Теорія автоматичного управління
Тема:
"Характеристики систем автоматичного керування"
Статичною характеристикою називається відношення вихідної величини до вхідної величиною в усталеному режимі.
Статичні характеристики дозволяють: визначити коефіцієнт посилення системи, ступінь її нелінійності; величину статізма; провести узгодження робочих точок системи.
- Передатна функція;
- Тимчасові характеристики;
- Частотні характеристики.
де а i і b i - параметри системи, n-порядок системи.
Якщо застосовний теореми Лапласа при нульових початкових умовах, то диференціальне рівняння в операторної формі запишеться наступним чином
де
Фізично нульові початкові умови означають, що до програми впливу система перебувала у спокої.
Передавальна функція системи є ставлення зображення вихідної величини до зображення вхідної величини при нульових початкових умовах
Основні властивості передатної функції:
1. Передавальна функція є повною характеристикою системи.
Вона повністю характеризує статичні і динамічні властивості системи.
2. Статичний коефіцієнт посилення, тобто коефіцієнт підсилення в сталому режимі (при t ® ¥ або p ® 0) дорівнює
3. Поліном знаменника називається характеристичним, а A (p) = 0 називається характеристичним рівнянням. Коріння полінома знаменника називаються полюсами, а чисельника нулями.
Ступінь полінома чисельника не перевищує ступеня полінома знаменника (n ³ m), в іншому випадку система є фізично нездійсненною.
5. Коефіцієнти поліномів a i і b i обумовлені реальними фізичними параметрами системи.
6. Передавальна функція може бути задана у вигляді нулів і полюсів у графічному вигляді.
Рис. 1
Наприклад, для наведеного на рис. 1 розташування нулів (0) і полюсів (х) передавальна функція має вигляд:
2.2 Тимчасові характеристики САУ
Тимчасової характеристикою системи називається закон зміни вихідної величини у функції часу при зміні вхідного впливу за певним законом і за умови, що до програми впливу система перебувала у спокої. Тимчасові характеристики визначаються як реакція системи на типові впливу при нульових початкових умовах.
До основних тимчасовим характеристик відносяться перехідна функція і функція ваги.
Типові впливу. В якості типових впливів при дослідженні систем використовуються:
- Одинична функція;
- Одиничний імпульс;
- Лінійно - зростаючий вплив;
- Квадратичне вплив;
- Гармонійне вплив;
- «Білий шум» (використовується при дослідженні стохастичних систем).
Одинична функція. Одинична функція - вплив, амплітуда якого дорівнює 0 при t <0 і дорівнює 1 при t ³ 0.
Властивості одиничної функції і одиничної функції зі зсувом визначаються співвідношеннями:
а їх графічне зображення має вигляд, наведений на рис. 2а, б.
а) б)
Рис. 2
При цьому зображення одиничного впливу має вигляд:
Одиничний імпульс. Одиничний імпульс (D - функція) - це ідеалізований сигнал, який характеризується нескінченно малою тривалістю, нескінченно великим рівнем (амплітудою) і площею дорівнює одиниці.
Одиничний імпульс і імпульс із зсувом описуються співвідношеннями:
а їх графічне зображення має вигляд, наведений на рис. 3а, б.
а) б)
Рис. 3
При цьому зображення одиничного імпульсу має вигляд
Основні властивості дельта - функції
1.
2.
3.
5.
Властивості дельта - функції широко використовуються в методах дослідження САУ.
Лінійно-зростаючий вплив. Лінійно-зростаючий вплив - це вплив з постійною швидкістю зміни сигналу. Такий вплив найчастіше використовується для визначення точності систем і описується співвідношенням:
Графічне зображення лінійно - зростаючого впливу має вигляд, наведений на рис. 4а.
При цьому,
а) б)
Рис. 4
Квадратичне вплив. Квадратичне вплив - це від дії з постійним прискоренням зміни сигналу. Такий вплив найчастіше використовується для визначення точності систем і описується співвідношенням:
Графічне зображення квадратичного впливу має вигляд, наведений на рис. 5.
Перехідна функція. Перехідна функція h (t) - реакція системи на одиничне вплив при нульових початкових умовах.
Нехай задана система (рис. 5) з передатною функцією K (p)
Рис. 5
У зображеннях вихідна величина дорівнює
Так як
При цьому зв'язок між передавальної та перехідною функцією має вигляд:
Початкове значення перехідної функції дорівнює нулю, а стале значення визначається за допомогою теореми про кінцевий значенні функції
Вагова функція. Вагова функція k (t) - реакція системи на одиничний імпульс при нульових початкових умовах.
