[ Основи геодезії ] | 69 про 44 / 16 / /, 8 | 69 про 44 / 18 / /, 7 | 69 про 44 / 17 / /, 3 | 69 про 44 / 17 / /, 5 | 69 про 44 / 17 / /, 1 | 69 про 44 / 1 6 / /, 2 | 69 про 44 / 17 / /, 0 | 69 про 44 / 15 / /, 3 |
Рішення:
Рішення задачі виконується в двох варіантах.
Перший варіант:
№ п / п | l | ε | δ | δ 2 | εδ | ||
0 | / | / / | |||||
1 | 69 | 44 | 15.5 | 0.2 | +1.20 | 1.44 | +0.24 |
2 |
|
| 16.4 | 1.1 | +0.30 | 0.09 | +0.33 |
3 |
|
| 16.1 | 0.8 | +0.60 | 0.36 | +0.48 |
4 |
|
| 17.0 | 1.7 | -0.30 | 0.09 | -0.51 |
5 |
|
| 16.8 | 1.5 | -0.10 | 0.01 | -0.15 |
6 |
|
| 18.7 | 3.4 | -2.00 | 4.00 | -6.80 |
7 |
|
| 17.3 | 2.0 | -0.60 | 0.36 | -1.20 |
8 |
|
| 17.5 | 2.2 | -0.80 | 0.64 | -1.76 |
9 |
|
| 17.1 | 1.8 | -0.40 | 0.16 | -0.72 |
10 |
|
| 16.2 | 0.9 | +0.50 | 0.25 | +0.45 |
11 |
|
| 17.0 | 1.7 | -0.30 | 0.09 | -0.51 |
12 |
|
| 15.3 | 0.0 | +1.40 | 1.96 | 0.00 |
l 0 | 69 | 44 | 15.3 |
|
|
|
|
[Ε] / n |
|
| 1.4 |
|
|
|
|
x ' |
|
| 16.7 | 17.3 | -0.50 | 9.45 | -10.15 |
;
;
; ;
; .
Як бачимо, внаслідок помилок округлення контроль сходиться дуже наближено. Можна показати, що цей контроль уточнюється наступним чином:
.
У даному випадку
.
Отримане розбіжність з на 0,01 пояснюється наближеністю контрольної формули.
Другий варіант:
№ п / п | l | ε " | ε 2 | δ | δ 2 | ||
0 | / | / / | |||||
1 | 69 | 44 | 15.5 | 0.2 | 0.04 | 1.20 | 1.44 |
2 |
|
| 16.4 | 1.1 | 1.21 | 0.30 | 0.09 |
3 |
|
| 16.1 | 0.8 | 0.64 | 0.60 | 0.36 |
4 |
|
| 17.0 | 1.7 | 2.89 | -0.30 | 0.09 |
5 |
|
| 16.8 | 1.5 | 2.25 | -0.10 | 0.01 |
6 |
|
| 18.7 | 3.4 | 11.56 | -2.00 | 4.00 |
7 |
|
| 17.3 | 2 | 4 | -0.60 | 0.36 |
8 |
|
| 17.5 | 2.2 | 4.84 | -0.80 | 0.64 |
9 |
|
| 17.1 | 1.8 | 3.24 | -0.40 | 0.16 |
10 |
|
| 16.2 | 0.9 | 0.81 | 0.50 | 0.25 |
11 |
|
| 17.0 | 1.7 | 2.89 | -0.30 | 0.09 |
12 |
|
| 15.3 | 0 | 0 | 1.40 | 1.96 |
l 0 | 69 | 44 | 15.3 |
|
|
|
|
[Ε] / n |
|
| 1.44 |
|
|
|
|
x ' |
|
| 16.70 | 17.3 | 34.37 | -0.50 | 9.45 |
;
;
;
;
;
.
Середня помилка:
Ймовірна помилка:
.
Гранична помилка:
.
Відповідь: .
Задача 4
Врівноважити за способом непрямих вимірювань результати нівелювання системи ходів (рис). Обчислити середню квадратическую помилку нівелювання на 1 км ходу і зробити оцінку точності визначення відміток вузлових реперів і різниці врівноважених відміток Н Е-Н С методом вагових коефіцієнтів з Ганзеном. А = 134,838 м, В = 142,514 м.
№ ходів | Перевищення h | Довжина ходів L |
1 | 3.436 | 8.4 |
2 | 4.242 | 7.1 |
3 | 4.176 | 3.8 |
4 | 3.506 | 4.3 |
5 | 2.819 | 6.5 |
6 | -4.866 | 2.7 |
7 | 0.744 | 5.2 |
8 | -1.366 | 3.1 |
Рішення:
I. Встановимо в якості незалежних невідомих позначки вузлових реперів С, D і Е і висловимо всі перевищення у функції цих невідомих. Позначимо імовірні значення відміток H C, H D і H E відповідно через x, y, я і покладемо
, , .
