ЛЕКЦІЯ № 1
Чисельні методи являють собою набір алгоритмів, що дозволяють отримувати наближене (чисельне) вирішення математичних завдань.
Похибки, що виникають при вирішенні завдань, бувають двох видів:
1) абсолютна
2) відносна
Емпіричні дані:
Похибки Випадкові Помилки
вимірювального перешкоди набору
приладу
1) Знаходження нулів функції;
2) Системи лінійних і нелінійних рівнянь;
3) Наближення функції. Інтерполяція. Екстраполяція.
4) Рішення диференціальних рівнянь.
5) Розрахунок власних значень і власних векторів матриць.
Знаходження нулів ФУНКЦІЇ
Загальна постановка задачі
Дана деяка функція f (х). Необхідно знайти хоча б одне значення х, при якому f (х) = 0.
Етапи:
1) Відділення коренів.
Область визначення функції розбивається на відрізки, на кожному з яких
міститься єдиний корінь функції.
2) Уточнення кореня за допомогою одного з чисельних методів на кожному з обраних відрізків.
Нуль функції - точка перетину графіка функції з віссю Ох.
Безперервність f (х) в точці х 0:
Похідна функції: f '=
Фізичний сенс: f '(х 0) - швидкість
Геометричний зміст: f '(х 0)-тангенс кута похилої дотичній до графіка функції, проведеної в даній точці.
Якщо функція диференційовна в крапці, то вона неперервна. Зворотне не вірно.
Границя функції в точці:
| F (x) - A | <ε
Градієнт функції - це вектор.
Геометричний сенс: показує напрям локального зростання функції в даній точці.
1) Спостерігаємо зміну знака функції.
2) Досліджуємо функцію на монотонність.
Теорема № 1: якщо функція f (x) неперервна на відрізку [a, b] і в кінцях відрізка приймає значення різних знаків, то на цьому відрізку функція має хоча б один корінь.
f (x)
f (a) * f (b) <0 →
Теорема № 2: якщо функція неперервна і монотонна на відрізку і в кінцях відрізка приймає значення різних знаків, то на цьому відрізку існує тільки єдиний корінь функції.
f (x)
Методом половинного ділення
Дано: f (x) неперервна на [a, b], на [a, b] існує дінственний корінь f (x) = 0, ε
1) Ділимо відрізок навпіл. Отримуємо точку
із = (b + a) / 2.
Якщо f (a) * f (c) <0, то b: = c.
Якщо f (b) * f (c) <0, то а: = з
2) Продовжуємо ділити [a, b] на 2, поки | ba |> ε, де ε-задана точність.
ЛЕКЦІЯ № 2
Метод хорд
Дано: 1) f (x)
2) f (a) * f (b) <0
3) f '(x) і f''(x) знакопостоянна на відрізку [a, b].
4) ε, щоб отримати f (x) = 0
1) f (b) 2)
f '(x)>
0 f '(x)> 0
f''(x)>
0 f''(x) <0
f (a) a x
3) 4)
f '(x)
<0 f '(x) <0
f''(x)
<0 f''(x)> 0
x 1 (x 1, f (x 1))
b - нерухомий кінець відрізка.
Для випадків 1), 3)
Для випадків 2), 4)
Можемо ввести деяку з:
Алгоритм:
1) Обчислюємо нерухомий кінець відрізка січних за формулою (2.3)
2) Знаходимо перше наближення до кореня за формулою (2.1)
3) Знаходимо перше наближення до кореня за формулою (2.2) до тих пір, поки модуль різниці двох останніх наближень не стане менше заданої точності. У цьому випадку, значенням кореня є останнє наближення.
Метод дотичних
Дано: 1) f (x)
2) f (a) * f (b) <0;
3) f '(x) і f''(x) знакопостоянни на [a, b];
4) ε, щоб вирішити рівняння f (x) = 0
т. х 0
y = f (x 0) + f '(x 0) (xx 0) -
рівняння дотичної
a x 2 x 1 b
y = f (b) + f '(b) * (xb)
(X 1, 0): 0 = f (b) + f '(b) (x 1-b)
x 1 =
x 2 =
x n +1 =
Другий підхід (метод Ньютона):
0 = f (
x 0 =
Алгоритм:
1) За формулою (2.5) знаходимо перше наближення до кореня х 0 (початкове)
2) За формулою (2.4) знаходимо наступне наближення до кореня до тих пір, поки модуль різниці двох останніх наближень не стане заданої точності. У цьому випадку корінь дорівнює останньому наближенню.
