Федеральне агентство з освіти
Державна освітня установа вищої професійної освіти
Північно-Західний державний заочний
технічний університет
Інститут управління виробничими і
інноваційними програмами
Кафедра інформатики
Контрольна робота з дисципліни
«Математика. Частина 2. "
Тема: "Чисельні методи і розрахунки в EXCEL."
Завдання 1. Інтерполяція функції з рівновіддаленими вузлами.
Аналіз і прогнозування в EXCEL.
Завдання 2. Рішення систем рівнянь в EXCEL.
Завдання 3. Комплексні числа.
Виконала студентка: Шестакова Марія Дмитрівна
ІУПіІП
Курс: II
Спеціальність: 80502.65
Шифр: 578030493
Викладач: Ходорівська Валентина Сергіївна
Підпис викладача:
Санкт-Петербург
2007
Тема.
Чисельні методи і розрахунки в EXCEL.
Завдання 1.
Інтерполяція функції з рівновіддаленими вузлами.
Аналіз і прогнозування в EXCEL.
I. Написати вираз для інтерполяційного полінома Ньютона.
II. Скласти програму для обчислення значення функції в заданих точках
x 1; x 2; x 3; x 4 :
1) за допомогою полінома Ньютона для реалізації її в EXCEL;
2) за допомогою функцій, що здійснюють прогноз обчислень
(ТЕНДЕНЦІЯ і ПЕРЕДБАЧЕННЯ).
Функція задана таблицею з рівновіддаленими вузлами:
Основні поняття.
Мета роботи: навчитися користуватися програмою EXCEL для отримання аналітичної залежності за експериментальними даними і вивчення режимів екстраполяції даних в EXCEL.
Завдання інтерполяції зводиться до вимоги точного збігу в вузлових
точках функції та її наближення, де число параметрів, апроксимуючої залежності дорівнює числу точок. При виборі даного критерію задача зводиться до побудови інтерполяційних многочленів (поліномів).
За визначенням інтерполяція - це відшукання проміжних значень величини по деяких відомих її значень. Саме слово інтерполяція походить від латинського "interpolation", що в перекладі означає "зміну, переробка".
Екстраполяція - це процедура аналогічна інтерполяції, але за умови, що x лежить поза інтервалу (x 0, x n) . Відбувається від "екстра ..." і латинського "polio", що означає "пригладжують, змінюю".
Апроксимація - це заміна одних математичних об'єктів (наприклад, чисел або
функцій) іншими, більш простими і в тому чи іншому сенсі близькими до вихідних (наприклад, кривих ліній близькими до них ламаними). Слово походить від латинського "Approximo", що означає "наближаюся".
Графічно завдання інтерполяції полягає в тому, щоб побудувати таку інтерполює функцію, яка б проходила через усі вузли інтерполяції. Найчастіше в якості інтерполює функції F (x) використовуються многочлени P n (x). Завдання полягає в тому, щоб підібрати многочлен P n ( x), що забезпечує необхідну інтерполяцію е.
Найбільш успішно для інтерполяції використовується поліном Ньютона, для запису якого у випадку інтерполяції функції з рівновіддаленими вузлами використовуються кінцеві різниці.
Термін "поліном" має те ж значення, як і слово "многочлен" і походить від "полі ..." - частина складних слів, що вказує на безліч, всебічний охоплення чи різноманітний склад чого-небудь (від грецького "polys" - багато, численний, великий) і латинського "nomen", тобто ім'я.
Кінцевою різницею першого порядку називається різниця:
Дy i = yi + 1 - y i, i = 0,1, .... , N - 1
Аналогічно визначаються кінцеві різниці другого і більш високих порядків.
Інтерполяційний поліном Ньютона.
Інтерполяційний многочлен Ньютона для рівновіддалених вузлів записується у вигляді:
P n (x) = y 0 + (xx 0) · Дy 0 / 1! H + (xx 0) (xx 1) · ДІy 0 / 2! Hі +....+ (x - x 0) (x - x 1) ... .. (x - x n -1) · Д n y 0 / n! H n
Рішення.
Виконання завдання I.
Напишемо вираз для інтерполяційного полінома Ньютона для експериментальних даних, наведених у вищевказаній таблиці. Кінцеві різниці вказані в "Додаток 2". З таблиці видно, що значення x є рівновіддаленими вузлами, так як зростають рівномірно з кроком h = 0,05. Ступінь полінома визначається числом (порядком) кінцевих різниць (в даному випадку їх дев'ять).
P n (x) = P 9 (x) = y 0 + (xx 0) Дy 0 / 1! H + (xx 0) (xx 1) ДІy 0 / 2! H 2 + ..
.. + (Xx 0) (xx 1) (xx 2) (xx 3) (xx 4) (xx 5) (xx 6) (xx 7) (xx 8) (xx 9) Д 9 y 0 / 9! h 9 =
0,860 + (x-0,15) (-0,041) / 1! · 0,05 + (x-0,15) (x-0,20) · 0,001 / 2! · 0,05 2 +
(X-0,15) (x-0,20) (x-0,25) · 0,001 / 3! · 0,05 3 + (x-0,15) (x-0,20) (x-0,25) (x-0,30) · (-0,001) / 4! · 0,05 4 +
(X-0,15) (x-0,20) (x-0,25) (x-0,30) (x-0,35) · 0 / 5! · 0,05 5 +
(X-0,15) (x-0,20) (x-0,25) (x-0,30) (x-0.35) (x-0,40) · 0,004 / 6! · 0,05 6 +
(X-0,15) (x-0,20) (x-0,25) (x-0,30) (x-0,35) (x-0,40) (x-0,45) · (-0,016) / 7! 0,05 +
(X-0,15) (x-0,20) (x-0,25) (x-0,30) (x-0,35) (x-0,40) (x-0,45) ( x-0,50) · 0,047 / 8! · 0,05 8 +
(X - 0,15) (x - 0,20) (x - 0,25) (x - 0,30) (x - 0,35) (x - 0,40) (x - 0,45) ( x - 0,50) (x - 0,55) · (-0,119) / 9! · 0,05 9.
Виконання завдання II.
1) Складання програми для обчислення значень функції в заданих точках за допомогою полінома Ньютона.
Крок перший:
Підготовка вихідних даних електронної таблиці в EXCEL:
а) Введемо текстові та числові константи (комірки A1: N4).
б) Введемо номери по порядку в комірки A5: A14.
в) Введемо вихідні дані в комірки B5: C14.
Таким чином підготовлена таблиця для виконання роботи.
