[ Основи математики ] | 15 | 1 |
Діаметри деталей розподілені за нормальним законом. Середнє значення діаметра одно d мм, середнє квадратичне відхилення σ мм. Знайти ймовірність того, що діаметр навмання взятої деталі буде більше, α мм і менше β мм; ймовірність того, що діаметр деталі відхилиться від стандартної довжини не більше, ніж на Δ мм.
Рішення:
Нехай х - довжина деталі. Якщо випадкова величина х розподілена по нормальному закону, то ймовірність її попадання на відрізок [а; в].
=
Ймовірність відхилення довжини деталі від її математичного сподівання а не більше, ніж на d = 1 мм, очевидно, що є вірогідність того, що довжина деталі потрапляє в інтервал [а - d; а + d] і тому обчислюється також за допомогою функції Лапласа:
Завдання № 7
Ознака Х представлений дискретним вибірковим розподілом у вигляді таблиці вибіркових значень (таблиця 1). Потрібно:
скласти інтервальний розподіл вибірки;
побудувати гістограму відносних частот;
перейти від складеного інтервального розподілу до точкового вибіркового розподілу, взявши за значення ознаки середини часткових інтервалів;
побудувати полігон відносних частот;
знайти емпіричну функцію розподілу і побудувати її графік;
обчислити всі точкові статистичні оцінки числових характеристик ознаки: середня х; вибіркову дисперсію і виправлену вибіркову дисперсію; вибіркове середнє квадратичне відхилення і виправлене середнє квадратичне відхилення S;
вважаючи перший стовпець таблиці 1 вибіркою значень ознаки X, а другий стовпець вибіркою значень Y, оцінити тісноту лінійної кореляційної залежності між ознаками і скласти вибіркове рівняння прямої регресії Y на X.
Таблиця 1 Таблиця вибіркових значень
66,7 | 70,5 | 57,5 | 58,5 | 74,7 | 75,8 | 99,9 | 58,5 | 93,0 | 74,8 |
26,7 | 37,5 | 61,5 | 38,0 | 62,5 | 60,5 | 59,0 | 71,5 | 65,5 | 65,2 |
91,5 | 79,5 | 31,8 | 71,5 | 63,0 | 69,5 | 79,3 | 95,0 | 83,5 | 51,0 |
66,4 | 65,3 | 66,2 | 85,5 | 46,5 | 48,5 | 36,9 | 68,5 | 86,9 | 73,7 |
40,3 | 66,5 | 87,7 | 39,5 | 64,3 | 63,9 | 67,3 | 94,8 | 43,5 | 73,1 |
67,8 | 75,1 | 44,9 | 58,9 | 70,9 | 68,2 | 65,3 | 65,9 | 74,0 | 63,9 |
50,0 | 66,5 | 43,5 | 56,2 | 74,0 | 64,3 | 34,9 | 52,1 | 44,9 | 54,1 |
66,0 | 43,2 | 70,5 | 85,1 | 45,8 | 79,2 | 47,7 | 60,3 | 60,5 | 85,6 |
362,8 | 93,2 | 53,6 | 85,7 | 55,8 | 46,5 | 59,5 | 62,6 | 92,8 | 79,5 |
46,5 | 60,3 | 81,3 | 38,5 | 55,3 | 58,8 | 81,3 | 57,5 | 34,3 | 46,5 |
Рішення:
визначимо максимальне і мінімальне значення наявних значень: х min = 26,7 х max = 99,9
Вибудуємо в порядку зростання, що є у нас значення (табл.2)
Таблиця 2
26,7 | 31,8 | 34,3 | 34,9 | 36,9 | 37,5 | 38,0 | 38,5 | 39,5 | 40,3 | 43,2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
43,5 | 43,5 | 44,9 | 44,9 | 45,8 | 46,5 | 46,5 | 46,5 | 46,5 | 47,7 | 48,5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
50,0 | 51,0 | 52,1 | 53,6 | 54,1 | 55,3 | 55,8 | 56,2 | 57,5 | 57,5 | 58,5
3) Визначимо розмах R: R = х max - х min = 99,9 - 26,7 = 73,2 Нижня межа х 0 = х min - L / 2 = 26,7 - 10 / 2 = 21,7; Верхня межа х i = х max + L / 2 = 99.9 + 10 / 2 = 104,9, отже, у нас є інтервали: [21,7; 31,7); [31,7; 41,7); [41,7; 51,7); [51,7; 61,7); [61, 7; 71,7); [71,7; 81,7); [81,7; 91,7); [91,7; 104,7]. 5) wi = ni / n
