Цікаві приклади
в метричних просторах:
1. У n - мірному евклідовому просторі повна обмеженість збігається зі звичайною обмеженістю, тобто з можливістю укласти дану множину в досить великий куб. Дійсно, якщо такий куб розбити на кубики з ребром e, то вершини цих кубиків будуть утворювати кінцеву
1. Одинична сфера S в просторі l 2 дає нам приклад обмеженого, але не цілком обмеженої множини. Розглянемо в S точки види:
е 1 = (1, 0, 0, ..., 0, 0, ...),
е 2 = (0, 1, 0, ..., 0, 0, ...),
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...,
е n = (0, 0, 0, ..., 1, 0, ...),
... ... ... ... ... ... ... ... ... ....
x = (x 1, x 2, ¼, x n, ...),
задовольняють умовам:
| X 1 | £ 1, | x 2 | £ 1 / 2, ¼, | x n | £ 1 / 2 n -1, ...
Це безліч називається фундаментальним параллепіпедом («гільбертовому цеглою») простору l 2. Воно являє собою приклад нескінченновимірного цілком обмеженої множини. Для доказу його повної обмеженості поступимо таким чином.
з того ж множини. При цьому
r (x, x *) =
Безліч П * точок виду x *= (x 1, x 2, ¼, x n, 0, 0, ...) з П цілком обмежене (як обмежене безліч в n-мірному просторі). Виберемо в П * кінцеву e/2-сеть. Вона буде в той же час e-мережею у всьому П. Доведемо це.
Доказ: для "e> 0, виберемо n так, що 1 / 2 n -1 <e / 2.
"XÎ П: x = (x 1, x 2, ¼, x n, ...) зіставимо
x *= (x 1, x 2, ¼, x n, 0, 0, ...) і x * Î П. При цьому r (x, x *) <e / 2. З простору П виберемо x **: r (x *, x **) <e / 2.
Тоді: r (x, x **) £ r (x, x *) + r (x *, x **) <e / 2 + e / 2 = e.
Безліч П * містить точки виду x *= (x 1, x 2, ¼, x n, 0, 0, ...), в цій безлічі виберемо кінцеву e/2-сеть. Вона буде e-мережею в просторі П, так як r (x, x **) <e.
в метричних просторах:
1. У n - мірному евклідовому просторі повна обмеженість збігається зі звичайною обмеженістю, тобто з можливістю укласти дану множину в досить великий куб. Дійсно, якщо такий куб розбити на кубики з ребром e, то вершини цих кубиків будуть утворювати кінцеву
1. Одинична сфера S в просторі l 2 дає нам приклад обмеженого, але не цілком обмеженої множини. Розглянемо в S точки види:
е 1 = (1, 0, 0, ..., 0, 0, ...),
е 2 = (0, 1, 0, ..., 0, 0, ...),
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...,
е n = (0, 0, 0, ..., 1, 0, ...),
... ... ... ... ... ... ... ... ... ....
Відстань між будь-якими двома точками е n і е м (n ¹ m) дорівнює Ö2. Тому послідовність {е i} і будь-яка її підпослідовність не сходяться. Звідси в S не може бути кінцевою e-мережі ні при якому e <Ö2 / 2.
2. Розглянемо в l 2 безліч П точокx = (x 1, x 2, ¼, x n, ...),
задовольняють умовам:
| X 1 | £ 1, | x 2 | £ 1 / 2, ¼, | x n | £ 1 / 2 n -1, ...
Це безліч називається фундаментальним параллепіпедом («гільбертовому цеглою») простору l 2. Воно являє собою приклад нескінченновимірного цілком обмеженої множини. Для доказу його повної обмеженості поступимо таким чином.
Нехай e> 0 задано. Виберемо n так, що 1 / 2 n-1 <e / 2. Кожній точці x = (x 1, x 2, ¼, x n, ...)
з П зіставимо точку x *= (x 1, x 2, ¼, x n, 0, 0, ...)з того ж множини. При цьому
r (x, x *) =
Безліч П * точок виду x *= (x 1, x 2, ¼, x n, 0, 0, ...) з П цілком обмежене (як обмежене безліч в n-мірному просторі). Виберемо в П * кінцеву e/2-сеть. Вона буде в той же час e-мережею у всьому П. Доведемо це.
Доказ: для "e> 0, виберемо n так, що 1 / 2 n -1 <e / 2.
"XÎ П: x = (x 1, x 2, ¼, x n, ...) зіставимо
x *= (x 1, x 2, ¼, x n, 0, 0, ...) і x * Î П. При цьому r (x, x *) <e / 2. З простору П виберемо x **: r (x *, x **) <e / 2.
Тоді: r (x, x **) £ r (x, x *) + r (x *, x **) <e / 2 + e / 2 = e.
Безліч П * містить точки виду x *= (x 1, x 2, ¼, x n, 0, 0, ...), в цій безлічі виберемо кінцеву e/2-сеть. Вона буде e-мережею в просторі П, так як r (x, x **) <e.