Наближене рішення алгебраїчних і трансцендентних рівнянь 1. Загальна постановка задачі. Знайти дійсні корені рівняння
, Де
- Алгебраїчна або трансцендентна
функція.
Точні методи рішення рівнянь підходять тільки до вузького класу рівнянь (квадратні, біквадратні, деякі тригонометричні, показникові, логарифмічні).
У загальному випадку рішення даного рівняння знаходиться приблизно в такій послідовності:
1) відділення (локалізація) кореня;
2) наближене обчислення кореня до заданої точності.
2. Відділення кореня. Відділення дійсного кореня рівняння
- Це знаходження відрізка
, В якому лежить тільки один корінь даного рівняння.
Такий відрізок називається відрізком ізоляції (локалізації) кореня.
Найбільш зручним і наочним є графічний метод відділення коренів:
1) будується графік
функції 
, І визначаються абсциси точок перетину цього графіка з віссю
, Які і є корінням рівняння
;
2) якщо
- Складна
функція, то її треба представити у вигляді
так, щоб легко будувалися графіки функцій
і
. Так як
, То
. Тоді абсциси точок перетину цих графіків і будуть корінням рівняння
.
Приклад. Графічно відокремити корінь рівняння
.
Рішення. Уявімо ліву частину рівняння у вигляді
. Отримаємо: Побудуємо графіки функцій
і
.
Абсциса точки перетину графіків знаходиться на відрізку
, Значить корінь рівняння
.
3. Уточнення кореня. Якщо шуканий корінь рівняння
відокремлений, тобто визначений відрізок
, На якому існує тільки один дійсний корінь рівняння, то далі необхідно знайти наближене значення кореня із заданою точністю.
Така задача називається задачею уточнення кореня.
Уточнення кореня можна робити різними методами:
1) метод половинного ділення (бисекции);
2) метод ітерацій;
3)
метод хорд (січних);
4) метод дотичних (Ньютона);
5) комбіновані методи.
4. Метод половинного ділення (бисекции). Відрізок ізоляції кореня можна зменшити шляхом поділу його навпіл.
Такий метод можна застосовувати, якщо функція
неперервна на відрізку
і на його кінцях приймає значення різних знаків, тобто виконується умова
(1).
Розділимо відрізок
навпіл точкою
, Яка буде наближеним значенням кореня
.
Для зменшення похибки наближення кореня уточнюють відрізок ізоляції кореня. У цьому випадку продовжують ділити відрізки, що містять корінь, навпіл.
З відрізків
і
вибирають той, для якого виконується нерівність (1).
У нашому випадку це відрізок
, Де
.
Далі повторюємо операцію ділення відрізка навпіл, тобто знаходимо
і так далі до тих пір, поки не буде досягнута задана точність
. Тобто до тих пір, поки не перестануть змінюватися зберігаються у відповіді десяткові знаки або до виконання
нерівності 
.
Гідність методу: простота (достатньо виконання нерівності (1)).
Недолік методу: повільна збіжність результату до заданої точності.
Приклад. Розв'язати рівняння
методом половинного ділення з точністю до 0,001.
Рішення. Відомий відрізок ізоляції кореня
і задана точність
. По рівнянню складемо функцію
.
Знайдемо значення функції на кінцях відрізка:
, 
. Перевіримо виконання нерівності (1):
- Умова виконується, значить можна застосувати метод половинного ділення.
Знайдемо середину відрізка
і обчислимо значення функції в отриманій точці:
,
.
Серед значень
і
виберемо два значення різних знаків, але близьких один до одного. Це
і
. Отже, з відрізків
і
вибираємо той, на кінцях якого значення функції різних знаків. У нашому випадку це відрізок
і знову знаходимо середину відрізка і обчислюємо значення функції в цій точці:
,
,
,
- Задана точність результату не досягнуто, продовжимо обчислення.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
- Задана точність результату досягнуто, значить,
знайшли наближене значення кореня
.
Відповідь: корінь рівняння
з точністю до 0,001.
Цей метод застосовується при вирішенні рівнянь виду
, Якщо корінь рівняння відокремлений, тобто
і виконуються умови:
1)
(Функція
приймає значення різних знаків на кінцях відрізка
);
2) похідна
зберігає
знак на відрізку
(Функція
або зростає, або зменшується на відрізку
).
Перше наближення кореня знаходиться за формулою:
.
Для наступного наближення з відрізків
і
вибирається той, на кінцях якого функція
має значення різних знаків.
Тоді друге наближення обчислюється за формулою:
, Якщо
або
, Якщо
.
