Завдання 17.
Визначте середню врожайність картоплі в регіоні за даними про:
а) посівної площі і валовий збір;
б) посівної площі і врожайності;
в) валовому зборі і врожайності.
Поясніть, як визначена форма середньої величини.
а) при визначенні середньої врожайності картоплі в регіоні за даними про посівної площі і валовий збір використовуємо формулу середньої арифметичної
w (x * f) - валовий збір;
fi - площа.
Х сер = (20550 +14840 +9810) / (139,80 +102,34 +63,29) = 148
б) за даними з посівної площі та урожайності використовуємо формулу середньої арифметичної зваженої:
xi-врожайність по області;
fi - посівна площа по області.
Х сер = (139,80 * 147 +102,34 * 145 +63,29 * 155) / (139,80 +102,34 +63,29) = 148
в) за даними про валовий збір і врожайності використовуємо середню гармонійну зважену:
хi - урожайність;
w - валовий збір.
Х сер = (20550 +14840 +9810) / (20550/147 +14840 / 145 +9810 / 155) = 148
Завдання 27.
У цілях вивчення затрат часу на виготовлення одній деталі робочими заводу проведена 10%-ная випадкова бесповторного вибірка, внаслідок якої отримана наступний розподіл деталей по витратах часу:
1. На підставі цих даних обчисліть: середні витрати часу на виготовлення однієї деталі, дисперсію, середнє квадратичне відхилення та коефіцієнт варіації.
2.З ймовірністю 0,954 визначити:
а) граничну помилку вибіркової середньої і можливі межі, в яких очікуються середні витрати часу на виготовлення однієї деталі на заводі;
б) необхідну чисельність вибіркової сукупності, щоб гранична помилка вибірки при визначенні середніх витрат часу не перевищувала 1 хвилини.
Рішення:
Для розрахунків складемо таблицю.
1) середні витрати часу на виготовлення однієї деталі розрахуємо за формулою середньої арифметичної зваженої, попередньо обравши середину інтервалу ваги:
Середні витрати часу на виготовлення однієї деталі склали 25,3 хв.
2) дисперсію і середнє квадратичне відхилення розрахуємо за формулами:
- Дисперсія
σ 2 = ((x i - x ср) 2 * f i) / Σ f i
σ 2 = 1331/100 = 13,31
- Середнє квадратичне відхилення
σ = √ σ 2 = √ 13,31 = 3,65
3) коефіцієнт варіації розрахуємо за формулою
ν = σ / х ср * 100%
ν = 3,65 / 25,3 * 100 = 14 (%)
ν = 14%
Коефіцієнт варіації показує однорідність вибірки. Якщо він нижчий 35%, вибірка однорідна, як і в даному випадку.
4) Розрахуємо з ймовірністю 0,954 граничну помилку вибіркової середньої і можливі межі, в яких очікуються середні витрати часу на виготовлення однієї деталі на заводі. Використовуємо для розрахунку формулу середньої помилки вибіркової середньої
μ х = √ σ 2 х / n (1-n / N),
де σ 2 х - дисперсія досліджуваного ознаки,
n - чисельність вибірки,
N - кількість одиниць у генеральній сукупності,
n / N = 0,1 (десятивідсоткове).
μ х = √ σ 2 х / n (1-n / N) = √ 13,31 / (100 * (1-0,1)) = 0,3
Гранична помилка вибірки розраховується за формулою
Δ х = t * μ х,
де t - коефіцієнт довіри, при ймовірності 0,954 дорівнює 2
Δ х = t * μ х = 2 * 0,3 = 0,6
Отже, середні витрати часу на виготовлення однієї деталі знаходиться в межах
х ср ± Δ х, або 25,3 ± 0,6 або від 24,7 до 25,9 хв.
б) необхідну чисельність вибіркової сукупності, щоб
гранична помилка вибірки при визначенні середніх витрат часу не
перевищувала 1 хвилини, розрахуємо за формулою:
n = (2 2 * 13,31 2 * 1000) / (1 2 * 1000 +2 2 * 13,31 2) = = (2 * 2 * 13,31 * 13,31 * 1000) / (1000 +2 * 2 * 13,31 * 13,31) 414
Чисельність вибіркової сукупності, де гранична помилка вибірки при визначенні середніх витрат часу не перевищує 1 хвилини складе 414 деталей.
