Представлення функції поруч Фур`є

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Федеральне агентство з освіти РФ.

Державна освітня установа вищої професійної освіти

Забайкальський державний гуманітарно-педагогічний університет ім. Н. Г. Чернишевського.

Фізико-математичний факультет кафедра фундаментальної і прикладної математики, теорії та методики навчання математики.

Курсова робота

«Ряди Фур'є»

Виконав: Студент 131 групи

Гаврутенко А.В.

Науковий керівник: професор кафедри фундаментальної і прикладної математики,

теорії та методики навчання математики

Менчер А.Е.

Чита 2009

Зміст

Введення

Визначення коефіцієнтів за методом Ейлера-Фур'є

Ортогональні системи функцій

Інтеграл Дирихле Принцип локалізації

Представлення функцій рядом Фур'є

Випадок неперіодичної функції

Випадок довільного проміжку

Випадок парних і непарних функцій

Приклади розкладання функцій в ряд Фур'є

Список використаної літератури

Введення

У науці і техніці часто доводиться мати справу з періодичними явищами, тобто такими, які відтворюються в колишньому вигляді через певний проміжок часу Т, який називається періодом. Наприклад, рух парової машини повторюється, після того як пройде повний цикл. Різні величини, пов'язані з періодичним явищем, після закінчення періоду Т повертаються до своїх колишніх значень і являють собою періодичні функції від часу t з періодом Т.

Якщо не вважати постійною, то найпростішої періодичної функцією є синусоїдальна величина: , Де є частота, пов'язана з періодом Т співвідношенням:

.

З подібних найпростіших періодичних функцій можуть бути складені і більш складні. Ясно, що складові синусоїдальні величини повинні бути різних частот, інакше їх складання не дає нічого нового, а знову призводить до синусоїдальної величині, причому тієї ж частоти. Якщо ж скласти величини види:

(1)

які мають різні частоти

,

то вийде періодична функція, але вже істотно відрізняється від величин, що входять в суму.

Розглянемо для прикладу складання трьох синусоїдальних величин:

На малюнку ми бачимо, що графік функції отриманої в результаті складання трьох синусоїдальних величин (зображений суцільною лінією) вже значно відрізняється від синусоїди. Більшою мірою це має місце для суми нескінченного ряду величин виду (1).

Тепер виникає зворотний питання: чи можна дану періодичну функцію представити у вигляді суми кінцевого або нескінченного безлічі синусоїдальних величин виду (1).

Як буде показано нижче, на це питання можна відповісти задовільно, але тільки лише використовуючи нескінченну послідовність величин виду (1). Для функцій деякого класу має місце розкладання в «тригонометричний ряд»:

(2)

З геометричної точки зору це означає, що графік періодичної функції виходить шляхом накладення ряду синусоїд. Якщо ж кожну синусоїдальну величину витлумачити механічно як представляє гармонійні коливальні явища, то можна сказати, що тут складне коливання розкладається на окремі гармонійні коливання. Виходячи з цього, окремі синусоїдальні величини, що входять до складу розкладання (2), називають гармонійними складовими функції або просто її першої, другої і т. д. гармоніками. Сам же процес розкладання періодичної функції на гармоніки носить назву гармонійного аналізу.

Якщо за незалежну змінну вибрати

,

то вийти функція, що залежить від х, так само періодична, але вже зі стандартним періодом Розкладання (2) в цьому випадки прийме вигляд:

(3)

Тепер розгорнувши члени цього ряду за формулою синуса суми і позначивши

ми прийдемо до остаточної формі тригонометричного розкладання:

(4)

В даному розкладанні функція від кута х, що має період розкладена по косинусів і синусів кутів, кратних х.

Ми прийшли до розкладання функції в тригонометричний ряд, відправляючись від періодичних, коливальних явищ і пов'язаних з ними величин. Подібні розкладання часто виявляються корисними і при дослідженні функцій, заданих в певному кінцевому проміжку і зовсім не породжених ніякими коливальними явищами.

Визначення коефіцієнтів за методом Ейлера-Фур'є.