Нехай задана система (рис. 6) з передатною функцією K (p)
Рис. 6
У зображеннях вихідна величина дорівнює
Так як
При цьому зв'язок між передавальної і ваговою функцією має вигляд:
тобто вагова функція являє оригінал передавальної функції.
Стале значення вагової функції визначається за допомогою теореми про кінцевий значенні функції
Зв'язок між перехідною і ваговою функцією має вигляд:
Методи визначення часових характеристик
Існують різні методи розрахунку перехідних процесів, при цьому найбільш часто використовуються наступні методи:
1. Класичний метод.
2. Операторний метод, що використовує розкладання на прості дроби.
3. Операторний метод, що використовує відрахування.
Метод аналогового і цифрового моделювання.
5. Метод трапецій.
Розглянемо деякі методи визначення часових характеристик на конкретних прикладах.
Класичний метод розрахунку часових характеристик
Класичний метод розрахунку часових характеристик заснований на вирішенні диференціальних рівнянь.
Приклад 1. Нехай дана передаточна функція:
Визначити: перехідну функцію - h (t) і функцію ваги - k (t).
Рішення
1. Запишемо диференціальне рівняння, відповідно до вказаної передавальної функцією
При одиничному впливі, тобто x (t) = 1 (t) диференціальне рівняння має вигляд
2. Загальне рішення неоднорідного диференціального рівняння складається з природної і вимушеної складової
3. Перехідна функція може бути визначена зі співвідношення
При нульових початкових умовах
При цьому вирази для перехідної функції та функції ваги мають вигляд:
Метод розкладання на прості дроби
Розглянемо алгоритм використання методу на попередньому прикладі. Визначимо функцію ваги для заданої системи.
Вихідну передавальну функцію можна представити у вигляді:
Функція ваги дорівнює:
Визначимо перехідну функцію.
Зображення перехідної функції можна представити у вигляді:
Значення параметрів А, В і С знаходимо методом невизначених коефіцієнтів.
Перехідна функція дорівнює:
Визначення тимчасових характеристик з використанням відрахувань
Розглянемо алгоритм використання методу на попередньому прикладі. Визначимо функцію ваги для заданої вище системи. Відповідно до теореми розкладу:
якщо
то
Таким чином, використовуючи теорему Коші про відрахування, оригінал можна визначити як суму відрахувань по полюсах підінтегральної функції.
Розглянемо зображення перехідної функції:
Запишемо характеристичне рівняння, визначимо значення полюсів їх кількість і кратність
При цьому перехідну функцію визначаємо, використовуючи відрахування по полюсах підінтегральної функції
Функція ваги визначаємо аналогічно, або через похідну від перехідної функції
Нехай задана система (рис. 7) з передатною функцією K (p).
Рис. 7
При подачі на вхід системи гармонійного впливу
на виході отримаємо
Якщо використовувати формули Ейлера, ці співвідношення можна представити у комплексному вигляді:
Якщо виконати підстановку p = j w в передавальної функції системи, то отримаємо комплексну передавальну функцію
Частотні характеристики можуть бути виражені через коефіцієнти поліномів передавальної функції
Графічно характеристики можна представити у вигляді рис. 8а.
а) б)
Рис. 8
Використовуючи перетворення Фур'є, отримаємо вираз для перехідної функції
Підставивши ці вирази у формулу для h (t) і виконавши перетворення, отримаємо зв'язок між перехідною функцією і ВЧХ:
На практиці зазвичай використовують десяткові логарифми. При цьому логарифмічна амплітудно-частотна характеристика (ЛАЧХ) будується в логарифмічному масштабі частот і визначається співвідношенням
Одиницею виміру ЛАЧХ є децибел (дБ), 1дБ = 1 / 10 [Бел].
Оскільки 1 Бел відповідає збільшенню потужності в 10 разів, то
Амплітуда сигналу відкладається по осі ординат (рис. 9а), при цьому вісь абсцис відповідає значенню амплітуди дорівнює одиниці, верхня полуплоскость відповідає посиленню сигналу (A> 1), а нижня - ослаблення (A <1).
Логарифмічна фазова частотна характеристика (ЛФЧХ) будується в логарифмічному масштабі частот, при цьому частоти відкладаються по осі абсцис по декадах (рис. 9б). Декада - відрізок, на якому частота збільшується у десять разів.
