варіант 1
У чому полягає принцип нерівноцінності грошей?
Сума грошей незалежно від їх походження та призначення в фінансових операціях обов'язково зв'язуються з деякими моментами або інтервалами часу. Фактор часу, особливо в довгострокових фінансових операціях, грає не менш важливу роль, ніж розміри самих грошових сум.
Необхідність урахування цього чинника виявляється у вигляді принципу нерівноцінності грошових сум, що відносяться до різних моментів часу, навіть якщо ці суми однакові. Нерівноцінність двох однакових грошових сум, що відносяться до різних моментів часу, визначаються тим, що будь-яку суму грошей можна інвестувати і отримати дохід від цих інвестицій. Отриманий дохід можна реінвестувати і т.д. У найбільш загальному вигляді принцип нерівноцінності грошей можна сформулювати так: сьогоднішні гроші цінніше майбутніх, а майбутні надходження менш цінні, ніж сучасні.
У яких випадках використовуються прості відсотки?
Прості відсотки найчастіше використовуються при короткострокових (тривалістю менше року) операціях. Відсотки нараховуються один раз в кінці терміну вкладу.
У банківських договорах відсоткова ставка вказується за рік. Для інших періодів (наприклад, місяця) потрібно перевести термін вкладу в дні використовувати для розрахунку простих відсотків наступну формулу:
Fv = Sv * (1 + R * (Td / Ty)), де
Fv - підсумкова сума;
Sv - початкова сума;
R - річна процентна ставка;
Td - строк вкладу в днях;
Ty - кількість днів у році.
Опишіть дисконтування за складними відсотками. Наведіть приклади.
Дисконтування вартості (discounting) - процес приведення майбутньої вартості грошових коштів (вкладу) до їх теперішньої вартості шляхом виключення з майбутньої суми відповідної величини відсотка (дисконту). За допомогою такої фінансової операції досягають порівнянності поточної вартості майбутніх грошових потоків.
Складний відсоток - сума доходу, що нараховується в кожному інтервалі, яку не виплачують, а приєднують до основної суми капіталу (вкладу) в подальшому платіжному періоді.
Сучасна величина і відсоткова ставка, по якій проводиться дисконтування, перебувають у зворотній залежності: чим вища відсоткова ставка, тим за інших рівних умов менше сучасна величина.
У тій же зворотній залежності знаходяться сучасна величина і термін фінансової операції: чим вище термін фінансової операції, тим менше за інших рівних умов сучасна величина.
Отже, розглянемо використання при математичному дисконтуванні складних процентних ставок:
(1)
Якщо відсотки будуть нараховуватися m раз на рік, то формула (1) прийме вигляд:
(2)
Приклад 1
Банк проводить нарахування відсотків на внесену суму за складною відсотковою ставкою, що дорівнює 20% на рік. Яку суму слід покласти на депозит за умови, що вкладник розраховує отримати 10 000 тис. руб. через 10 років? Потрібно розглянути два варіанти нарахування відсотків - щорічне і щоквартальне.
При щорічному нарахуванні відсотків за формулою (1):
PV = 10 000 / (1 + 0,2) 10 = 1615,1 тис. руб.
При щоквартальному нарахуванні відсотків за формулою (2):
PV = 10 000 / (1 + 0,2 / 4) 40 = 1420,5 тис. руб.
Використання складної облікової ставки
Для розрахунку операції дисконтування за складною обліковою ставкою використовується формула:
PV n = FV n (1 - d) n. (3)
Приклад 2
Власник векселя номінальною вартістю 500 тис. руб. і періодом обігу 1,5 року запропонував його банку відразу для обліку, тобто за 1,5 року до погашення. Банк погодився врахувати вексель за складною обліковою ставкою 20% річних. Потрібно визначити дисконт, отриманий банком, та суму, видану власнику векселя.
Використовуючи формулу (3), знаходимо:
PV = 500 (1 - 0,2) 1,5 = 357,77 тис. руб.
