Розрахунково-графічна робота З-7
«Визначення реакції опор твердого тіла»
C мули, кН | Розміри, см |
Q | G | a | b | c | R | r |
5 | 3 | 20 | 15 | 10 | 30 | 40 |
Результати обчислень наведені в таблиці:
Сили, кН |
R A | R B | x A | z A | x B | z B |
3,56 | 3,36 | 3,53 | 0,67 | -2,41 | 2,33 |
При знаходженні вийшло, що значення складової по осі негативно. Це означає, що при розставляння діючих на дану систему сил було вибрано неправильний напрямок. У результаті правильне побудова буде виглядати наступним чином:
«Визначення швидкості та прискорення точки по заданим рівнянням її траєкторії».
Рівняння руху | t 1, c |
x = x (t) | y = y (t) |
|
| | 2 |
1. Швидкість
У загальному випадку для просторової системи координат будемо мати:
=>
Для нашого випадку рівняння для складових по осях координат будуть мати наступний вигляд:
Після диференціювання отримаємо:
Знайдемо повну швидкість точки в момент часу :
2. Прискорення
У загальному випадку для просторової системи координат будемо мати:
=>
Для нашого випадку рівняння для складових по осях координат будуть мати наступний вигляд:
Після диференціювання отримаємо:
Знайдемо повне прискорення точки в момент часу :
З іншого боку прискорення можна знайти за формулою:
, Де
тангенціальне прискорення (дотична складова повного прискорення), а нормальна складова повного прискорення, які можна знайти за формулами:
,
де - Радіус кривизни траєкторії в шуканої точки.
-0,0058 При = 2 с.
Тоді знайдеться за формулою:
Підставивши значення, отримаємо:
Знайдемо рівняння руху точки. Для цього висловимо з другого рівняння змінну часу ( ) І підставимо отриманий вираз в перше рівняння:
Вийшло рівняння ( ) Є гіперболою.
Знайдемо початкове положення точки. Для цього підставимо в рівняння значення .
Щоб визначити в яку сторону відбувається рух необхідно підставити в рівняння руху час, відмінне від (Наприклад ).
рух відбувається по лівій гілки гіперболи у напрямку, вказаному на малюнку.
Розставимо на графіку руху вектори швидкості, прискорення і вектори повній швидкості і прискорення:
, | , | , | , | , | , | , | , | , |
0,1875 | 3 | 3,0059 | -0,0938 | 0 | -0,0058 | 0,094 | 0,0938 | 96,12 |
Дано:
m 1 = m
m 2 = 2m
m 3 = 9m
R 3 = 0,3 м
i 3ξ = 0,2 м
α = 30
f = 0,12
δ = 0,25 см
s = 1,5 м
Знайти:
V 1 =?
Рішення:
По теоремі про зміну кінетичної енергії системи:
(Тому що система складається з абсолютно твердих тіл і нерозтяжних ниток)
Кінетична енергія системи дорівнює:
Сума робіт зовнішніх сил:
м / с
Інтегрування диференціальних рівнянь
Д-1 вар. 9
Лижник
V в
h
d
Дано
a = 15 °;; ƒ = 0,1 τ = 0,3; β = 45 α
h = 42 β
Знайти Va, V в
Рішення
mX = S Xi 1 F тр = fN
mX = Gsin a-Fco пр N = Gcos a
mX = Gsin a - fGcos a
X = gsin a - fgcos a
X = (g (sin a - fcos a) t + C 1
X = (g (sin a - fcos a) / 2) t 2 + C 1 t + C 2
При нормальних умовах: t = 0 x = 0
X = V в X = C 2 = 0; C 1 = Va
X = g (sin a-fcos a) t + C 1 X = (g (sin a-fcos a) / 2) t 2 + З 1 * t
X = V ст X = L
V в = g (sinα-ƒ * cosα) τ + Va 2
L = ((g (sinα-ƒ * cosα) τ) / 2) τ + З 1 * t
Розглянемо рух лижника від точки В до точки С, складемо диференціальне рівняння його руху.
Mx = 0 my = 0
Початкові умови задачі: при t = 0
X 0 = 0 Y 0 = 0
X 0 = V в * cosα; Y 0 = V в * sinα
Інтегруємо рівняння двічі
Х = C 3 Y = gt + C 2 квітня
X = C3t + C5 Y = gt / 2 + C4t + C6
при t = 0
X = C 3; Y 0 = C 4
X = C 5; Y 0 = C 6
Отримаємо рівняння проекцій швидкостей тіла.