У попередньому параграфі було сказано, що існує ряд функцій, які можна представити у вигляді нескінченного тригонометричного ряду. Для того, щоб встановити можливість розкладання деякої функції , Що має період в тригонометричний ряд види:

(4)

потрібно мати набір коефіцієнтів

Прийом для знаходження цих коефіцієнтів у другій половині XVIII століття був застосований Ейлером і незалежно від нього на початку XIX століття-Фур'є.

Надалі будемо припускати функцію безперервною або кусочнонепреривной в проміжку .

Припустимо, що розкладання (4) має місце. Проинтегрируем його почленно від до ; В результаті отримаємо:

Але, як легко бачити,

(5)

Тому всі члени під знаком суми будуть дорівнювати нулю, і остаточно отримуємо

(6)

Для того щоб знайти значення коефіцієнта , Помножимо обидві частини рівності (4) на і знову проинтегрируем почленно в тому ж проміжку:

З причини (5) .

якщо , І, нарешті,

(9)

Таким чином, звертаються в нуль всі інтеграли під знаком суми, крім інтеграла, при якому множником стоїть саме коефіцієнт . Звідси отримуємо:

Аналогічно, множачи розкладання (4) на і потім, інтегруючи почленно, визначимо коефіцієнт при синусі:

Формули, за якими обчислюються коефіцієнти , Називаються формулами Ейлера-Фур'є, а самі коефіцієнти називаються коефіцієнтами Фур'є для даної функції. І, нарешті, тригонометричний ряд (4), складений за цим коефіцієнтам, отримав назву ряд Фур'є для даної функції.

Дамо тепер звіт в тому, яка логічна цінність проведених міркувань. Ми виходили з того, що тригонометричний ряд (4) має місце, тому питання про те, чи відповідає це дійсності, залишається відкритим. Ми користувалися повторно почленного інтеграції ряду, а ця операція не завжди можна, достатньою умовою для застосування операції є рівномірна збіжність ряду. Тому строго встановленим умовою можна вважати лише наступне:

якщо функція f (x) розкладається в рівномірно сходиться тригонометричний ряд (4), то цей ряд буде її поруч Фур'є.

Якщо ж не припускати наперед рівномірності збіжності, то всі наведені вище міркування не доводять навіть того, що функція може розкладатися тільки в ряд Фур'є. Ці міркування можна розглядати лише як наведення, достатня для того, щоб у пошуках тригонометричного розкладання даної функції почати її з ряду Фур'є, зобов'язуючись встановити умови, за яких він сходиться до того ж саме до цієї функції.

Поки цього не зроблено, ми маємо право лише формально розглядати ряд Фур'є даної функції, але не можемо про нього нічого стверджувати, крім того, що він «породжений» функцією f (x). Цей зв'язок зазвичай позначають так:

уникаючи знака рівності.

Ортогональні системи функцій

Дві функції і визначені на проміжку називаються ортогональними на цьому проміжку, якщо інтеграл від їх твори дорівнює нулю:

Розглянемо систему функцій , Визначених у проміжку [a, b] і безперервних або кусково-неперервних. Якщо всі функції даної системи попарно ортогональні, тобто

то її називають ортогональної системою функцій. При цьому завжди будемо вважати, що

Якщо , То система називається нормальною. Якщо ж ця умова не виконується, то можна перейти до системи , Яка вже свідомо буде нормальною.

Найважливішим прикладом ортогональної системи функцій як раз і є тригонометрическая система

(10)

в проміжку , Яку ми розглядали раніше. Її ортогональность випливає з співвідношень (5), (7), (8). Однак вона не буде нормальної зважаючи (9). Примножуючи тригонометричні функції (10) на належні множники, легко отримати нормальну систему:

(10 *)

Нехай у проміжку дана якась ортогональна система функцій . Задамося метою розкласти визначену в функцію в «ряд по функціях »Виду:

(11)

Для визначення коефіцієнтів даного розкладання поступимо так само, як ми це зробили в попередньому параграфі, а саме помножимо обидві частини рівності на і проинтегрируем його почленно:

В силу ортогональності системи, всі інтеграли справа, крім одного, дорівнюватимуть нулю, і легко виходить:

(M = 0, 1, 2, ...) (12)

Ряд (11) з коефіцієнтами, складеними за формулами (12), називається узагальненим рядом Фур'є даної функції, а самі коефіцієнти-її узагальненими коефіцієнтами Фур'є щодо системи . У випадки нормальної системи функцій коефіцієнти будуть визначатися наступним чином:

У даному випадки всі зауваження зроблені в попередньому параграфі необхідно повторити. Узагальнений ряд Фур'є, побудований для функції , Пов'язаний з нею лише формально і в загальному випадку цей зв'язок позначають таким чином:

Збіжність цього ряду, як і у випадку тригонометричного ряду, підлягає ще дослідженню.

Інтеграл Дирихле Принцип локалізації

Нехай буде безперервна або кусочно-безперервна функція з періодом . Обчислимо постійні (її коефіцієнти Фур'є):

і по них складемо ряд Фур'є нашої функції

Як бачимо, тут коефіцієнт ми визначили за загальною формулою для при , Але зате вільний член ряду запишемо у вигляді .

Якщо функція F (x) кусково-неперервна в будь-якому кінцевому проміжку і до того ж має період , То величина інтеграла

по колишньому проміжку довжини не залежить від .

Дійсно, маємо

Якщо в останньому інтеграла зробити підстановку , То він приведе до інтегралу

і лише знаком буде відрізнятися від першого інтеграла. Таким чином, розглянутий інтеграл виявляється рівним інтегралу

вже не містить .

Для того щоб дослідити поведінку ряду в якій-небудь певній точці , Складемо зручне вираз для його часткової суми

Підставимо замість і їх інтегральні вирази і підведемо постійні числа під знак інтеграла:

Легко перевірити тотожність

Скористаємося цим тотожністю для перетворення подинтегрального вирази, остаточно отримаємо

(13)

Цей інтеграл називають інтегралом Дирихле, хоча у Фур'є він зустрічається набагато раніше.

Так як ми маємо справу з функцією від u періоду , То проміжок інтегрування по зробленому вище зауваженням можна замінити, наприклад, проміжком

Підстановкою перетворимо цей інтеграл до вигляду

Потім, розбиваючи інтеграл на два: і приводячи другий інтеграл шляхом заміни знака змінної теж до проміжку , Прийдемо до такого остаточного виразу для часткової суми ряду Фур'є:

(14)

Таким чином, справа зводиться до дослідження поведінки саме цього інтеграла, що містить параметр n.

Для подальшого викладу матеріалу нам потрібно одна лема, що належить Ріманом, яку ми залишимо без докази.

Якщо функція безупинна або кусочно-неперервна в деякому кінцевому проміжку , То

і, аналогічно,

Якщо згадати формули, які виражають коефіцієнти Фур'є , То в якості першого безпосереднього слідства з леми виходить твердження:

Коефіцієнти Фур'є кусочно-неперервної функції при прагнуть до нуля.

Другим безпосереднім наслідком є так званий «принцип локалізації».

Взявши довільне позитивне число , Розіб'ємо інтеграл в (14) на два: . Якщо другий з них переписати у вигляді

то стане ясно, що множник при синусі

є кусково-неперервної функцією від t в проміжку . У цьому випадку по лемі цей інтеграл при прагне до нуля, так що й саме існування межі для часткової суми ряду Фур'є і величина цієї межі цілком визначається поведінкою одного лише інтеграла

Але в цей інтеграл входять лише значення функції f (x), що відповідають зміні аргументу в проміжку від до . Цим міркуванням доводиться «принцип локалізації», що складається в наступному:

Поведінка ряду Фур'є функції f (x) в деякій точці залежить виключно від значень, прийнятих цією функцією в безпосередній близькості розглянутої точки, тобто в скільки завгодно малої її околиці.