Крок другий:
Введення формул:
а) Введення формул для обчислення кінцевих різниць першого порядку:
А.1) у клітинку D5 введемо формулу для обчислення Дy 0 = y 1 - y 0, яка набуде вигляду: = C6-C5;
a.2) копіюємо цю формулу в комірки D6: D13. У результаті в комірці D6
отримуємо формулу = C7-C6 (тобто Дy 1 = y 2 - y 1 = 0,779 - 0,819 = -0,040), у клітинці D7
отримуємо формулу = C8-C7 (тобто Дy 2 = y 3 - y 2 = 0,741 - 0,779 = -0,038) і т.д. до комірки D13, де
отримуємо формулу
= C14-C13 (тобто Дy 8 = y 9 - y 8 = 0,549 - 0,577 = -0,028)
б) Введення формул для обчислення кінцевих різниць другого порядку:
б.1) у клітинку E5 копіюємо формулу з комірки D5. У клітинці E5 з'явиться формула
= D6-D5 (тобто ДІy 0 = Дy 1 - Дy 0 = -0,040 - (-0,041) = 0,001). Копіюємо цю формулу в комірки E6: E12.
У клітинці E12 отримуємо формулу = D13 - D1 (тобто ДІy 7 = Дy 8 - Дy 7 = - 0,028 - (-0,029) = 0,001).
в) Введення формул для обчислення кінцевих різниць аж до дев'ятого порядку:
для обчислення всіх кінцевих різниць необхідно ввести тільки одну формулу (у клітинці D5), всі
інші будуть отримані копіюванням, тобто з комірки E5 копіюємо формулу в комірку F5, з F5 в G5 і т.д.
Відображення в режимі формул див. в "Додатку 1".
Відображення в режимі значень див. в "Додатку 2".
Крок третій:
Введення формул:
а) Введення формул для обчислення проміжних коефіцієнтів:
А.1) для обчислення першого проміжного коефіцієнта (xx 0 / 1! h) у клітинку M5 введемо формулу
= ($ N $ 2 - B5) / (A5 + 1) / $ F $ 2. У клітинці N2 знаходиться поточне значення x. При копіюванні адресу цього осередку змінювати не можна, тому ми використовуємо абсолютний адресу (значок $). У клітинці F2 знаходиться крок інтерполяції, адресу цього осередку теж абсолютний (значок $).
А.2) для обчислення другого проміжного коефіцієнта
(Xx 0) (x-x 1) / 2! H І = (xx 0) / 1 · h · (xx 1) / 2 · h = a · b,
де a коефіцієнт у клітинці M5, a = (xx 0) / 1h,
b коефіцієнт, на який потрібно помножити M5, b = (xx 1) / 2h,
вводимо в M6 формулу: = M5 * ($ N $ 2 - B6) / (A6 + 1) / $ F $ 2.
А.3) після введення даних у M5 і M6, для обчислення інших проміжних коефіцієнтів
копіюємо формулу з M6 в інші 7 нижчестоящі осередки. Вячейке M7 ми побачимо формулу:
= M6 * ($ N $ 2 - B7) / (A7 + 1) / $ F $ 2, у клітинці M8 ми побачимо формулу: = M7 * ($ N $ 2 - B8) / (A8 + 1) / $ F $ 2 і
т.д.
Крок четвертий:
Введення формул:
а) Введення формул для обчислення полінома Ньютона:
А.1) для обчислення першого полінома Ньютона, який дорівнює (xx 0) · Дy 0 / 1! h = (xx 0) / 1h · Дy 0, вміст комірки M5 треба помножити на вміст комірки D5, де зберігаються кінцеві різниці першого порядку . Вводимо в комірку N5 формулу = M5 * D $ 5. Знак $ перед номером рядка необхідний, тому що в полінома Ньютона знаходяться тільки кінцеві різниці з індексом нуль, тобто всі кінцеві різниці беруться тільки з рядка з номером 5;
А.2) для введення інших членів полінома Ньютона копіюємо формулу з N5 у інші 8 нижчестоящих осередків (включно по N13). Отримуємо в N6 формулу = M6 * E $ 5, у N7 формулу = M7 * F $ 5, у N8 формулу = M8 * G $ 5 і т.д. до осередку N13.
Крок п'ятий:
Введення формул:
а) Введення формул для обчислення суми коефіцієнтів полінома Ньютона:
А.1) об'єднаємо осередку A16: M16, потім в об'єднані клітинки введемо коментар
"Сума коефіцієнтів полінома";
А.2) у клітинку N16 вводимо формулу = СУММ (N5: N13). Тепер у N16 буде сума всіх членів полінома Ньютона, крім y 0. При x = 0,149 у клітинці N16 виходить число 0,001.
Крок шостий:
Введення формул:
а) Введення формул для обчислення значення полінома:
А.1) об'єднаємо осередку A18: M18, потім в об'єднані клітинки введемо коментар "Значення полінома";
А.2) у клітинку N18 вводимо формулу = N16 + C5. У клітинці N18 з'явиться число 0,861, що і є значення полінома, обчислене в точці x = 0,149
Крок сьомий:
Обчислення сум коефіцієнтів полінома і значень полінома
при x = 0,240; x = 0,430; x = 0,560.
а) у клітинку N2 вводимо 0,240. Результат:
у клітинці N16 - (-0,073); у клітинці N18 - (0.787);
б) у клітинку N2 вводимо 0,430. Результат:
у клітинці N16 - (-0,209); у клітинці N18 - (0,651);
в) у клітинку N2 вводимо 0.560. Результат:
у клітинці N16 - (-0,287); у клітинці N18 - (0,573).
Крок восьмий:
Для зручності отримані дані занесемо в нашу таблицю.
Таблиці додаються. Режим формул - "Додаток 1". Режим значень - "Додаток 2.
2) Складання програми для обчислення значень функції в заданих точках за допомогою функцій, що здійснюють прогноз обчислень (ТЕНДЕНЦІЯ і ПЕРЕДБАЧЕННЯ).
Екстраполяція (прогнозування) за допомогою функції апроксимації кривої.
Табличний процесор EXCEL надає можливість апроксимації з використанням "функцій апроксимації кривої"
Нехай у вузлах x 0, x 1, ..., x n відомі значення f (x 0), f (x 1), ..., f (x n). Необхідно здійснити екстраполяцію (прогнозування), тобто обчислити значення f (x n +1), f (x n +2), ....
У категорії Статистичні функції EXCEL для цього використовуються дві функції: ТЕНДЕНЦІЯ і ПЕРЕДБАЧЕННЯ, здійснюють лінійну апроксимацію кривої для даних масивів
x (x 0, x 1, ..., x n) і y (y 0, y 1, ..., y n) методом найменших квадратів.
Функція ТЕНДЕНЦІЯ має структуру:
ТЕНДЕНЦІЯ (y масив, x масив, x список)
y масив, x масив - дані з умови.
x список - це ті значення x, для яких потрібно порахувати значення функції f (x).
Функція ПЕРЕДБАЧЕННЯ має структуру:
ПЕРЕДБАЧЕННЯ (x; y масив; x масив)
Після апроксимації ця функція повертає лише одне прогнозоване значення y (для одного з заданих значень аргументів.
Робота з функцією ТЕНДЕНЦІЯ.
Крок перший:
Створимо електронну таблицю в EXCEL, використовуючи вихідні дані.
Крок другий:
Для того, щоб помістити результат в список підсумкових осередків C6: F6, виділимо ці клітинки.