Завдання 37.
Є дані про середньодушових доходах населення області за 1993-2002 рр.. (Тис. крб.) У порівнянних цінах:
Потрібно виявити основну тенденцію середньодушових доходів населення області 1993-2002 рр..:
1) методом згладжування рядів динаміки за допомогою ковзної триланкової середньої;
2) методом аналітичного вирівнювання ряду динаміки за рівнянням прямої;
3) Використовуючи результати п.2, дайте прогноз на 2003 рік.
4) Охарактеризуйте за 1993-2002 рр.. середньорічний абсолютний приріст і темп приросту доходів.
Рішення.
1) виявимо тенденцію методом згладжування рядів динаміки за допомогою ковзної середньої триланкової за формулою:
2) виявимо тенденцію методом аналітичного вирівнювання ряду динаміки за рівнянням прямої види:
Зробимо необхідні обчислення в таблиці, позначивши час t.
Вирішимо систему рівнянь виду:
а * n + b Σ t = Σу
аΣ t + b Σ t 2 = Σу * t
Підставимо розраховані значення
10 * а + b * 55 = 1300
a * 55 + b * 385 = 7857
Розрахуємо параметри а, b за формулами
b =
а =
b = (10 * 7857-55 * 1300) / (10 * 385-55 * 55) = 8,5697
а = 130-8,5697 * 5,5 = 82,8667
Розраховане рівняння регресії має вигляд
У t = 82,8667 +8,5697 * t
Для перевірки його правильності розрахуємо вирівняні значення у.
Σ
Уявімо графічно отримані вище розрахунки.
Прогноз на 2003 рік складе:
У 11 = 82,8667 +8,5697 * 11 = 177
4) Середньорічний абсолютний приріст за 1993-2002 рр.. розрахуємо за формулою:
Δср = (Уn-У 1) / (n-1)
Δср = (164-100) / 9 = 7
Середньорічний темп зростання розрахуємо за формулою
n-1________
Тр (ср) = √ Y i / Y 1 * 100%
10-1________
Тр (ср) = √ 164 / 100 * 100% = 105,1
Завдання 47.
Є такі дані:
Розрахуйте:
а) індекс фізичного обсягу реалізації;
б) індекс цін і індекс товарообігу.
Розкладіть загальну суму приросту товарообігу за факторами. Зробіть висновки.
Обчислимо:
а) індекс фізичного обсягу реалізації по формулі
Уpq = (0,5 * 1500 +6300 * 1,2 +2500 * 2,45) / (1200 * 0,5 +4200 * 1,2 +2000 * 2,45) =
= 14435/10540 = 1,3695
Фізичний обсяг реалізації збільшився на 36,95%.
б) Індекс цін розрахуємо за формулою
Y р = Σ р0q1 * iр / Σ р0q1
Y р = (0,5 * 1500 * 1,01 +6300 * 1,2 * 0,85 +2500 * 2,45 * 0,97) / (1500 * 0,5 +6300 * 1,2 +2500 * 2,45)
= 13125/14435 = 0,909, або 90,9%
У середньому ціни знизилися на 9,1%.
Індекс товарообігу розрахуємо за формулою
= (0,5 * 1500 * 1,01 +6300 * 1,2 * 0,85 +2500 * 2,45 * 0,97) / (1200 * 0,5 +4200 * 1,2 +2000 * 2, 45) =
= 13125/10540 = 1,245, або 124,5%
Товарообіг за трьома видами збільшився на 24,5%.
Приріст товарообігу найбільше склав:
13125-10540 = 2585
Зміна за рахунок збільшення фізичного обсягу:
14435-10540 = = 14435-10540 3895
Зміна за рахунок зниження цін:
13125-14435 = = 13125-14435 -1310
РАЗОМ: 3895-1310 = 2585
Завдання 57.