Метод ітерацій
Дано: 1) f (x)
2) f (a) * f (b) <0
3) f '(x) знакопостоянна
4) ε, f (x) = 0
Рівняння f (x) = 0 замінюється рівнянням виду x = φ (x)
φ (x) = xf (x) * C (2.6)
Поки | x n +1-x n | <ε
φ '> 0
Будував послідовник
Вибираємо
Знаходимо значення функції
x 2 = φ (x 1), x 3 = φ (x 2)
x n +1 = φ (x n) (2.7)
Точка ε, для якої виконується ε = f (ε), називається нерухомою точкою методу ітерацій. Очевидно, що ця точка є коренем рівняння f (x) = 0.
φ (ε)
0
f (ε)
Достатня умова: для того, щоб метод ітерацій сходився достатньо щоб:
1) φ (x)
2) φ (x) значення
3) | φ (x) | <1 для всіх
Константа С у формулі (2.6) підбирається таким чином, аби функція
φ (x) задовольняла умовам збіжності методу ітерацій.
Швидкість збіжності методу Ньютона (дотичних) вище збіжності методу січних (хорд).
ЛЕКЦІЯ № 3
МЕТОДИ РІШЕННЯ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
Загальний вигляд алгебраїчного рівняння:
а 0 х n + а 1 х n +1 + ... + а n -1 х + a n = 0, a +0
n = 1: а 0 х + a 1 = 0, x =
n = 2: а 0 х 2 + a 1 x + a 2 = 0, x 1,2 =
Алгебраїчне рівняння n-ступеня має рівно n коренів.
Теорема Вієта (узагальнена):
x n +
x 1 + x 2 + ... + x n =-
x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n-1 x n =
x 1 x 2 x 3 ... x n = (-1)
Нехай усі корені рівняння (3.1) дійсні, різні і задовольняють співвідношенням:
| X 1 |>> | x 2 |>> ...>> | x n | (3.3)
Перетворимо:
Підставимо (3.4): х 2 =-
х k = -
Корені рівняння, що задовольняють співвідношення (3.3), називаються окремими. Завдання полягає в тому, щоб по вихідному рівнянню побудувати таке рівняння, корені якого будуть відокремлені.
y i =- x i m
b 0 y n + b 1 y n-1 + ... + b n-1 y + b n = 0 (3.6)
| X 1 |> | x 2 |> ...> | x n |
Розв'язавши рівняння (3.6), коріння якого є окремими, отримаємо рівняння y 1 ... y n
Значить | y i -1 |>> | x i |
МЕТОД ЛОБАЧЕВСКОГО
Для відділення коренів Лобачевський запропонував метод квадратірованія - спосіб побудови по вихідному рівнянню нового рівняння, коні якого пов'язані з корінням вихідного наступним чином:
y i =- x i 2 (3.7)
Процедура виконання багаторазово, поки не досягнемо серйозної різниці модуля різниці коренів
b 0 (m) y n + b 1 (m) y n-1 + ... + b n-1 (m) y + b n (m) = 0 (3.8)
Нехай рівняння (3.8) отримано в результаті m-го кроку квадрірованія.
m = 1 b 0 (1) = a 0 2, b 1 (1) = a 2 січня = 2 a 0 a 2
b k (1) = a k 2-2a k-1 a k +1 +2 a k-2 a k +2 ...., k = 0, n
При отриманні b k коефіцієнта, що розраховується як квадрат відповідного коефіцієнта a k мінус подвоєне твір сусідніх коефіцієнтів з a k плюс подвоєне твір наступної пари сусідів, чергуючи знаки, поки в число сусідніх коефіцієнтів не потраплять а 0 і а n.
b k (m) = (b 0 (m-1)) 2-2b k-1 (m-1) b k-1 (m-1) + 2 b k-2 (m-1) b k +2 ( m-1)
Критерій зупинки: b k (m) ≈ (b 0 (m -1)) 2, k = 0, n (3.10)
Отримаємо корінь: y i (m) =- x i 2
(3.11)-зв'язок коренів, отриманих на m-кроку процесу квадрірованія з корінням вихідного рівняння.
y i на m-кроку:
Знак x i визначається шляхом підстановки у вихідне рівняння. Ті коефіцієнти, які будуть відповідати за наявність комплексних коренів, мають наступний ознака: один або кілька коефіцієнтів в ході процесу квадрірованія ведуть себе неправильно (всі інші коефіцієнти → до квадратах попередніх, а неправильні → до квадратах попередніх можуть міняти знак).
