РЕФЕРАТ Функції Поняття функції - одне з найважливіших понять математики. Нехай дано дві
множини Х і У і кожному елементу х Î Х поставлений у відповідність єдиний елемент у Î У, який позначений через f (х). У цьому випадку говорять, що на множині Х задана
функція f і пишуть:
f: Х ® У.
Наприклад, нехай Х = {а; b; с; d}, У = {a; b; g; d} і
функція f: Х ® У визначена так:
f (a) = b, f (b) = a, f (c) = f (d) = d.
Наочно цю функцію можна представити таким чином: множини Х і У зобразимо у вигляді областей, елементи множин - у вигляді точок, а встановлене відповідність - у вигляді стрілок:
Ідея
функціональної залежності зародилася в античній математиці, але вона ще не була явно виражена і не була самостійним об'єктом дослідження, хоча і був відомий широке коло конкретних систематично вивчалися
функціональних відповідностей. У зародковій формі
поняття функції з'являється в працях учених у
середні століття, але лише в
роботах математиків 17 століття, і перш за все П. Ферма, Р.
Декарта, І.
Ньютона і Г.
Лейбніца, це
поняття стало оформлятися як самостійне. Термін "функція" вперше з'явився у Г. Лейбніца. Для завдання функції використовувались
геометричні, аналітичні та
кінематичні концепції, але поступово стало превалювати уявлення про функції як про деяке аналітичному вираженні. У чіткій формі це було сформульовано в 18 столітті. І. Бернуллі належить визначення, що «функцією змінної величини ... називається кількість, складене яким завгодно способом з цієї змінної величини і постійних». Л. Ейлер, прийнявши це визначення, замінив в ньому
слово «кількість» словами «аналітичне вираження». Трохи пізніше у Л. Ейлера з'явився вже й більш загальний підхід до поняття функції як залежності однієї змінної величини від іншої. Ця точка зору отримала свій подальший
розвиток у працях Ж. Фур'є, Н.І.
Лобачевського, П. Діріхле, Б. Больцано, О. Коші, де стало викристалізовуватися уявлення про функції як про відповідність між двома числовими множинами. Так, у 1834 році Н.І.
Лобачевський писав: «Загальне поняття функції вимагає, щоб
функцією від х називати число, яке дається для кожного х і разом з х поступово змінюється. Значення функції може бути дано або аналітичним виразом, або умовою, яка подає засіб відчувати всі числа і вибрати одне з них, або, нарешті, залежність може існувати і залишатися невідомою ». Визначення функції як відповідності між двома довільними (не обов'язково числовими) множинами в 1887 році було сформульовано Р. Дедекіндом.
Поняття відповідності, а отже, і поняття функції іноді зводиться до інших понять (безлічі, відношенню або іншим теоретико-множинним та логіко-математичним концепціям), а іноді приймається за первинне, невизначені поняття, оскільки, як це висловив, наприклад, А. Черч : «У кінцевому рахунку поняття функції - або яке-небудь подібне поняття, наприклад, поняття класу, - доводиться вважати початковим, або невизначеним».
Нижче розглядається поняття функції, засноване на понятті множини і
найпростіших операцій над множинами.
Нехай дано дві множини Х і У. Будь-яке безліч f = {(х; у)} впорядкованих пар (х; у), х Î Х, у ÎУ, таке, що для будь-яких пар (х ¢; у ¢) Îf і ( х ¢ ¢; у ¢ ¢) Î f з умови у ¢ ¹ у ¢ ¢ випливає, що х ¢ ¹ х ¢ ¢, називається функцією, або, що те ж
саме, відображенням з Х в У.
У розглянутому вище прикладі функція являє собою наступне безліч впорядкованих пар: f = {(а; b), (b; a), (с; d), (d; d)}. Таким чином,
функція є не що інше, як специфікація підмножини декартова
твори Х
У.
Безліч всіх перших елементів упорядкованих пар (х; у) деякої функції f називається областю визначення цієї функції і позначається Х
f, а множина всіх других елементів - безліччю значень функції, яке позначається У
f. Якщо f = {(х; у)} є функція, то пишуть f: Х
f ® У і кажуть, що f відображає безліч Х
f в безліч У. У випадку Х = Х
f пишеться просто f: Х ® У.
Якщо f: Х ® У - функція и (х; у) Î f, то пишуть у = f (х), а також f: х
в,
х Î Х, у Î У, і кажуть, що функція f ставить у відповідність елементу
х елемент
у або, що теж саме, елемент
у відповідає елементу
х. У цьому випадку кажуть також, що елемент
в є значенням функції f в точці
х або чином елемента
х при відображенні f.
Іноді сама функція f позначається
символом f (х). Позначення функції f: Х ® У і її значення в точці х Î Х одним і тим же символом f (х) зазвичай не призводить до непорозуміння, тому що в кожному конкретному випадку, як правило, завжди буває ясно, про що саме йде мова. Позначення f (х) часто виявляється зручніше позначення f: х
у при обчисленнях. Наприклад, запис f (х) = х
2 зручніше і
простіше використовувати при аналітичних
перетвореннях, ніж запис f: х
х
2. Згадаймо ще, що бінарне відношення з множини Х в множину У ми визначили як будь-яке підмножина декартового добутку Х
У. Таким чином, функція f: Х ® У - це просто спеціальний вид бінарних відносин з Х ст У, який задовольняє умові: для кожного х Î Х існує єдиний у Î У такої, що (х; у) Î f. Підкреслимо, що один і той же
образ можуть
мати кілька елементів області визначення, і що не всі елементи множини У зобов'язані бути
образами деяких елементів Х, тобто безліч значень функції У
f може збігатися з безліччю У, а може бути його власним підмножиною.