Є такі дані про реалізацію сільськогосподарських продуктів на колгоспних ринках двох міст у вересні місяці:
1. Для міста «А» визначте:
1) індекс товарообігу;
2) загальний індекс цін на продані товари (середня зміна
цін);
3) загальний індекс фізичного обсягу товарообігу (кількості
проданих товарів);
Покажіть взаємозв'язок обчислених індексів.
2. Для двох міст разом (по картоплі) обчисліть:
індекс цін змінного складу (зміна середньої ціни);
індекс цін постійного складу (середня зміна цін);
індекс структурних зрушень.
Рішення:
Зробимо додаткові розрахунки і представимо в таблиці
1.1) Індекс товарообігу для міста «А» розрахуємо за формулою
Товарообіг з обох видів у зв'язку зі збільшенням цін збільшився на 44,1%.
2) загальний індекс цін на продані товари (середня зміна цін)
розрахуємо за формулою
Y р = Σ р1q1 / Σ р0q1
Y р = 1320 / 804,4 = = 1320/804, 4 \ # "0,000" 1,641, або 164,1%
У середньому ціни збільшилися на 64,1%.
3) загальний індекс фізичного обсягу товарообігу (кількості
проданих товарів) за формулою
У середньому обсяг знизився на 12,2%.
Взаємозв'язок індексів обчислюється: Y РQ = Y р * Y q
Y РQ = 1,641 * 0,878 = = 1,641 * 0,878 \ # "0,000" 1,441
2. Для двох міст разом (по картоплі) обчислимо:
Індекс цін змінного складу (зміна середньої ціни) розрахуємо за формулою
Yпер.сост. = Σ р1 q 1: Σ р0 q 0
Σq1 Σq0
Yпер.сост. = ((2,5 * 162 +2 * 300) / (162 +300)) / ((1,2 * 180 +0,7 * 282) / (180 +282)) = 2,431
Індекс цін постійного складу (середня зміна цін);
Yпост.сост. = Σ р1 q 1: Σ р0 q 1
Σq1 Σq1
Yпост.сост. = ((2,5 * 162 +2 * 300) / (162 +300)) / ((1,2 * 162 +0,7 * 300) / (162 +300)) = 2,485
Індекс структурних зрушень розрахуємо за формулою
Y стр.сдв. = Σ р0 q 1: Σ р0 q 0
Σq1 Σq0
Yстр.сост. = ((1,2 * 162 +0,7 * 300) / (162 +300)) / ((1,2 * 180 +0,7 * 282) / (180 +282)) = 0,978
Визначте середню врожайність картоплі в регіоні за даними про:
а) посівної площі і валовий збір;
б) посівної площі і врожайності;
в) валовому зборі і врожайності.
Поясніть, як визначена форма середньої величини.
| Область | Посівна площа, тис.га | Валовий збір, тис. т | Урожайність, ц / га |
| А | 139,80 | 2055 | 147 |
| Б | 102,34 | 1484 | 145 |
| У | 63,29 | 981 | 155 |
w (x * f) - валовий збір;
fi - площа.
Х сер = (20550 +14840 +9810) / (139,80 +102,34 +63,29) = 148
б) за даними з посівної площі та урожайності використовуємо формулу середньої арифметичної зваженої:
xi-врожайність по області;
fi - посівна площа по області.
Х сер = (139,80 * 147 +102,34 * 145 +63,29 * 155) / (139,80 +102,34 +63,29) = 148
в) за даними про валовий збір і врожайності використовуємо середню гармонійну зважену:
хi - урожайність;
w - валовий збір.
Х сер = (20550 +14840 +9810) / (20550/147 +14840 / 145 +9810 / 155) = 148
Завдання 27.
У цілях вивчення затрат часу на виготовлення одній деталі робочими заводу проведена 10%-ная випадкова бесповторного вибірка, внаслідок якої отримана наступний розподіл деталей по витратах часу:
| Витрати часу на одну деталь, хв. | Число деталей, шт. |
| До 20 | 10 |
| Від 20 до 24 | 20 |
| Від 24 до 28 | 50 |
| Від 28 до 32 | 15 |
| Понад 32 | 5 |
| Разом | 100 |
2.З ймовірністю 0,954 визначити:
а) граничну помилку вибіркової середньої і можливі межі, в яких очікуються середні витрати часу на виготовлення однієї деталі на заводі;
б) необхідну чисельність вибіркової сукупності, щоб гранична помилка вибірки при визначенні середніх витрат часу не перевищувала 1 хвилини.
