Програми певного інтеграла до рішення деяких завдань механіки і фізики

Програми певного інтеграла до рішення деяких завдань механіки і фізики
1. Моменти та центри мас плоских кривих. Якщо дуга кривої задана рівнянням y = f (x), a ≤ x ≤ b, і має щільність ¹⁾ = (X), то статичні моменти цієї дуги M _x і M _y щодо координатних осей Ox і O y рівні

моменти інерції I _Х і I _у відносно тих же осей Ох і Оу обчислюються за формулами

а координати центру мас і - За формулами

де l - маса дуги, тобто

Приклад 1. Знайти статичні моменти і моменти інерції відносно осей Ох
і Оу дуги ланцюгової лінії y = chx при 0 ≤ x ≤ 1.
¹⁾ Усюди в задачах, де щільність не вказана, передбачається, що крива однорідна і = 1.
◄ Маємо: Отже,
►
Приклад 2. Знайти координати центру мас дуги кола x = acost, y = asint, розташованої в першій чверті.
◄ Маємо:
Звідси отримуємо:
►
У додатках часто виявляється корисною наступна
Теорема гульдена. Площа поверхні, утвореної обертанням дуги плоскої кривої навколо осі, що лежить в площині дуги і її не перетинає, дорівнює добутку довжини дуги на довжину кола, що описується її центром мас.
  Приклад 3. Знайти координати центру мас півкола
◄ Внаслідок симетрії . При обертанні півкола навколо осі Ох виходить сфера, площа поверхні якої дорівнює , А довжина півкола дорівнює па. По теоремі гульдена маємо
Звідси , Тобто центр мас C має координати C .
2. Фізичні задачі. Деякі застосування визначеного інтеграла при вирішенні фізичних завдань ілюструються нижче в прикладах 4-7.
Приклад 4. Швидкість прямолінійного руху тіла виражається формулою (М / с). Знайти шлях, пройдений тілом за 5 секунд від початку руху.
◄ Так як шлях, пройдений тілом зі швидкістю (T) за відрізок часу [t _1, t _2], виражається інтегралом

то маємо:
►
Приклад 5. Яку роботу необхідно витратити для того, щоб тіло маси m підняти з поверхні Землі, радіус якої R, на висоту / i? Чому дорівнює робота, якщо тіло віддаляється в нескінченність?
<4 | Робота змінної сили / (#), яке діє вздовж осі Ох на відрізку [а, Ь], виражається інтегралом