Нижегородський державний лінгвістичний університет ім. Н.А. Добролюбова
Факультет міжнародних відносин, економіки та управління
Кафедра математики та інформатики
Реферат
"Теорія ігор. Корпоративні ігри"
Виконала: Майорова Анастасія,
Студентка 2-го курсу
ФМОЕУ, гр. 205 Фінік
Номер залікової книжки - 200811852
Перевірила: Родькіна О.Я.
Нижній Новгород, 2010 р.
Зміст
Введення
1. Загальні поняття в теорії ігор
2. Кооперативні ігри
3. Рішення кооперативної гри за допомогою вектора Шеплі
Висновок
Список використаної літератури
Введення
На практиці проведення економічного аналізу часто доводиться приймати рішення в умовах невизначеності. Результати роботи організації залежатимуть від дій, основаних противником. Такі ситуації називають конфліктними. Наукові основи і методи вирішення завдань з конфліктними ситуаціями дає теорія ігор.
ІГОР ТЕОРІЯ - розділ математики, предметом якого є аналіз прийняття оптимальних рішень в умовах конфлікту. Виникнувши з завдань класичної теорії ймовірностей, теорія ігор перетворилася в самостійний розділ у 1945-1955. Таким чином, теорія ігор - один з новітніх розділів математики. Найбільш повний виклад ідей та методів теорії ігор вперше з'явилося в 1944 у праці Теорія ігор і економічна поведінка (Theory of Games and Economic Behavior) математика Дж. фон Неймана (1903-1957) та економіста О. Моргенштерна (1902-1977). Фон Нейман опублікував кілька робіт з теорії ігор в 1928 і 1935; іншим попередником теорії ігор по праву вважається французький математик Е. Борель (1871-1956). Деякі фундаментальні ідеї були незалежно запропоновані А. Вальдо (1902-1950), що заклав основи нового підходу до статистичної теорії прийняття рішень.
У даній роботі розглядаються загальні поняття в теорії ігор з більш детальним описом коаліційних (кооперативних) ігор. Так само наведено рішення задачі за допомогою аксіом Шеплі.
1. Загальні поняття в теорії ігор
При вирішенні економічних завдань доводиться часто аналізувати ситуації, в яких стикаються інтереси двох або більше конкуруючих сторін, що переслідують різні цілі; це особливо характерно в умовах ринкової економіки. Такого роду ситуації називаються конфліктними.
Математичної теорією конфліктних ситуацій є теорія ігор. У грі можуть стикатися інтереси двох (гра парна) або декількох (гра множинна) супротивників; існують гри з нескінченним безліччю гравців. Якщо під множинної грі гравці утворять коаліцію, то гра називається коаліційної; якщо таких коаліцій дві, то гра зводиться до парної.
На промислових підприємствах теорія ігор може застосовуватися для вибору оптимальних рішень, наприклад, при створенні раціональних запасів сировини, матеріалів, напівфабрикатів, коли протиборствують дві тенденції: збільшення запасів, які гарантують безперебійну роботу виробництва, скорочення запасів у цілях мінімізації витрат на їх зберігання. У сільському господарстві теорія ігор може застосовуватися при вирішенні таких економічних завдань, як посіву однієї з можливих культур, урожай якої залежить від погоди, якщо відомі ціна одиниці тієї чи іншої культури і середня врожайність кожної культури в залежності від погоди (наприклад, чи буде літо посушливі , нормальним або дощовим); в цьому випадку одним виступає сільськогосподарське підприємство, що прагне забезпечити найбільший дохід, а іншим - природа.
Рішення подібних завдань вимагає повної визначеності формулюванні їх умов (правил гри); встановлення кількості гравців, виявлення можливих стратегій гравців, можливих виграшів (програш розуміється як негативний виграш). Важливим елементом в умові ігрових завдань є стратегія, тобто сукупність правил, які залежно від ситуації в грі визначають однозначний вибір дій даного гравця. Якщо в процесі гри гравець застосовує поперемінно кілька стратегій, то така стратегія називається змішаною, а її елементи - чистими стратегіями. Кількість стратегій у кожного гравця може бути кінцевим і нескінченним, залежно від цього ігри поділяються на кінцеві і нескінченні.
