Канашський філія Контрольна робота № 1
З математики
Варіант
3 Студента 1 курсу економічного факультету
Шифр: 04653033 Навчальна група: 53-06
Робота вислана в Чуваська держуніверситет
«____»
____________2006 Р.
Передано на кафедру «Економіки та управління»
Оценка___________ «___» _____________2006г.
Викладач: Бичков Володимир Порфирович
Повернено в деканат______________________
Математика Варіант 3
Дано вершини А (х
1; у
1), В (х
2; у
2), С (х
3; у
3) трикутника. Потрібно знайти: 1) довжину сторони ВС; 2)
площа трикутника; 3) рівняння сторони ВС; 4) рівняння висоти проведеної з вершини А; 5) довжину висоти проведеної з вершини А; 6) рівняння бісектриси внутрішнього кута
;
7) кут
в радіанах з точністю до 0,01; 8) систему
нерівностей визначають множину точок трикутника. Зробити креслення.
варіант 3: А (5; -1), В (1; -4), З (-4; 8).
Рішення:
1) Довжина сторони ВС:
;
2) Довжина сторони АВ:
;
Скалярний добуток
векторів і
Кут
:
cos =
;
=
Arcos 0,2462 = 75,75 ; 3) Рівняння боку ВС:
;
;
;
;
;
4) Рівняння висоти, проведеної з вершини А:
;
;
Умова перпендикулярності двох прямих:
;
;
;
;
;
;
5) Довжина висоти, проведеної з вершини А:
6)
Рівняння прямої АС:
Рівняння бісектриси внутрішнього кута
: 7) Кут
в радіанах з точністю до 0,01:
8) Рівняння боку ВС:
Рівняння боку АС:
Рівняння боку АВ:
Система нерівностей, що визначають безліч внутрішніх точок трикутника. SHAPE \\ * MERGEFORMAT
Завдання 13. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку А (4; 1) на відстані 4 одиниць від точки В (-4; 0). Рішення: Рівняння пучка прямих, що проходять через точку А: За умовою задачі Шукані прямі: Завдання 23. Скласти рівняння лінії, відстань кожної точки якої від точки F (8; 0) вдвічі більше, ніж від прямої Х-2 = 0. Зробити креслення. Рішення: За умовами задачі: - Рівняння гіперболи з центром в точці і півосями SHAPE \\ * MERGEFORMAT
Завдання 33.
Скласти рівняння параболи і її директорки, якщо відомо що парабола проходить через точки перетину прямої
з колом
і вісь
є віссю симетрії параболи. Зробити креслення.
Рішення.
Розглянемо рівняння кола:
Знайдемо точки перетину кола і прямої.
Координати точок перетину кола і прямої
тому що парабола симетрична відносно ОХ, то рівняння має вигляд
враховуючи що
знайдемо параметр
p Таким чином, рівняння параболи
Рівняння директриси параболи:
SHAPE \\ * MERGEFORMAT
Завдання 43.
Дано рівняння параболи
f (x; y) = 0. Зробити паралельний перенос осей координат так, щоб у новій системі координат
XO 1 Y рівняння параболи взяло вигляд
X 2 = aY або
Y 2 = aX. Побудувати обидві
системи координат і параболу.
Рішення:
SHAPE \\ * MERGEFORMAT
Завдання 53
Дано вершини
А 1 (Х 1; Y 1; Z 1),. А 2 (Х 2; Y 2; Z 2), А 3 (Х 3; Y 3; Z 3), А 4 (Х 4; Y 4; Z 4) піраміди. Потрібно знайти: 1) довжину ребра
А 1 А 2, 2) Кут між ребрами
А 1 А 2 і
А 1 А 4, 3) кут між ребром
А 1 А 2 і гранню
А 1 А 2 А 3, 4) площа грані
А 1 А 2 А 3; 5) обсяг піраміди; 6) рівняння висоти, опущеної з вершини
А 4 на межу
А 1 А 2 А 3, 7) рівняння площини, що проходить через висоту піраміди, опущеною з вершини
А 4 на межу
А 1 А 2 А 3, і вершину
А 1 піраміди.
