Білоруський державний університет інформатики і радіоелектроніки
Кафедра радіотехнічних пристроїв
РЕФЕРАТ
На тему:
«Функції алгебри логіки. Логічний базис »
МІНСЬК, 2008
1. Функції алгебри логіки (ФАЛ)
Радіоелектроніка в даний час багато в чому визначає науково-технічний прогрес і об'єднує ряд окремих областей науки і техніки, що розвинулися з радіотехніки та електроніки.
Радіотехніка - галузь науки і техніки, пов'язана з розробкою пристроїв і систем, які забезпечують генерування, посилення, перетворення, зберігання, а також випромінювання і прийом електромагнітних коливань радіочастотного діапазону, використовуваних для передачі інформації.
У сучасних радіотехнічних системах і комплексах до 90% розроблюваних пристроїв реалізується на елементах цифрової та обчислювальної техніки і використовуються цифрові методи обробки сигналів.
В даний час бурхливо розвивається за експоненціальним законом обчислювальна техніка і її елементна база. А не так давно перші інтегральні мікросхеми (1958 рік) містили до десяти транзисторів. Сьогодні сучасні мікропроцесори містять до 10 мільйонів транзисторів на один кристал, і менш ніж через десять років це число досягне 100 мільйонів транзисторів.
Вже відійшла в історію дискретна схемотехніка, коли різні вузли будувалися на друкованих платах з використанням окремих навісних радіоелектронних компонентів: транзисторів, резисторів, конденсаторів і інших елементів. Раніше з'єднання виконувалися за допомогою зовнішнього друкованого монтажу, тепер з'єднання і монтаж здійснюється всередині кристалу. Тому сучасний інженер електронної техніки повинен володіти передовими методами та технологіями, щоб уміти пристосувати їх завтра до обчислювальної техніки майбутніх поколінь, оволодіти практичними прийомами проектування пристроїв на програмованих логічних інтегральних схемах.
Логічні вирази n двійкових змінних за допомогою кінцевого числа логічних операцій можна розглядати як деяку функцію, яка відображатиме взаємну зв'язок між вхідними і вихідними змінними. Логічні операції кон'юнкції
Такі ФАЛ подібно логічним виразам можуть бути задані аналітичним і табличним способами.
При аналітичному способі ФАЛ задається у вигляді логічних виразів, одержуваних шляхом логічних перетворень за допомогою законів і правил Булевой алгебри.
При табличному способі ФАЛ задається таблицею істинності, де число всіх можливих наборів (комбінацій) аргументів звичайно. Якщо число аргументів ФАЛ одно n, то число їхніх можливих наборів
Таблиця 1.
У таблиці 1 наведені елементарні ФАЛ 
Кожна ФАЛ
Основні відомості про елементарні функції
Таблиця 2
У таблиці 2 часто вживаними є функції:
Розглянуті елементарні функції двох аргументів
Функції n змінних, значення яких задані у всіх точках області визначення, вважаються цілком визначеними ФАЛ. Якщо будь-яка функція має заборонені набори змінних і її значення на вказаних наборах не визначені, то така ФАЛ називається не повністю визначеною. Такі набори будемо відзначати в таблицях істинності (*) і при необхідності доопределяют їх значеннями 0 і 1. Ці питання будуть розглядатися пізніше.
Логічні функції, які вважаються цілком визначеними, можуть бути представлені різними формами.
ДНФ - діз'юнктівная нормальна форма запису ФАЛ представляється у вигляді суми (диз'юнкції) ряду елементарних членів (минтермов), кожен з яких є твором (кон'юнкція) аргументів або їх інверсій. Термін "нормальна форма" припускає, що в логічному вираженні, що задає функцію, послідовно виконуються не більше двох базових операцій (крім інверсії).
Запишемо ФАЛ у ДНФ:
Функцію (3.19) можна записати у вигляді диз'юнкції минтермов:
де
СДНФ - досконала діз'юнктівная нормальна форма запису ФАЛ представляється у ДНФ, де в кожному елементарному члені (минтерм), що має однакову розмірність, представлені всі аргументи функції або їх інверсії.
Запишемо ФАЛ в СДНФ:
Якщо записати ФАЛ у вигляді:
то форма подання даної функції не є СДНФ, оскільки другий минтерм не містить аргументу
Функцію
Отримані елементарні члени МДНФ називаються импликантами.