Важливими є поняття оптимальної стратегії, ціни гри, середнього виграшу. Ці поняття знаходять відображення у визначенні рішення ігри: стратегії Р * і Q * першого і другого гравця відповідно називаються їх оптимальними стратегіями, а число V - ціною гри, якщо для будь-яких стратегій Р першого гравця і будь-яких стратегій Q виконуються нерівності: де М (Р, Q) означає математичне сподівання виграші (середньої виграш) першого гравця, якщо першим і другим гравцями обрані відповідно стратегії Р і Q.
Існує ряд методів вирішення матричних ігор. Якщо матриця гри має одну з розмірностей, рівну двом (в одного з гравців є тільки дві стратегії), то рішення гри може бути отримано графічно. Відомо кілька методів наближеного рішення матричної гри, наприклад, метод Брауна. У багатьох ігрових завданнях у сфері економіки невизначеність викликана не свідомим протидією противника, а недостатньою поінформованістю про умови, в яких діють сторони.
За характером взаємодії ігри поділяються на:
безкоаліційний: гравці не мають права брати участь в угодах, утворювати коаліції;
коаліційні (кооперативні) - можуть вступати в коаліції.
В кооперативних іграх коаліції наперед визначені.
2. Кооперативні ігри
У Росії при побудові математичної моделі конфлікту роблять відмінності між коаліцією дії і коаліцією інтересів. Коаліцією дії називаються ті чи інші колективи, які беруть участь у грі, і приймає рішення. Коаліцією інтересів називаються колективи, що беруть участь в грі і відстоюють деякі спільні інтереси. Крім того, вводиться поняття ситуації - Результат вибору усіма коаліціями дії своїх стратегій.
Гра називається кооперативною, або коаліційною, якщо гравці можуть об'єднуватися в групи, беручи на себе певні зобов'язання перед іншими гравцями і координуючи свої дії. Цим вона відрізняється від некооперативних ігор, в яких кожен зобов'язаний грати за себе. Розважальні ігри рідко є кооперативними, однак такі механізми нерідкі в повсякденному житті.
Часто припускають, що кооперативні ігри відрізняються саме можливістю спілкування гравців один з одним. У загальному випадку це невірно. Існують ігри, де комунікація дозволена, але гравці переслідують особисті цілі, і навпаки.
З двох типів ігор, некооперативного описують ситуації в найдрібніших деталях і видають більш точні результати. Кооперативні розглядають процес гри в цілому. Спроби об'єднати два підходи дали чималі результати. Так звана програма Неша вже знайшла вирішення деяких кооперативних ігор як ситуації рівноваги некооперативних ігор.
Гібридні ігри включають в себе елементи кооперативних та некооперативних ігор. Наприклад, гравці можуть утворювати групи, але гра буде вестися в некооперативного стилі. Це означає, що кожен гравець буде переслідувати інтереси своєї групи, разом з тим намагаючись досягти особистої вигоди.
Кооперативні ігри виходять в тих випадках, коли, в грі n гравців дозволяється утворювати певні коаліції. Позначимо через N безліч всіх гравців, N = {1, 2 ,..., n}, а через K - будь-яке його підмножина. Нехай гравці з K домовляються між собою про спільні дії і, таким чином, утворюють одну коаліцію. Очевидно, що число таких коаліцій, що складаються з r гравців, дорівнює числу сполучень із n по r, тобто , А число всіляких коаліцій одно
= 2 n - 1.
З цієї формули видно, що число всіляких коаліцій значно зростає в залежності від числа всіх гравців у цій грі. Для дослідження цих ігор необхідно враховувати всі можливі коаліції, і тому труднощі досліджень зростають із зростанням n. Утворивши коаліцію, безліч гравців K діє як один гравець проти інших гравців, і виграш цієї коаліції залежить від застосовуваних стратегій кожним з n гравців.
Функція u, що ставить у відповідність кожній коаліції K найбільший, впевнено одержуваний його виграш u (K), називається характеристичною функцією гри. Так, наприклад, для безкоаліційному ігри n гравців u (K) може вийти, коли гравці з безлічі K оптимально діють як один гравець проти решти N \ K гравців, що утворюють іншу коаліцію (другий гравець).
Характеристична функція u називається простою, якщо вона приймає тільки два значення: 0 і 1. Якщо характеристична функція u проста, то коаліції K, для яких u (K) = 1, називаються виграють, а коаліції K, для яких u (K) = 0, - програють.
Якщо в простій характеристичної функції u виграють є ті і тільки ті коаліції, які містять фіксовану непустих коаліцію R, то характеристична функція u, що позначається в цьому випадку через u R, називається найпростішою.
