Матриці
Основні питання лекції: загальні визначення, пов'язані з поняттям матриці; дії над матрицями; визначники 2-го і 3-го порядків; визначники порядку n, їх обчислення; властивості визначників; зворотна матриці; ранг матриці.
Матрицею розміру mхn називається прямокутна таблиця чисел, що містить m рядків і n стовпців. Числа, що складають матрицю, називаються елементами матриці.
Матриці позначаються прописними (заголовними) літерами латинського алфавіту, наприклад, A, B, C, ..., а для позначення елементів матриці використовуються малі літери з двойнойіндексаціей: a ij, де i - номер рядка, j - номер стовпця:
, I = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n
Матриця називається квадратною n - го порядку, якщо число її рядків дорівнює числу стовпців і дорівнює n.
Елементи матриці a ij, у яких номер стовпця дорівнює номеру рядка (i = j), називаються діагональними і утворюють головну діагональ матриці. Для квадратної матриці головну діагональ утворюють елементи a 11, a 22, ..., a nn, а a 1n, a 2n-1, ..., a n1 - елементи додаткової діагоналі.
Види матриць: матриця (вектор) - рядок, матриця (вектор) - стовпці, діагональна, одинична матриця.
Над матрицями, як і над числами, можна робити ряд операцій.
а) Множення матриці на число. Твором матриці А на число λ називається матриця В = λ А, елементи якої b ij = λ a ij для i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.
Зокрема, твір матриці А на число 0 є нульова матриця, тобто 0 • А = О.
б) Складання матриць. Сумою двох матриць А і В однакового розміру mхn називається матриця С = А + В, елементи якої
С = A ± B = (aij) ± (bij) = (aij ± bij) = (cij), i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.
(Тобто матриці складаються поелементно).
В окремому випадку А +0 = А.
в) Множення матриць. Множення матриці А на матрицю В визначено, коли число стовпців першої матриці дорівнює числу рядків другої. Тоді твором матриць називається така матриця
, Кожен елемент якої з ij дорівнює сумі добутків елементів i-го рядка матриці А на відповідні елементи j - го стовпця матриці В:
Примітка. A * B ≠ B * A.
Транспонування матриці - перехід від матриці А до матриці А ', в якій рядки і стовпці помінялися місцями з збереженням порядку. Матриця А 'називається транспонованої щодо матриці А:
,
У літературі зустрічаються й інші позначення транспонованої матриці, наприклад, А т.
Піднесення до степеня. Цілою позитивної ступенем А m (m> 1) квадратної матриці А називається твір m матриць, рівних А, тобто
А m = A * A * ... * A (m> 1)
m раз
Зауважимо, що операція піднесення до степеня визначається тільки для квадратних матриць.
За визначенням вважають А 0 = Е, А 1 = А.
Слідом trА квадратної матриці А називається сума її діагональних елементів:
Матриця А -1, обернена до квадратної матриці А, - така матриця, що
А -1 * А = А * А -1 = Е (Е - одинична матриця).
Визначники
Необхідність введення визначника - числа, що характеризує квадратну матрицю А, - тісно пов'язане з рішенням систем лінійних рівнянь. Визначник матриці А позначається det (A) або Δ.
Визначником матриці першого порядку А = (а 11), або визначником першого порядку, називається елемент а 11: Δ = | А | = а 11. Наприклад, нехай А = (3), тоді Δ 1 = | А | = 3.
Визначник матриці другого порядку обчислюється за формулою:
Визначник матриці третього порядку обчислюється за правилом трикутника або правилом Сарруса:
Мінором M ij елемента a ij матриці n - го порядку називається визначник матриці (n-1) - го порядку, отриманої з матриці А викреслюванням i - го рядка і j - го стовпця.
Алгебраїчним доповненням Aij елемента a ij матриці n - го порядку називається його мінор, узятий зі знаком (-1) i + j:
A ij = (-1) i + j M ij, i, j = 1, 2, 3
тобто алгебраїчне доповнення збігається з мінором, коли сума номерів рядка та стовпця (i + j) - парне число, і відрізняється від мінору знаком, коли (i + j) - парне число.
Теорема Лапласа. Визначник квадратної матриці дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення:
Примітка. Визначник трикутної (і діагональної) матриці дорівнює добутку елементів головної діагоналі.
Властивості визначників
1. Якщо яка-небудь рядок (стовпчик) матриці складається з одних нулів, то її визначник дорівнює 0.
2. Якщо всі елементи якого-небудь рядка (стовпця) матриці помножити на число λ, то її визначник збільшиться на це число λ.
3. При транспонировании матриці її визначник не змінюється: | А '| = | А |.
4. При перестановці двох рядків (стовпців) матриці її визначник змінює знак на протилежний.
5. Якщо квадратна матриця містить дві однакові рядки (стовпця), то її визначник дорівнює 0.
6. Якщо елементи двох рядків (стовпців) матриці пропорційні, то її визначник дорівнює 0.
7. Сума добутків елементів якого-небудь рядка (стовпця) матриці на алгебраїчні доповнення елементів іншого рядка (стовпця) цієї матриці дорівнює 0, тобто
, При i ¹ j
8. Визначник матриці не зміниться, якщо до елементів якого-небудь рядка (стовпця) матриці додати елементи іншого рядка (стовпця), попередньо помножені на одне і те ж число.
9. Сума творів довільних чисел b 1, b 2, ..., bn на алгебраїчні доповнення елементів будь-якого рядка (стовпця) дорівнює визначник матриці, отриманої з даної заміною елементів цього рядка (стовпця) на числа b 1, b 2, ..., bn.
10. Визначник твори двох квадратних матриць дорівнює добутку їх визначників:
| С | = | А | * | В |, де C = А * В; А і В-матриці n - го порядку.
Ранг матриці
Для рішення і дослідження ряду математичних і прикладних задач важливе значення має поняття рангу матриці.
Визначення. Рангом матріциА називається найвищий порядок відмінних від нуля мінорів цієї матриці.
Ранг матриці А позначається rang Аілі r (А).
Властивості рангу матриці:
1 0. Р анг матриці А mxn не перевершує меншого з її розмірів, тобто rang A ≤ min (m; n);
2 0. Г (А) = 0 тоді і тільки тоді, коли всі елементи матриці дорівнюють нулю, тобто А = 0;
3 0. Д ля квадратної матриці n-го порядку r (A) = n тоді і тільки тоді, коли матриця А - невироджених.
Назвемо елементарними перетвореннями матриці наступні:
Відкидання нульової рядка (стовпця).
Множення всіх елементів рядка (стовпця) матриці на число, не рівне нулю.
Зміна порядку рядків (стовпців) матриці.
Додаток до кожного елементу одного рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця), помножених на будь-яке число.
Транспонування матриці.
Теорема. Ранг матриці не змінюється при елементарних перетвореннях матриці.