При заданому у Î У сукупність усіх таких елементів х Î Х, що
f (х) = у називається прообразом елементу у і позначається f
-1 (у). Таким чином,
f
-1 (у) = {х ½ х Î Х, f (х) = у}.
Очевидно, що якщо у Î У \ У
f, то f
-1 (у) = Æ.
Сюр'екціі, ін'єкції і біекціі Нехай задано відображення f: Х ® У. Інакше кажучи, кожному елементу х Î Х поставлений у відповідність і притому єдиний елемент у Î У, і кожен елемент у Î У
f Í У поставлений у відповідність хоча б одному елементу х Î Х. Якщо У = Х, то говорять, що відображення f відображає безліч Х в себе. Якщо У = У
f, тобто безліч У збігається з безліччю значень функції f, то говорять, що f відображає безліч Х на безліч У, або що відображення f є
сюр'єктивним відображенням, коротше
сюр'екціей. Таким чином, відображення f: Х ® У є сюр'екція, якщо для будь-якого елементу у Î У існує, принаймні, один
такий елемент х Î Х, що f (х) = у.
Якщо при відображенні f: Х ® У різних елементів х Î Х відповідають різні елементи у Î У, тобто при х ¢ ¹ х ¢ ¢ має місце f (х ¢) ¹ f (х ¢ ¢), то відображення f називається ін'єктивні відображенням або ін'єкцією. Таким чином, відображення f: Х ® У ін'єктивні тоді і тільки тоді, коли прообраз кожного елемента у, що належить безлічі значень функції f, тобто y У f, полягає в точності з одного елемента. Якщо відображення f: Х ® У є одночасно ін'єкцією та сюр'екціей, то воно називається біектівним відображенням або біекціей.
Приклади. 1.
Функція f: R ® R, f (х) = х
2 не є ні ін'єкцією, ні сюр'екціей, оскільки різним елементам, наприклад, х ¢ = 2 і х ¢ ¢ = -2 відповідає однаковий образ 4, і будь-яке негативне дійсне число не є чином ні для одного з елементів області визначення.
2. Функція f: {a; b; c; d} ® {a, b, g, d, e}, задана наступним чином: f (а) = b, f (b) = g, f (c) =
, F (d) = e є ін'єктивні і не є сюр'єктивним.
Ця функція ін'єктивні, тому що у неї ні для однієї пари елементів області визначення образи не збігаються, але сюр'екціей ця функція не є, тому що елемент d безлічі У не є образом якогось елемента множини Х.
3. З іншого боку, функція g: {a; b; c; d; e} ® {a; b; g; d}, певна так g (a) = a, g (b) = a, g (c) = b, g (d) = d, g (e) = g є сюр'єктивним і не є ін'єктивні.
Ця функція сюр'єктивним тому, що кожен елемент множини У є чином, принаймні, одного елемента з множини Х, але ін'єктивні ця функція не є, тому що два елементи а і b області визначення мають один образ.
На практиці
доказ того, що задана функція є ін'єктивні, як правило, буває простіше проводити, використовуючи метод
докази за допомогою контрапозиции, згідно якого доводиться, що для всіх х ¢ і х ¢ ¢ Î Х з рівності f (х ¢) = f ( х ¢ ¢) випливає, що х ¢ = х ¢ ¢. Звичайно, щоб показати, що функція не є ін'єктивні, нам достатньо знайти контрприклад, тобто знайти два різних елемента х
1 і х
2 Î Х, у яких образи рівні: f (х
1) = f (х
2). 4. Будь-яка лінійна функція f: R ® R, f (x) = ax + b, (де а, b - фіксовані
дійсні числа, а ¹ 0) є одночасно і ін'єктивні і сюр'єктивним, тобто є біекціей.
Щоб показати, що f є ін'єкцією, ми повинні показати, що для всіх дійсних чисел х ¢ і х ¢ ¢ з рівності f (х ¢) = f (х ¢ ¢) випливає, що х ¢ = х ¢ ¢. Отже, нехай f (х ¢) = f (х ¢ ¢) Û ах ¢ + b = ах ¢ ¢ + b Û ах ¢ = ах ¢ ¢ Û х ¢ = х ¢ ¢, тому f - ін'єкція.
Щоб показати, що f - сюр'екція, припустимо, що у - будь-яке дійсне число. Ми повинні знайти х Î R таке, що f (х) = у.
Нехай
,
тоді х Î R і
,
тому f-сюр'екція.
Розглянемо функцію f: Х ® У, де Х і У - підмножини R. Якщо у нас є графік функції у = f (х), то ми можемо легко
відповісти на питання: є чи ні функція f (х) ін'єктивні або сюр'єктивним?
Припустимо, що f НЕ ін'єктивні. Тоді існують два елементи х ¢ і х ¢ ¢ в Х такі, що х ¢ ¹ х ¢ ¢, але f (х ¢) = f (х ¢ ¢) = b, тобто горизонтальна пряма у = b повинна двічі перетнути графік функції в точках, які відповідають х = х ¢ і х = х ¢ ¢.