Ознака наявності кратних коренів: один або кілька коефіцієнтів → до половини квадрата коефіцієнта попереднього кроку.
МЕТОДИ рішення систем алгебраїчних рівнянь
СЛАР
Методи розв'язування СЛАР діляться на точні й наближені. До точних методів належать метод Гаусса, метод Крамера, метод оберненої матриці.
Існують наближені методи: метод ітерацій, Зейделя і т.д.
Загальний вигляд СЛАР:
Скільки змінних стільки й обмежень на них.
Т.ч. геометричний зміст рішення СЛАР - точка перетину гіперплощини в n-мірному просторі.
Матриця:
C n * k * D k * m = Z n * m, A n * n * B n * 1 = X n * 1
ЛЕКЦІЯ № 4
Метод Гауса
Метод має прямий і зворотний хід. Будемо розглядати процедуру прямого ходу методу з вибором головного елемента. Головний елемент - максимальний за модулем елемент матриці, обраний на заданій множині рядків і стовпців.
1 крок: Вибираємо в матриці А максимальний елемент по всіх рядках і стовпцях. Шляхом перестановки рядків і стовпців ставимо цей елемент на місце а 11. Тепер а 11 - головний елемент.
А → А 1 → А 2 → ... → А n
А n повинна буде містити нижче головної діагоналі всі нулі.
Отримаємо систему виду
Нехай а 22 1 - максимальний за модулем елемент матриці А 1 по рядках i ≥ 2 і стовпцях j ≥ 2. Якщо це не так, то домагаємося цього шляхом перестановки рядків і стовпців.
А 2:
У 2: b 2 Січень = b 1 січня; b 2 лютого = b 2 1 / a 22 січня; b i 2 = b i 1-b 2 2-b 2 лютого a i2 1
Нехай а до к +1 максимальний по модулю елемент матриці А до, i ≥ k, j ≥ k.
Нехай на деякому кроці k <n елемент
Якщо хоча б один елемент b i k при i ≥ k +1 ¹ 0, то рішення у системи немає.
Якщо була отримана матриця А n, то система має єдиний розв'язок.
Починається зворотний хід методу Гаусса.
det A =
Мінор H ij елемента матриці a ij є визначник, отриманий з матриці А шляхом викреслювання i Рядок і j стовпця.
Алгебраїчне доповнення А ij елемента а ij називається число, рівне
А ij = (-1) i + j * M ij
Способи обчислення визначників
1. Привести визначник до трикутного вигляду (нижче головної діагоналі всі елементи = 0). Досягти цього можна шляхом віднімання (додавання) рядків визначника, помножених на деяке число. При перестановки рядків / стовпців знак визначника змінюється на протилежний. Визначник трикутного вигляду дорівнює добутку елементів головної діагоналі.
2. Рекурентний спосіб заснований на тому, що визначник дорівнює сумі добутків елементів рядка / стовпця на їх алгебраїчні доповнення. Т.ч. задача обчислення визначника n-го порядку зводиться до обчислення n визначників n-1 порядку.
Найбільш доцільно розкладати визначник тому рядку / стовпцю, яка містить максимальну кількість нулів. Алгебраїчне доповнення 0-го елемента можна не обчислювати.
Нехай дана система рівнянь виду Ах = В
Якщо визначник А = 0, то система може рішень не мати, або мати нескінченну безліч рішень.
Якщо визначник А ≠ 0, то коріння системи можуть бути знайдені в такий спосіб.
Нехай А к-матриця, отримана з матриці А шляхом замін к-го стовпця на матрицю-стовпець В. Тоді рішення
Помножимо обидві частини системи на А -1:
А -1 * Ах = А -1 * У → х = А -1 * У
Способи знаходження оберненої матриці:
1. Спосіб заснований на методі Гаусса.
Записати матрицю А, а поруч з нею одиничну матрицю. Виконуючи елементарні перетворення матриці А, паралельно виконувати ті ж перетворення над одиничної матрицею. Як тільки матриця А перетворилася на одиничну на місці вихідної одиничної матриці буде обернена до матриці А.
2. Через алгебраїчні доповнення.
Скласти матрицю алгебраїчних доповнень, в якій на місці a ij елементів будуть знаходитися A ij.
Розділити кожний елемент матриці алгебраїчних доповнень на detA.