Рис. 1. Гістограма відносних частот Перейдемо від складеного інтервального розподілу до точкового вибіркового розподілу, взявши за значення ознаки середини часткових інтервалів. Побудуємо полігон відносних частот і знайдемо емпіричну функцію розподілу, побудуємо її графік:
Рис. 2. Графік інтервального розподілу. Рис. 3. Графік емпіричної функції розподілу = Σ x i w i = Σ x i w i Σ x i w i = 26,7 * 0,01 + 36,7 * 0,09 + 46,7 * 0,14 + 56,7 * 0,19 + 66,7 * 0,29 + 76,7 * 0,14 + 86,7 * 0,08 + 98,3 * 0,06 = 26,71 + 3, 303 + 6,538 + 10,773 + + 19,343 + 10,738 + 6,936 + 5,898 = 90,2 = Σ = = (26,7 - 90,2) 2 * 0,01 + (36,7 - 90,2) 2 * 0,09 + (46,7 - 90,2) 2 * 0,14 + (56, 7 - 90,2) 2 * 0,19 + (66,7 - 90,2) 2 * 0,29 + (76,7 - 90,2) 2 * 0,14 + (86,7 - 90,2 ) 2 * 0,08 + (98,3 - 90,2) 2 * 0,06 = 40,32 + 257,6 + 264,92 +213,23 + 160,15 + 25,52 + 0,98 + 3,94 = 966,66 Завдання № 8 Дано середньоквадратичне відхилення σ, вибіркове середнє і обсяг вибірки n нормального розподіленого ознаки генеральної сукупності. Знайти довірчі інтервали для оцінки генеральної середньої із заданою надійністю γ.
Рішення: Довірчий інтервал, в якому з імовірністю γ перебуватиме середній інтервал сукупності) для нормального розподілу випадкової величини з відомим квадратичним відхиленням σ, вибіркової середньої і обсягом вибірки n дорівнює. t - рішення рівняння 2Ф (t) = γ, Ф (t) - функція Лапласа. У нашому випадку Ф (t) = = 0,475, отже, значення Ф (t) відповідає t = 2,13, тоді довірчий інтервал буде дорівнює: . У цьому інтервалі з вірогідністю γ = 0,95, буде перебувати середня генеральної сукупності. Завдання № 9 Дано виправлене середнє квадратичне відхилення S, вибіркове середнє і обсяг вибірки n нормально розподіленого ознаки генеральної сукупності. Користуючись розподілом Стьюдента, знайти довірчі інтервали для оцінки генеральної середньої , Із заданою надійністю γ.
Рішення: Довірчий інтервал, для нормального розподілу випадкової величини з відомим квадратичним відхиленням σ, але з відомим виправленим середнім квадратичним відхиленням S, вибіркової середньої і обсягом вибірки n і довірчою ймовірністю γ, має вигляд. де t γ = t (γ; n) - коефіцієнти Стьюдента, значення n = 18 і γ = 0,99, t γ = 2,39, тобто t (0,99; 18) = 2,39. Тоді довірчий інтервал: В інтервалі (112,16; 126,84) з імовірністю γ = 0,99 перебуватиме середня генеральної сукупності. Завдання № 10 При рівні значущості 0,05 перевірити гіпотезу про нормальний розподіл генеральної сукупності, якщо відомі емпіричні і теоретичні частоти.
Рішення: Відповідно до критерію згоди х 2 (Пірсона) визначимо спостережуване значення критерію: Таким чином, Х про 2 = 2,91, за таблицею критичних точок розподілу при рівні значущості d = 0,05 і числі ступені свободи к = m - 3 = 7 - 3 = 4, де m - число різних варіантів вибірки, знаходимо: Х кр 2. Х кр 2 = х 2 (0,05, 4) = 8,0 Так як Х про 2 < Х кр 2, то немає підстав відкидати гіпотезу про нормальний розподіл генеральної сукупності. Будь ласка, не зберігайте тестовий текст. |