Реферат з аналітичної геометрії
Тема: Криві на площині
Студентки групи ОАП 10-1:
Петренко Лідії
Лінія - загальна частина двох суміжних областей поверхні. Рухома точка описує при своєму русі деяку лінію. В аналітичній геометрії на площині лінії виражаються рівняннями між координатами їх точок. У прямокутній системі координат лінії поділяються в залежності від виду рівнянь. Якщо рівняння лінії має вигляд: F (x; y) = 0, де F (x; y) - многочлен n-го ступеня відносно х, у то лінія називається алгебраїчної лінією ого n-го порядку. Лінія 1-го порядку - пряма. Конічні перетини відносяться до ліній 2-го порядку і т.д.
Спіралі
Спір а чи (франц., однина spirale, від лат. Spira, грец. Speira - виток), плоскі криві лінії, незліченна безліч разів обходять деяку точку, з кожним обходом наближаючись до неї або з кожним обходом віддаляючись від неї.
Якщо вибрати точку за полюс полярної системи координат, то полярне рівняння спіралі
r = f (j) таке, що f (j + 2p)> f (j) або f (j + 2p) <f (j) при всіх j. Зокрема, спіралі виходять, якщо f (j) - монотонно зростаюча або спадна позитивна функція.
Найбільш простий вид має рівняння Архімедова спіралі: r = а j, вивченої давньогрецьким математиком Архімедом (3 ст. До н. Е..) У зв'язку із завданнями трисекции кута і квадратури кола у творі "Про спіралях".
З інших спіралей практичне значення має спіраль Корню (або клотоїд), що застосовується при графічному вирішенні деяких завдань дифракції. Параметричне рівняння цієї С. має вигляд:
.
Спіраль Корню є ідеальною перехідної кривої для заокруглення залізничної колії, так як її радіус кривизни зростає пропорційно довжині дуги. Спіралями є також евольвенти замкнутих кривих, наприклад евольвенти кола.
Назви деяких спіралях дані за подібністю їх полярних рівнянь з рівняннями кривих у декартових координатах, наприклад:
параболічна спіраль (а - r) 2 = b j,
гіперболічна спіраль: r = а / j.
Жезл: r 2 = a / j
si-ci-cпіраль, параметричні рівняння якої мають вигляд:
,
[Si (t) і ci (t)-інтегральний синус і інтегральний косинус]. Кривизна si-ci-cпіралі змінюється з довжиною дуги за законом показовою функції. Такі спіралі застосовують як профілю для лекал.
Нагадує спіраль крива , Звана кохлеоідой. Вона нескінченна безліч разів проходить через полюс, причому кожен наступний завиток лежить у попередньому.
Спіралі зустрічаються також при розгляді особливих точок в теорії диференціальних рівнянь
Спіралями іноді називають також просторові криві, що роблять нескінченно багато обертів навколо деякої осі, наприклад гвинтова лінія.
Кардіоїда
Кардіоїда (грец. καρδία - серце, грец. Ε ἶ δος - вид) - плоска лінія, яка описується фіксованою точкою кола, що котиться по нерухомій кола з таким же радіусом. Отримала свою назву через схожість своїх обрисів зі стилізованим зображенням серця.
Кардіоїда є окремим випадком равлики Паскаля, епіціклоіди і синусоїдальної спіралі.
Так само можна сказати, що Кардіоїда-це плоска крива, описувана точкою М кола, яка ззовні стосується нерухомої кола того ж радіуса і котиться по ній без ковзання. Належить до епіціклоідам (плоска крива, описувана точкою кола, яка ззовні стосується нерухомої окружності і котиться по ній без ковзання, до них відносяться кардіоїда, циклоїди, гіпоціклоіди). Є алгебраїчної кривої другого порядку.
Рівняння кардіоїда:
x = 2 r cos t (1 + cos t)
y = 2 r sin t (1 + cos t)
дорівнює:
s = 8 a.
дорівнює: .
Властивості кардіоїда:
1. Дотична в довільній точці кардіоїда проходить через точку кола виробляє кола, діаметрально протилежної точки дотику кіл, а нормаль - через точку їх дотику.
2. Кут, що складається дотичній до кардіоїда з радіус-вектором точки дотику, дорівнює половині кута, утвореного цим радіус-вектором з полярною віссю.
3. Дотичні до кардіоїда, проведені в кінцях хорди, що проходить через полюс, взаємно перпендикулярні.
