ВИПАДКОВІ ПРОЦЕСИ
Зміст Випадкова
функція, випадковий
процес, випадкове поле. 2
Функція розподілу ймовірностей випадкового
процесу. 3
Щільність розподілу ймовірностей випадкового процесу. 4
Моментні
функції випадкового процесу. 5
Умовні розподілу ймовірностей. 6
Приклади
математичних моделей випадкових
процесів. 7
Стаціонарні
процеси .. 8
Література. 10
Випадкова функція, випадковий процес, випадкове поле
69.1. Випадкової
функцією називається випадкова величина
, Залежна від параметра
.
Випадкові величини можуть бути речовими, або комплексними, або векторними; аргумент
може бути речовим або векторним.
Найпростіший приклад випадкової
функції отримуємо для речового параметра
та речовинної випадкової величини
. При цьому
називається випадковою функцією однієї змінної або випадковим
процесом. Відзначимо, що аргумент
випадкового процесу не обов'язково має розмірність часу.
Більш складні приклади випадкових функцій зустрічаються в задачах фізики, океанології, метеорології та інших областях застосування теорії ймовірностей. Так, температура повітря
в точці простору
і в момент часу
часто розглядається як випадкова величина. Таким чином, температура повітря
є випадковою функцією, залежною від трьох декартових координат
часу
. Випадкову функцію, залежну від декількох змінних прийнято називати випадковим полем.
69.2. Випадковий
процес як функція аргументу
має свою область визначення
, Яка може бути відрізком на дійсній осі, позитивної полуосью, всієї речовій віссю і т. д. Розглянемо випадковий процес
при фіксованому
, Тоді
- Випадкова величина, яка називається перерізом випадкового процесу в точці
.
Нехай виконується
дослідів, у кожному з яких вимірюється значення
,
, Випадкової величини
. Тоді результати вимірювань - це
чисел
. (69.1)
На відміну від випадкової величини
вимір випадкового
процесу виконується протягом деякого інтервалу
-Інтервалу спостереження. Останній або міститься в області визначення
, Або збігається з нею. Нехай детермінована
функція ,
, - Результат вимірювання випадкового процесу у першому досліді,
функція ,
, - Результат вимірювання випадкового процесу в другому досвіді, і т.д. Тоді результати всіх
дослідів,
аналогічно (69.1), представляються сукупністю
детермінованих функцій часу:
(69.2)
Кожна функція
,
, Називається реалізацією (траєкторією, вибіркової функцією, вибіркою) випадкового процесу
. Сукупність (69.2) називається ансамблем реалізацій випадкового процесу
. Ансамбль реалізацій містить інформацію про
статистичні властивості випадкового процесу
аналогічно як і сукупність вимірів (69.1) містить інформацію про статистичні властивості випадкової величини
.
69.3. Залежно від
того, дискретні або безупинні час
і реалізації
, Розрізняють чотири типи випадкових процесів.
1). Випадковий процес загального типу: час
- Безперервно та реалізації
- Безперервні.
2). Дискретний випадковий процес: час
- Безперервно та
- Дискретно.
3). Випадкова послідовність:
- Дискретно і
- Безперервні. У літературі випадкові процеси цього типу прийнято називати тимчасовими рядами.
4). Дискретна випадкова послідовність:
- Дискретно і
- Дискретно.
Функція розподілу ймовірностей випадкового процесу
70.1. При фіксованому
розподіл ймовірностей перерізу
випадкового процесу (як розподіл ймовірностей випадкової величини) задається функцією розподілу ймовірностей
. (70.1)
Співвідношення (70.1) можна розглядати при будь-якому
.
Функція , Як функція двох змінних
і
, Називається одномірної функцією розподілу ймовірностей випадкового процесу
. Аргументи
і
прийнято називати
відповідно фазової та тимчасової змінними. Однак,
не дає вичерпну імовірнісну характеристику випадкового процесу
, Оскільки вона не враховує залежності випадкових величин
при різних
(Тобто залежності різних перетинів випадкового процесу). Більш повно імовірнісні властивості випадкового процесу
описує
-Мірна функція розподілу
- Функція розподілу випадкового
вектора :
. (70.2)
Проте, практичне застосування знаходять лише функції розподілу першого і другого порядків
.
Функції більш високих порядків
використовуються тільки в теорії.
70.2. Основні властивості
-Мірної функції розподілу ймовірностей випадкового процесу аналогічні властивостям функції розподілу ймовірностей
-Мірного вектора.
1) Функція
- Неспадними по кожному аргументу
,
.
2) Функція
- Неперервна справа по кожному аргументу
,
.
3) Функція розподілу симетрична щодо перестановок двох будь-яких
пар і
:
.
4) Для будь-якого цілого
,
.
5) Для будь-якого цілого
,
.
6)
.