Дисконт банку складе: 500 - 357,77 = 142,23 тис. руб.
Для даних умов визначимо суму, яку отримав би власник векселя, якби банк провів облік векселя за простою обліковою ставкою 20%. Для цього використовуємо формулу (5):
PV = 500 (1 - 0,2 × 1,5) = 350 тис. руб.
Дисконт банку складе 500 - 350 = 150 тис. руб.
Таким чином, банку вигідніше враховувати вексель за простою обліковою ставкою.
Якщо дисконтування за складною обліковою ставкою проводиться m раз на рік, розрахункова формула буде мати наступний вигляд:
(4)
Приклад 3
Збережемо умови попереднього прикладу, але нехай розрахунок дисконтування проводиться щоквартально, тобто m = 4.
За формулою (4) отримаємо:
PV = 500 (1 - 0,2 / 4) 6 = 367,55 тис. руб.
Дисконт банку складе: 500 - 367,55 = 132,45 тис. руб.
Дохід банку при щоквартальному дисконтуванні буде менше, ніж при щорічному дисконтуванні, на: 142,23 - 132,45 = 9,78 тис. руб.
При дисконтуванні з нарахуванням відсотків за періоди менше року може використовуватися поняття «ефективна складна облікова ставка». Ефективна складна облікова ставка, еквівалентна складної облікової ставки при заданому значенні m, визначається за формулою:
d еф = 1 - (1 - d / m) m. (5)
Приклад 4
Боргове зобов'язання номінальною вартістю 500 тис. руб. повинно бути погашено через п'ять років. Складна облікова ставка дорівнює 20% річних. Нарахування відсотків щоквартальне. Потрібно визначити справжню величину вартості зобов'язання і ефективну облікову ставку.
Використовуючи формули (4) і (5), отримаємо:
PV = 500 (1 - 0,2 / 4) 20 = 179,243 тис. руб.
d еф = 1 - (1 - 0,2 / 4) 4 = 0,18549, або 18,549%.
Підставивши значення 18,549% у формулу (24), отримаємо:
PV = 500 (1 - 0,18549) 5 = 179,247 тис. руб.
Розбіжність між величинами цієї суми, розрахованими за цим формулами, знаходяться в межах точності розрахунку.
Як визначається нарощена сума ренти пренумерандо?
Рента пренумерандо відрізняється від звичайної ренти числом періодів нарахування відсотків. Тому нарощена сума ренти пренумерандо буде більше нарощеної суми звичайної ренти в (1 + i) разів.
Така рента реалізуються відразу ж після укладення контракту, тобто перший платіж здійснюється негайно, а наступні платежі здійснюються через рівні інтервали. Такі ренти (пренумерандо) також називаються авансовими, або належними аннуітетами. Сума членів такої ренти визначається за формулою:
(1)
Тобто сума членів ренти пренумерандо більше нарощеної суми ренти постнумерандо в разів, тому нарощена сума ренти пренумерандо дорівнює:
(2)
де S - нарощена сума постнумерандо.
Як визначити номінальну процентну ставку, що забезпечує нарощення реальної цінності грошових коштів?
Реальна сума (цінність) грошових коштів - це оцінка цієї суми з урахуванням зміни купівельної спроможності грошей у зв'язку з процесом інфляції.
Коригування нарощеної вартості з урахуванням інфляції здійснюється за формулою:
(1)
де - Реальна майбутня вартість грошей,
F n - номінальна майбутня вартість грошей з урахуванням інфляції.
Тут передбачається, що темп інфляції зберігається по роках.
Якщо r - номінальна ставка відсотка, яка враховує інфляцію, то розрахунок реальної суми грошей проводиться за формулою:
, (2)
тобто номінальна сума грошових коштів знижується в (1 + Т) n рази відповідно до зниження купівельної спроможності грошей.