Крок третій:
Далі необхідно клацнути по піктограмі Майстер функцій.
Крок четвертий:
а) У першому вікні виберемо категорію Статистичні, функцію ТЕНДЕНЦІЯ,
потім клацнемо по OK.
б) У вікні "Відомі значення y" введемо адресу блоку комірок C3: L3.
в) У вікні "Відомі значення x" введемо адресу блоку комірок C2: L2.
г) У вікні "Нові значення x" вкажемо адресу блоку комірок C5: F5.
Крок п'ятий:
Для підтвердження цієї функції одночасно натиснемо клавіші SHIFT / CTRL та ENTER. В осередках C6: F6 ми побачимо прогноз.
У режимі формул: у клітинці C6 - = ТЕНДЕНЦІЯ (C3: L3; C2: L2; C5)
у клітинці D6 - = ТЕНДЕНЦІЯ (C3: L3; C2: L2; D5)
у клітинці E6 - = ТЕНДЕНЦІЯ (C3: L3; C2: L2; E5)
у клітинці F6 - = ТЕНДЕНЦІЯ (C3: L3; C2: L2; F5)
У режимі значень: у клітинці C6 - 0,8610
у клітинці D6 - 0,7951
у клітинці E6 - 0,6576
у клітинці F6 - 0,5635
Таблиці додаються.
Режим формул - "Додаток 3". Режим значень "Додаток 4".
Робота з функцією ПЕРЕДБАЧЕННЯ.
Крок перший:
Створимо електронну таблицю в EXCEL, використовуючи вихідні дані.
Крок другий:
Для розміщення результату активізуємо комірку С6.
Крок третій:
а) За допомогою Майстра функцій викличемо функцію ПЕРЕДБАЧЕННЯ,
категорія Статистичні.
б) У вікні "x" вкажемо адресу осередку C6.
в) У вікні "Відомі значення y" вкажемо адресу блоку комірок C3: L3.
г) У вікні "Відомі значення x" вкажемо адресу блоку комірок C2: L2.
Крок четвертий:
Для підтвердження цієї функції клацнемо по OK. У клітинці C6 з'явиться результат. Для появи результату в інших осередках, виконаємо все те ж саме, по черзі активізуючи осередку D6, E6, F6.
У результаті ми побачимо:
У режимі формул:
у клітинці C6 - = передбачення (C5; C3: L3; C2: L2)
у клітинці D6 - = передбачення (D5; C3: L3; C2: L2)
у клітинці E6 - = передбачення (E5; C3: L3; C2: L2)
у клітинці F6 - = передбачення (F5; C3: L3; C2: L2)
У режимі значень: у клітинці C6 - 0,8506
у клітинці D6 - 0,7877
у клітинці E6 - 0,6564
у клітинці F6 - 0,5665
Таблиці додаються. Режим формул - "Додаток 5". Режим значень - "Додаток 6".
Підсумкова порівняльна таблиця.
Для порівняння значень функції в точках:
x 1 = 0,149;
x 2 = 0,240;
x 3 = 0,430;
x 4 = 0,560;
отриманих за допомогою трьох різних способів:
1 полінома Ньютона,
2 функції ТЕНДЕНЦІЯ,
3 функції ПЕРЕДБАЧЕННЯ;
створимо порівняльну таблицю,
* Результати обчислень округлені до двох знаків після коми.
Висновок: значення функції в заданих чотирьох точках ми отримали трьома різними способами. Для наочності всі отримані дані ми звели в підсумкову порівняльну таблицю. Видно, що результати вийшли не зовсім однакові. Але проте в цілому, відхилення у значеннях в межах 0,01, що цілком припустимо для наших даних. Для того, щоб отримати більш точні значення функції в певній точці, необхідно, щоб початкові дані були представлені більш широким спектром вузлів.
Державна освітня установа вищої професійної освіти
Північно-Західний державний заочний
технічний університет
Інститут управління виробничими і
інноваційними програмами
Кафедра інформатики
Контрольна робота з дисципліни
«Математика. Частина 2. "
Тема: "Чисельні методи і розрахунки в EXCEL."
Завдання 1. Інтерполяція функції з рівновіддаленими вузлами.
Аналіз і прогнозування в EXCEL.
Завдання 2. Рішення систем рівнянь в EXCEL.
Завдання 3. Комплексні числа.
Виконала студентка: Шестакова Марія Дмитрівна
ІУПіІП
Курс: II
Спеціальність: 80502.65
Шифр: 578030493
Викладач: Ходорівська Валентина Сергіївна
Підпис викладача:
Санкт-Петербург
2007
Тема.
Чисельні методи і розрахунки в EXCEL.
Завдання 1.
Інтерполяція функції з рівновіддаленими вузлами.
Аналіз і прогнозування в EXCEL.
I. Написати вираз для інтерполяційного полінома Ньютона.
II. Скласти програму для обчислення значення функції в заданих точках
x 1; x 2; x 3; x 4 :
1) за допомогою полінома Ньютона для реалізації її в EXCEL;
2) за допомогою функцій, що здійснюють прогноз обчислень
(ТЕНДЕНЦІЯ і ПЕРЕДБАЧЕННЯ).
Функція задана таблицею з рівновіддаленими вузлами:
| x | 0.15 | 0.20 | 0.25 | 0.30 | 0.35 | 0.40 | 0.45 | 0.50 | 0.55 | 0.60 |
| y | 0.860 | 0.819 | 0.779 | 0.741 | 0.705 | 0.670 | 0.638 | 0.606 | 0.577 | 0.549 |
| Значення | x 1 = 0.149 | x 2 = 0.240 | x 3 = 0.430 | x 4 = 0.560 | ||||||
Мета роботи: навчитися користуватися програмою EXCEL для отримання аналітичної залежності за експериментальними даними і вивчення режимів екстраполяції даних в EXCEL.
Завдання інтерполяції зводиться до вимоги точного збігу в вузлових
точках функції та її наближення, де число параметрів, апроксимуючої залежності дорівнює числу точок. При виборі даного критерію задача зводиться до побудови інтерполяційних многочленів (поліномів).
За визначенням інтерполяція - це відшукання проміжних значень величини по деяких відомих її значень. Саме слово інтерполяція походить від латинського "interpolation", що в перекладі означає "зміну, переробка".
Екстраполяція - це процедура аналогічна інтерполяції, але за умови, що x лежить поза інтервалу (x 0, x n) . Відбувається від "екстра ..." і латинського "polio", що означає "пригладжують, змінюю".
Апроксимація - це заміна одних математичних об'єктів (наприклад, чисел або
функцій) іншими, більш простими і в тому чи іншому сенсі близькими до вихідних (наприклад, кривих ліній близькими до них ламаними). Слово походить від латинського "Approximo", що означає "наближаюся".
Графічно завдання інтерполяції полягає в тому, щоб побудувати таку інтерполює функцію, яка б проходила через усі вузли інтерполяції. Найчастіше в якості інтерполює функції F (x) використовуються многочлени P n (x). Завдання полягає в тому, щоб підібрати многочлен P n ( x), що забезпечує необхідну інтерполяцію е.