Щільність розподілу ймовірностей випадкового процесу
Якщо
має похідну
, (71.1)
тоді ця похідна називається
-Мірної щільністю розподілу ймовірностей випадкового процесу. Основні властивості щільності (71.1)
аналогічні властивостям щільності розподілу ймовірностей
-Мірного вектора. Розглянемо основні з них.
1) Функція розподілу
визначається через
щільність:
. (70.2)
2)
Щільність - Невід'ємна функція:
. (70.3)
3) Щільність задовольняє умові нормування:
. (70.4)
4) Виконується рівність
, (71.5)
зване властивістю узгодженості.
5) Щільність - симетрична функція щодо перестановок двох будь-яких пар
і
:
. (71.6)
6) Щільність визначає ймовірність потрапити значенням випадкового
процесу в задані інтервали:
. (71.7)
Моментні функції випадкового процесу
72.1. Нехай
- Випадковий процес, що має густину
і
функція
змінних. Замість аргументу
,
,
Функції підставимо . Тоді
- Випадкова величина,
математичне сподівання якої визначається співвідношенням:
.
(72.1)
Розглянемо
найпростіші приклади
функції . 1) Нехай
- Функція однієї змінної, тоді
і (72.1) набирає вигляду:
. (72.2)
Функція
називається
математичним очікуванням (середнім, статистичними середнім) випадкового процесу
. 2) Аналогічно вибір
призводить до рівності
. (72.3)
Функція
називається кореляційною функцією випадкового процесу
. 3) Аналогічно вводяться дисперсія
(72.4)
і коваріаційна функцією випадкового процесу
. (72.5)
Отримаємо співвідношення, що зв'язує функції
. З (72.5) слід
. (72.6)
Тут використовувалося рівність
, Оскільки
- Детермінована функція і її можна винести за оператор математичного очікування. Таким чином, (72.6) набирає вигляду
. (72.7)
72.2. Функції виду
, (72.8)
де цілі числа
, Називаються початковими моментами порядку
випадкового процесу
.
Аналогічно центральні моменти визначаються співвідношеннями:
. (72.9)
Для функцій (72.8), (72.9) використовується загальна
назва - моментні функції. Найбільш прості моментні функції (до другого порядку) - це розглянуті вище математичне сподівання
, Дисперсія
кореляційний і коваріаційна функції
,
, - Знаходять широке практичне застосування в експериментальних дослідженнях на відміну від моментів більш високих порядків, які використовуються тільки в теоретичних розрахунках.
Умовні розподілу ймовірностей
Якщо задана
- Мірна щільність розподілу ймовірності випадкового процесу
, Тоді умовна
щільність порядку
за умови, що випадковий процес в моменти часу
приймає значення
визначається за формулою:
. (73.1)
Відповідна умовна функція розподілу ймовірностей
порядку
за умови, що випадковий процес в моменти часу
приймає значення
визначається співвідношенням:
. (73.2)
Співвідношення між умовним щільністю
і умовної функцією розподілу ймовірностей
аналогічні співвідношенням для
відповідних безумовних функцій, наприклад, справедливо рівність:
. (72.3)
У
найпростішому варіанті при
формула (73.1) для умовних густин приймає вигляд:
. (73.4)
Звідси
. (73.5)
Оскільки щільність другого порядку симетрична щодо перестановок пар
і
, То з (73.5) слід
. (73.6)
Співвідношення (73.5), (73.6) - це формули множення для густин. Очевидна аналогія цих формул з формулою множення ймовірностей. Використовуючи властивість узгодженості, з (73.6) отримаємо
. (73.7)
Це співвідношення аналогічно формулою повної ймовірності. Далі, висловлювання (73.6), (73.7) підставимо в (73.4), тоді
. (73.8)
Дане співвідношення представляє собою аналог формули Байєса.
Приклади математичних моделей випадкових процесів
Зі співвідношення (73.1) слід
. (74.1)
Відзначимо, що тут твір перших двох співмножників, згідно (73.1), так само
. (74.2)
Аналогічно, твір перших трьох співмножників в (74.1) дорівнює
. (74.3)
74.1. Випадковий процес
називається процесом з незалежними значеннями, якщо
випадкові величини незалежні в сукупності для будь-якого
і всіх різних
. При цьому співвідношення (74.1) набирає вигляду:
. (74.4)
Таким чином,
- Мірна щільність розподілу ймовірності
випадкового процесу з незалежними значеннями повністю визначається через його одновимірну щільність ймовірності
. Настільки проста структура
- Мірної щільності дозволяє в багатьох випадках легко знаходити вирішення завдань. Однак, така проста
математична модель (74.4) може виявитися неадекватной досліджуваного процесу. Тоді результати теоретичних
розрахунків, засновані на формулі (74.4), не
відповідають результатам досвіду, і виникає необхідність побудови більш складної
математичної моделі досліджуваного процесу з урахуванням
статистичних зв'язків між його різними перерізами
,
, Що дозволить отримати більш точний
опис властивостей досліджуваного процесу.