Рішення:
Для розрахунків складемо таблицю.
| Витрати часу на одну деталь, хв., Х i | Середина інтервалу | Число деталей, f i | х i * f i | (X i - x ср) | (X i - x ср) 2 | (X i - x ср) 2 * f i |
| До 20 | 10 | 18 | 180 | -7,3 | 53,29 | 532,9 |
| 20 - 24 | 20 | 22 | 440 | -3,3 | 10,89 | 217,8 |
| 24 - 28 | 50 | 26 | 1300 | 0,7 | 0,49 | 24,5 |
| 28 - 32 | 15 | 30 | 450 | 4,7 | 22,09 | 331,35 |
| Понад 32 | 5 | 32 | 160 | 6,7 | 44,89 | 224,45 |
| Разом | 100 | 2530 | 131,65 | 1331 |
Середні витрати часу на виготовлення однієї деталі склали 25,3 хв.
2) дисперсію і середнє квадратичне відхилення розрахуємо за формулами:
- Дисперсія
σ 2 = ((x i - x ср) 2 * f i) / Σ f i
σ 2 = 1331/100 = 13,31
- Середнє квадратичне відхилення
σ = √ σ 2 = √ 13,31 = 3,65
3) коефіцієнт варіації розрахуємо за формулою
ν = σ / х ср * 100%
ν = 3,65 / 25,3 * 100 = 14 (%)
ν = 14%
Коефіцієнт варіації показує однорідність вибірки. Якщо він нижчий 35%, вибірка однорідна, як і в даному випадку.
4) Розрахуємо з ймовірністю 0,954 граничну помилку вибіркової середньої і можливі межі, в яких очікуються середні витрати часу на виготовлення однієї деталі на заводі. Використовуємо для розрахунку формулу середньої помилки вибіркової середньої
μ х = √ σ 2 х / n (1-n / N),
де σ 2 х - дисперсія досліджуваного ознаки,
n - чисельність вибірки,
N - кількість одиниць у генеральній сукупності,
n / N = 0,1 (десятивідсоткове).
μ х = √ σ 2 х / n (1-n / N) = √ 13,31 / (100 * (1-0,1)) = 0,3
Гранична помилка вибірки розраховується за формулою
Δ х = t * μ х,
де t - коефіцієнт довіри, при ймовірності 0,954 дорівнює 2
Δ х = t * μ х = 2 * 0,3 = 0,6
Отже, середні витрати часу на виготовлення однієї деталі знаходиться в межах
х ср ± Δ х, або 25,3 ± 0,6 або від 24,7 до 25,9 хв.
б) необхідну чисельність вибіркової сукупності, щоб
гранична помилка вибірки при визначенні середніх витрат часу не
перевищувала 1 хвилини, розрахуємо за формулою:
n = (2 2 * 13,31 2 * 1000) / (1 2 * 1000 +2 2 * 13,31 2) = = (2 * 2 * 13,31 * 13,31 * 1000) / (1000 +2 * 2 * 13,31 * 13,31) 414
Чисельність вибіркової сукупності, де гранична помилка вибірки при визначенні середніх витрат часу не перевищує 1 хвилини складе 414 деталей.
Завдання 37.
Є дані про середньодушових доходах населення області за 1993-2002 рр.. (Тис. крб.) У порівнянних цінах:
| Рік | 1993 | 1994 | 1995 | 1996 | 1997 | 1998 | 1999 | 2000 | 2001 | 2002 |
| Дохід и | 100 | 117 | 128 | 154 | 163 | 150 | 132 | 144 | 158 | 164 |
1) методом згладжування рядів динаміки за допомогою ковзної триланкової середньої;
2) методом аналітичного вирівнювання ряду динаміки за рівнянням прямої;
3) Використовуючи результати п.2, дайте прогноз на 2003 рік.