У загальному випадку при аналізі співвідношення номінальної ставки відсотка з темпом інфляції можливі три випадки:
r = T: нарощення реальної вартості грошових коштів не відбувається, тому що приріст їх майбутньої вартості Поглинає інфляцією
r> T: реальна майбутня вартість грошових коштів зростає незважаючи на інфляцію
r <T: реальна майбутня вартість грошових коштів знижується, тобто процес інвестування стає збитковим.
Практичні завдання:
Клієнт помістив в банк 1000 $ за ставкою простого відсотка 12,5% на 9 років і 5 місяців. Обчисліть загальну суму процентного доходу.
Дано:
PV = 1000 $
r = 12, 5% = 0,1 25
n = 9,5
I =?
Рішення:
I = FV-PV = PV × r × n
I = 1000 $ * 0,125 * 9,5 = 1187,5 $
Відповідь:
Загальна сума процентного доходу за 9 років 5 місяців складе 1187,5 $.
Обчисліть ставку відсотка в річному вирахуванні (EPR), якщо 11,5% на рік з нарахуванням відсотків кожні 6 місяців.
Дано:
r = 11,5% = 11,5 / 100
m = 2, тобто 2 рази на рік
EPR =?
Рішення:
EPR = (1 +0,115 / 2) ^ 2 -1 = 0,1183 = 11,83%
Відповідь:
Прибутковість вкладу (ефективна ставка), якщо відсотки нараховуються кожні 6 місяців 11,83%, тобто вище номінальною процентною ставкою на 0,33%.
Знайдіть річну норму амортизації, первісна вартість 2000 $, вартість через чотири роки 500 $.
Дано:
Фп = 2000 $
Фл = 500 $
Тп = 4
На-?
Рішення:
Річна норма амортизації повинна розраховуватися за формулою:
,
де На - річна норма амортизації,%;
Фп - початкова (відновна) вартість основних фондів, $;
Фл - ліквідаційна вартість основних фондів, $;
Тп - строк корисного використання (або амортизаційний період), років.
НА = (2000-500/4 * 2000) * 100% = 18,75%
Відповідь: річна норма амортизації склала 18,75%.
Знайдіть вартість інвестиції в кінці трьох років. Первісна разова сума 30 000 $. Протягом 3 років вилучається 500 $ в місяць. Щорічно нараховується відсотковий доход з розрахунку 11% річних.
Рішення:
500 $ * 12 місяців = 6000 $ вилучається за рік
(-6000 $) * (1 +0,11) ^ 3 - (-6000 $) = 2205,786 $
30000 $ (1 +0,11) ^ 3 + (-2205,786 $) = 41028,93 $ -2205,786 $ = 38823,144 $
Відповідь:
Вартість інвестиції в кінці трьох років складе 38823,144 $.
Визначте суму кожної виплати, необхідної для погашення наступного кредиту: 40 000 $ під 19% річних, виплати щомісяця протягом 4 років. Розглянути 2 типу кредиту: а) всі відсотки за складною відсотковою ставкою нараховуються на всю суму, потім однакові щомісячні виплати, б) щомісячні виплати по ануїтету.
Дано:
S = 40000 $
i = 1,583 (19% / 12мес) = 0,01583
n = 48 (4 года/12 міс)
розмір виплат за кредитом -?
Рішення:
А) Формула обчислення майбутньої вартості позики зі складними відсотками визначається так:
FV - майбутня вартість позики (Future Value).
PV - поточна вартість позики (Present Value).
r - процентна ставка.
T - період позички в днях
Ty - кількість днів у році
FV = 40000 $ * (1 +0,19) ^ 4 = 80213,568 $
Отже щомісячні платежі будуть складати 80213,568 $ / (4 * 12) = 1671,116 $
Б) Формула ануїтетних платежів
Коефіцієнт ануїтету розраховується за наступною формулою:
де i - місячна процентна ставка по кредиту (= річна ставка / 12),
n - кількість періодів, протягом яких виплачується кредит.