Транспонувати матрицю алгебраїчних доповнень, тобто поміняти місцями елементи, симетричні відносно головної діагоналі.
Чисельні методи являють собою набір алгоритмів, що дозволяють отримувати наближене (чисельне) вирішення математичних завдань.
Похибки, що виникають при вирішенні завдань, бувають двох видів:
1) абсолютна
2) відносна
Емпіричні дані:
Похибки Випадкові Помилки
вимірювального перешкоди набору
приладу
1) Знаходження нулів функції;
2) Системи лінійних і нелінійних рівнянь;
3) Наближення функції. Інтерполяція. Екстраполяція.
4) Рішення диференціальних рівнянь.
5) Розрахунок власних значень і власних векторів матриць.
Знаходження нулів ФУНКЦІЇ
Загальна постановка задачі
Дана деяка функція f (х). Необхідно знайти хоча б одне значення х, при якому f (х) = 0.
Етапи:
1) Відділення коренів.
Область визначення функції розбивається на відрізки, на кожному з яких
міститься єдиний корінь функції.
2) Уточнення кореня за допомогою одного з чисельних методів на кожному з обраних відрізків.
Нуль функції - точка перетину графіка функції з віссю Ох.
Безперервність f (х) в точці х 0:
Похідна функції: f '=
Фізичний сенс: f '(х 0) - швидкість
Геометричний зміст: f '(х 0)-тангенс кута похилої дотичній до графіка функції, проведеної в даній точці.
Якщо функція диференційовна в крапці, то вона неперервна. Зворотне не вірно.
Границя функції в точці:
| F (x) - A | <ε
Градієнт функції - це вектор.
Геометричний сенс: показує напрям локального зростання функції в даній точці.
x |
y |
x |
y |
1) Спостерігаємо зміну знака функції.
2) Досліджуємо функцію на монотонність.
Теорема № 1: якщо функція f (x) неперервна на відрізку [a, b] і в кінцях відрізка приймає значення різних знаків, то на цьому відрізку функція має хоча б один корінь.
f (x)
f (a) * f (b) <0 →
Теорема № 2: якщо функція неперервна і монотонна на відрізку і в кінцях відрізка приймає значення різних знаків, то на цьому відрізку існує тільки єдиний корінь функції.
Методом половинного ділення
f (b) |
f (x) |
f (a) |
0 a c b |
Дано: f (x) неперервна на [a, b], на [a, b] існує дінственний корінь f (x) = 0, ε
1) Ділимо відрізок навпіл. Отримуємо точку
із = (b + a) / 2.
Якщо f (a) * f (c) <0, то b: = c.
Якщо f (b) * f (c) <0, то а: = з
2) Продовжуємо ділити [a, b] на 2, поки | ba |> ε, де ε-задана точність.
ЛЕКЦІЯ № 2
Метод хорд
Дано: 1) f (x)
2) f (a) * f (b) <0
3) f '(x) і f''(x) знакопостоянна на відрізку [a, b].
4) ε, щоб отримати f (x) = 0
1) f (b) 2)
f '(x)>
0 f '(x)> 0
f''(x)>
0 f''(x) <0
f '(x)
<0 f '(x) <0
f''(x)
<0 f''(x)> 0
x 1 (x 1, f (x 1))
b - нерухомий кінець відрізка.
Для випадків 1), 3)
Для випадків 2), 4)
Можемо ввести деяку з:
Алгоритм:
1) Обчислюємо нерухомий кінець відрізка січних за формулою (2.3)
2) Знаходимо перше наближення до кореня за формулою (2.1)
3) Знаходимо перше наближення до кореня за формулою (2.2) до тих пір, поки модуль різниці двох останніх наближень не стане менше заданої точності. У цьому випадку, значенням кореня є останнє наближення.
Метод дотичних
Дано: 1) f (x)
2) f (a) * f (b) <0;
3) f '(x) і f''(x) знакопостоянни на [a, b];
4) ε, щоб вирішити рівняння f (x) = 0
т. х 0
y = f (x 0) + f '(x 0) (xx 0) -
рівняння дотичної
a x 2 x 1 b
y = f (b) + f '(b) * (xb)
(X 1, 0): 0 = f (b) + f '(b) (x 1-b)
x 1 =
x 2 =
x n +1 =
Другий підхід (метод Ньютона):
0 = f (
x 0 =
Алгоритм:
1) За формулою (2.5) знаходимо перше наближення до кореня х 0 (початкове)
2) За формулою (2.4) знаходимо наступне наближення до кореня до тих пір, поки модуль різниці двох останніх наближень не стане заданої точності. У цьому випадку корінь дорівнює останньому наближенню.