A 1 (3, 5, 4), А 2 (5, 8, 3), А 3 (1, 9, 9), A 4 (6; 4; 8); Рішення:
1)
Довжина ребра
А 1 А 2; 2)
Довжина ребра
А 1 А 4; Скалярний добуток векторів
А 1 А 2 та
А 1 А 4: Кут між ребрами
А 1 А 2 та
А 1 А 4: 3) Рівняння грані
А 1 А 2 А 3: Кут між ребром
А 1 А 2 і гранню
А 1 А 2 А 3: 4) Площа грані
А 1 А 2 А 3: кв. од.
5) Об'єм піраміди:
куб. од.
6) рівняння висоти, опущеної з вершини
А 4 на межу
А 1 А 2 А 3: 7) Рівняння площини, що проходить через висоту піраміди, опущеною з вершини
А 4 на межу
А 1 А 2 А 3, і вершину
А 1 піраміди.
Завдання 63.
Визначити вид
поверхні, заданої рівнянням
f (x; y; z) = 0, і показати її розташування щодо системи координат.
Рішення:
Еліптичний параболоїд з вершиною
О (z; o; o), спрямований уздовж осі
ОХ, і має півосі на осі
по осі
SHAPE \\ * MERGEFORMAT
Завдання 73.
Застосовуючи метод виключення невідомих, вирішити систему рівнянь.
Рішення:
2
|
-9
|
-4
|
-3
|
3
|
|
-83
|
=> =>
|
0
|
-47
|
-28
|
-13
|
7
|
|
-459
|
2
|
-7
|
-2
|
-1
|
-4
|
|
-57
|
0
|
-45
|
-26
|
-11
|
0
|
|
-433
|
7
|
-6
|
2
|
-2
|
0
|
|
-35
|
0
|
-139
|
-82
|
-37
|
-14
|
|
-1351
|
1
|
19
|
12
|
5
|
-2
|
|
188
|
1
|
19
|
12
|
5
|
-2
|
|
188
|
|
|
0
|
-47 / 7
|
-4
|
-13 / 7
|
1
|
|
-459 / 7
|
0
|
68/77
|
30/77
|
0
|
1
|
|
980/77
|
0
|
-45
|
-26
|
-11
|
0
|
|
-433
|
0
|
45/11
|
26/11
|
1
|
0
|
|
433/11
|
0
|
-233
|
-138
|
-63
|
0
|
|
-2269
|
0
|
272/11
|
120/11
|
0
|
0
|
|
2320/11
|
1
|
39 / 7
|
4
|
3 / 7
|
0
|
|
398 / 7
|
1
|
94/77
|
-190/77
|
0
|
0
|
|
481/77
|
|
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
|
-2900/77
|
|
0
|
-19/15
|
0
|
1
|
0
|
|
-2583/11
|
|
0
|
13,6
|
1
|
0
|
0
|
|
116
|
|
1
|
1574/231
|
0
|
0
|
0
|
|
22521/77
|
|
Загальне рішення системи:
Завдання 83. Дано вектори і . Показати, що вектори утворюють базис чотиривимірного простору, і знайти координати вектора в цьому базисі. Рішення: Складемо визначник з координат векторів і обчислимо його: Так як , То вектори складають базис. Знайдемо координати вектора в цьому базисі:
2
|
-10
|
0
|
-4
|
|
-42
|
=>
|
0
|
-20
|
4
|
-4
|
|
-88
|
=>
|
0
|
48
|
-12
|
|
|
252
|
4
|
-9
|
10
|
3
|
|
-43
|
0
|
-29
|
18
|
3
|
|
-135
|
0
|
-80
|
30
|
|
|
-350
|
2
|
-7
|
0
|
-1
|
|
-39
|
0
|
-17
|
4
|
-1
|
|
-85
|
0
|
17
|
-4
|
|
|
85
|
1
|
5
|
-2
|
0
|
|
23
|
1
|
5
|
-2
|
0
|
|
23
|
1
|
5
|
-2
|
|
|
23
|
0
|
-4
|
1
|
0
|
|
-21
|
=>
|
0
|
0
|
1
|
0
|
|
3
|
0
|
40
|
0
|
0
|
|
240
|
0
|
1
|
0
|
0
|
|
6
|
0
|
1
|
0
|
1
|
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
|
-5
|
1
|
-3
|
0
|
0
|
|
-19
|
1
|
0
|
0
|
0
|
|
-1
|
Отже
Перевірка:
2 (-1) -10 * 6 -4 (-5) =- 42; -42 =- 42;
4 (-1) -9 * 6 + 10 * 3 +3 (-5) =- 43; -43 =- 43;
2 (-1) -7 * 6 - - (-5) =- 39; -39 =- 39;
-1 +5 * 6-2 * 3 = 23; 23 = 23.
