функція

МІНІСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГОХОЗЯЙСТВА РФ
ДЕПАРТАМЕНТ НАУКОВО - ТЕХНОЛОГІЧНОЇ
ПОЛІТИКИ І ОСВІТИ
ФГТУ ВПО «Приморський ДЕРЖАВНА
СІЛЬСЬКОГОСПОДАРСЬКА АКАДЕМІЯ »
ІНСТИТУТ ЕКОНОМІКИ І БІЗНЕСУ
Реферат
Тема: «Функція»
Виконав: Ярмонтовіч Д.А.
Перевірила:
Уссурійськ 2006

ЗМІСТ
· 1) Введніе
· 2) Лінійна функція
· 3) Квадратична функція
· 4) Степенева функція
· 5) Показова функція (експоненти)
· 6) Логарифмічна функція
· 7) Тригонометрична функція
·-Функція синус
·

-Функція косинус
·-Функція тангенс
·-Функція котангенс
· 8) Зворотній функція
·-Arcsin x
·-Arctg x
· 9) Список Літератури

введення

До елементарним функцій відносяться раціональні, статечні, показова і логарифмічні функції, а також тригонометричні і зворотні тригонометричні функції. До класу елементарних функцій, крім того, відносять також складні функції, утворені з перерахованих вище елементарних функцій.

Функція-залежність змінної у від змінної x, якщо кожному значенню х відповідає єдине значення у.
Змінна х - незалежна змінна або аргумент.
Змінна у - залежна змінна
Значення функції - значення у, відповідне заданому значенню х.
Область визначення функції-всі значення, які приймає незалежна змінна.
Область значень функції (безліч значень) - всі значення, які приймає функція.
Функція є парною - якщо для будь-якого х з області визначення функції виконується рівність f (x) = f (- x)
Функція є непарною - якщо для будь-якого х з області визначення функції виконується рівність f (- x) =- f (x)
Зростаюча функція - якщо для будь-яких х ₁ і х _2, таких, що х ₁ <х _2, виконується нерівність f (х ₁₎ <f (х ₂₎
Спадна функція - якщо для будь-яких х ₁ і х _2, таких, що х ₁ <х _2, виконується нерівність f (х _1)> f (х ₂₎

Лінійна функція.
Це функція виду $F (x) = kx + b; \ mathcal {D} (f) = \ mathbb {R}$ . Число

називається кутовим коефіцієнтом, а число

- Вільним членом. Графіком ${\ Gamma} _f$ лінійної функції служить пряма на координатній площині

, Не паралельна осі

.
Кутовий коефіцієнт

дорівнює тангенсу кута ${\ Alpha}$ нахилу графіка ${\ Gamma} _f$ до горизонтального напрямку - позитивному напрямку осі

Графік лінійної функції - пряма
1. Область визначення - всі дійсні числа.
2. Область значень - всі дійсні числа.
3. Якщо k = 0, то графік буде паралельний осі абсцис і буде проходити через точку (0; b).
4. Лінійна функція ні парна ні непарна.
5. Функція зростає якщо k> 0,
Функція спадає якщо k <0.
6. Функція неперервна.

Квадратична функція.
Це функція виду $F (x) = ax ^ 2 + bx + c; \ mathcal {D} (f) = \ mathbb {R}$ ,
Графіком ${\ Gamma} _f$ квадратичної функції служить парабола з віссю, паралельною осі

. При

вершина параболи опиняється в точці

Парабола

(

)
У загальному випадку вершина лежить в точці $M_0 (x_0; y_0); x_0 =- \ frac {b} {2a}; y_0 = f (x_0) = c-\ frac {b ^ 2} {4a}$ . Якщо

, То "роги" параболи спрямовані вгору, якщо

, То вниз.

. Парабола з вершиною в точці

(

)
1. Область визначення квадратичної функції - вся числова пряма.
2. При b ¹ 0 функція не є парному і не є непарною. При b = 0 квадратична функція - парна.