а) б)
Логарифмічні характеристики мають ряд переваг перед звичайними частотними характеристиками. Основною перевагою логарифмічних характеристик є можливість оцінки впливу окремих параметрів системи без необхідності повторного проведення розрахунку.
Література
1. Автоматизоване проектування систем автоматичного управління. / Под ред. В.В. Солодовникова. - М.: Машинобудування, 1990. -332 С.
2. Бойко Н.П., Стеклов В.К. Системи автоматичного управління на базі мікро-ЕОМ. - К.: Техніка, 1989. -182 С.
3. В.А. Бесекерскій, Є.П. Попов «Теорія систем автоматичного управління». Професія, 2003 р. - 752 с.
4. Воронов О.О., Основи теорії автоматичного управління, ч. 3, М. - Л., 1970.
5. Грінченка А.Г. Теорія автоматичного управління: Навч. посібник. - Харків: ХДПУ, 2000. -272 С.
6. Ємельянов С.В., Системи автоматичного управління зі змінною структурою, М., 1967.
7. Макаров І.М., Менський Б.М. Лінійні автоматичні системи. - М.: Машинобудування, 1982.
8. Довідник з теорії автоматичного управління. / Под ред. А.А. Красовського - М.: Наука, 1987. - 712 с.
Тема:
"Характеристики систем автоматичного керування"
1. Статичні характеристики САУ
Статичні характеристики визначають статику системи, тобто її поведінку в усталеному режимі.Статичною характеристикою називається відношення вихідної величини до вхідної величиною в усталеному режимі.
Статичні характеристики дозволяють: визначити коефіцієнт посилення системи, ступінь її нелінійності; величину статізма; провести узгодження робочих точок системи.
2. Динамічні характеристики САУ
Динамічні характеристики визначають динаміку системи, тобто її поведінку в несталому (перехідному) режимі. При цьому використовують такі основні динамічні характеристики:- Передатна функція;
- Тимчасові характеристики;
- Частотні характеристики.
2.1 Передавальна функція системи та її властивості
Диференціальне рівняння лінійної системи має вигляд:де а i і b i - параметри системи, n-порядок системи.
Якщо застосовний теореми Лапласа при нульових початкових умовах, то диференціальне рівняння в операторної формі запишеться наступним чином
де
Фізично нульові початкові умови означають, що до програми впливу система перебувала у спокої.
Передавальна функція системи є ставлення зображення вихідної величини до зображення вхідної величини при нульових початкових умовах
Основні властивості передатної функції:
1. Передавальна функція є повною характеристикою системи.
Вона повністю характеризує статичні і динамічні властивості системи.
2. Статичний коефіцієнт посилення, тобто коефіцієнт підсилення в сталому режимі (при t ® ¥ або p ® 0) дорівнює
3. Поліном знаменника називається характеристичним, а A (p) = 0 називається характеристичним рівнянням. Коріння полінома знаменника називаються полюсами, а чисельника нулями.
Ступінь полінома чисельника не перевищує ступеня полінома знаменника (n ³ m), в іншому випадку система є фізично нездійсненною.
5. Коефіцієнти поліномів a i і b i обумовлені реальними фізичними параметрами системи.
6. Передавальна функція може бути задана у вигляді нулів і полюсів у графічному вигляді.
Рис. 1
Наприклад, для наведеного на рис. 1 розташування нулів (0) і полюсів (х) передавальна функція має вигляд:
2.2 Тимчасові характеристики САУ
Тимчасової характеристикою системи називається закон зміни вихідної величини у функції часу при зміні вхідного впливу за певним законом і за умови, що до програми впливу система перебувала у спокої. Тимчасові характеристики визначаються як реакція системи на типові впливу при нульових початкових умовах.
До основних тимчасовим характеристик відносяться перехідна функція і функція ваги.
Типові впливу. В якості типових впливів при дослідженні систем використовуються:
- Одинична функція;
- Одиничний імпульс;
- Лінійно - зростаючий вплив;
- Квадратичне вплив;
- Гармонійне вплив;
- «Білий шум» (використовується при дослідженні стохастичних систем).
Одинична функція. Одинична функція - вплив, амплітуда якого дорівнює 0 при t <0 і дорівнює 1 при t ³ 0.
Властивості одиничної функції і одиничної функції зі зсувом визначаються співвідношеннями:
а їх графічне зображення має вигляд, наведений на рис. 2а, б.