або
Завдання 93.
Дана матриця
А. Потрібно знайти: 1) матрицю, зворотну
матриці А; 2)
власні значення та власні вектори матриці
А. Рішення:
-1
|
-2
|
12
|
|
1
|
0
|
0
|
|
1
|
2
|
-12
|
|
-1
|
0
|
0
|
0
|
4
|
3
|
|
0
|
1
|
0
|
0
|
4
|
3
|
|
0
|
1
|
0
|
0
|
5
|
6
|
|
0
|
0
|
1
|
0
|
5
|
6
|
|
0
|
0
|
1
|
|
1
|
0
|
-13,5
|
|
-1
|
-0,5
|
0
|
|
1
|
0
|
0
|
|
-1
|
-8
|
6
|
0
|
1
|
0,75
|
|
0
|
0,25
|
0
|
0
|
1
|
0
|
|
0
|
6 / 9
|
-3 / 9
|
0
|
0
|
2,29
|
|
0
|
-1,25
|
1
|
0
|
0
|
1
|
|
0
|
-5 / 9
|
4 / 9
|
Зворотній матриця:
Коріння характеристичного рівняння:
-
Власні значення матриці
А. При
Власний вектор:
Завдання 103.
Побудувати графік
функції y = f (x) деформацією і зрушенням графіка функції
y = sin x. Рішення:
SHAPE \\ * MERGEFORMAT
-2 П -3/2П-П-П / 2 П / 2 П 3/2П 2П
|
Y =- 6/5sin (2/3x +1) -6 / 5 X -6 / 5
|
Стиснення вздовж осі ОХ у 2 / 3 рази
|
Зрушення вліво на 1 вздовж осі ОХ
|
Розтягування в 6 / 5 рази і переворот вздовж OY
|
Завдання 113.
Знайти вказані
межі (не користуючись правилом Лопіталя).
Рішення:
Підстановка:
Завдання 123.
Дана
функція y = f (x) і три значення аргументу x
1, x
2, x
3. Встановити, чи є ця дана
функція безперервної або розривної для кожного з даних значень Х. Побудувати (приблизно) графік функції в околицях кожної з даних точок.
Рішення:
Так як
, То функція в точці Х
1 =- 1 безперервна.
Так як
, То функція в точці х = 3 розривна.
Так як
, То функція в точці х = 7 безперервна.
SHAPE \\ * MERGEFORMAT
Завдання 133.
Функція y = f (x) задана різними аналітичними виразами для різних областей зміни незалежної змінної. Знайти точки розриву функції, якщо вони існують. Побудувати графік.
Рішення:
Так як
, То функція в точці х =- 1 розривна.
Так як
, То функція в точці
безперервна.
SHAPE \\ * MERGEFORMAT
Завдання 143.
Знайти похідні
a)
б)
в)
г)
д)
Рішення.
а)
б)
в)
г)
д)
Завдання 153.
Знайти
для функції, заданої параметричним.
Рішення.
Завдання 163.
На лінії
знайти точку, в якій дотична до цієї лінії паралельна прямій
Рішення.