Найбільш успішно для інтерполяції використовується поліном Ньютона, для запису якого у випадку інтерполяції функції з рівновіддаленими вузлами використовуються кінцеві різниці.
Термін "поліном" має те ж значення, як і слово "многочлен" і походить від "полі ..." - частина складних слів, що вказує на безліч, всебічний охоплення чи різноманітний склад чого-небудь (від грецького "polys" - багато, численний, великий) і латинського "nomen", тобто ім'я.
Кінцевою різницею першого порядку називається різниця:
Дy i = yi + 1 - y i, i = 0,1, .... , N - 1
Аналогічно визначаються кінцеві різниці другого і більш високих порядків.
Інтерполяційний поліном Ньютона.
Інтерполяційний многочлен Ньютона для рівновіддалених вузлів записується у вигляді:
P n (x) = y 0 + (xx 0) · Дy 0 / 1! H + (xx 0) (xx 1) · ДІy 0 / 2! Hі +....+ (x - x 0) (x - x 1) ... .. (x - x n -1) · Д n y 0 / n! H n
Рішення.
Виконання завдання I.
Напишемо вираз для інтерполяційного полінома Ньютона для експериментальних даних, наведених у вищевказаній таблиці. Кінцеві різниці вказані в "Додаток 2". З таблиці видно, що значення x є рівновіддаленими вузлами, так як зростають рівномірно з кроком h = 0,05. Ступінь полінома визначається числом (порядком) кінцевих різниць (в даному випадку їх дев'ять).
P n (x) = P 9 (x) = y 0 + (xx 0) Дy 0 / 1! H + (xx 0) (xx 1) ДІy 0 / 2! H 2 + ..
.. + (Xx 0) (xx 1) (xx 2) (xx 3) (xx 4) (xx 5) (xx 6) (xx 7) (xx 8) (xx 9) Д 9 y 0 / 9! h 9 =
0,860 + (x-0,15) (-0,041) / 1! · 0,05 + (x-0,15) (x-0,20) · 0,001 / 2! · 0,05 2 +
(X-0,15) (x-0,20) (x-0,25) · 0,001 / 3! · 0,05 3 + (x-0,15) (x-0,20) (x-0,25) (x-0,30) · (-0,001) / 4! · 0,05 4 +
(X-0,15) (x-0,20) (x-0,25) (x-0,30) (x-0,35) · 0 / 5! · 0,05 5 +
(X-0,15) (x-0,20) (x-0,25) (x-0,30) (x-0.35) (x-0,40) · 0,004 / 6! · 0,05 6 +
(X-0,15) (x-0,20) (x-0,25) (x-0,30) (x-0,35) (x-0,40) (x-0,45) · (-0,016) / 7! 0,05 +
(X-0,15) (x-0,20) (x-0,25) (x-0,30) (x-0,35) (x-0,40) (x-0,45) ( x-0,50) · 0,047 / 8! · 0,05 8 +
(X - 0,15) (x - 0,20) (x - 0,25) (x - 0,30) (x - 0,35) (x - 0,40) (x - 0,45) ( x - 0,50) (x - 0,55) · (-0,119) / 9! · 0,05 9.
Виконання завдання II.
1) Складання програми для обчислення значень функції в заданих точках за допомогою полінома Ньютона.
Крок перший:
Підготовка вихідних даних електронної таблиці в EXCEL:
а) Введемо текстові та числові константи (комірки A1: N4).
б) Введемо номери по порядку в комірки A5: A14.
в) Введемо вихідні дані в комірки B5: C14.
Таким чином підготовлена таблиця для виконання роботи.
Крок другий:
Введення формул:
а) Введення формул для обчислення кінцевих різниць першого порядку:
А.1) у клітинку D5 введемо формулу для обчислення Дy 0 = y 1 - y 0, яка набуде вигляду: = C6-C5;
a.2) копіюємо цю формулу в комірки D6: D13. У результаті в комірці D6
отримуємо формулу = C7-C6 (тобто Дy 1 = y 2 - y 1 = 0,779 - 0,819 = -0,040), у клітинці D7
отримуємо формулу = C8-C7 (тобто Дy 2 = y 3 - y 2 = 0,741 - 0,779 = -0,038) і т.д. до комірки D13, де
отримуємо формулу
= C14-C13 (тобто Дy 8 = y 9 - y 8 = 0,549 - 0,577 = -0,028)
б) Введення формул для обчислення кінцевих різниць другого порядку:
б.1) у клітинку E5 копіюємо формулу з комірки D5. У клітинці E5 з'явиться формула
= D6-D5 (тобто ДІy 0 = Дy 1 - Дy 0 = -0,040 - (-0,041) = 0,001). Копіюємо цю формулу в комірки E6: E12.
У клітинці E12 отримуємо формулу = D13 - D1 (тобто ДІy 7 = Дy 8 - Дy 7 = - 0,028 - (-0,029) = 0,001).
в) Введення формул для обчислення кінцевих різниць аж до дев'ятого порядку:
для обчислення всіх кінцевих різниць необхідно ввести тільки одну формулу (у клітинці D5), всі
інші будуть отримані копіюванням, тобто з комірки E5 копіюємо формулу в комірку F5, з F5 в G5 і т.д.
Відображення в режимі формул див. в "Додатку 1".
Відображення в режимі значень див. в "Додатку 2".
Крок третій:
Введення формул:
а) Введення формул для обчислення проміжних коефіцієнтів:
А.1) для обчислення першого проміжного коефіцієнта (xx 0 / 1! h) у клітинку M5 введемо формулу
= ($ N $ 2 - B5) / (A5 + 1) / $ F $ 2. У клітинці N2 знаходиться поточне значення x. При копіюванні адресу цього осередку змінювати не можна, тому ми використовуємо абсолютний адресу (значок $). У клітинці F2 знаходиться крок інтерполяції, адресу цього осередку теж абсолютний (значок $).
А.2) для обчислення другого проміжного коефіцієнта
(Xx 0) (x-x 1) / 2! H І = (xx 0) / 1 · h · (xx 1) / 2 · h = a · b,
де a коефіцієнт у клітинці M5, a = (xx 0) / 1h,
b коефіцієнт, на який потрібно помножити M5, b = (xx 1) / 2h,
вводимо в M6 формулу: = M5 * ($ N $ 2 - B6) / (A6 + 1) / $ F $ 2.
А.3) після введення даних у M5 і M6, для обчислення інших проміжних коефіцієнтів
копіюємо формулу з M6 в інші 7 нижчестоящі осередки. Вячейке M7 ми побачимо формулу:
= M6 * ($ N $ 2 - B7) / (A7 + 1) / $ F $ 2, у клітинці M8 ми побачимо формулу: = M7 * ($ N $ 2 - B8) / (A8 + 1) / $ F $ 2 і
т.д.
