
Зокрема:
Рішення квадратної системи: Ax = b
якщо | A | ¹ 0, то x = A
-1 b
Матричні рівняння. XA = B Þ X = BA
-1 AX = B Þ X = A
-1 B
Деякі св-ва визначників: 1 .* Величина визначника не зміниться, якщо кожен рядок замінити стовпцем з тим же номером.
2. Якщо матриця B отримана з матриці A перестановкою двох будь-яких її рядків (стовпців *), то detB = ¾ detA.
3. Загальний множник всіх елементів довільної рядка (стовпця *) визначника можна винести за
знак визначника.
4 .* Визначник, що містить дві пропорційні рядки (стовпчик), дорівнює нулю.
5. Визначник не змінюється від додавання до будь-якої його рядку (стовпцю *) інший його рядки (стовпчик), помноженої на довільне число.
6 .* Якщо будь-який рядок (стовпчик) визначника є лінійна комбінація інших його рядків (стовпців), то визначник дорівнює 0.
7. Якщо матриця має трикутний вигляд, то її визначник дорівнює добутку елементів на головній діагоналі.
*- Невивчені властивості.
Фундаментальна система рішень. Фундаментальною системою рішень називається система з (nr) лінійно незалежних рішень, де n-число невідомих, r-ранг матриці системи:
ФСР: l
1, l
2 ,..., l
nr ФСР може бути нескінченна безліч.
Якщо l
1, l
2 ,..., l
nr-ФСР однорідної системи, то
x
оо = з
1 l
1 + з
2 l
2 +...+ з
nr l
nr x
він = x
оо + x
чн Метод Крамера: Якщо D = 0 і не всі Dx
j = 0, то система несумісна.
Якщо D ¹ 0, то система має єдине рішення,
де Dx
j - визначник, отриманий заміною j-го стовпця у визначнику системи стовпцем вільних членів.