Метод ітерацій
Дано: 1) f (x)
2) f (a) * f (b) <0
3) f '(x) знакопостоянна
4) ε, f (x) = 0
Рівняння f (x) = 0 замінюється рівнянням виду x = φ (x)
φ (x) = xf (x) * C (2.6)
y = x |
y = j (x) |
φ '> 0
Будував послідовник
Вибираємо
Знаходимо значення функції
x 2 = φ (x 1), x 3 = φ (x 2)
x n +1 = φ (x n) (2.7)
Точка ε, для якої виконується ε = f (ε), називається нерухомою точкою методу ітерацій. Очевидно, що ця точка є коренем рівняння f (x) = 0.
φ (ε)
0
f (ε)
Достатня умова: для того, щоб метод ітерацій сходився достатньо щоб:
1) φ (x)
2) φ (x) значення
3) | φ (x) | <1 для всіх
Константа С у формулі (2.6) підбирається таким чином, аби функція
φ (x) задовольняла умовам збіжності методу ітерацій.
Швидкість збіжності методу Ньютона (дотичних) вище збіжності методу січних (хорд).
ЛЕКЦІЯ № 3
МЕТОДИ РІШЕННЯ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
Загальний вигляд алгебраїчного рівняння:
а 0 х n + а 1 х n +1 + ... + а n -1 х + a n = 0, a +0
n = 1: а 0 х + a 1 = 0, x =
n = 2: а 0 х 2 + a 1 x + a 2 = 0, x 1,2 =
Алгебраїчне рівняння n-ступеня має рівно n коренів.
Теорема Вієта (узагальнена):
x n +
x 1 + x 2 + ... + x n =-
x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n-1 x n =
x 1 x 2 x 3 ... x n = (-1)
Нехай усі корені рівняння (3.1) дійсні, різні і задовольняють співвідношенням:
| X 1 |>> | x 2 |>> ...>> | x n | (3.3)
Перетворимо:
Підставимо (3.4): х 2 =-
х k = -
Корені рівняння, що задовольняють співвідношення (3.3), називаються окремими. Завдання полягає в тому, щоб по вихідному рівнянню побудувати таке рівняння, корені якого будуть відокремлені.
y i =- x i m
b 0 y n + b 1 y n-1 + ... + b n-1 y + b n = 0 (3.6)
| X 1 |> | x 2 |> ...> | x n |
Розв'язавши рівняння (3.6), коріння якого є окремими, отримаємо рівняння y 1 ... y n
Значить | y i -1 |>> | x i |
МЕТОД ЛОБАЧЕВСКОГО
Для відділення коренів Лобачевський запропонував метод квадратірованія - спосіб побудови по вихідному рівнянню нового рівняння, коні якого пов'язані з корінням вихідного наступним чином:
y i =- x i 2 (3.7)
Процедура виконання багаторазово, поки не досягнемо серйозної різниці модуля різниці коренів
b 0 (m) y n + b 1 (m) y n-1 + ... + b n-1 (m) y + b n (m) = 0 (3.8)
Нехай рівняння (3.8) отримано в результаті m-го кроку квадрірованія.
m = 1 b 0 (1) = a 0 2, b 1 (1) = a 2 січня = 2 a 0 a 2
b k (1) = a k 2-2a k-1 a k +1 +2 a k-2 a k +2 ...., k = 0, n
При отриманні b k коефіцієнта, що розраховується як квадрат відповідного коефіцієнта a k мінус подвоєне твір сусідніх коефіцієнтів з a k плюс подвоєне твір наступної пари сусідів, чергуючи знаки, поки в число сусідніх коефіцієнтів не потраплять а 0 і а n.
b k (m) = (b 0 (m-1)) 2-2b k-1 (m-1) b k-1 (m-1) + 2 b k-2 (m-1) b k +2 ( m-1)
Критерій зупинки: b k (m) ≈ (b 0 (m -1)) 2, k = 0, n (3.10)
Отримаємо корінь: y i (m) =- x i 2
(3.11)-зв'язок коренів, отриманих на m-кроку процесу квадрірованія з корінням вихідного рівняння.
y i на m-кроку:
Ознака наявності кратних коренів: один або кілька коефіцієнтів → до половини квадрата коефіцієнта попереднього кроку.