Крок четвертий:
Введення формул:
а) Введення формул для обчислення полінома Ньютона:
А.1) для обчислення першого полінома Ньютона, який дорівнює (xx 0) · Дy 0 / 1! h = (xx 0) / 1h · Дy 0, вміст комірки M5 треба помножити на вміст комірки D5, де зберігаються кінцеві різниці першого порядку . Вводимо в комірку N5 формулу = M5 * D $ 5. Знак $ перед номером рядка необхідний, тому що в полінома Ньютона знаходяться тільки кінцеві різниці з індексом нуль, тобто всі кінцеві різниці беруться тільки з рядка з номером 5;
А.2) для введення інших членів полінома Ньютона копіюємо формулу з N5 у інші 8 нижчестоящих осередків (включно по N13). Отримуємо в N6 формулу = M6 * E $ 5, у N7 формулу = M7 * F $ 5, у N8 формулу = M8 * G $ 5 і т.д. до осередку N13.
Крок п'ятий:
Введення формул:
а) Введення формул для обчислення суми коефіцієнтів полінома Ньютона:
А.1) об'єднаємо осередку A16: M16, потім в об'єднані клітинки введемо коментар
"Сума коефіцієнтів полінома";
А.2) у клітинку N16 вводимо формулу = СУММ (N5: N13). Тепер у N16 буде сума всіх членів полінома Ньютона, крім y 0. При x = 0,149 у клітинці N16 виходить число 0,001.
Крок шостий:
Введення формул:
а) Введення формул для обчислення значення полінома:
А.1) об'єднаємо осередку A18: M18, потім в об'єднані клітинки введемо коментар "Значення полінома";
А.2) у клітинку N18 вводимо формулу = N16 + C5. У клітинці N18 з'явиться число 0,861, що і є значення полінома, обчислене в точці x = 0,149
Крок сьомий:
Обчислення сум коефіцієнтів полінома і значень полінома
при x = 0,240; x = 0,430; x = 0,560.
а) у клітинку N2 вводимо 0,240. Результат:
у клітинці N16 - (-0,073); у клітинці N18 - (0.787);
б) у клітинку N2 вводимо 0,430. Результат:
у клітинці N16 - (-0,209); у клітинці N18 - (0,651);
в) у клітинку N2 вводимо 0.560. Результат:
у клітинці N16 - (-0,287); у клітинці N18 - (0,573).
Крок восьмий:
Для зручності отримані дані занесемо в нашу таблицю.
Таблиці додаються. Режим формул - "Додаток 1". Режим значень - "Додаток 2.
2) Складання програми для обчислення значень функції в заданих точках за допомогою функцій, що здійснюють прогноз обчислень (ТЕНДЕНЦІЯ і ПЕРЕДБАЧЕННЯ).
Екстраполяція (прогнозування) за допомогою функції апроксимації кривої.
Табличний процесор EXCEL надає можливість апроксимації з використанням "функцій апроксимації кривої"
Нехай у вузлах x 0, x 1, ..., x n відомі значення f (x 0), f (x 1), ..., f (x n). Необхідно здійснити екстраполяцію (прогнозування), тобто обчислити значення f (x n +1), f (x n +2), ....
У категорії Статистичні функції EXCEL для цього використовуються дві функції: ТЕНДЕНЦІЯ і ПЕРЕДБАЧЕННЯ, здійснюють лінійну апроксимацію кривої для даних масивів
x (x 0, x 1, ..., x n) і y (y 0, y 1, ..., y n) методом найменших квадратів.
Функція ТЕНДЕНЦІЯ має структуру:
ТЕНДЕНЦІЯ (y масив, x масив, x список)
y масив, x масив - дані з умови.
x список - це ті значення x, для яких потрібно порахувати значення функції f (x).
Функція ПЕРЕДБАЧЕННЯ має структуру:
ПЕРЕДБАЧЕННЯ (x; y масив; x масив)
Після апроксимації ця функція повертає лише одне прогнозоване значення y (для одного з заданих значень аргументів.
Робота з функцією ТЕНДЕНЦІЯ.
Крок перший:
Створимо електронну таблицю в EXCEL, використовуючи вихідні дані.
Крок другий:
Для того, щоб помістити результат в список підсумкових осередків C6: F6, виділимо ці клітинки.
Крок третій:
Далі необхідно клацнути по піктограмі Майстер функцій.
Крок четвертий:
а) У першому вікні виберемо категорію Статистичні, функцію ТЕНДЕНЦІЯ,
потім клацнемо по OK.
б) У вікні "Відомі значення y" введемо адресу блоку комірок C3: L3.
в) У вікні "Відомі значення x" введемо адресу блоку комірок C2: L2.
г) У вікні "Нові значення x" вкажемо адресу блоку комірок C5: F5.
Крок п'ятий:
Для підтвердження цієї функції одночасно натиснемо клавіші SHIFT / CTRL та ENTER. В осередках C6: F6 ми побачимо прогноз.
У режимі формул: у клітинці C6 - = ТЕНДЕНЦІЯ (C3: L3; C2: L2; C5)
у клітинці D6 - = ТЕНДЕНЦІЯ (C3: L3; C2: L2; D5)
у клітинці E6 - = ТЕНДЕНЦІЯ (C3: L3; C2: L2; E5)
у клітинці F6 - = ТЕНДЕНЦІЯ (C3: L3; C2: L2; F5)
У режимі значень: у клітинці C6 - 0,8610
у клітинці D6 - 0,7951
у клітинці E6 - 0,6576
у клітинці F6 - 0,5635
Таблиці додаються.
Режим формул - "Додаток 3". Режим значень "Додаток 4".
Робота з функцією ПЕРЕДБАЧЕННЯ.
Крок перший:
Створимо електронну таблицю в EXCEL, використовуючи вихідні дані.
Крок другий:
Для розміщення результату активізуємо комірку С6.
Крок третій:
а) За допомогою Майстра функцій викличемо функцію ПЕРЕДБАЧЕННЯ,
категорія Статистичні.
б) У вікні "x" вкажемо адресу осередку C6.
в) У вікні "Відомі значення y" вкажемо адресу блоку комірок C3: L3.
г) У вікні "Відомі значення x" вкажемо адресу блоку комірок C2: L2.
Крок четвертий:
Для підтвердження цієї функції клацнемо по OK. У клітинці C6 з'явиться результат. Для появи результату в інших осередках, виконаємо все те ж саме, по черзі активізуючи осередку D6, E6, F6.
У результаті ми побачимо:
У режимі формул:
у клітинці C6 - = передбачення (C5; C3: L3; C2: L2)
у клітинці D6 - = передбачення (D5; C3: L3; C2: L2)
у клітинці E6 - = передбачення (E5; C3: L3; C2: L2)
у клітинці F6 - = передбачення (F5; C3: L3; C2: L2)
У режимі значень: у клітинці C6 - 0,8506
у клітинці D6 - 0,7877
у клітинці E6 - 0,6564
у клітинці F6 - 0,5665
Таблиці додаються. Режим формул - "Додаток 5". Режим значень - "Додаток 6".