Обчислимо наближені значення невідомих:
II. Складемо рівняння помилок в загальному вигляді:
III. Підставивши замість невідомих їх наближені значення плюс поправки, отримаємо рівняння помилок з поправками до наближених значення невідомих. Вільні члени в цих рівняннях висловлюємо в сантиметрах:
+ | = |
| |||||
- | -0.2 | см | = |
| |||
+ | = |
| |||||
- | -0.6 | см | = |
| |||
+ | = |
| |||||
+ | +0.9 | см | = |
| |||
- | + | -0.4 | см | = |
| ||
- | + | +0.9 | см | = |
|
IV. Складемо таблицю коефіцієнтів рівнянь помилок.
№ п / п | a | b | c | l, см | s | p = l / L | v, см | pv | pvv | plv |
1 | +1 | +0.0 | +1 | 0.12 | -0.26 | -0.0312 | 0.008 | 0 | ||
2 | -1 | -0.2 | -1.2 | 0.14 | +0.06 | +0.0084 | 0.001 | -0.002 | ||
3 | +1 | +0.0 | +1 | 0.26 | -0.07 | -0.0182 | 0.001 | 0 | ||
4 | -1 | -0.6 | -1.6 | 0.23 | -0.53 | -0.1219 | 0.065 | +0.073 | ||
5 | +1 | +0.0 | +1 | 0.15 | -0.77 | -0.1155 | 0.089 | 0 | ||
6 | +1 | +0.9 | +1.9 | 0.37 | +0.14 | +0.0518 | 0.007 | +0.047 | ||
7 | -1 | +1 | -0.4 | -0.4 | 0.19 | -0.21 | -0.0399 | 0.008 | +0.016 | |
8 | -1 | +1 | +0.9 | +0.9 | 0.32 | +0.20 | +0.0640 | 0.013 | +0.058 | |
Сума | -1 | 0 | +3 | +0.6 | +2.6 |
|
|
| 0.192 | +0.192 |
Невідомі | -0.260 | -0.068 | -0.765 |
|
|
|
|
|
|
|
Вагова функція за умовою задачі має вигляд
для якої f 1 =- 1, f 2 = 0, f 3 = +1.
V. Складемо таблицю коефіцієнтів нормальних рівнянь (таблиця 1).
VI. Випишемо нормальні рівняння
1 | 0.450 | -0.190 | +0.104 | = | 0 | |
2 | -0.190 | +1.000 | -0.320 | -0.226 | = | 0 |
3 | -0.320 | +0.840 | +0.621 | = | 0 | |
Σ | +0.260 | +0.490 | +0.520 | +0.499 | = | 0 |
Контроль
0.068-0.033-0.398 +0.499 = 0
Цей контроль зробимо після рішення нормальних рівнянь, підставивши знайдені поправки невідомих у сумарне рівняння.
VII. Вирішимо нормальні рівняння (таблиця 2).
VIII. Обчислимо урівноважені значення перевищень.
№ ходів | Виміряні перевищення, м | Поправки, мм | Урівноважені перевищення, м |
1 | +3.436 | -2.6 | +3.4334 |
2 | +4.242 | +0.6 | +4.2426 |
3 | +4.176 | -0.7 | +4.1753 |
4 | +3.506 | -5.3 | +3.5007 |
5 | +2.819 | -7.7 | +2.8113 |
6 | -4.866 | +1.4 | -4.8646 |
7 | +0.744 | -2.1 | +0.7419 |
8 | -1.366 | +2.0 | -1.3640 |
IX. Виконаємо остаточний контроль всіх обчислень
1 | h 1 + h 7-h 3 = | 0 | +3.4334 | +0.7419 | -4.1753 | = | 0 | |
2 | h 2-h 4-h 7 = | 0 | +4.2426 | -3.5007 | -0.7419 | = | 0 | |
3 | h 4 + h 6-h 8 = | 0 | +3.5007 | -4.8646 | +1.3640 | = | 0 | |
4 | h 3 + h 8-h 5 = | 0 | +4.1753 | -1.3640 | -2.8113 | = | 0 | |
5 | H A + h 3 + h 4 = | H B | 134.838 | _ +4.1753 | +3.5007 | = | 142.514 |
X. Зробимо оцінку точності.
1) Середня квадратична помилка одиниці ваги (перевищення по ходу 1 км)
;
Помилка самої помилки одиниці ваги
.
2) Середні квадратичні помилки висот визначаються реперів
3) Середню квадратическую помилку функції знайдемо за формулою
;
і .
Таблиця 1
№ п / п | paa | pab | pac | pal | pas | pbb | pbc | pbl | pbs | pcc | pcl | pcs | pll | pls |
1 | 0.120 | 0.120 | ||||||||||||
2 | 0.140 | 0.028 | 0.168 | 0.006 | 0.034 | |||||||||
3 | 0.260 | 0.260 | ||||||||||||
4 | 0.230 | 0.138 | 0.368 | 0.083 | 0.221 | |||||||||
5 | 0.150 | 0.000 | 0.150 | |||||||||||
6 | 0.370 | 0.333 | 0.703 | 0.300 | 0.633 | |||||||||
7 | 0.190 | -0.190 | 0.076 | 0.076 | 0.190 | -0.076 | -0.076 | 0.030 | 0.030 | |||||
8 | 0.320 | -0.320 | -0.288 | -0.288 | 0.320 | 0.288 | 0.288 | 0.259 | 0.259 | |||||
Сума | 0.450 | -0.190 | 0 | 0.104 | 0.364 | 1.000 | -0.320 | -0.226 | 0.264 | 0.840 | 0.621 | 1.141 | 0.678 | 1.177 |
Таблиця 2
№ рядків | Назва рядків | x | y | z | l | s | Контроль | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | N 1 | | 0.450 | -0.190 | 0.000 | 0.104 | 0.364 | 0.364 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| -1 |
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | C 1 | -2.22222 | 0.4222 | 0.0000 | -0.2311 | -0.8089 | 0.8089 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | N 2 | |
| 1.000 | -0.320 | -0.226 | 0.264 | 0.264 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | (1); C 1,2 * N 1 | |
| -0.080 | 0.000 | 0.044 | 0.154 |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 | N 1 | | |
| 0.920 | -0.320 | -0.182 | 0.418 | 0.418 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| -1 |
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 | C 2 |
| -1.087 | 0.3478 | 0.1978 | -0.4543 | -0.4543 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 |
|
|
|
|
|