4) Охарактеризуйте за 1993-2002 рр.. середньорічний абсолютний приріст і темп приросту доходів.
Рішення.
1) виявимо тенденцію методом згладжування рядів динаміки за допомогою ковзної середньої триланкової за формулою:
| Рік | 1993 | 1994 | 1995 | 1996 | 1997 | 1998 | 1999 | 2000 | 2001 | 2002 |
| Доходи | 100 | 117 | 128 | 154 | 163 | 150 | 132 | 144 | 158 | 164 |
| 115 | 133 | 148 | 156 | 148 | 142 | 145 | 155 |
Зробимо необхідні обчислення в таблиці, позначивши час t.
| t | У | t * У | t 2 | ||
| 1 | 100 | 100 | 1 | 91 | |
| 2 | 117 | 234 | 4 | 100 | |
| 3 | 18 | 54 | 9 | 109 | |
| 4 | 154 | 616 | 16 | 117 | |
| 5 | 163 | 815 | 25 | 126 | |
| 6 | 150 | 900 | 36 | 134 | |
| 7 | 132 | 924 | 49 | 143 | |
| 8 | 144 | 1152 | 64 | 151 | |
| 9 | 158 | 1422 | 81 | 160 | |
| 10 | 164 | 1640 | 100 | 169 | |
| РАЗОМ | 55 | 1300 | 7857 | 385 | 1300 |
| середнє | 5,5 | 130,0 | 785,7 | 38,5 |
аΣ t + b Σ t 2 = Σу * t
10 * а + b * 55 = 1300
a * 55 + b * 385 = 7857
Розрахуємо параметри а, b за формулами
b =
а =
b = (10 * 7857-55 * 1300) / (10 * 385-55 * 55) = 8,5697
а = 130-8,5697 * 5,5 = 82,8667
Розраховане рівняння регресії має вигляд
У t = 82,8667 +8,5697 * t
Для перевірки його правильності розрахуємо вирівняні значення у.
Σ
Уявімо графічно отримані вище розрахунки.
Прогноз на 2003 рік складе:
У 11 = 82,8667 +8,5697 * 11 = 177
4) Середньорічний абсолютний приріст за 1993-2002 рр.. розрахуємо за формулою:
Δср = (Уn-У 1) / (n-1)
Δср = (164-100) / 9 = 7
Середньорічний темп зростання розрахуємо за формулою
n-1________
Тр (ср) = √ Y i / Y 1 * 100%
10-1________
Тр (ср) = √ 164 / 100 * 100% = 105,1
Завдання 47.
Є такі дані:
| Товар | Ціна за 1 кг у базисному періоді, руб. | Продано, т | Індивідуальні індекси цін | |
| Базисний період | Звітний період | |||
| А | 0,50 | 1200 | 1500 | 1,01 |
| Б | 1,20 | 4200 | 6300 | 0,85 |
| У | 2,45 | 2000 | 2500 | 0.97 |
а) індекс фізичного обсягу реалізації;
б) індекс цін і індекс товарообігу.
Розкладіть загальну суму приросту товарообігу за факторами. Зробіть висновки.
Обчислимо:
а) індекс фізичного обсягу реалізації по формулі
Уpq = (0,5 * 1500 +6300 * 1,2 +2500 * 2,45) / (1200 * 0,5 +4200 * 1,2 +2000 * 2,45) =
= 14435/10540 = 1,3695
Фізичний обсяг реалізації збільшився на 36,95%.
б) Індекс цін розрахуємо за формулою
Y р = Σ р0q1 * iр / Σ р0q1
Y р = (0,5 * 1500 * 1,01 +6300 * 1,2 * 0,85 +2500 * 2,45 * 0,97) / (1500 * 0,5 +6300 * 1,2 +2500 * 2,45)
= 13125/14435 = 0,909, або 90,9%
У середньому ціни знизилися на 9,1%.