Підсумкова порівняльна таблиця.
Для порівняння значень функції в точках:
x 1 = 0,149;
x 2 = 0,240;
x 3 = 0,430;
x 4 = 0,560;
отриманих за допомогою трьох різних способів:
1 полінома Ньютона,
2 функції ТЕНДЕНЦІЯ,
3 функції ПЕРЕДБАЧЕННЯ;
створимо порівняльну таблицю,
| x | Значення полінома Ньютона | Прогнозування значення функції за допомогою функцій: | ||||||
| ТЕНДЕНЦІЯ | ПЕРЕДБАЧЕННЯ | |||||||
| 0,149 | 0,861 | 0,86 * | 0,861 | 0,86 * | 0,8506 | 0,85 * | ||
| 0,240 | 0,787 | 0,79 * | 0,795 | 0,80 * | 0,7877 | 0,79 * | ||
| 0,430 | 0,651 | 0,65 * | 0,658 | 0,66 * | 0,6564 | 0,66 * | ||
| 0,560 | 0,573 | 0,57 * | 0,564 | 0,56 * | 0,5665 | 0,57 * | ||
Висновок: значення функції в заданих чотирьох точках ми отримали трьома різними способами. Для наочності всі отримані дані ми звели в підсумкову порівняльну таблицю. Видно, що результати вийшли не зовсім однакові. Але проте в цілому, відхилення у значеннях в межах 0,01, що цілком припустимо для наших даних. Для того, щоб отримати більш точні значення функції в певній точці, необхідно, щоб початкові дані були представлені більш широким спектром вузлів.
Завдання 2.
Рішення систем рівнянь в EXCEL.
Вирішити задану систему рівнянь:
1) методом зворотної матриці;
2) методом простих ітерацій.
0,1 x 1 + 4,6 x 2 + 7,8 x 3 = 9,8
2,8 x 1 + 6,1 x 2 + 2,8 x 3 = 6,7
4,5 x 1 + 5,7 x 2 + 1,2 x 3 = 5,8
Мета роботи: навчитися вирішувати в EXCEL системи кінцевих рівнянь методом зворотної матриці і простих ітерацій.
Основні поняття.
Рівняння - це математична запис задачі про розвідці значень аргументів, при яких значення даних функцій дорівнюють. Аргументи, від яких залежать функції, називаються невідомими, а значення невідомих, при яких значення функцій дорівнюють, називаються рішеннями (корінням).
Матриця - це прямокутна таблиця будь-яких елементів a ik (чисел, математичних виразів), що складається з m рядків і n стовпців. Якщо m = n, то матриця називається квадратної.
Детермінант (визначник) - це число detA, яке можна зіставити квадратної матриці А.
Мінором деякого елемента а ij визначника n-го порядку називається визначник n першого порядку, отриманий з вихідного шляхом викреслювання рядка і стовпця, на перетині яких знаходиться вибраного.
Алгебраїчним доповненням елемента а ij визначника називається його мінор, взятий зі знаком "+", якщо сума "i + j" парне число, і зі знаком "-", якщо ця сума непарна.
Ітерація - це повторне застосування будь-яких математичних операцій. Походить від латинського "iteratio", що в перекладі означає "повторення".
Рішення.
1). Математичний розрахунок рішення системи рівнянь методом зворотної матриці.
Дана система трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими.
а). Розглянемо матриці:
- Матриця системи (складена з коефіцієнтів при невідомих):
0,1 4,6 7,8
А = 2,8 6,1 2,8
4,5 5,7 1,2
- Матриця невідомих:
x 1
X = x 2
x 3
- Матриця вільних членів:
9,8
B = 6,7
5,8
б). Знайдемо детермінант (визначник) матриці А.
За визначенням: det A = a 11 · A 11 + a 12 · A 12 + a 13 · A 13 ,
де a 11, a 12, a 13 - елементи першого рядка матриці A,
A 11, A 12, A тринадцятий алгебраїчні доповнення.
- Якщо detA = 0, то зворотної матриці не існує;
- Якщо detA ≠ 0, то зворотна матриця існує.
Для того, щоб знайти детермінант необхідно порахувати алгебраїчні доповнення.
За визначенням: A ik = (-1) i + k · M ik,
де i - номер рядка матриці,
k - номер стовпця матриці,
M - мінор.
- Якщо сума i + k парна, то A ik = 1 · M ik
A 11 = 6,1 · 1,2 - 5,7 · 2,8 = 7,32 - 15,96 = - 8,64
A 12 = 2,8 · 1,2 - 4,5 · 2,8 = 3,36 - 12,6 = 9,24
A 13 = 2,8 · 5,7 - 4,5 · 6,1 = 15,96 - 27,45 = -11,49
Тепер ми можемо порахувати детермінант.
detA = 0,1 · (-8,64) + 4,6 · 9,24 + 7,8 · (-11,49) = -0,864 + 42,504 - 89,622 = - 47,982
detA ≠ 0 => зворотна матриця існує і можна продовжувати обчислення.
в). Знайдемо обернену матрицю А -1.
За визначенням:
A 11 A 21 A 31
A -1 = A 12 A 22 A 32 · 1 / detA,
A 13 A 23 A 33
де А 11, ..., А 33 - алгебраїчні доповнення матриці А.
Для знаходження оберненої матриці А -1, спочатку порахуємо всі алгебраїчні доповнення матриці А:
A 21 = 4,6 7,8 = 4,6 · 1,2 - 7,8 · 5,7 = 5,52 - 44,46 = + 38,94
5,7 1,2
A 22 = 0,1 7,8 = 0,1 · 1,2 - 7,8 · 4,5 = 0,12 - 35,1 = - 34,98
4,5 1,2
A 23 = 0,1 4,6 = 0,1 · 5,7 - 4,6 · 4,5 = 0,57 - 20,7 = + 20,13
4,5 5,7
A 31 = 4,6 7,8 = 4,6 · 2,8 - 7,8 · 6,1 = 12,88 - 47,58 = - 34,7
6,1 2,8
A 32 = 0,1 7,8 = 0,1 · 2,8 - 2,8 · 7,8 = 0,28 - 21,84 = + 21,56
2,8 2,8
A 33 = 0,1 4,6 = 0,1 · 6.1 - 4,6 · 2,8 = 0,61 - 12,88 = - 12,24
2,8 6,1
Тепер ми можемо порахувати зворотну матрицю А -1, підставивши у формулу отримані дані:
1/detA = 1 / - 47,982 = - 0,0208411
- 8,64 38,94 - 34,7 0,1800675 - 0,8115543 0,72318786 A -1 = - 0,0208411 · 9,24 - 34,98 21,56 = - 0,1925722 0,7290234 0, 44933516
- 11,49 20,13 - 12,27 0,2394647 - 0,4195323 0,25572089
Щоб дізнатися чи правильно ми знайшли зворотну матрицю, необхідно зробити перевірку. Якщо виконується рівність:
A -1 · A = E, де E - одинична матриця, то зворотна матриця знайдена вірно.