Циклоїди
Циклоїда (від грец. Κυκλοειδής - колоподібний) - плоска трансцендентна крива. Циклоїда визначається кінематично як траєкторія фіксованої точки виробляє окружності радіусу r, що котиться без ковзання по прямій.
Властивості:
Циклоїда - періодична функція по осі абсцис, з періодом 2 π r. За межі періоду зручно прийняти особливі точки (точки повернення) виду t = 2 π k, де k - довільне ціле число.
Для проведення дотичної до циклоїди в довільній її точці A досить з'єднати цю точку з верхньою точкою виробляє кола. Поєднавши A з нижньою точкою виробляє кола, ми отримаємо нормаль.
Довжина арки циклоїди дорівнює 8 r. Це властивість відкрив Крістофер Рен (1658).
Площа під кожною аркою циклоїди втричі більше, ніж площа породжує кола. Торрічеллі повідомив, що цей факт Галілей відкрив експериментально: порівняв вага пластинок з колом і з аркою циклоїди.
Радіус кривизни у першої арки циклоїди дорівнює .
«Перевернута» циклоїда є кривою якнайшвидшого спуску (брахістохроной). Більш того, вона має також властивість таутохронності: важке тіло, поміщене в будь-яку точку арки циклоїди, досягає горизонталі за один і той же час.
Період коливань матеріальної точки, ковзної по перевернутої циклоїди, не залежить від амплітуди, цей факт був використаний Гюйгенсом для створення точних механічних годинників.
Еволюти циклоїди є циклоїдою, конгруентний вихідної, а саме - паралельно зрушеної так, що вершини переходять в «вістря».
Деталі машин, які здійснюють одночасно рівномірний обертальний і поступальний рух, описують циклоїдальні криві (циклоїда, епіціклоіда, гіпоціклоіда, трохоіда, астроіда) (пор. побудова Лемніската Бернуллі).
Рівняння
Приймемо горизонтальну вісь координат як прямої, по якій котиться виробляє коло радіуса r.
x = rt - r sin t,
y = r - r cos t.
Циклоїда може бути отримана як рішення диференціального рівняння:
Астроіда
Астроіда - плоска крива, описувана точкою M окружності радіусу r, що котиться по внутрішній стороні кола радіуса R = 4 r. Інакше кажучи, астроіда - це гіпоціклоіда з модулем m = 4.
Так само можна сказати, що Астроіда-це плоска крива, описувана точкою кола, яка стосується зсередини нерухомої кола вчетверо більшого радіуса і котиться по ній без ковзання. Належить до гіпоціклоідам. Є алгебраїчної кривої шостого порядку.
Властивості
Є чотири Каспію.
Довжина дуги від точки з 0 до
Довжина всієї кривої 6 R.
Радіус кривизни:
Площа, обмежена кривою:
Астроіда є огинаючої сімейства відрізків постійної довжини, кінці яких розташовані на двох взаємно перпендикулярних прямих.
Астроіда є алгебраїчної кривої 6-го порядку.
Рівняння
Лемніската Бернуллі
Лемніската Бернуллі - плоска крива, геометричне місце точок, твір відстаней від яких до двох заданих точок (фокусів) постійно і дорівнює квадрату половини відстані між фокусами.
Так само можна сказати, що Лемніската Бернуллі-це плоска крива, що має вигляд «вісімки»; безліч точок М, твір відстаней r 1 і r 2 який до двох даних точок F 1 і F 2 (фокусів) дорівнює квадрату междуфокусного відстані. Алгебраїчна крива 4-го порядку, розглянута Я. Бернуллі (1964 г).
Рівняння
Розглянемо найпростіший випадок: якщо відстань між фокусами 2 c, розташовані вони на осі OX, і початок координат ділить відрізок між ними навпіл, то наступні рівняння задають Лемніската:
Фокуси Лемніската - F 1 (- c; 0) і F 2 (c; 0). Візьмемо довільну точку M (x; y). Твір відстаней від фокусів до точки M є
,
і за визначенням воно дорівнює c 2:
Зводимо в квадрат обидві частини рівності:
Розкриваємо дужки в лівій частині:
Розкриваємо дужки і згортаємо новий квадрат суми:
Виносимо загальний множник і переносимо:
Далі можна зробити заміну a 2 = 2 c 2, хоча це не обов'язково:
В даному випадку a - радіус кола, що описує Лемніската.