1 (t) 1 (tt)0 t 0 tt |
а) б)
Рис. 2
При цьому зображення одиничного впливу має вигляд:
Одиничний імпульс. Одиничний імпульс (D - функція) - це ідеалізований сигнал, який характеризується нескінченно малою тривалістю, нескінченно великим рівнем (амплітудою) і площею дорівнює одиниці.
Одиничний імпульс і імпульс із зсувом описуються співвідношеннями:
а їх графічне зображення має вигляд, наведений на рис. 3а, б.
d (t) d (tt) 0 t 0 tt |
а) б)
Рис. 3
При цьому зображення одиничного імпульсу має вигляд
Основні властивості дельта - функції
1.
2.
3.
5.
Властивості дельта - функції широко використовуються в методах дослідження САУ.
Лінійно-зростаючий вплив. Лінійно-зростаючий вплив - це вплив з постійною швидкістю зміни сигналу. Такий вплив найчастіше використовується для визначення точності систем і описується співвідношенням:
Графічне зображення лінійно - зростаючого впливу має вигляд, наведений на рис. 4а.
При цьому,
x (t) V 0 t |
x (t) 0 t |
а) б)
Рис. 4
Квадратичне вплив. Квадратичне вплив - це від дії з постійним прискоренням зміни сигналу. Такий вплив найчастіше використовується для визначення точності систем і описується співвідношенням:
Графічне зображення квадратичного впливу має вигляд, наведений на рис. 5.
При цьому,
Перехідна функція. Перехідна функція h (t) - реакція системи на одиничне вплив при нульових початкових умовах. Нехай задана система (рис. 5) з передатною функцією K (p)
x (t) = 1 (t) |
K (p) |
y (t) = h (t) |
Рис. 5
У зображеннях вихідна величина дорівнює
Так як
При цьому зв'язок між передавальної та перехідною функцією має вигляд:
Початкове значення перехідної функції дорівнює нулю, а стале значення визначається за допомогою теореми про кінцевий значенні функції
Вагова функція. Вагова функція k (t) - реакція системи на одиничний імпульс при нульових початкових умовах.
Нехай задана система (рис. 6) з передатною функцією K (p)
K (p) |
y (t) = k (t) |
x (t) = d (t) |
Рис. 6
У зображеннях вихідна величина дорівнює
Так як
При цьому зв'язок між передавальної і ваговою функцією має вигляд:
тобто вагова функція являє оригінал передавальної функції.
Стале значення вагової функції визначається за допомогою теореми про кінцевий значенні функції
Зв'язок між перехідною і ваговою функцією має вигляд:
Методи визначення часових характеристик
Існують різні методи розрахунку перехідних процесів, при цьому найбільш часто використовуються наступні методи:
1. Класичний метод.
2. Операторний метод, що використовує розкладання на прості дроби.
3. Операторний метод, що використовує відрахування.
Метод аналогового і цифрового моделювання.
5. Метод трапецій.
Розглянемо деякі методи визначення часових характеристик на конкретних прикладах.
Класичний метод розрахунку часових характеристик
Класичний метод розрахунку часових характеристик заснований на вирішенні диференціальних рівнянь.
Приклад 1. Нехай дана передаточна функція:
Визначити: перехідну функцію - h (t) і функцію ваги - k (t).
Рішення
1. Запишемо диференціальне рівняння, відповідно до вказаної передавальної функцією
При одиничному впливі, тобто x (t) = 1 (t) диференціальне рівняння має вигляд
2. Загальне рішення неоднорідного диференціального рівняння складається з природної і вимушеної складової
3. Перехідна функція може бути визначена зі співвідношення
При нульових початкових умовах
При цьому вирази для перехідної функції та функції ваги мають вигляд:
Метод розкладання на прості дроби
Розглянемо алгоритм використання методу на попередньому прикладі. Визначимо функцію ваги для заданої системи.
Вихідну передавальну функцію можна представити у вигляді:
Функція ваги дорівнює:
Визначимо перехідну функцію.
Зображення перехідної функції можна представити у вигляді:
Значення параметрів А, В і С знаходимо методом невизначених коефіцієнтів.
Перехідна функція дорівнює:
Визначення тимчасових характеристик з використанням відрахувань
Розглянемо алгоритм використання методу на попередньому прикладі. Визначимо функцію ваги для заданої вище системи. Відповідно до теореми розкладу:
якщо
то
Таким чином, використовуючи теорему Коші про відрахування, оригінал можна визначити як суму відрахувань по полюсах підінтегральної функції.