0,1800675 - 0,8115543 0,7231879 0,1 4,6 7,8
A -1 · A = - 0,1925722 0,7290234 - 0,4493352 · 2,8 6,1 2,8
0,2394647 - 0,4195323 0,2557209 4,5 5,7 1,2
Зробимо проміжні обчислення:
З 11 = 0,1800675 · 0,1 + (-0,8115543) · 2,8 + 0,7231879 · 4,5 = 1
C 12 = 0,1800675 · 4,6 + (-0,8115543) · 6,1 + 0,7231879 · 5,7 = 0
C 13 = 0,1800675 · 7,8 + (-0,8115543) · 2,8 + 0,7231879 · 1,2 = 0
C 21 = (-0,1925722) · 0,1 + 0,7290234 · 2,8 + (-0,4493352) · 4,5 = 0
C 22 = (-0,1925722) · 4,6 + 0,7290234 · 6,1 + (-0,4493352) · 5,7 = 1
C 23 = (-0,1925722) · 7,8 + 0,7290234 · 2,8 + (-0,4493352) · 1,2 = 0
C 31 = 0,2394647 · 0,1 + (-0,4195323) · 2,8 + 0,2557209 · 4,5 = 0
C 32 = 0,2394647 · 4,6 + (-0,4195323) · 6,1 + 0,2557209 · 5,7 = 0
З 33 = 0,2394647 · 7,8 + (-0,4195323) · 2,8 + 0,2557209 · 1,2 = 1
1 0 0
A -1 · A = 0 1 0 = E
0 0 1
Обернену матрицю знайшли вірно.
г). Знайдемо матрицю X (матрицю невідомих).
За визначенням: X = A -1 · B,
де B - вихідна матриця B (матриця вільних членів).
0,1800675 - 0,8115543 0,7231879 9,8 0,521737
X = - 0,1925722 0,7290234 - 0,4493352 · 6,7 = 0,391105
0,2394647 - 0,4195323 0,2557209 5,8 1,019069
Матрицю X знайшли, відповідно корені рівнянь:
x 1 = 0,521737
x 2 = 0,391105
x 3 = 1,019069
д). Перевірка. Підставимо у вихідну систему рівнянь отримані значення:
0,1 · 0,521737 + 4,6 · 0,391105 + 7,8 · 1,019069 = 0,0521737 + 1,799083 + 7,9487382 = 9,7999949 = 9,8
2,8 · 0,521737 + 6,1 · 0,391105 + 2,8 · 1,019069 = 1,4608636 + 2,385745 + 2,8533932 = 6,6999742 = 6,7
4,5 · 0,521737 + 5,7 · 0,391105 + 1,2 · 1,019069 = 2,3478165 + 2,229298 + 1,2229152 = 5,8000252 = 5,8
Система рівнянь методом зворотної матриці вирішена вірно.
1.1). Складання програми для вирішення системи рівнянь методом зворотної матриці в EXCEL.
Крок перший:
Для вирішення системи рівнянь в EXCEL необхідно підготувати таблицю з вихідними даними:
а). Введемо текстові та числові константи (комірки A1: E10).
Крок другий:
Необхідно звернути матрицю А. Застосовувана для звернення матриці функція МОБР повертає масив значень, який вставляється відразу в цілий стовпець осередків.
а). Виділимо осередки А11: С13, куди буде поміщена зворотна матриця.
б). За допомогою Майстра функцій викличемо функцію МОБР, категорія Математичні.
в). У вікні "Масив" вкажемо адресу масиву вихідної матриці A6: C8.
г). Для того, щоб вставити формулу в усі виділені комірки (A11: C13), натиснемо одночасно клавіші Ctrl + Shift + Enter.
В осередках A11: C13 з'явиться:
- У режимі формул - = МОБР (А6: C8);
- В режимі значень - масив оберненої матриці.
Крок третій:
Для множення оберненої матриці на стовпець вільних членів:
а). Виділимо осередку E11: E13.
б). За допомогою Майстра функцій виберемо функцію МУМНОЖ, категорія Математичні.
в). У вікно "Масив 1" введемо адреса масиву оберненої матриці A11: C13.
г). У вікно "Масив 2" введемо адреса масиву матриці вільних членів E6: E8.
д). Щоб вставити Формули в усі виділені комірки (E11: E13), натиснемо одночасно клавіші Ctrl + Shift + Enter.
В осередках E11: E13 з'явиться:
- У режимі формул - = МУМНОЖ (А11: C13; E6: E8);
- В режимі значень - компоненти векторів рішення x 1, x 2, x 3.
Таблиці додаються. Режим формул - "Додаток 7". Режим значень - "Додаток 8".
1.2). Перевірка - порівняння результатів, отриманих різними способами.
Для наочності створимо порівняльну таблицю:
| Математичний розрахунок методом зворотної матриці | Звернення матриці в EXCEL | |
| x 1 | 0,521737 | 0,521737318 |
| x 2 | 0,391105 | 0,391104998 |
| x 3 | 1,019069 | 1,019069651 |
Спочатку запропоновану нам систему рівнянь ми вирішили методом зворотної матриці. Потім в EXCEL склали спеціальну програму, що дозволяє вирішити систему рівнянь шляхом звернення матриці.
Для наочності отримані результати занесли в порівняльну таблицю.
З таблиці видно, що результати вийшли практично однаковими. Відхилення у значеннях розходяться в таких малих межах, що є допустимими для нашого випадку. Однак це сталося через те, що при виконанні математичних розрахунків значення округлювалися.
Таким чином, ми виявили, що в EXCEL результати виходять більш точні.
2) Рішення заданої системи рівнянь методом простих ітерацій.
Для того, щоб вирішити систему трьох лінійних рівнянь методом простих ітерацій, необхідно її перетворити так, щоб діагональні коефіцієнти матриці x 1, x 2, x 3 були максимальними за модулем. Цим виконується 1-е умова збіжності ітераційного процесу.
Задана нам система має вигляд:
0,1 x 1 + 4,6 x 2 + 7,8 x 3 = 9,8
2,8 x 1 + 6,1 x 2 + 2,8 x 3 = 6,7
4,5 x 1 + 5,7 x 2 + 1,2 x 3 = 5,8
a) Досить добре видно, що для перетворення нам достатньо тільки поміняти місцями перше і третє рівняння. Вийде система виду:
4,5 x 1 + 5,7 x 2 + 1,2 x 3 = 5,8
2,8 x 1 + 6,1 x 2 + 2,8 x 3 = 6,7
0,1 x 1 + 4,6 x 2 + 7,8 x 3 = 9,8
б) Для вирішення системи рівнянь методом простих ітерацій необхідно представити отриману систему рівнянь у ітераційної формі, записавши кожне з трьох рівнянь у вигляді рішення щодо тієї невідомої змінної, яка має найбільший за модулем коефіцієнт.