K = 0,01583 * (1 +0,01583) ^ 48 = 0,0336463 = 0,0299
(1 +0,01583) ^ 48 -1 1,125248
A = K * S = 0,0299 * 40000 $ = 1196 $
Відповідь:
А) Щомісячні виплати з погашення кредиту складуть 1671,116 $. А переплата по відсотках за 4 роки складе 40213,568 $.
Б) Щомісячні виплати з погашення кредиту складуть 1196 $. А переплата по відсотках за 4 роки складе 17408 $.
Можна зробити висновок, що ануїтетні платежі будуть вигідніше і можуть заощадити за 4 роки 22805,568 $.
Суми 30, 40, 80 тис. руб. потрібно було сплатити через 1 рік і 6 місяців, 2 і 4 роки відповідно, застосовується складна процентна ставка 24% річних. Знайти величину консолідованого платежу, який потрібно сплатити через 3 роки і 5 місяців? Як зміниться результат при щоквартальному нарахуванні відсотків?
Рішення:
По складній ставці відсотка консолідований платіж визначається за формулою:
|
S 0 = 30000 (1 + (3 ,5-1, 6) * 0,24) 1,6 +4 0000 (1 + (3 ,5-2) * 0,24) 2 +8 0000 (1 + ( 3 ,5-4) * 0,24) 4 = 30000 * 1,82414 +40000 * 1,8496 +80000 * 0,5996953 = 54724,2 +73984 +47975,624 = 176683,82 руб.
Щокварталу
S 0 = 30000 (1 + (3,5-1,6) * (0,24 / 4)) 1,6 * 4 +40000 (1 + (3,5-2) * (0,24 / 4) ) 2 * 4 +80000 (1 + (3,5-4) * (0,24 / 4)) 4 * 4 = 30000 * 1, 995562 +40000 * 1,992563 +80000 * 0,614254 = 5472459866,86 +79702,524 +49140,32 = 188709,7 руб.
Відповідь: 1) величина консолідованого платежу, який потрібно сплатити через 3 роки і 5 місяців становить 176683,82 руб.
при щоквартальному нарахуванні відсотків величина консолідованого платежу, який потрібно сплатити через 3 роки і 5 місяців становить 188709,7 руб.
Банк видав клієнту кредит на один рік в розмірі 30 тис. руб. за ставкою 16% річних. Рівень інфляції за рік склав 18%. Визначити з урахуванням інфляції реальну ставку відсотків за кредитом, реальну погашається суму і реальну суму відсотків за кредит. Що отримає банк від даної фінансової операції дохід або збиток?
Дано:
PV = 30000 руб.
I = 16%
Інфляція = 18%
n = 1
i τ =?, FV =?, I =?, I τ =?.
Рішення:
Номінальна нарощена сума
FV = PV (1 + n i) = 30000 (1 + 0,16) = 34 800 руб.
Номінальні нараховані відсотки
I = FV - PV = 34800 - 30000 = 4800 руб.
Реальна нарощена сума
FV τ = FV / (1 + τ) = 34800 / 1,18 = 29491,525 руб.
Реальні відсотки
I τ = FV τ - PV = 29491,525 - 30000 = -508,475 руб.
Таким чином, отримано збиток від даної фінансової операції у розмірі 508,475 руб.
Ставка по кредиту з урахуванням інфляції повинна дорівнювати
i τ = [(1 + ni) • I τ - 1]: n = (1,16 • 1,18 - 1) / 1 = 0,3688
Нарощена сума
FV = PV (1 + n i) = 30000 (1 + 0,3688) = 41064 руб.
Дохід банку
I = FV - PV = 41064 - 30000 = 11064 руб.
I τ = FV τ - PV = 41 064 / 1,18 - 30000 = 4800 руб.
Реальна прибутковість фінансової операції
i = I τ / PV = 4800 / 30000 = 0,16
Відповідь: Таким чином, щоб забезпечити прибутковість у розмірі 16% річних, ставка по кредиту з урахуванням інфляції повинна відповідати 36,88% річних.