МІНІСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГОХОЗЯЙСТВА РФ
ДЕПАРТАМЕНТ НАУКОВО - ТЕХНОЛОГІЧНОЇ
ПОЛІТИКИ І ОСВІТИ
ФГТУ ВПО «Приморський ДЕРЖАВНА
СІЛЬСЬКОГОСПОДАРСЬКА АКАДЕМІЯ »
ІНСТИТУТ ЕКОНОМІКИ І БІЗНЕСУ
Реферат Тема: «Функція» Виконав: Ярмонтовіч Д.А.
Перевірила:
Уссурійськ 2006
ЗМІСТ · 1) Введння
· 2) Лінійна функція
· 3) Квадратична функція
· 4) Степенева функція
· 5) Показова
функція (експоненти)
· 6) Логарифмічна функція
· 7) Тригонометрична функція
·-Функція синус
·
-Функція косинус
·-Функція тангенс
·-Функція котангенс
· 8) Зворотній функція
·-Arcsin x
·-Arctg x
· 9) Список Літератури
введення
До елементарних функцій відносяться раціональні, статечні, показова і логарифмічні функції, а також тригонометричні і зворотні тригонометричні функції. До класу елементарних функцій, крім того, відносять також складні функції, утворені з перерахованих вище елементарних функцій.
Функція - залежність змінної
у від змінної
x, якщо кожному значенню
х відповідає єдине значення
у. Змінна х - незалежна змінна або аргумент.
Змінна у - залежна змінна
Значення функції - значення
у, відповідне заданому значенню
х. Область визначення функції-всі значення, які приймає незалежна змінна.
Область значень функції (безліч значень) - всі значення, які приймає функція.
Функція є парною - якщо для будь-якого
х з області визначення функції виконується рівність
f (x) = f (- x) Функція є непарною, якщо для будь-якого
х з області визначення функції виконується рівність
f (- x) =- f (x) Зростаюча функція, якщо для будь-яких
х 1 і
х 2, таких, що
х 1 <х 2, виконується нерівність
f (х 1) 2) Спадна функція, якщо для будь-яких
х 1 і
х 2, таких, що
х 1 <х 2, виконується нерівність
f (х 1)> f (х 2)
Лінійна функція. Це функція виду
. Число
називається
кутовим коефіцієнтом, а число
-
Вільним членом. Графіком
лінійної функції служить пряма на координатній площині
, Не паралельна осі
.
Кутовий коефіцієнт
дорівнює тангенсу кута
нахилу графіка
до горизонтального напрямку - позитивному напрямку осі
.
Графік лінійної функції - пряма
1. Область визначення - всі дійсні числа.
2. Область значень - всі дійсні числа.
3. Якщо k = 0, то графік буде паралельний осі абсцис і буде проходити через точку (0; b).
4. Лінійна функція ні парна ні непарна.
5.
Функція зростає якщо k> 0,
Функція спадає якщо k <0.
6. Функція неперервна.
Квадратична функція. Це функція виду
,
Графіком
квадратичної функції служить
парабола з віссю, паралельною осі
. При
вершина параболи опиняється в точці
.
Парабола
(
)
У загальному випадку вершина лежить в точці
. Якщо
, То "роги" параболи спрямовані вгору, якщо
, То вниз.
. Парабола з вершиною в точці
(
)
1. Область визначення квадратичної функції - вся числова пряма.
2. При
b ¹ 0 функція не є парному і не є непарною. При
b = 0 квадратична функція - парна.
3.
Рис. 4 Рис. 5
4. Квадратична функція неперервна і диференційовна у всій області визначення.
5. Функція має єдину критичну точку
6. X =- b / (2 a). Якщо
a> 0, то в точці
x =- b / (2 a) функція має мінімум. При
x <- b / (2 a) функція монотонно убуває, при
x> - b / (2 a) монотонно зростає.
a. Якщо
а <0, то в точці
x =- b / (2 a) функція має максимум. При
x <- b / (2 a) функція монотонно зростає, при
x> - b / (2 a) монотонно убуває.
b. Точка графіка квадратичної функції з абсцисою
x =- b / (2 a) і ординатою
y = - ((b 2 -4 ac) / 4 a) називається
вершиною параболи. 7. Область зміни функції: при
a> 0 - безліч значень функції
[- ((b 2 -4 ac) / 4 a); + ¥); при
a <0 - безліч значень функції
(- ¥ ;-( (b 2 -4 ac) / 4 a)]. 8. Графік квадратичної функції перетинається з віссю
0 y в точці
y = c. У випадку, якщо
b 2 -4 ac> 0, графік квадратичної функції перетинає вісь
0 x в двох точках (різні дійсні корені квадратного рівняння); якщо
b 2 -4 ac = 0 (квадратне рівняння має один корінь кратності 2), графік квадратичної функції стосується осі
0x в точці
x =- b / (2 a); якщо
b 2 -4 ac <0, перетину з віссю
0 x немає.
