Контрольна робота 3.
1. Прилад може працювати в двох режимах ¾ нормальному і ненормальному. Нормальний режим зустрічається в 80% всіх випадків роботи приладу, ненормальний ¾ в 20%. Ймовірність виходу приладу за час t в нормальному режимі дорівнює 0,1, в ненормальному ¾ 0,7. Знайти ймовірність виходу приладу з ладу за час t.

Рішення

Нехай гіпотези і полягають у тому що прилад працює:
- У нормальному режимі, ймовірність
- В ненормальному режимі, ймовірність

Гіпотези несумісні і сума їх ймовірностей дорівнює 1. Значить, гіпотези утворюють повну групу.
Нехай подія А полягає в тому, що прилад виходить з ладу. За умови, що режим роботи нормальний, ймовірність настання А дорівнює
За умови що режим роботи ненормальний ймовірність настання А

За формулою повної ймовірності обчислимо ймовірність того що прилад вийде з ладу за час t
Відповідь: 0,22
2. У лотереї кожен десятий квиток виграє 10 рублів, сам же лотерейний квиток коштує 1 рубль. Хтось придбав 10 квитків. Знайти ймовірність того, що він:
а) не буде в програші;
б) буде у виграші.
Рішення
Імовірність виграти по довільному квитку, за формулою класичної ймовірності дорівнює p = 0.1
Проводиться n = 10 випробувань c однаковою ймовірністю настання події в кожному.
Для того щоб гравець не був в програші, повинен виграти хоча б один квиток тобто k> = 1
Для того щоб гравець був у виграші, повинна виграти як мінімум два квитки або k> 1
За формулою Бернуллі,

Тепер знайдемо ймовірність протилежного події p (k> = 1) = 1-p (k <1) = 1-0.349 = 0.651 - ймовірність не опинитися в програші
P (k> = 1) = p (k> 1) + p (k = 1) - ймовірність суми несумісних подій
P (k> 1) = p (k> = 1)-p (k = 1) = 0.651-0.387 = 0.264 - імовірність виграшу
Відповідь: а) 0,651 б) 0,264
3. Насіння деяких рослин проростають з імовірністю 0,8. Знайти ймовірність того, що з 2000 посаджених насіння проростає:
а) 1600 насіння;
б) не менше 1600 насіння.
Рішення
Ми маємо справу з серією послідовних незалежних випробувань, в кожному з яких з однаковою ймовірністю може відбутися подія А (насіння проростає)
Кількість випробувань n = 2000
Імовірність настання події А дорівнює p (A) = 0.8 = p
q = 1-p = 1-0.8 = 0.2

Умови завдання відповідають схемі Бернуллі. У силу того, що n досить велике, зручно застосувати для обчислень локальну теорему Муавра-Лапласа. Імовірність того, що подія А настане рівно k = 1600раз, приблизно дорівнює

Тут - локальна функція Лапласа, значення якої можна взяти з таблиць.

Отримаємо

Відповідь: 0,0223
4. У коробці лежать 10 справних і 3 несправних батарейки. На удачу витягуються 3 батареї. Скласти закон розподілу випадкової величини --- числа справних батарей серед витягнутих.

Рішення

Нехай Х-дискретна випадкова величина-число несправних батарей. Х може приймати значення 0,1,2 або 3. Знайдемо ймовірності кожного із значень Х.

Імовірність для кожної батарейки бути несправною визначаємо за формулою класичної ймовірності.
Проводиться n = 3 випробування Бернуллі в кожному з яких p = 0.231, q = 1-p = 0.769

За формулою Бернуллі
Перевірка: p (X = 0) + p (X = 1) + p (X = 2) + p (X = 3) = 0.455 +0.410 +0.123 +0.012 = 1.00
Отримуємо закон розподілу випадкової величини Х:

Х	0	1	2	3
Р	0,455	0,410	0,123	0,012

5. Випадкова величина Х розподілена за нормальним законом, причому P (X> 2) = 0,5, а P (1 <X <3) = 0,8. Знайти математичне сподівання і дисперсію випадкової величини Х.