МЕТОДИ рішення систем алгебраїчних рівнянь
СЛАР
Методи розв'язування СЛАР діляться на точні й наближені. До точних методів належать метод Гаусса, метод Крамера, метод оберненої матриці.
Існують наближені методи: метод ітерацій, Зейделя і т.д.
Загальний вигляд СЛАР:
Скільки змінних стільки й обмежень на них.
Т.ч. геометричний зміст рішення СЛАР - точка перетину гіперплощини в n-мірному просторі.
Матриця:
C n * k * D k * m = Z n * m, A n * n * B n * 1 = X n * 1
ЛЕКЦІЯ № 4
Метод Гауса
Метод має прямий і зворотний хід. Будемо розглядати процедуру прямого ходу методу з вибором головного елемента. Головний елемент - максимальний за модулем елемент матриці, обраний на заданій множині рядків і стовпців.
1 крок: Вибираємо в матриці А максимальний елемент по всіх рядках і стовпцях. Шляхом перестановки рядків і стовпців ставимо цей елемент на місце а 11. Тепер а 11 - головний елемент.
А → А 1 → А 2 → ... → А n
А n повинна буде містити нижче головної діагоналі всі нулі.
Отримаємо систему виду
Нехай а 22 1 - максимальний за модулем елемент матриці А 1 по рядках i ≥ 2 і стовпцях j ≥ 2. Якщо це не так, то домагаємося цього шляхом перестановки рядків і стовпців.
А 2:
У 2: b 2 Січень = b 1 січня; b 2 лютого = b 2 1 / a 22 січня; b i 2 = b i 1-b 2 2-b 2 лютого a i2 1
Нехай а до к +1 максимальний по модулю елемент матриці А до, i ≥ k, j ≥ k.
Нехай на деякому кроці k <n елемент
Якщо хоча б один елемент b i k при i ≥ k +1 ¹ 0, то рішення у системи немає.
Якщо була отримана матриця А n, то система має єдиний розв'язок.
Починається зворотний хід методу Гаусса.
Метод Крамера
Визначник: det A =det A =
Мінор H ij елемента матриці a ij є визначник, отриманий з матриці А шляхом викреслювання i Рядок і j стовпця.
Алгебраїчне доповнення А ij елемента а ij називається число, рівне
А ij = (-1) i + j * M ij
Способи обчислення визначників
1. Привести визначник до трикутного вигляду (нижче головної діагоналі всі елементи = 0). Досягти цього можна шляхом віднімання (додавання) рядків визначника, помножених на деяке число. При перестановки рядків / стовпців знак визначника змінюється на протилежний. Визначник трикутного вигляду дорівнює добутку елементів головної діагоналі.
2. Рекурентний спосіб заснований на тому, що визначник дорівнює сумі добутків елементів рядка / стовпця на їх алгебраїчні доповнення. Т.ч. задача обчислення визначника n-го порядку зводиться до обчислення n визначників n-1 порядку.
Найбільш доцільно розкладати визначник тому рядку / стовпцю, яка містить максимальну кількість нулів. Алгебраїчне доповнення 0-го елемента можна не обчислювати.
Нехай дана система рівнянь виду Ах = В
Якщо визначник А = 0, то система може рішень не мати, або мати нескінченну безліч рішень.
Якщо визначник А ≠ 0, то коріння системи можуть бути знайдені в такий спосіб.
Нехай А к-матриця, отримана з матриці А шляхом замін к-го стовпця на матрицю-стовпець В. Тоді рішення
МЕТОД ЗВОРОТНЬОГО МАТРИЦІ
Нехай дана система Ах = В і detA ≠ 0.Помножимо обидві частини системи на А -1:
А -1 * Ах = А -1 * У → х = А -1 * У
Способи знаходження оберненої матриці:
1. Спосіб заснований на методі Гаусса.
Записати матрицю А, а поруч з нею одиничну матрицю. Виконуючи елементарні перетворення матриці А, паралельно виконувати ті ж перетворення над одиничної матрицею. Як тільки матриця А перетворилася на одиничну на місці вихідної одиничної матриці буде обернена до матриці А.
2. Через алгебраїчні доповнення.
Скласти матрицю алгебраїчних доповнень, в якій на місці a ij елементів будуть знаходитися A ij.
Розділити кожний елемент матриці алгебраїчних доповнень на detA.
Транспонувати матрицю алгебраїчних доповнень, тобто поміняти місцями елементи, симетричні відносно головної діагоналі.