a. З подання квадратичної функції у вигляді (1) також випливає, що графік функції симетричний відносно прямої
x =- b / (2 a) - образу осі ординат при паралельному перенесенні
r = (- b / (2 a); 0). b. Графік функції
9. F (x) = ax 2 + bx + c 10. (Або
f (x) = a (x + b / (2 a)) 2 - (b 2 -4 ac) / (4 a)) може бути отриманий з графіка функції
f (x) = x 2 наступними перетвореннями : а) паралельним перенесенням
r = (- b / (2 a); 0); б) стисненням (або розтягуванням) до осі абсцис в
а разів;
в) паралельним перенесенням
r = (0; - ((b 2 -4 ac) / (4 a))). Степенева функція. Це функція виду
,
. Розглядаються такі випадки:
а). Якщо
, То
. Тоді
,
; Якщо число
- Парне, то і функція
- Парна (тобто
при всіх
); Якщо число
- Непарне, то і функція
- Непарна (тобто
при всіх
).
Графік степеневої функції при
б) Якщо
,
, То
.
Ситуація з парністю і непарного при цьому така ж, як і для
: Якщо
- Парне число, то і
- Парна функція; якщо
- Непарне число, то і
- Непарна функція.
Графік степеневої функції при
Знову зауважимо, що
при всіх
. Якщо
, То
при всіх
, Крім
(Вираз
не має сенсу).
в). Якщо
- Не ціле число, то, за визначенням, при
:
; Тоді
,
.
Графік степеневої функції при
При
, За визначенням,
; Тоді
.
Графік степеневої функції при
1. Область визначення статечної функції - множина всіх позитивних чисел.
2. Область значення статечної функції - множина всіх позитивних чисел.
3. Степенева функція неперіодичних, не є парною і не є непарною.
4. Степенева функція неперервна у всій області визначення.
5. Степенева функція диференційовна у всій області визначення, і її похідна обчислюється за формулою
(X a) ¢ = a. X a -1. Степенева функція
x a монотонно зростає у всій області визначення при
a <0.
6.
0 1 x 0 1 x 7. При
a <0 і
a> 1 графік статечної функції спрямований увігнутістю вгору, а при 0
<1 - увігнутістю вниз.
Показова функція (експонента).
Це функція виду ( , ). Для неї , , , І при графік має такий вигляд:
. Графік показовою функції при
При вигляд графіка такий:
Ріс.1.20.Графік показовою функції при
1. Число називається підставою показовою функції. Область визначення функції - вся числова пряма.
2. Область значення функції - множина всіх позитивних чисел.
3. Функція неперервна і диференційовна у всій області визначення. Похідна показовою функції обчислюється за формулою
(A x) ¢ = a x ln a
4. При а> 1 функція монотонно зростає, при а <1 монотонно убуває.
5. Показова функція має обернену функцію, звану логарифмічною функцією.
6. Графік будь показовою функції перетинає вісь 0y в точці y = 1.
7. Графік показовою функції - крива, спрямована увігнутістю вгору.
Логарифмічна я функція.
Це функція виду ( , ). Для неї , , , І при графік має такий вигляд:
Графік логарифмічної функції при
При графік виходить такий:
Графік логарифмічної функції при
1. Число називається підставою логарифма. Звернемо увагу читача на те, що з точністю до поворотів і симетричних відображень на останніх чотирьох кресленнях зображена одна і та ж лінія. Область визначення логарифмічної функції - проміжок (0; + ¥).
2. Область значення логарифмічної функції - вся числова прчмая.
3. Логарифмічна функція неперервна і диференційовна у всій області визначення. Похідна логарифмічної функції обчислюється за формулою
(Log a x) ¢ = 1 / (x ln a).
4. Логарифмічна функція монотонно зростає, якщо а> 1. При 0 <1 логарифмічна функція з основою а монотонно убуває.
5. При будь-якій підставі a> 0, a ¹ 1, мають місце рівності
log a 1 = 0, log a a = 1.
6. При а> 1 графік логарифмічної функції - крива, спрямована увігнутістю вниз, при 0 <1 - крива, спрямована увігнутістю вгору.
тригонометричні функції
Функції sin a, cos a, tg a, ctg a називаються тригонометричними функціями кута a. Крім основних тригонометричних функцій sin a, cos a, tg a, ctg a.
Функція синус
.
. Для неї ; Функція періодична з періодом і непарних. Її графік такий:
Графік функції
Синусом числа х називається число, рівне синусу кута в радіанах.
1. Область визначення - множина всіх дійсних чисел.
2. Область значення - проміжок [-1; 1].
3. Функція sin х - непарна: sin (-х) =- sin х.
4. Функція sin х - періодична. Найменший позитивний період дорівнює 2p:
sin (х +2 p) = sin х.
5. Нулі функції: sin x = 0 при x = p n, n Î Z.