Провівши нескладні перетворення, можна отримати явне рівняння:
Зводимо в квадрат і розкриваємо дужки:
Наводимо до виду
Це квадратне рівняння відносно y 2. Вирішивши його, отримаємо
Взявши корінь і відкинувши варіант з негативним другим доданком, отримаємо:
де позитивний варіант визначає верхню половину Лемніската, негативний - нижню.
Використовуючи формули переходу до полярній системі координат отримаємо:
Виносимо загальні множники і використовуємо тригонометричне тотожність sin α 2 + cos 2 α = 1:
Використовуємо ще одне тотожність: cos 2 α - sin α = 2 cos 2 α:
Ділимо на ρ 2, припускаючи, що :
\
Як і у випадку прямокутної системи можна замінити a 2 = 2 c 2:
Щільність точок кривої при рівномірному зміні параметра
, Де
Це єдиний варіант раціональної параметризації кривої. Рівняння повністю описує криву, коли параметр пробігає всю речову пряму: від до . При цьому, коли параметр прагне до , Точка кривої прагне (0, 0) з другої координатної чверті, а коли параметр прагне до , То - з четвертої. Розподіл точок, які дає параметричне рівняння, при зміні його параметра з фіксованим кроком показано на малюнку.
Властивості
Лемніската Бернуллі є окремим випадком овалу Кассіні при a = c, синусоїдальної спіралі з індексом n = 2 і Лемніската Бута при c = 0, тому вона успадковує деякі властивості цих кривих.
Властивості від овалу Кассіні
Лемніската - крива четвертого порядку.
Вона симетрична щодо подвійної точки - середини відрізка між фокусами.
Крива має 2 максимуму і 2 мінімуму. Їх координати:
Лемніската описує коло радіуса , Тому іноді в рівняннях виробляють цю заміну.
Властивості від синусоїдальної спіралі
Точка, де Лемніската перетинає саму себе, називається вузловою або подвійний точкою.
Дотичні в подвійній точці складають з відрізком F 1 F 2 кути .
Кут μ, що складається дотичній в довільній точці кривої з радіус-вектором точки дотику дорівнює .
Дотичні в точках перетину кривої і хорди, що проходить через подвійну точку, паралельні один одному.
Інверсія щодо кола з центром в подвійній точці, переводить Лемніската Бернуллі в равнобочной гіперболу.
Радіус кривизни Лемніската є
Є окремий випадок формули радіуса кривизни синусоїдальної спіралі:
при m = 2,
проте, легко вивести і за визначенням.
Рівняння Лемніската в полярній системі:
Формули переходу до полярній системі координат:
Висловлюємо :
Підставляємо в рівняння Лемніската і висловлюємо x і y:
- - Це параметричне рівняння щодо . Провівши деякі тригонометричні перетворення, можна отримати рівняння відносно , Вказане вище в розділі Рівняння.
Формула радіусу кривизни кривої, заданої параметрично:
Знаходимо похідні за :
Підставляємо у формулу радіуса:
Повертаємося до рівняння Лемніската:
Підставляємо цей вираз в отриману формулу радіуса і отримуємо:
Власні властивості:
Гравітаційне властивість Лемніската
Крива є геометричним місцем точок, симетричних з центром равносторонней гіперболи щодо її дотичних.
Відрізок бісектриси кута між фокальними радіус-векторами точки Лемніската дорівнює відрізку від центру Лемніската до перетину її осі з цією бісектрисою.
Матеріальна точка, що рухається по кривій під дією однорідного гравітаційного поля, пробігає дугу за той же час, що й відповідну хорду. При цьому вісь Лемніската складає кут з вектором напруженості поля, а центр Лемніската збігається з вихідним положенням рухається точки.
Площа полярного сектора , При :
Зокрема, площа кожної петлі , Тобто площа, обмежена кривою, дорівнює площі квадрата зі стороною .
Перпендикуляр, опущений з фокусу Лемніската на радіус-вектор якої-небудь її точки, ділить площу відповідного сектора навпіл.
Довжина дуги Лемніската між точками і виражається еліптичним інтегралом роду:
де
Додаток
В геометрії, синусоїдальна спіраль - сімейство кривих, обумовлений рівнянням в полярній системі координат:
r n = a n cos (n θ),
де a - ненульова константа і n - раціональне число, не рівне нулю. З урахуванням можливості повороту кривої відносно початку координат рівняння також може бути записано у вигляді:
r n = a n sin (n θ)
Використання терміну «спіраль» в даному випадку не є точним, тому що отримуються криві за формою радше нагадують квітку. Багато відомих криві є окремими випадками синусоїдальної спіралі:
Вперше була вивчена Маклореном.