f (x) = x ²

f (x) = (x +1 / ²⁾ 2

-1 / 2

Рис. 4 Рис. 5
4. Квадратична функція неперервна і диференційовна у всій області визначення.
5. Функція має єдину критичну точку
6. X =- b / (2 a). Якщо a> 0, то в точці x =- b / (2 a) функція має мінімум. При x <- b / (2 a) функція монотонно убуває, при x> - b / (2 a) монотонно зростає.
a. Якщо а <0, то в точці x =- b / (2 a) функція має максимум. При x <- b / (2 a) функція монотонно зростає, при x> - b / (2 a) монотонно убуває.
b. Точка графіка квадратичної функції з абсцисою x =- b / (2 a) і ординатою y = - ((b ² -4 ac) / 4 a) називається вершиною параболи.
7. Область зміни функції: при a> 0 - безліч значень функції [- ((b ² -4 ac) / 4 a); + ¥); при a <0 - безліч значень функції (- ¥ ;-( (b ² -4 ac) / 4 a)].
8. Графік квадратичної функції перетинається з віссю 0 y в точці y = c. У випадку, якщо b ² -4 ac> 0, графік квадратичної функції перетинає вісь 0 x в двох точках (різні дійсні корені квадратного рівняння); якщо b ² -4 ac = 0 (квадратне рівняння має один корінь кратності 2), графік квадратичної функції стосується осі 0x в точці x =- b / (2 a); якщо b ² -4 ac <0, перетину з віссю 0 x немає.
a. З подання квадратичної функції у вигляді (1) також випливає, що графік функції симетричний відносно прямої x =- b / (2 a) - образу осі ординат при паралельному перенесенні r = (- b / (2 a); 0).
b. Графік функції
9. F (x) = ax ² + bx + c
10. (Або f (x) = a (x + b / (2 a)) ² - (b ² -4 ac) / (4 a)) може бути отриманий з графіка функції f (x) = x ² наступними перетвореннями :
а) паралельним перенесенням r = (- b / (2 a); 0);
б) стисненням (або розтягуванням) до осі абсцис в а разів;
в) паралельним перенесенням r = (0; - ((b ² -4 ac) / (4 a))).
Степенева функція.
Це функція виду $F (x) = x ^ {{\ alpha}}$ , ${\ Alpha} \ in \ mathbb {R}$ . Розглядаються такі випадки:
а). Якщо ${\ Alpha} \ in \ mathbb {N}$ , То $\ Mathcal {D} (f) = \ mathbb {R}$ . Тоді

; Якщо число ${\ Alpha}$ - Парне, то і функція

- Парна (тобто

при всіх $X \ in \ mathcal {D} (f)$ ); Якщо число ${\ Alpha}$ - Непарне, то і функція

- Непарна (тобто

при всіх $X \ in \ mathcal {D} (f)$ ).

Графік степеневої функції при ${\ Alpha} = 1,2,3,4$
б) Якщо ${\ Alpha} \ in \ mathbb {Z}$ , ${\ Alpha} \ leqslant 0$ , То $\ Mathcal {D} (f) = \ mathbb {R} \ diagdown \ {0 \}$ . Ситуація з парністю і непарного при цьому така ж, як і для ${\ Alpha}> 0$ : Якщо ${\ Alpha}$ - Парне число, то і $F (x) = \ dfrac {1} {x ^ {- {\ alpha}}}$ - Парна функція; якщо ${\ Alpha}$ - Непарне число, то і

- Непарна функція.

Графік степеневої функції при ${\ Alpha} = 0, -1, -2, -3$
Знову зауважимо, що

при всіх ${\ Alpha}$ . Якщо ${\ Alpha} = 0$ , То ${F (x) = x ^ 0 = 1}$ при всіх

, Крім

(Вираз

не має сенсу).
в). Якщо ${\ Alpha}$ - Не ціле число, то, за визначенням, при ${\ Alpha}> 0$ : $\ Mathcal {D} (f) = \ {x \ in \ mathbb {R}: x \ geqslant 0 \}$ ; Тоді

Графік степеневої функції при ${\ Alpha}> 0$
При ${\ Alpha} <0$ , За визначенням, $\ Mathcal {D} (f) = \ {x \ in \ mathbb {R}: x> 0 \}$ ; Тоді

Графік степеневої функції при ${\ Alpha} <0$
1. Область визначення статечної функції - множина всіх позитивних чисел.
2. Область значення статечної функції - множина всіх позитивних чисел.
3. Степенева функція неперіодичних, не є парною і не є непарною.
4. Степенева функція неперервна у всій області визначення.
5. Степенева функція диференційовна у всій області визначення, і її похідна обчислюється за формулою
(X ^a) ¢ = ^a. X ^{a -1.}
Степенева функція x ^a монотонно зростає у всій області визначення при a <0.
6.

y = x ^{5 / 2}

y = x ^{1 / 2}

0 1 x 0 1 x
7. При a <0 і a> 1 графік статечної функції спрямований увігнутістю вгору, а при 0 <a <1 - увігнутістю вниз.