КНФ - Кон'юнктивна нормальна форма запису ФАЛ, представляється у вигляді твору (кон'юнкції) ряду елементарних членів (макстермов), які є сумою (диз'юнкцією) аргументів ФАЛ.
Запишемо функцію
СКНФ - досконала Кон'юнктивна нормальна форма запису ФАЛ представляється в КНФ, де в кожному елементарному члені (макстерме) представлені всі аргументи функції або їх інверсії.
Запишемо функцію
По функціях, представленим у СДНФ і СКНФ, можна побудувати таблицю істинності і навпаки - за таблицею істинності можна записати ФАЛ в СДНФ і СКНФ.
На підставі загальної табл. 1 складемо таблицю істинності функції нерівнозначності
На наборах N (2,3), де функція приймає значення 1, записуємо ФАЛ в СДНФ, а на наборах N (1,4) - у СКНФ. При записі ФАЛ в СДНФ аргументи x = 0 записуються з інверсією
Під час запису функції в СДНФ за таблицею істинності необхідно записати стільки диз'юнктивних членів (минтермов), що представляють собою кон'юнкції всіх аргументів, скільки одиниць містить функція в таблиці. Минтерм з'єднуються знаком логічного підсумовування.
Якщо в наборі значення аргументу дорівнює нулю, то в кон'юнкцію входить інверсія цього аргументу.
При записі ФАЛ в СКНФ необхідно записати стільки кон'юнктивні членів (макстермов), скільки нулів містить функція. Макстерми (кон'юнкції аргументів) з'єднуються знаком логічного множення. Якщо в наборі значення аргументу дорівнює нулю, то в диз'юнкцію входить аргумент без інверсії.
Базис І, АБО, НЕ володіє надмірністю і не є мінімальним. З цієї сукупності ЛЕ можна виключити логічний елемент І (або ЛЕ АБО), тоді набори І, НЕ і АБО, НЕ також будуть мати властивість базису.
При проектуванні логічних схем обчислювальної техніки саме широке застосування отримали базис Шеффера І-НЕ і базис Пірса АБО-НЕ, що володіють властивістю логічного базису.
Слід зазначити, що одну й ту ж логічну функцію (операцію) можна реалізувати в різних базисах. Покажемо це на прикладах простих логічних операцій диз'юнкції і кон'юнкції:
Використовуючи закони інверсії
Вирази (7) відображають принцип подвійності алгебри логіки: якщо в логічному вираженні операцію диз'юнкції замінити на операцію кон'юнкції (або навпаки) і проінвертіровать всі змінні, то результат виявиться інверсним колишнього значення.
Використовуючи принцип подвійності алгебри логіки, реалізуємо логічне вираз (7) в різних базисах.
Рис. 2
З рис.2 випливає: якщо перейменувати всі входи і виходи логічного елемента ЛЕ1 на інверсні значення і замінити ЛЕ
Всі логічні схеми (рис. 2) виконують логічну операцію (функцію) АБО, яку можна реалізувати на однотипних логічних елементах І-НЕ, а при наявності інверсних сигналів у проектованому пристрої - на одному ЛЕ И-НЕ.
На рис. 2 ЛС3 і ЛС4 - логічні схеми, до складу яких входять декілька логічних елементів ЛЕ.
Аналогічно можна показати, що логічну операцію (функцію) І можна виконати в базисах НЕ, АБО або в базисі Пірса АБО-НЕ (рис. 3).
Рис. 3
Таким чином, логічний базис, що представляє собою сукупність типів логічних елементів, може бути виконаний на універсальних логічних елементах І-НЕ і АБО-НЕ, що випускаються промисловістю в інтегральному виконанні. Повний логічний базис І, АБО, НЕ зазвичай використовується на початковій стадії проектування функціональних вузлів для складання функціональних схем.
ЛІТЕРАТУРА
1. Браммер Ю.А. Цифрові пристрої: Учеб. посібник для вузів. -М.: Вищ. шк., 2004. -229с.
2. Пухальський Г.І., Новосельцева Т.Я. Цифрові пристрої: Учеб. посібник для втузів .- СПб.: Політехніка, 1996 .- 885 с.
3. Угрюмов Є.П. Цифрова схемотехніка: Учеб. посібник для вузов.-СПб: БХВ-Петербург, 2000, 2004. - 528с.
Кафедра радіотехнічних пристроїв
РЕФЕРАТ
На тему:
«Функції алгебри логіки. Логічний базис »
МІНСЬК, 2008
1. Функції алгебри логіки (ФАЛ)
Радіоелектроніка в даний час багато в чому визначає науково-технічний прогрес і об'єднує ряд окремих областей науки і техніки, що розвинулися з радіотехніки та електроніки.