Змістовно прості характеристичні функції виникають, наприклад, в умовах голосування, коли коаліція є виграє, якщо вона збирає більше половини голосів (проста більшість) або не менше двох третин голосів (кваліфікована більшість).
Більш складним є приклад оцінки результатів голосування в Раді безпеки ООН, де виграють коаліціями є всі коаліції, що складаються з усіх п'яти постійних членів Ради плюс ще хоча б один непостійний член, і тільки вони.
Найпростіша характеристична функція з'являється, коли в голосуючим колективі є деяка "ядро", голосують з дотриманням правила "вето", а голоси інших учасників виявляються несуттєвими.
Позначимо через u G характеристичну функцію безкоаліційному гри. Ця функція має такі властивості:
персональность
u G (Æ) = 0, тобто коаліція, яка не містить жодного гравця, нічого не виграє;
супераддітівность
u G (K È L) ³ u G (K) + u G (L), якщо K, L Ì N, K Ç L ¹ Æ,
тобто загальний виграш коаліції не менше сумарного виграшу всіх учасників коаліції;
доповнюваність
u G (K) + u (N \ K) = u (N)
тобто для безкоаліційному ігри з постійною сумою сума виграшів коаліції і інших гравців повинна дорівнювати загальній сумі виграшів усіх гравців.
Розподіл виграшів (розподіл) гравців повинна відповідати таким природним умовам: якщо позначити через x i виграш i - го гравця, то, по-перше, має задовольнятися умова індивідуальної раціональності
x i ³ u (i), для i Î N
тобто будь-який гравець має отримати виграш в коаліції не менше, ніж він отримав би, не беручи участь в ній (у противному випадку він не буде брати участь в коаліції), по-друге, має задовольнятися умова колективної раціональності
= U (N)
тобто сума виграшів гравців повинна відповідати можливостям (якщо сума виграшів всіх гравців менше, ніж u (N), то гравцям нема чого вступати в коаліцію, якщо ж вимагати, щоб сума виграшів була більше, ніж u (N), то це означає, що гравці повинні ділити між собою суму більшу, ніж у них є).
Таким чином, вектор x = (x 1 ,..., x n), що задовольняє умовам індивідуальної та колективної раціональності, називається розподіл в умовах характеристичної функції u.
Система {N, u}, що складається з безлічі гравців, характеристичної функції над цим безліччю і безліччю поділів, що задовольняють співвідношенням (2) і (3) в умовах характеристичної функції, називається класичною кооперативної грою.
Кооперативна гра з безліччю гравців N і характеристичної функцією u називається стратегічно еквівалентної грою з тим же безліччю гравців і характеристичної функцією u 1, якщо знайдуться такі к> 0 і довільні речові C i (i Î N), що для будь-якої коаліції До Ì N має місце рівність:
u 1 (K) = k u (K) +
Сенс визначення стратегічної еквівалентності кооперативних ігор (с. е.. К. и) полягає в тому що характеристичні функції с. е.. к. і. відрізняються тільки масштабом виміру виграшів k і початковим капіталом C i. Стратегічна еквівалентність кооперативних ігор з характеристичними функціями u і u 1 позначається так u ~ u 1. Часто замість стратегічної еквівалентності кооперативних ігор говорять про стратегічну еквівалентності їх характеристичних функцій.
Справедливі такі властивості для стратегічних еквівалентних ігор:
1. Рефлексивність, тобто кожна характеристична функція еквівалентна собі u ~ u.
2. Симетрія, тобто якщо u ~ u 1, то u 1 ~ u.
3. Транзитивність, тобто якщо u ~ u 1 і u 1 ~ u 2, то u ~ u 2.
Одними з найбільш цікавих способів вирішення коаліційних ігор є рішення із застосуванням аксіом Шеллі.
3. Рішення кооперативної гри за допомогою вектора Шеплі
Аксіоми Шеплі:
1. Аксіома ефективності. Якщо S - будь-який носій ігри з характеристичною функцією u, то
= U (S)
Іншими словами, "справедливість вимагає", що при поділі спільного виграшу носія гри нічого не виділяти на частку сторонніх, не належать цьому носієві, так само як і нічого не стягувати з них.