Таким чином, якщо взяти дві функції, значення яких в довільно малій околиці співпадають, то як би вони не розходилися поза цією околиці, що відповідають цим функціям ряди Фур'є поводяться в точці однаково: або обидва сходяться, і притому до однієї і тієї ж суми, або обидва розходяться.

Представлення функцій рядом Фур'є

Накладемо на функцію f (x) тяжче вимогу, а саме-припустимо її кусочно-дифференцируемой в проміжку .

Тоді має місце загальна теорема:

Теорема. Якщо функція f (x) з періодом кусочно-дифференцируема в проміжку , То її ряд Фур'є в кожній точці сходиться і має суму

Ця сума, очевидно, дорівнює , Якщо в точці функція неперервна.

Доказ. Зазначимо, що рівність (14) має місце для кожної функції f (x), що задовольняє поставленим умовам. Якщо, зокрема, взяти , То , І з (14) отримаємо, що

Множачи обидві частини рівності на постійне число і віднімаючи результат з (14), знайдемо

для нашої мети потрібно довести, що інтеграл справа при прагне до нуля.

Уявімо його у вигляді

(15)

де належить

(16)

якби нам вдалося встановити що ця функція кусочно-неперервна, то з леми попереднього параграфа слід було б уже, що інтеграл (15) має межу нулю при . Але в проміжку функція g (x) взагалі безупинна, за винятком хіба лише кінцевого числа точок, де вона може мати скачки-бо така функція f (x). Залишається відкритим лише питання про поведінку функції g (x) при .

Ми доведемо існування кінцевого межі

;

поклавши тоді g (0) = K, ми в точці t = 0 отримаємо безперервність, і застосування леми виявиться виправданим. Але другий множник в правій частині рівності (16) явно має межею одиницю; звернемося до вираження квадратних дужках.

Нехай, для простати, спочатку точка лежить всередині проміжку, де функція f (x) дифференцируема. Тоді , І кожне з співвідношень

(17)

прагне до межі , А - До нуля. Якщо ж є «точка стику», то при цьому вона може виявитися як точкою неперервності, так і точкою розриву. У першому випадку ми знову зіткнемося з відношенням (17), але вони будуть прагнути цього разу до різних меж, відповідно-до похідної справа і до похідної зліва. До аналогічного результату прийдемо і в разі розриву, але тут заміниться значеннями тих функцій, від склеювання яких вийшла дана, а межами відносин (17) будуть односторонні похідні згаданих функцій при .

Отже, наш висновок справедливо у всіх випадках.

Випадок неперіодичної функції

Вся побудована вище теорія виходила з припущення, що задана функція визначена для всіх дійсних значень x і притому має період . Тим часом найчастіше доводиться мати справу з неперіодичної функцією f (x), іноді навіть заданої тільки в проміжку .

Що б мати право застосувати до такої функції викладену теорію, введемо замість неї допоміжну функцію певну наступним чином. У проміжку ми ототожнюємо з f (x):

(18)

потім думаємо

а на решту речові значення x поширюємо функцію за законом періодичності.

До побудованої таким чином функції з періодом можна вже застосувати доведену теорему розкладання. Однак, якщо мова йде про точку , Строго лежить між і , То, зважаючи (18), нам довелося б мати справу з заданою функцією . З тієї ж причини і коефіцієнти розкладання можна обчислити за формулами обчислення коефіцієнтів не переходячи до допоміжної функції. Коротше кажучи, все доведене вище безпосередньо переноситься на задану функцію , Минаючи допоміжну функцію .

Особливої ​​уваги, однак, вимагають кінці проміжку . При застосуванні до функції теореми попереднього параграфа, скажімо, в точці , Нам довелося б мати справу як із значеннями допоміжної функції праворуч від , Де вони збігаються вже зі значеннями праворуч від ю Тому для як значення належало б взяти

.

Таким чином, якщо задана функція навіть безупинна при , Але не має періоду , Так що , То-при дотриманні вимог кусочной діфференцируємості-сумою ряду Фур'є буде число

відмінне як від , Так і від . Для такої функції розкладання має місце лише у відкритому проміжку .

