Предмет: Теорія Автоматичного Управління
Тема: Дискретні системи автоматичного керування

1. Дискретні системи автоматичного керування
Дискретні системи - це системи, що містять елементи, які перетворять безперервний сигнал в дискретний. У дискретних системах сигнали описуються дискретними функціями часу.
Квантування - процес перетворення безперервного сигналу в дискретний. Залежно від використовуваного виду квантування системи можна класифікувати:
- Імпульсні системи, що використовують квантування за часом;
- Релейні системи, що використовують квантування за рівнем;
- Цифрові системи, що використовують квантування за рівнем і за часом (комбіноване квантування).
Квантування здійснюється за допомогою імпульсних модуляторів, релейних елементів, а також різного роду цифрових ключів.
Модуляція - процес квантування за часом. В імпульсних системах в основному використовуються такі види модуляції:
- Амплітудно-імпульсна (АІМ) - амплітуда імпульсу пропорційна амплітуді вхідного сигналу (рис. 1а);
- Широтно-імпульсна (ШІМ) - широта імпульсу пропорційна амплітуді вхідного сигналу (рис. 1б);
- Фазоімпульсная (ФІМ) - фаза імпульсу пропорційна амплітуді вхідного сигналу (рис. 1в).

x (t)

x (t)

x (t)

0 T 2T 3T 4T nT

t

0 T 2T 3T 4T nT

t

0 T 2T 3T 4T nT

t

а) б) в)
Рис. 1
У релейних системах управління використовується імпульсна маніпуляція (ІМ), в цифрових системах використовуються кодоімпульсная модуляція (КІМ), при цьому кожному значенню амплітуди відповідає «пачка» імпульсів, що представляє код амплітуди переданого сигналу. Цей метод квантування має гарну завадостійкістю і широко використовується в цифрових системах управління.
На рис. 2 наведено приклад, який ілюструє процес передачі дискретних повідомлень з використанням кодоімпульсной модуляції.

Рис. 2

При цьому квантування за часом визначається тактовою частотою керуючої ЕОМ, а квантування за рівнем здійснюється за допомогою аналого-цифрового перетворювача (АЦП).
2. Імпульсний елемент (ІЕ). Математичне опис імпульсного елемента
Імпульсний елемент - пристрій для перетворення безперервного сигналу в послідовність модульованих імпульсів.
Імпульсний елемент може бути представлений у вигляді двох частин: ідеального імпульсного елемента і формувача імпульсів.
Ідеальний імпульсний елемент (рис. 3) перетворює безперервний
сигнал у послідовність ідеальних імпульсів у вигляді d (t)-функцій, площі яких пропорційні амплітуді переданого сигналу.

x * (t)

T

x (t)

t

x (t)

0

x * (t)

		0 T 2T 3T 4T nT

Рис. 3
Для вихідного сигналу імпульсного елемента можна записати наступне співвідношення
, (1)

де x [nT] - решітчаста функція, яка представляє собою значення неперервної функції в дискретні моменти часу.
При x (t) = 1 (t)
. (2)
Для будь-якого x (t)
. (3)
Це фізично не піддається реалізації і є математичною ідеалізацією, введеної для спрощення дослідження дискретних систем.
Реальний імпульсний елемент (мал. 4) - імпульсний елемент з кінцевою тривалістю імпульсу. Він складається з ідеального імпульсного елемента і формувача.
Формувач перетворює ідеальні імпульси в імпульси тривалості - gT

x * (t)

x (t)

0

x (t)

t

y (t)

0 T 2T 3T 4T nT

T

K ф (p)

y (t)

Рис. 4

Імпульс кінцевої тривалості можна представити у вигляді (рис. 5)

x (t) = -1 (t-gT)

x (t) = 1 (t)

1 (t)

1 gT

x (t)

								0 gT t
						0 t
		0 t

Рис. 5
Функція ваги формуючого ланки представляє собою імпульс тривалістю - gT, її можна представити як суму двох одиничних функцій протилежного знаку, зсунутих на gT
. (4)
Передавальна функція формувача має вигляд
(5)
Формувач при g = 1 називається фіксатором (або екстраполятор нульового порядку), при цьому його передавальна функція дорівнює
(6)

Розглянемо імпульсний елемент при g = 1 (рис. 6).

y (t)

T

x (t)

1-e-pT p     p

x * (t)

0 T 2T 3T 4T nT

x * (t)

x (t)

y (t)

0 T 2T 3T 4T nT

0 T 2T 3T 4T nT

t

t

t

Рис. 6

Якщо на вхід подається аналоговий сигнал, то на виході отримуємо ступінчастий сигнал. Розглянемо схему (рис. 7), що складається з АЦП і ЦАП:

y (t)

x * (t)

x (t)

АЦП

ЦАП

0 T 2T 3T 4T nT

t

k 4 k 3 ' k 2 '          k 1 '           '

x * (t)

t

y (t)

0 T 2T 3T 4T nT

t

		x (t)

Рис.7
Якщо на вхід схеми надходить аналоговий сигнал, то на виході АЦП отримуємо код, значення якого відповідає амплітуді вхідного сигналу, а на виході ЦАП отримуємо ступінчастий сигнал.
Таким чином, для того, щоб представити процеси в цифрових системах необхідно використовувати ідеальний ІЕ і фіксатор. Імпульсну систему можна представити у вигляді ідеального імпульсного елемента і безперервного інерційної частини, а цифрову систему у вигляді реального імпульсного елемента і безперервного інерційної частини. Характерна схема імпульсної системи управління наведена на рис. 8.

x

T

K (p)

y

Рис. 8
Цифрова система автоматичного керування (рис. 9) складається з аналого-цифрового перетворювача (АЦП), цифро-аналогового перетворення-теля (ЦАП), цифрового автомата (ЦА) і об'єкта управління.

x

ЦА

K 0 (p)

АЦП

АЦП

y

-
Рис. 9
Цю схему можна представити у вигляді, зображеному на рис. 10.
K _a (z)

K o (p)

1-e-pT p

T

T

x

y

-

Рис. 10

При цьому цифровий автомат реалізує алгоритм управління в реальному масштабі часу (K _a (z) - передавальна функція алгоритму), тобто протягом інтервалу часу рівного періоду дискретності-Т.
У цифровій системі квантування за рівнем здійснюється за допомогою АЦП, а за часом задається цифровим автоматом. Вихідний перетворювач одночасно є екстраполятор нульового порядку, сигнал на його виході протягом періоду дискретності є постійним.

Література
1. Бесекерскій В.А., Попов О.П. "Теорія систем автоматичного керування". Професія, 2003 р . - 752с.
2. Бронштейн І.М., Семендяев К.Н. Довідник з математики для інженерів і студентів вузів. - М.: Наука, 1986.
3. Основи теорії автоматичного управління / В.С. Булигін, Ю.С. Гришанін, Н.Б. Судзиловський та ін; під ред. Н.Б. Судзіловського. М.: Машинобудування, 1985. - 512с.
4. Збірник завдань з теорії автоматичного регулювання та управління / Під редакцією В. А. Бесекерскій. - M.: Наука, 1978.
5. Довідник з теорії автоматичного управління. / Под ред. А.А. Красовського-М.: Наука, 1987. - 712с.