74.2. Випадковий процес
називається процесом з ортогональними значеннями, якщо
(74.5)
для будь-яких моментів часу
.
74.3. Випадковий процес
називається процесом з незалежними приростами, якщо випадкові величини
і
незалежні для будь-яких неперекривающіхся відрізків
,
.
74.4. Нехай моменти часу
- Упорядковані по індексу. Випадковий процес
називається марковским, якщо його умовна щільність ймовірності задовольняє рівності:
. (74.6)
Таким чином, для марківського процесу випадкова величина
залежить тільки від
і не залежить від усіх
,
. Прийнято говорити, що марковський процес пам'ятає свою історію тільки на один крок.
Співвідношення (74.1) для марківського процесу приймає вигляд:
.
(74.7)
Звідси випливає, що,
- Мірна щільність розподілу ймовірності
випадкового марківського процесу повністю визначається його двовимірної щільністю
, Оскільки одномірна щільність
і умовна
визначаються через
за формулами (73.7) і (73.4).
Марківський процес можна розглядати як узагальнення процесу з незалежними значеннями, в тому сенсі, що останній не пам'ятає свою історію, а марковський процес пам'ятає свою історію на один крок. Але й марковський процес можна ускладнити, подовжуючи його пам'ять на два кроки, на три кроки і т.д. У результаті виходять більш точні
математичні моделі досліджуваного процесу, що, проте, досягається їх ускладненням. Такі моделі також прийнято називати марковскими процесами, але найпростіша з них, з пам'яттю в один крок (74.7), в цьому ряду називається
найпростішим марковским процесом.
Стаціонарні процеси
75.1. Випадковий процес
називається строго стаціонарним, якщо його
- Мірна щільність ймовірності задовольняє умові:
(75.1)
для будь-якого
. Звідси при
і
отримаємо
. (75.2)
Це рівність означає, що щільність першого порядку
не залежить від часу
. При цьому математичне сподівання випадкового процесу
(75.3)
- Величина постійна, не залежна від часу.
Аналогічно, постійними для цього процесу є середнє квадрата
і дисперсія
. Нехай
і
, Тоді з (75.1) слід рівність
. (75.4)
Таким чином, щільність другого порядку
залежить від тимчасових аргументів
через їх різниця
. Тому кореляційна функція
і коваріаційна функція
також є
функціями різниці
своїх аргументів.
У випадку у співвідношенні (75.1) можна покласти, наприклад,
, Тоді щільність
залежить від
тимчасових аргументів
Отже, моментні функції, які в загальному випадку залежать від
тимчасових аргументів
, Для строго стаціонарних випадкових процесів також залежать від
тимчасових аргументів
75.1. Розділ теорії випадкових процесів, в якому викладаються основні властивості функцій
і
, Прийнято називати кореляційної теорією випадкових процесів. Таким чином, в рамках кореляційної теорії розглядаються моментні функції не більше, ніж другого порядку. У зв'язку з цим вводиться спеціальне визначення стаціонарності.
Випадковий процес
називається стаціонарним у широкому сенсі (за Хинчина), якщо його математичне сподівання
і дисперсія
- Величини постійні, не залежні від часу
, А кореляційна функція
залежить від аргументів
через їх різниця
.
Література
1. Вентцель Є.С.
Теорія ймовірностей:
Підручник для вузів. М.: Вища
школа, 1999. - 575с.
2. Коваленко І.М., Філіппова А.А.
Теорія ймовірностей і
математична статистика. М.: Вища школа, 1973. - 368с.
3. Вентцель Є.С., Овчаров Л.А.
Теорія ймовірностей і її інженерні програми М.: Вища школа, 2000. - 480с.
4. Гмурман В.Є.
Теорія ймовірностей і математична статистика. М.: Вища школа, 1999. - 479с.
5. Питьев Ю.П., Шишмарьов І.А. Курс теорії ймовірностей і математичної статистики для фізиків. М.: Изд-во Моск. ун-ту, 1983. - 256с.
6.
Пугачов В.С. Теорія ймовірностей і математична
статистика. М.:
Наука, 1979. - 496с.
7. Колеман В.А., Старовірів О.В., Турундаевскій В.Б. Теорія ймовірностей і математична статистика. М.: Вища школа, 1991. - 400с.
8. Фігурін В.А., Оболонкін В.В. Теорія ймовірностей і математична статистика. М.: Нове
знання, 2000. - 206с.
9. Чистяков В.П. Курс теорії ймовірностей. М.: Наука, 1982. - 256с.
10. Боровков А.А. Теорія ймовірностей. М.: Наука, 1976. - 352с.
11. Кремер Н.Ш. Теорія ймовірностей і математична статистика. М.: ЮНИТИ, 2000. - 543с.