Кутовий коефіцієнт прямої:
або
Кутовий коефіцієнт дотичної до лінії:
Так як дотична до лінії і пряма паралельні, то
тоді:
Таким чином виходять дві точки:
Завдання 173.
Яка повинна бути висота рівнобедреного трикутника, вписаного в коло діаметра d, щоб площа трикутника була найбільшою?
Рішення.
SHAPE \\ * MERGEFORMAT
Завдання 183.
Дослідити методами диференціального числення та побудувати графік.
Рішення.
1.
область визначення функції:
так як
то функція непарна.
2. Точки перетину з осями координат:
При
при
3. Область зростання (спадання) функції, точки екстремумів:
При
функція зростає.
При
функція спадає.
При
функція спадає.
При
функція зростає
Точка
точка максимуму.
Точка
точка мінімуму.
4. Область опуклості (угнутості) функції, точки перегинів.
При
функція опукла;
При
функція увігнута;
При
функція опукла;
При
функція увігнута.
Точки
- Точки перегинів.
5. Асимптот немає
SHAPE \\ * MERGEFORMAT
1. область визначення функції:
2. точки перетину з осями координат:
При
так як
то функція непарна.
3. області зростання (спадання) функції; точки екстремумів.
Точок екстремумів немає.
Так як
то функція зростає.
4. область опуклості (угнутості) функції; точки екстремумів.
При
функція увігнута;
При
функція опукла;
Точка (0; 0) точка перегину.
5. асимптоти.
асимптота.
SHAPE \\ * MERGEFORMAT
Завдання 193.
Визначити кількість дійсних коренів рівняння
;
відокремити ці корені і, застосовуючи
метод хорд і дотичних, знайти їх наближені значення з точністю до 0,001.
Рішення.
Досліджуємо графік функції.
Кількість коренів К = 1.
Таким чином, функція приймає значення на відрізку
, В якості початкового наближення візьмемо
метод дотичних:
складемо таблицю:
|
|
|
|
|
|
|
1 2 3
|
-0,1 -0,398 -0,388
|
-0,001 -0,063 -0,586
|
1,499 -0,053 -0,0001
|
5,03 5,475 5,452
|
0,298 -0,0097 -0,00002
|
-0/3980 -0,3883 -0,3882
|
Шуканий корінь х =- 03882
Завдання 203.
Знайти приватні похідні функції
Рішення.
Приватні похідні:
Завдання 213.
Дана функція
і дві точки
. Потрібно:
1) обчислити наближене значення функції у точці В, виходячи із значення в точці А, замінивши приріст функції при переході від точки А до точки В диференціалом; 2) обчислити точне значення функції в точці В і оцінити у відсотках відносну похибку, яка виникає при заміні збільшення функції диференціалом.
Рішення.
Обчислимо приватні похідні в точці А.
Наближене значення:
Обчислимо точки значення функції:
Відносна похибка обчислення:
Завдання 223.
Дано функція
точка
і вектор а. Потрібно знайти:
1) grad z у точці А, 2) похідну за напрямом вектора в точці А.
Рішення.
1)
вектором градієнтом функції двох змінних
є вектор:
Знайдемо приватні похідні в точці А:
2) похідна за напрямом вектора
обчислюється за формулою.
Завдання 233.
Знайти найменше та найбільше значення функції
у замкненій області, обмеженої заданими лініями.
Рішення.
Приватні похідні:
На пряме АВ:
\\
На пряме АС:
На пряме ПС:
Z найбільшу = 5; z найменше =- 117.
SHAPE \\ * MERGEFORMAT
Використана література:
1 Ткачук В.В. Математика абітурієнту:-М: МЦНМО, 2002 р.
2 Сканаві М.І. 2500 завдань з математики для вступників у вузи:
-М: Онікс 21 століття, 2005 р .
3 Мельников І.І. Як розв'язувати задачі з математики на вступних іспитах. 3-тє видання, перероблене:
підручник / І.І Мельников, І.Сергеев.-М: УНЦДО, 2004 р.