Обчислення тривають до тих пір, поки не перестануть змінюватися ті десяткові знаки, які потрібно залишити у відповіді.
6. Метод дотичних (Ньютона).
Цей метод застосовується, якщо рівняння
має корінь
, І виконуються умови:
1)
(Функція приймає значення різних знаків на кінцях відрізка
);
2) похідні
і
зберігають знак на відрізку
(Тобто функція
або зростає, або зменшується на відрізку
, Зберігаючи при цьому напрям опуклості).
На відрізку
вибирається таке число
, При якому
має той же знак, що і
, Тобто виконується умова
. Таким чином, вибирається точка з абсцисою
, В якій дотична до кривої
на відрізку
перетинає вісь
. За точку
спочатку зручно вибирати один з кінців відрізка.
Перше наближення кореня визначається за формулою:
.
Друге наближення кореня визначається за формулою:
.
Обчислення ведуться до збігу десяткових знаків, які необхідні у відповіді, або при заданій точності
- До виконання нерівності
.
Переваги методу: простота, швидкість збіжності.
Недоліки методу: обчислення похідної та труднощі вибору початкового положення.
7. Комбінований метод хорд і дотичних.
Якщо виконуються умови:
1)
,
2)
і
зберігають знак на відрізку
,
то наближення кореня
рівняння
за методом хорд і за методом дотичних підходять до значення цього кореня з протилежних сторін. Тому для швидкості знаходження кореня зручно застосовувати обидва методи одночасно. Оскільки один метод дає значення кореня з нестачею, а інший - з надлишком, то досить легко отримати задану ступінь точності кореня.
Схема рішення рівняння методом хорд і дотичних
1. Обчислити значення функції
і
.
2. Перевірити виконання умови
. Якщо умова не виконується, то неправильно обраний відрізок
.
3. Знайти похідні
і
.
4. Перевірити сталість знака похідних на відрізку
. Якщо немає сталості знака, то невірно обраний відрізок
.
5. Для методу дотичних вибирається за
той з кінців відрізка
, В якому виконується умова
, Тобто
і
одного знака.
6. Наближення коренів знаходяться:
а) за методом дотичних:
,
б) за методом хорд:
.
7. Обчислюється перше наближення кореня:
.
8. Перевіряється виконання умови:
, Де
- Задана точність.
Якщо умова не виконується, то потрібно продовжити застосування методу за схемою 1-8.
У цьому випадку відрізок ізоляції кореня звужується і має вигляд
. Наближені значення кореня знаходяться за формулами:
і
.
Обчислення тривають до тих пір, поки не буде знайдено таке значення
, При якому
і
співпадуть з точністю
.
Приклад. Розв'язати рівняння методом хорд і дотичних з точністю 0,001, якщо відомо, що корінь рівняння .
Рішення. 1. Обчислимо значення функції
на кінцях відрізка:
,
.
2. Перевіримо виконання умови:
- Умова виконується.
3. Знайдемо похідні:
і
.
4. На відрізку
похідні
і
, Тобто зберігають знак, отже, умова виконується.
5. Виберемо значення
для методу дотичних. Оскільки
і
, То
.
6. Знайдемо наближення кореня:
а) за методом дотичних:
б) за методом хорд:
.
7. Знайдемо перше наближення кореня:
.
8. Перевіримо виконання умови:
- Умова не виконується, значить потрібно продовжити обчислення.
9. Відрізок ізоляції кореня має вигляд:
.
10. Продовжимо уточнення кореня за схемою. Для цього знайдемо значення функції на кінцях звуженого відрізка:
,
.
11. Перевіримо умову:
- Виконується, значить можна продовжити застосування методу.
12. Так як
і
на відрізку
, То для методу дотичних:
.
13. Обчислимо значення похідної:
.
14. Знайдемо нові значення кінців відрізка ізоляції:
,
.
15. Знайдемо другу наближення кореня:
.
16. Перевіримо виконання умови:
- Нерівність невірний, значить необхідно продовжити обчислення.
17. Відрізок ізоляції кореня має вигляд:
.
18. Обчислимо значення функції:
,
.
19. Умова
- Виконується.
20. Так як
і
на
, То для методу дотичних
.
21. Обчислимо похідну:
.
22. Обчислимо:
,
.
23. Знайдемо третє наближення кореня:
.
24. Перевіримо виконання нерівності:
- Умова виконується, значить, мети досягнуто.
25. Отже,
або
- Наближене значення кореня з точністю до 0,001.
Відповідь:
.
9. Завдання для розрахункових робіт. Розв'язати рівняння методами: а) бисекции,
б) хорд і дотичних.