Радіотехніка - галузь науки і техніки, пов'язана з розробкою пристроїв і систем, які забезпечують генерування, посилення, перетворення, зберігання, а також випромінювання і прийом електромагнітних коливань радіочастотного діапазону, використовуваних для передачі інформації.
У сучасних радіотехнічних системах і комплексах до 90% розроблюваних пристроїв реалізується на елементах цифрової та обчислювальної техніки і використовуються цифрові методи обробки сигналів.
В даний час бурхливо розвивається за експоненціальним законом обчислювальна техніка і її елементна база. А не так давно перші інтегральні мікросхеми (1958 рік) містили до десяти транзисторів. Сьогодні сучасні мікропроцесори містять до 10 мільйонів транзисторів на один кристал, і менш ніж через десять років це число досягне 100 мільйонів транзисторів.
Вже відійшла в історію дискретна схемотехніка, коли різні вузли будувалися на друкованих платах з використанням окремих навісних радіоелектронних компонентів: транзисторів, резисторів, конденсаторів і інших елементів. Раніше з'єднання виконувалися за допомогою зовнішнього друкованого монтажу, тепер з'єднання і монтаж здійснюється всередині кристалу. Тому сучасний інженер електронної техніки повинен володіти передовими методами та технологіями, щоб уміти пристосувати їх завтра до обчислювальної техніки майбутніх поколінь, оволодіти практичними прийомами проектування пристроїв на програмованих логічних інтегральних схемах.
Логічні вирази n двійкових змінних за допомогою кінцевого числа логічних операцій можна розглядати як деяку функцію, яка відображатиме взаємну зв'язок між вхідними і вихідними змінними. Логічні операції кон'юнкції
Такі ФАЛ подібно логічним виразам можуть бути задані аналітичним і табличним способами.
При аналітичному способі ФАЛ задається у вигляді логічних виразів, одержуваних шляхом логічних перетворень за допомогою законів і правил Булевой алгебри.
При табличному способі ФАЛ задається таблицею істинності, де число всіх можливих наборів (комбінацій) аргументів звичайно. Якщо число аргументів ФАЛ одно n, то число їхніх можливих наборів
Таблиця 1.
| Аргументи | Функції | ||||||||||||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Кожна ФАЛ
Основні відомості про елементарні функції
Таблиця 2
| Операційні символи | Позначення, назви | Зарубіжні аналоги | |
| 0 | Константа 0 | Const 0 | |
| | |||
| | |||
| | |||
| | |||
| | |||
| | |||
| | |||
| | Peers F. | ||
| | |||
| | |||
| | |||
| | |||
| | Implicator | ||
| | |||
| 1 | Генератор 1 | Generator 1 |
Розглянуті елементарні функції двох аргументів
Функції n змінних, значення яких задані у всіх точках області визначення, вважаються цілком визначеними ФАЛ. Якщо будь-яка функція має заборонені набори змінних і її значення на вказаних наборах не визначені, то така ФАЛ називається не повністю визначеною. Такі набори будемо відзначати в таблицях істинності (*) і при необхідності доопределяют їх значеннями 0 і 1. Ці питання будуть розглядатися пізніше.
Логічні функції, які вважаються цілком визначеними, можуть бути представлені різними формами.
ДНФ - діз'юнктівная нормальна форма запису ФАЛ представляється у вигляді суми (диз'юнкції) ряду елементарних членів (минтермов), кожен з яких є твором (кон'юнкція) аргументів або їх інверсій. Термін "нормальна форма" припускає, що в логічному вираженні, що задає функцію, послідовно виконуються не більше двох базових операцій (крім інверсії).
Запишемо ФАЛ у ДНФ:
Функцію (3.19) можна записати у вигляді диз'юнкції минтермов:
де
СДНФ - досконала діз'юнктівная нормальна форма запису ФАЛ представляється у ДНФ, де в кожному елементарному члені (минтерм), що має однакову розмірність, представлені всі аргументи функції або їх інверсії.
Запишемо ФАЛ в СДНФ:
Якщо записати ФАЛ у вигляді:
то форма подання даної функції не є СДНФ, оскільки другий минтерм не містить аргументу
Функцію
Отримані елементарні члени МДНФ називаються импликантами.