Показова функція (експонента).
Це функція виду

(

, $A \ ne1$ ). Для неї $\ Mathcal {D} (f) = \ mathbb {R}$ ,

, І при

графік має такий вигляд:

. Графік показовою функції при

При

вигляд графіка такий:

Ріс.1.20.Графік показовою функції при

1. Число

називається підставою показовою функції. Область визначення функції - вся числова пряма.
2. Область значення функції - множина всіх позитивних чисел.
3. Функція неперервна і диференційовна у всій області визначення. Похідна показовою функції обчислюється за формулою
(A ^x) ¢ = a ^x ln a
4. При а> 1 функція монотонно зростає, при а <1 монотонно убуває.
5. Показова функція має обернену функцію, звану логарифмічною функцією.
6. Графік будь показовою функції перетинає вісь 0y в точці y = 1.
7. Графік показовою функції - крива, спрямована увігнутістю вгору.
Логарифмічна я функція.
Це функція виду $F (x) = \ log_ax$ (

, $A \ ne1$ ). Для неї $\ Mathcal {D} (f) = \ {x \ in \ mathbb {R}: x> 0 \}$ ,

, І при

графік має такий вигляд:

Графік логарифмічної функції при

При

графік виходить такий:

Графік логарифмічної функції при

1. Число

називається підставою логарифма. Звернемо увагу читача на те, що з точністю до поворотів і симетричних відображень на останніх чотирьох кресленнях зображена одна і та ж лінія. Область визначення логарифмічної функції - проміжок (0; + ¥).
2. Область значення логарифмічної функції - вся числова прчмая.
3. Логарифмічна функція неперервна і диференційовна у всій області визначення. Похідна логарифмічної функції обчислюється за формулою
(Log _a x) ¢ = 1 / (x ln a).
4. Логарифмічна функція монотонно зростає, якщо а> 1. При 0 <a <1 логарифмічна функція з основою а монотонно убуває.
5. При будь-якій підставі a> 0, a ¹ 1, мають місце рівності
log _a 1 = 0, log _a a = 1.
6. При а> 1 графік логарифмічної функції - крива, спрямована увігнутістю вниз, при 0 <a <1 - крива, спрямована увігнутістю вгору.

тригонометричні функції
Функції sin a, cos a, tg a, ctg a називаються тригонометричними функціями кута a. Крім основних тригонометричних функцій sin a, cos a, tg a, ctg a.
Функція синус
.
$F (x) = \ sin x$ . Для неї $\ Mathcal {D} (f) = \ mathbb {R}$ ; Функція періодична з періодом $2 \ pi$ і непарних. Її графік такий:

Графік функції $\ Sin x$

Синусом числа х називається число, рівне синусу кута в радіанах.
1. Область визначення - множина всіх дійсних чисел.
2. Область значення - проміжок [-1; 1].
3. Функція sin х - непарна: sin (-х) =- sin х.
4. Функція sin х - періодична. Найменший позитивний період дорівнює 2p:
sin (х +2 p) = sin х.
5. Нулі функції: sin x = 0 при x = p n, n Î Z.

6. Проміжки знакопостоянства:
sin х> 0 при x Î (2p n; p +2 p n), n Î Z,
sin х <0 при x Î (p +2 p n; 2p +2 p n), n Î Z.
7. Функція sin х неперервна і має похідну при будь-якому значенні аргументу:
(Sin х) ¢ = cos x.
8. Функція sin х зростає при xÎ ((-p / 2) +2 p n; (p / 2) +2 p n), n Î Z,
і убуває при xÎ ((p / 2) +2 p n; ((3p) / 2) + 2p n), n Î Z.
9. Функція sin х має мінімальні значення, рівні -1, при х = (-p / 2) +2 p n, n Î Z, і максимальні значення, що дорівнюють 1, при х = (p / 2) +2 p n, n Î Z .

Функція косинус.
$F (x) = \ cos x$ . Ця функція пов'язана з синусом формулою приведення: $\ Cos x = \ sin (x + \ frac {\ pi} {2})$ ; $\ Mathcal {D} (f) = \ mathbb {R}$ ; Період функції $\ Cos$ дорівнює $2 \ pi$ ; Функція $\ Cos$ парні. Її графік такий:

1.Графік функції $\ Cos x$ Область визначення - множина всіх дійсних чисел.
2.Область значення - проміжок [-1; 1].
3.Функції cos х - парна: cos (-х) = cos х.
4.Функції cos х - періодична. Найменший позитивний період дорівнює 2p:
cos (х +2 p) = cos х.
5.Нулі функції: cos х = 0 при x = (p / 2) +2 p n, n Î Z.
6.Промежуткі знакопостоянства:
cos х> 0 при x Î ((-p / 2) +2 p n; (p / 2) +2 p n)), n Î Z,
cos х <0 при x Î ((p / 2) +2 p n); ((3p) / 2) + 2p n)), n Î Z.
7.Функції cos х неперервна і диференційовна при будь-якому значенні аргументу:
(Cos х) ¢ =- sin x.
8.Функція cos х зростає при xÎ (-p +2 p n; 2p n), n Î Z,
і убуває при xÎ (2p n; p + 2p n), n Î Z.
Функція cos х має мінімальні значення, рівні -1, при х = p +2 p n, n Î Z, і максимальні
Функція тангенс.
$F (x) = \ mathop {\ rm tg} \ nolimits x$ (В англомовній літературі позначається також $\ Tan x$ ). За визначенням, $\ Mathop {\ rm tg} \ nolimits x = \ dfrac {\ sin x} {\ cos x}$ . Функція $\ Mathop {\ rm tg} \ nolimits$ непарних і періодична з періодом $\ Pi$ ;
$\ Displaystyle \ mathcal {D} (f) = \ bigcup_ {k \ in \ mathbb {Z}} (- \ frac {\ pi} {2} + k \ pi; \ frac {\ pi} {2} + k \ pi),$
тобто