X = V в * cosα, Y = gt + V в * sinα
і рівняння його руху
X = V в * cosα * t Y = gt / 2 + V в * sinα * t
Рівняння траєкторії тіла знайдемо, виключивши параметр t з рівняння руху отримаємо рівняння параболи.
Y = gx / 2 (2 V в * cosα) + xtgα
Y = h x = d h = tgβ * d d = h / tgβ
Знайдемо V в з рівняння 2 2 2
Y = gx / 2 (2 V в * cosα) + xtgα
V в = 18м / с і знайдемо Va
V в = g (sinα-ƒ * cosα) τ + Va
Va = 11,3 м / с
Відповідь: Va = 11,3 м / с V в = 18м / с
Завдання Д.3
Дослідження коливального руху матеріальної точки
Дано:
Знайти: Рівняння руху
Рішення:
Застосуємо до вирішення завдання диференціальне рівняння руху точки. Сумісний початок координатної системи з положенням спокою вантажу, відповідним статичної деформації пружини, за умови що точка В займає своє середнє положення . Направимо вісь вниз уздовж похилій площині. Рух вантажу визначається з такого диференційного рівняння:
,
де -Сума проекцій на вісь сил, що діють на вантаж.
Таким чином
Тут ,
де - Статична деформація пружини під дією вантажу; -Переміщення точки прикріплення нижнього кінця пружини, що відбувається за законом .
Статичну деформацію пружини знайдемо з рівняння, відповідного стану спокою вантажу:
тобто
Звідки
Диференціальне рівняння руху вантажу прийме вигляд:
або після перетворення
Розділивши всі члени рівняння на отримаємо:
Введемо позначення:
Отримуємо, що
Маємо неоднорідне рівняння
,
де - Спільне рішення, відповідного однорідного рівняння;
- Приватне рішення даного неоднорідного рівняння.
Загальне рішення однорідного рівняння має вигляд:
Приватне рішення неоднорідного рівняння:
Загальний інтеграл
Для визначення постійних інтегрування знайдемо, крім ого, рівняння для :
і використовуємо початкові умови задачі.
Розглянуте рух починається в момент , Коли деформація пружини є статичною деформацією під дією вантажу.
Таким чином, при
Складемо рівняння і для :
Звідки
Тоді рівняння руху вантажу прийме вигляд:
Відповідь:
Застосування теореми про зміну кількості руху до дослідження руху механічної системи.
Дано:
Знайти: Швидкість .
Рішення:
На механічну систему діють зовнішні сили: - Сила сухого тертя в опорі А; - Сили тяжіння тіл 1, 2 і 3; -Сила нормальної реакції в точці А; -Реактивний момент в опорі В.
Застосуємо теорему про зміну кількості руху механічної системи в диференціальній формі. У проекціях на осі координат
, (1)
де - Проекції вектора кількості руху системи на осі координат; - Суми проекцій зовнішніх сил на відповідні осі.
Кількість руху системи тіл 1, 2 і 3
(2)
де
. (3)
Тут - Швидкості центрів мас тел 1, 2, 3; - Відповідно переносні і відносні швидкості центрів мас.
Очевидно, що
(4)
Проектуючи обидві частини векторної рівності (2) на координатні осі, отримуємо з урахуванням (3) і (4)
(5)
де - Проекція вектора на вісь ;
Проекція головного вектора зовнішніх сил на координатні осі
(6)
Знак «-» відповідає випадку, коли , А знак «+» - випадку, коли .
Підставляючи (5) і (6) в (1), отримаємо
(7)
Висловимо з другого рівняння системи (7) величину нормальної реакції і підставимо її в перше рівняння. У результаті отримаємо
при ; (8)
при . (9)
де
Розглянемо проміжок часу , Протягом якого тіло 1 рухається вправо . З (8) випливає, що
,
де С-постійна інтегрування, що визначається з початкової умови: при
.
При швидкість тіла 1 звертається в нуль, тому .
Знайдемо значення і :
Тобто , . Значить, тіло при починає рухатися в зворотному напрямку. Цей рух описується диференціальним рівнянням (9) при початковому умови: ; (10)
Інтегруючи (9) з урахуванням (10), отримаємо, при
(11)
При отримаємо з (11) шукане значення швидкості тіла 1 в момент, коли
.
Точне рішення задачі. Скориставшись методикою, викладеної вище, отримаємо диференціальне рівняння руху тіла 1:
при (12)
; При , (13)
де
З (12) та враховуючи, що отримуємо, при
звідки або
З (13) і враховуючи, що отримуємо, при
При знаходимо
Відповідь: .