КНФ - Кон'юнктивна нормальна форма запису ФАЛ, представляється у вигляді твору (кон'юнкції) ряду елементарних членів (макстермов), які є сумою (диз'юнкцією) аргументів ФАЛ.
Запишемо функцію
СКНФ - досконала Кон'юнктивна нормальна форма запису ФАЛ представляється в КНФ, де в кожному елементарному члені (макстерме) представлені всі аргументи функції або їх інверсії.
Запишемо функцію
По функціях, представленим у СДНФ і СКНФ, можна побудувати таблицю істинності і навпаки - за таблицею істинності можна записати ФАЛ в СДНФ і СКНФ.
На підставі загальної табл. 1 складемо таблицю істинності функції нерівнозначності
На наборах N (2,3), де функція приймає значення 1, записуємо ФАЛ в СДНФ, а на наборах N (1,4) - у СКНФ. При записі ФАЛ в СДНФ аргументи x = 0 записуються з інверсією
Під час запису функції в СДНФ за таблицею істинності необхідно записати стільки диз'юнктивних членів (минтермов), що представляють собою кон'юнкції всіх аргументів, скільки одиниць містить функція в таблиці. Минтерм з'єднуються знаком логічного підсумовування.
Якщо в наборі значення аргументу дорівнює нулю, то в кон'юнкцію входить інверсія цього аргументу.
При записі ФАЛ в СКНФ необхідно записати стільки кон'юнктивні членів (макстермов), скільки нулів містить функція. Макстерми (кон'юнкції аргументів) з'єднуються знаком логічного множення. Якщо в наборі значення аргументу дорівнює нулю, то в диз'юнкцію входить аргумент без інверсії.
2. Логічний базис
Логічні функції можуть бути реалізовані найпростішими логічними елементами. Сукупність логічних елементів І, АБО, НЕ, за допомогою яких можна відтворити і реалізувати будь-яку ФАЛ, будемо називати повним логічним базисом.Базис І, АБО, НЕ володіє надмірністю і не є мінімальним. З цієї сукупності ЛЕ можна виключити логічний елемент І (або ЛЕ АБО), тоді набори І, НЕ і АБО, НЕ також будуть мати властивість базису.
При проектуванні логічних схем обчислювальної техніки саме широке застосування отримали базис Шеффера І-НЕ і базис Пірса АБО-НЕ, що володіють властивістю логічного базису.
Слід зазначити, що одну й ту ж логічну функцію (операцію) можна реалізувати в різних базисах. Покажемо це на прикладах простих логічних операцій диз'юнкції і кон'юнкції:
Використовуючи закони інверсії
Вирази (7) відображають принцип подвійності алгебри логіки: якщо в логічному вираженні операцію диз'юнкції замінити на операцію кон'юнкції (або навпаки) і проінвертіровать всі змінні, то результат виявиться інверсним колишнього значення.
Використовуючи принцип подвійності алгебри логіки, реалізуємо логічне вираз (7) в різних базисах.
Рис. 2
З рис.2 випливає: якщо перейменувати всі входи і виходи логічного елемента ЛЕ1 на інверсні значення і замінити ЛЕ
Всі логічні схеми (рис. 2) виконують логічну операцію (функцію) АБО, яку можна реалізувати на однотипних логічних елементах І-НЕ, а при наявності інверсних сигналів у проектованому пристрої - на одному ЛЕ И-НЕ.
На рис. 2 ЛС3 і ЛС4 - логічні схеми, до складу яких входять декілька логічних елементів ЛЕ.
Аналогічно можна показати, що логічну операцію (функцію) І можна виконати в базисах НЕ, АБО або в базисі Пірса АБО-НЕ (рис. 3).
Рис. 3
Таким чином, логічний базис, що представляє собою сукупність типів логічних елементів, може бути виконаний на універсальних логічних елементах І-НЕ і АБО-НЕ, що випускаються промисловістю в інтегральному виконанні. Повний логічний базис І, АБО, НЕ зазвичай використовується на початковій стадії проектування функціональних вузлів для складання функціональних схем.
ЛІТЕРАТУРА
1. Браммер Ю.А. Цифрові пристрої: Учеб. посібник для вузів. -М.: Вищ. шк., 2004. -229с.
2. Пухальський Г.І., Новосельцева Т.Я. Цифрові пристрої: Учеб. посібник для втузів .- СПб.: Політехніка, 1996 .- 885 с.
3. Угрюмов Є.П. Цифрова схемотехніка: Учеб. посібник для вузов.-СПб: БХВ-Петербург, 2000, 2004. - 528с.