не може приймати значень $X = \ frac {\ pi} {2} + k \ pi$ , $K \ in \ mathbb {Z}$ , При яких $\ Cos x$ (Що стоїть у знаменнику) звертається в нуль.

1.Графік функції $\ Mathop {\ rm tg} \ nolimits x$ Область визначення функції - множина всіх дійсних чисел, крім числа х = p / 2 + p n, n Î Z.
2.Область значення - безліч всіх дійсних чисел.
3.Функції tg х - непарна: tg (-х) =- tg х.
4.Функції tg х - періодична. Найменший позитивний період функції дорівнює p:
tg (x + p) = tg х.
5.Нулі функції: tg x = 0 при x = p n, n Î Z.
6.Промежуткі знакопостоянства:
tg х> 0 при x Î (p n; (p / 2) + p n), n Î Z,
tg х <0 при x Î ((-p / 2) + p n; p n), n Î Z.
7.Функції tg х неперервна і диференційовна при будь-якому значенні аргументу з області визначення:
(Tg х) ¢ = 1/cos ² x.
8.Функція tg х зростає в кожному із проміжків ((-p / 2) + p n; (p / 2) + p n), n Î Z,
Функція котангенс.
$F (x) = \ mathop {\ rm ctg} \ nolimits x$ (В англомовній літературі також $\ Cot x$ ). За визначенням, $\ Mathop {\ rm ctg} \ nolimits x = \ dfrac {\ cos x} {\ sin x}$ . Якщо $X \ ne \ dfrac {k \ pi} {2}$ ( $K \ in \ mathbb {Z}$ ), То $\ Mathop {\ rm ctg} \ nolimits x = \ dfrac {1} {\ mathop {\ rm tg} \ nolimits x}$ . Функція $\ Mathop {\ rm ctg} \ nolimits$ непарних і періодична з періодом $\ Pi$ ;
$\ Displaystyle \ mathcal {D} (f) = \ bigcup_ {k \ in \ mathbb {Z}} (k \ pi; (k +1) \ pi),$
тобто

не може приймати значення виду $X = k \ pi$ , $K \ in \ mathbb {Z}$ , При яких $\ Sin x$ звертається до 0.

1.Графік функції $\ Mathop {\ rm ctg} \ nolimits x$ Область визначення функції - множина всіх дійсних чисел, чисел виду х = p n, n Î Z.
2.Область значення - безліч всіх дійсних чисел.
3.Функції сtg х - непарна: сtg (-х) =- сtg х.
4.Функції сtg х - періодична. Найменший позитивний період функції дорівнює p:
сtg (х + p) = ctg х.
5.Нулі функції: ctg х = 0 при x = (p / 2) + p n, n Î Z.
6.Промежуткі знакопостоянства:
ctg х> 0 при x Î (p n; (p / 2) + p n), n Î Z,
ctg х <0 при x Î ((p / 2) + p n; p (n +1)), n Î Z.
7.Функції ctg х неперервна і диференційовна при будь-якому значенні аргументу з області визначення:
(Ctg х) ¢ =- (1/sin ² x).
8.Функція ctg х убуває в кожному з проміжків (p n; p (n +1)), n Î Z.
Зворотні тригонометричні функції.
Це функції арксинус, арккосинус, арктангенс і арккотангенс. Вони визначаються як функції, зворотні до головних гілок синуса, косинуса, тангенса і котангенс відповідно.
Arcsin x:
1. Область визначення - [-1; 1].
2. Область значень - [-П \ 2; п \ 2].
3. Монотонно зростаюча функція. (Рис. 12)

Графіки головною гілки $\ Sin$ і $\ Arcsin$
Arctg x:
1. Область визначень - R.
2. Область значень - інтервал (-П \ 2, П \ 2).
3. Монотонно зростаюча функція.
4. прямі у =- П \ 2 і у = П \ 2 - горизонтальні асимптоти. (рис. 13)

Графіки головною гілки $\ Mathop {\ rm tg} \ nolimits$ і $\ Mathop {\ rm arctg} \ nolimits$

Список використаної літератури
1. Ш. А. Алімов «Алгебра», М., 1981 р .
2. А. Н. Колмогоров «Алгебра і початки аналізу», М., 1991 р .