Індекс товарообігу розрахуємо за формулою
= (0,5 * 1500 * 1,01 +6300 * 1,2 * 0,85 +2500 * 2,45 * 0,97) / (1200 * 0,5 +4200 * 1,2 +2000 * 2, 45) =
= 13125/10540 = 1,245, або 124,5%
Товарообіг за трьома видами збільшився на 24,5%.
Приріст товарообігу найбільше склав:
13125-10540 = 2585
Зміна за рахунок збільшення фізичного обсягу:
14435-10540 = = 14435-10540 3895
Зміна за рахунок зниження цін:
13125-14435 = = 13125-14435 -1310
РАЗОМ: 3895-1310 = 2585
Завдання 57.
Є такі дані про реалізацію сільськогосподарських продуктів на колгоспних ринках двох міст у вересні місяці:
| Місто | Товар | Продано, т | Середня ціна за 1 кг, д. е. | ||
| 1994 | 1995 | 1994 | 1995 | ||
| А | М'ясо | 70 | 61 | 10,0 | 15,0 |
| Картопля | 180 | 162 | 1,2 | 2,5 | |
| Б | М'ясо | 30 | 27 | 1,0 | 2,0 |
| Картопля | 282 | 300 | 0,7 | 2,0 | |
1) індекс товарообігу;
2) загальний індекс цін на продані товари (середня зміна
цін);
3) загальний індекс фізичного обсягу товарообігу (кількості
проданих товарів);
Покажіть взаємозв'язок обчислених індексів.
2. Для двох міст разом (по картоплі) обчисліть:
індекс цін змінного складу (зміна середньої ціни);
індекс цін постійного складу (середня зміна цін);
індекс структурних зрушень.
Рішення:
Зробимо додаткові розрахунки і представимо в таблиці
| Найменування товарів | Продано, т | Середня Ціна, Д.Є. | Обсяг продажів у цінах базисного року | Обсяг продажів у цінах звітного року | ||||
| позначення | q0 | q1 | р0 | р1 | р0 q0 | р0 q1 | q0 р1 | q1 р1 |
| М'ясо | 70 | 61 | 10,0 | 15,0 | 700 | 610 | 1050 | 915 |
| Картопля | 180 | 162 | 1,2 | 2,5 | 216 | 194,4 | 450 | 405 |
| РАЗОМ | 916 | 804,4 | 1500 | 1320 | ||||
Товарообіг з обох видів у зв'язку зі збільшенням цін збільшився на 44,1%.
2) загальний індекс цін на продані товари (середня зміна цін)
розрахуємо за формулою
Y р = Σ р1q1 / Σ р0q1
Y р = 1320 / 804,4 = = 1320/804, 4 \ # "0,000" 1,641, або 164,1%
У середньому ціни збільшилися на 64,1%.
3) загальний індекс фізичного обсягу товарообігу (кількості
проданих товарів) за формулою
У середньому обсяг знизився на 12,2%.
Взаємозв'язок індексів обчислюється: Y РQ = Y р * Y q
Y РQ = 1,641 * 0,878 = = 1,641 * 0,878 \ # "0,000" 1,441
2. Для двох міст разом (по картоплі) обчислимо:
Індекс цін змінного складу (зміна середньої ціни) розрахуємо за формулою
Yпер.сост. = Σ р1 q 1: Σ р0 q 0
Σq1 Σq0
Yпер.сост. = ((2,5 * 162 +2 * 300) / (162 +300)) / ((1,2 * 180 +0,7 * 282) / (180 +282)) = 2,431
Індекс цін постійного складу (середня зміна цін);
Yпост.сост. = Σ р1 q 1: Σ р0 q 1
Σq1 Σq1
Yпост.сост. = ((2,5 * 162 +2 * 300) / (162 +300)) / ((1,2 * 162 +0,7 * 300) / (162 +300)) = 2,485
Індекс структурних зрушень розрахуємо за формулою
Y стр.сдв. = Σ р0 q 1: Σ р0 q 0
Σq1 Σq0
Yстр.сост. = ((1,2 * 162 +0,7 * 300) / (162 +300)) / ((1,2 * 180 +0,7 * 282) / (180 +282)) = 0,978