4,5 x 1 + 5,7 x 2 + 1,2 x 3 = 5,8
x 1 = - 5,7 x 2 / 4,5 - 1,2 x 3 / 4,5 + 5,8 / 4,5
2,8 x 1 + 6,1 x 2 + 2,8 x 3 = 6,7
x 2 = - 2,8 x 1 / 6,1 - 2,8 x 3 / 6,1 + 6,7 / 6,1
0,1 x 1 + 4,6 x 2 + 7,8 x 3 = 9,8
x 3 = - 0,1 x 1 / 7,8 - 4,6 x 2 / 7,8 + 9,8 / 9,7
У ітераційної формі отримали систему:
x 1 = - 5,7 x 2 / 4,5 - 1,2 x 3 / 4,5 + 5,8 / 4,5
x 2 = - 2,8 x 1 / 6,1 - 2,8 x 3 / 6,1 + 6,7 / 6,1
x 3 = - 0,1 x 1 / 7,8 - 4,6 x 2 / 7,8 + 9,8 / 9,7
в) Перевірка виконання першої умови збіжності методу для даної системи.
При використанні ітераційного методу розв'язання необхідно обов'язково перевірити дві умови збіжності методу для даної системи. Перша умова у нас виконано (діагональні коефіцієнти матриці x 1, x 2, x 3 в отриманої системі є максимальними за модулем).
г) Перевірка виконання другої умови збіжності методу для даної системи (умова "НОРМА").
Тепер необхідно перевірити умова "НОРМА" (позначається ║ C ║), тобто необхідно оцінити збіжність методу для даної системи, яка залежить тільки від матриці коефіцієнтів [C]. Процес сходиться лише в тому випадку, якщо норма матриці [С] менше одиниці, тобто
║ C ║ = √ Σa aj 2 <1
У ітераційної формі маємо систему:
x 1 = - 5,7 x 2 / 4,5 - 1,2 x 3 / 4,5 + 5,8 / 4,5
x 2 = - 2,8 x 1 / 6,1 - 2,8 x 3 / 6,1 + 6,7 / 6,1
x 3 = - 0,1 x 1 / 7,8 - 4,6 x 2 / 7,8 + 9,8 / 7,8
або
x 1 = 0 - 5,7 x 2 / 4,5 - 1,2 x 3 / 4,5 + 1,288889
x 2 = 2,8 x 1 / 7,8 - 0 - 2,8 x 3 / 6,1 + 1,0983607
x 3 = 0,1 x 1 / 7,8 - 4,6 x 2 / 7,8 - 0 + 1,2564103
Перевірка виконання другої умови "НОРМА":
0 - 5,7 / 4,5 - 1,2 / 4,5
[C] = - 2,8 / 6,1 0 - 2,8 / 6,1
- 0,1 / 7,8 - 4,6 / 7,8 0
║ C ║ = √ У a ij 2 <1
║ C ║ = √ (-5,7 / 4,5) 2 + (-1,2 / 4,5) 2 + (-2,8 / 6,1) 2 + (-2,8 / 6,1 ) 2 + (-0,1 / 7,8) 2 + (-4,6 / 7,8) 2
║ C ║ = √ (-1,2666667) 2 + (-0,2666667) 2 + (-0,4590164) 2 + (-0,4590164) 2 + (-0,0128205) 2 + (-0,5897436 ) 2
║ C ║ = √ (1,6044445) + (0,0711111) + (0,2106961) + (0,2136961) + (0,0001691) + (0,3477975)
║ C ║ = √ 2,4449144
║ C ║ = 1,5636222> 1
Таким чином, термін "НОРМА" не виконано.
Висновок: так як друга умова збіжності ітераційного процесу не виконано, то рішення даної системи рівнянь не може бути отримано методом простих ітерацій.
Завдання 3.
Комплексні числа.
Наведені два комплексних числа, записані в показовій формі.
z 1 = 3e - (р / 4) i
z 2 = е (р / 4) i
1). Записати ці числа в тригонометричній формі;
2). Знайти суму z 1 + z 2 і твір z 1 · z 2, перевівши їх в алгебраїчну форму запису;
3). Зобразити на комплексній площині операнди та результати.
Основні поняття.
Комплексним числом називається вираз виду
z = x + iy, де
"X" і "y" - дійсні числа,
"I" - символ, званий уявною одиницею і задовольняє вимоги i 2 = -1.
Операнд - розмір, що являє собою об'єкт операції, реалізованої ЕОМ в ході виконання програми обчислень.
Рішення.
1). Тригонометрична форма запису.
Положення точки z на комплексній площині однозначно визначається не тільки декартовими координатами x, y, але й полярними координатами r, ц. Скориставшись зв'язком декартових і полярних координат, отримаємо тригонометричну форму запису комплексного числа
z = r cos ц + ir sin ц = r (cos ц + i sin ц),
де cos ц + sin ц = e i ц => Ц = р / 4
При цьому r називають модулем, а ц - аргументом комплексного числа.
1.1) z 1 = 3 · (cos р / 4 i sin р / 4) = 3 √ 2 / 2 i 3 √ 2 / 2
1.2) z 2 = r · e i ц = R (cos р / 4 + i sin р / 4) = √ 2 / 2 + i √ 2 / 2
2). Алгебраїчна форма запису:
2.1) Сума.
Якщо z 1 = x 1 + iy 1, а z 2 = x 2 + iy 2, то
z 1 + z 2 = (x 1 + iy 1) + (x 2 + iy 2) = (x 1 + x 2) + i (y 1 + y 2)
z 1 + z 2 = (3 √ 2 / 2 + √ 2 / 2) + i (3 √ 2 / 2 + √ 2 / 2) = 4 √ 2 / 2 i 2 √ 2 / 2 = = 2 √ 2 - i √ 2
2.2) Твір.
Якщо z 1 = x 1 + iy 1, а z 2 = x 2 + iy 2, то
z 1 · z 2 = (x 1 + iy 1) · (x 2 + iy 2) = (x 1 x 2 y 1 y 2) + i (x 1 y 2 + x 2 y 1)
z 1 · z 2 = (3 √ 2 / 2 · √ 2 / 2 + 3 √ 2 / 2 · √ 2 / 2) + i (3 √ 2 / 2 · √ 2 / 2 - √ 2 / 2 · 3 √ 2 / 2) =
= 3 · 2 / 4 + 3 · 2 / 4 + i · 0 = 3
3). Зображення на комплексній площині операнд і результатів.
Для спрощення перетворимо значення x і y з простих дробів у десяткові.
x 1 = 3 √ 2 / 2 = 2,1 y 1 = - 3 √ 2 / 2 = -2,1
x 2 = √ 2 / 2 = 0,7 y 2 = √ 2 / 2 = 0,7
x 3 = 2 √ 2 = 2,8 y 3 = - √ 2 = -1,4
x 4 = 3 y 4 = 0
y
0,7 Z 2
0,7 2,1 2,8
0 Z 4
3 x
- 1,4 Z 3
- 2,1 Z 1
Операнди - Z 1 і Z 2
Результати - Z 1 + Z 2 = Z 3
Z 1 · Z 2 = Z 4