Наступне зауваження так само заслуговує на особливу увагу. Якщо тригонометричний ряд

сходиться в проміжку до функції , То з огляду на те, що його члени мають період , Він сходиться всюди, і сума його теж виявляється періодичною функцією з періодом . Але ця сума поза вказаного проміжку взагалі вже не збігається з функцією .

Випадок довільного проміжку

Припустимо, що функція задана в проміжку довільної довжини та кусково-диференційована в ньому. Якщо вдатися до підстановці

,

то вийде функція від в проміжку , Теж кусочно-дифференцируемая, до якої вже докладемо розгляду попереднього параграфа. Як ми бачили, за винятком точок розриву і кінців проміжку, можна розкласти її в ряд Фур'є:

коефіцієнти якого визначаються формулами Ейлера-Фур'є:

повернемося тепер до колишньої змінної , Вважаючи

.

Тоді отримаємо розкладання заданої функції в тригонометричний ряд кілька зміненого вигляду:

(19)

Тут косинуси і синуси беруться від кутів, кратних НЕ , А . Можна було б і формули для визначення коефіцієнтів розкладання перетворити тієї ж підстановкою до виду

(20)

Щодо решт проміжку зберігають силу зауваження, зроблені в попередньому параграфі щодо точок Звичайно, проміжок може бути замінений будь-яким іншим проміжком довжини зокрема, проміжком . В останньому випадку формули (20) повинні бути замінені формулами

(20 a)

Випадок парних і непарних функцій

Якщо задана в проміжку функція буде непарній, то очевидно

У цьому легко переконатися:

.

Таким же шляхом встановлюється, що у випадку парної функції :

.

Нехай тепер буде кусочно-дифференцируемая в проміжку парна функція. Тоді твір виявиться непарною функцією, і за сказаним

Таким чином, ряд Фур'є четной функції містить одні лише косинуси:

(21)

Так як в цьому випадку буде теж парною функцією, то, застосувавши сюди друге з зроблених вище зауважень, можемо коефіцієнти розкладання написати у вигляді

(22)

Якщо ж функція буде непарній, то непарної буде і функція , Так що

Ми приходимо до висновку, що ряд Фур'є непарної функції містить одні лише синуси:

(23)

При цьому на увазі парності твори можна писати:

(24)

Відзначимо, що кожна функція , Задана в проміжку , Може бути представлена ​​у вигляді суми парної і непарної складових функцій:

,

Де

Очевидно, що ряд Фур'є функції якраз і складеться з розкладання по косинуса функції і розкладання по синусах функції .

Припустимо, далі, що функція задана лише в проміжку . Бажаючи розкласти її в цьому проміжку в ряд Фур'є ми доповнимо визначення нашої функції для значень x в проміжку в сваволі, але зі збереженням кусочной діфференцируємості, а потім застосуємо сказане в пункті «Випадок неперіодичної функції».

Можна використовувати свавілля у визначенні функції у проміжку так, що б отримати для розкладання тільки лише по косинуса або тільки по синусах. Справді, уявімо семе, що для ми вважаємо , Так що в результаті виходить парна функція в проміжку . Її розкладання, як ми бачили, міститиме одні лише косинуси. Коефіцієнти розкладання можна обчислювати за формулами (22), куди входять лише значення спочатку заданої функції .

Аналогічно, якщо доповнити визначення функції за законом непарності, то вона стане непарної і в її розкладанні будуть одні лише синуси. Коефіцієнти її розкладання визначаються за формулами (24).

Таким чином, задану в проміжку функцію при дотриманні умов виявляється можливим розкладати як по косинуса, так і за одним лише синусам.

Особливої ​​дослідження вимагають точки і . Тут обидва розкладання ведуть себе по-різному. Припустимо, для простоти, що задана функція безупинна при і , І розглянемо спочатку розкладання по косинуса. Умова , Перш за все, зберігає безперервність при , Так що ряд (21) при буде сходитися саме до . Так як, далі,

то і при має помста аналогічне обставина.

Інакше йде справа з розкладом по синусах. У точках і сума ряду (23) явно буде нулем. Тому вона може дати нам значення і , Очевидно, лише в тому випадку, якщо ці значення рівні нулю.