Розглянемо зображення перехідної функції:
Запишемо характеристичне рівняння, визначимо значення полюсів їх кількість і кратність
При цьому перехідну функцію визначаємо, використовуючи відрахування по полюсах підінтегральної функції
Функція ваги визначаємо аналогічно, або через похідну від перехідної функції
2.3 Частотні характеристики САУ
Частотні характеристики визначаються, як реакція системи на гармонійний типове вплив при нульових початкових умовах.Нехай задана система (рис. 7) з передатною функцією K (p).
K (p) |
y (t) |
x (t) |
Рис. 7
При подачі на вхід системи гармонійного впливу
на виході отримаємо
Якщо використовувати формули Ейлера, ці співвідношення можна представити у комплексному вигляді:
Якщо виконати підстановку p = j w в передавальної функції системи, то отримаємо комплексну передавальну функцію
При зміні частоти 0 £ w £ + ¥ отримаємо наступні частотні характеристики:
Частотні характеристики можуть бути виражені через коефіцієнти поліномів передавальної функції
Графічно характеристики можна представити у вигляді рис. 8а.
Зв'язок між тимчасовими і частотними характеристиками.
Розглянемо зв'язок між частотними характеристиками та перехідною функцією системи (рис. 8б). x y - |
K (p) |
+ P (w) |
+ JQ (w) |
w = ¥ w = 0 |
K (jw) |
а) б)
Рис. 8
Для вихідної величини можна записати
Використовуючи перетворення Фур'є, отримаємо вираз для перехідної функції Підставивши ці вирази у формулу для h (t) і виконавши перетворення, отримаємо зв'язок між перехідною функцією і ВЧХ:
Логарифмічні частотні характеристики САУ
Дослідження систем істотно спрощується при використанні не звичайних, а логарифмічних частотних характеристик. При цьому натуральна логарифмічна амплітудна і фазова частотні характеристики визначаються зі співвідношеньНа практиці зазвичай використовують десяткові логарифми. При цьому логарифмічна амплітудно-частотна характеристика (ЛАЧХ) будується в логарифмічному масштабі частот і визначається співвідношенням
Одиницею виміру ЛАЧХ є децибел (дБ), 1дБ = 1 / 10 [Бел].
Оскільки 1 Бел відповідає збільшенню потужності в 10 разів, то
Амплітуда сигналу відкладається по осі ординат (рис. 9а), при цьому вісь абсцис відповідає значенню амплітуди дорівнює одиниці, верхня полуплоскость відповідає посиленню сигналу (A> 1), а нижня - ослаблення (A <1).
Логарифмічна фазова частотна характеристика (ЛФЧХ) будується в логарифмічному масштабі частот, при цьому частоти відкладаються по осі абсцис по декадах (рис. 9б). Декада - відрізок, на якому частота збільшується у десять разів.
0.1 1 10 100 |
40 20 0 -20 |
w [1/сек] |
L (w), [дБ] |
0.1 1 10 100 |
0 -90 -180 |
w [1/сек] |
j (w), [град] |
а) б)
Рис. 9
Початок осі координат, в залежності від діапазону частот, на якому будується логарифмічна характеристика, може бути вміщено в будь-яку точку (w = 0,01; w = 0,1; w = 1 і т.д.).Логарифмічні характеристики мають ряд переваг перед звичайними частотними характеристиками. Основною перевагою логарифмічних характеристик є можливість оцінки впливу окремих параметрів системи без необхідності повторного проведення розрахунку.
Література
1. Автоматизоване проектування систем автоматичного управління. / Под ред. В.В. Солодовникова. - М.: Машинобудування, 1990. -332 С.
2. Бойко Н.П., Стеклов В.К. Системи автоматичного управління на базі мікро-ЕОМ. - К.: Техніка, 1989. -182 С.
3. В.А. Бесекерскій, Є.П. Попов «Теорія систем автоматичного управління». Професія, 2003 р. - 752 с.
4. Воронов О.О., Основи теорії автоматичного управління, ч. 3, М. - Л., 1970.
5. Грінченка А.Г. Теорія автоматичного управління: Навч. посібник. - Харків: ХДПУ, 2000. -272 С.
6. Ємельянов С.В., Системи автоматичного управління зі змінною структурою, М., 1967.
7. Макаров І.М., Менський Б.М. Лінійні автоматичні системи. - М.: Машинобудування, 1982.
8. Довідник з теорії автоматичного управління. / Под ред. А.А. Красовського - М.: Наука, 1987. - 712 с.