Якщо функція задана в проміжку то, вдавшись до тієї ж заміні змінної, що і в попередньому параграфі, ми зведемо питання про розкладання її в ряд по косінуса

або в ряд по синусах

до щойно розглянутого. При цьому коефіцієнти розкладань обчислюються, відповідно, за формулами

або

.

Приклади розкладання функцій в ряд Фур'є

Функції, які нижче наводяться як приклади, як правило, відносяться до класу диференційовних або кусочно-диференційовних. Тому сама можливість їх розкладу в ряд Фур'є-поза сумнівом, і на цьому ми зупинятися не будемо.

Всі завдання взяті з Збірника завдань і вправ з математичного аналізу, Б. Н. Демидович.

2636. Функцію розкласти в ряд Фур'є.

Так як функція є непарною, то, отже, буде парному. Тому її розкладання в ряд Фур'є містить одні лише косинуси.

Знайдемо коефіцієнти розкладу;

2938. Розкласти в ряд Фур'є функцію . Відобразити цієї функції і графіки кількох приватних сум ряду Фур'є цієї функції.

Функція непарна, тому її розкладання буде містити одні лише синуси.

Тобто, виходить, що при парних значеннях n коефіцієнт , А отже і всі доданок, звертається в нуль. Тому підсумовування йде тільки по парних значень n.

Ряд Фур'є для цієї функції прийме наступний вигляд:

.

Нижче зображені графіки функцій та кількох приватних сум ряду Фур'є:

Графік функції , , і

2940. в інтервалі .

Функція непарна.

2941. в інтервалі .

У підсумку отримуємо ряд Фур'є:

2941. в інтервалі .

Функція парна.

Як і в № 2938, у нас при парних значеннях n коефіцієнт звертається в нуль. Тому підсумовувати будемо лише по непарних значень.

В результаті отримаємо:

2950. в інтервалі .

Функція парна.

Тому що при n = 1 знаменник звертається в нуль, то підсумовування необхідно провести починаючи в двійки.

2951. в інтервалі .

Функція непарна.

2961. Функцію розкласти а) в інтервалі по косинуса кратних дуг, б) в інтервалі по синусах кратних дуг; в) в інтервалі . Зобразити графік функції і сум рядів Фур'є для кожного окремого випадку. Використовуючи розкладання, знайти суми рядів: ; і .

а)

І, нарешті отримуємо розкладання в ряд Фур'є:

б)

в)

2962 Виходячи з розкладання

,

почленно інтегруванням отримати розкладання в ряд Фур'є на інтервалі функцій

Проинтегрируем рівність почленно, одержимо

І остаточно отримуємо:

Проинтегрируем отримане рівність повторно

або звідси отримуємо

.

Список використаної літератури

  1. І.М. Уваренко, М.З. Маллер "Курс математичного аналізу", М., "Освіта", 1976 р.

  2. Г.М. Фіхтенгольц "Курс диференціального й інтегрального числення", том III, видання 8, М., "Физматлит", 2005р.

  3. В.Є. Шнейдер, А.І. Слуцький, А.С. Шумов "Короткий курс вищої математики", том2, М., "Вища школа", 1978р.

  4. Н.Я. Віленкін, В.В. Цукерман, М.А. Доброхотова, А.Н. Сафонов "Ряди", М. "Просвіта", 1982р.

  5. Б.П. Демидович "Збірник завдань і вправ з математичного аналізу" видання 9, М. "Наука", 1977р.

Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Курсова
120.6кб. | скачати


Схожі роботи:
Що приховано за нотним поруч
Твори на вільну тему - Дивне поруч
Дискретне перетворення Фур`є
Фур`є Fourier Жан Батист Жозеф
Застосування узагальненого методу Фур`є в задачі полого хвилеводу трикутного перерізу
Диференціальне числення функції Область визначення Елементарні функції Означення функції
Представлення як психологічне явище
Представлення і уяву в психології
Представлення та кодування інформації
© Усі права захищені
написати до нас