2. Аксіома симетрії. Для будь-якої перестановки p і i Î N повинне виконуватися (Pu) = j i (u), тобто гравці, однаково входять в гру, повинні "по справедливості" отримувати однакові виграші.
3. Аксіома агрегації. Якщо є дві гри з характеристичними функціями u ¢ і u ¢ ¢, то
j i (u ¢ + u ¢ ¢) = j i (u ¢) + j i (u ¢ ¢),
тобто заради "справедливості" необхідно вважати, що за участю гравців у двох іграх їх виграші в окремих іграх повинні складатися.
Визначення. Вектором цін (вектором Шеплі) ігри з характеристичною функцією u називається n-мірний вектор
j (u) = (j 1 (u), j 2 (u ),..., j n (u)),
задовольняє аксіомам Шеплі.
Існування вектора Шеплі випливає з наступної теореми
Теорема. Існує єдина функція j, визначена для всіх ігор і задовольняє аксіомам Шеплі.
Визначення. Характеристична функція w S (T), визначена для будь-якої коаліції S, називається найпростішої, якщо
w S (T) =
Змістовно найпростіша характеристична функція описує такий стан справ, при якому безліч гравців S виграє одиницю тоді і тільки тоді, коли воно містить деяку основну мінімальну виграє коаліцію S.
Вектор Шеплі змістовно можна інтерпретувати так: гранична величина, яку вносить i-й гравець в коаліцію T, виражається як u (T) - u (T \ {i}) і вважається виграшем i - го гравця; g i (T) - це ймовірність того, що i-й гравець вступить в коаліцію T \ {i}; j i (u) - середній виграш i-го гравця в такій схемі інтерпретації. У тому випадку, коли u - найпростіша,
Отже
,
де підсумовування по T поширюється на всі такі виграють коаліції T, що коаліція T \ {i} не є виграє.
Приклад. Розглядається корпорація з чотирьох акціонерів, які мають акції відповідно в наступних розмірах
a 1 = 10, a 2 = 20, a 3 = 30, a 4 = 40.
Будь-яке рішення затверджується акціонерами, що мають у сумі більшість акцій. Це рішення вважається виграшем, рівним 1. Тому дана ситуація може розглядатися як проста гра чотирьох гравців, в якій виграють коаліціями є наступні:
{2, 4}, {3, 4},
{1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4},
{1, 2, 3, 4}.
Знайдемо вектор Шеплі для цієї гри.
При знаходженні j 1 необхідно враховувати, що є тільки одна коаліція T = {1, 2, 3}, яка виграє, а коаліція T \ {1} = {2, 3} не виграє. У коаліції T є t = 3 гравці, тому
.
Далі, визначаємо всі виграють коаліції, але не виграють без 2-го гравця: {2, 4}, {1, 2, 3}, {2, 3, 4}. Тому
.
Аналогічно отримуємо, що ,
.
В результаті одержуємо, що вектор Шеплі дорівнює . При цьому, якщо вважати, що вага голосу акціонера пропорційний кількості наявних у нього акцій, то отримаємо наступний вектор голосування
, Який, очевидно, відрізняється від вектора Шеплі.
Аналіз гри показує, що компоненти 2-го і 3-го гравців рівні, хоча третій гравець має більше акцій. Це виходить внаслідок того, що можливості утворення коаліцій у 2-го і 3-го гравця однакові. Для 1-го і 4-го гравця ситуація природна, що відповідає силі їхнього капіталу.
Висновок
Теорія ігор - наука, що вивчає поведінку багатьох учасників, коли досягаються кожним результати залежать від дій інших.
"Є в сучасній математиці одна область, вона носить невинне назву теорії ігор, але їй, безсумнівно, судилося зіграти дуже важливу роль в человековедении самого найближчого майбутнього, - говорив Джон фон Нейман, один з основоположників кібернетики. - Вона займається питаннями оптимального поведінки людей при наявності протидіє противника. Для вченого противник - це природа з усіма її явищами; експериментатор бореться з середовищем; математик - із загадками математичного світу; інженер - з опором матеріалів ".
Кооперативна теорія ігор, розділ ігор теорії, в якому ігри розглядаються без обліку стратегічних можливостей гравців (тим самим кооперативна теорія ігор вивчає певний клас моделей загальних ігор). Зокрема, в кооперативної теорії ігор входить дослідження нестратегічних (кооперативних) ігор, позбавлених з самого початку стратегічного аспекту. У кооперативної грі задаються можливості і переваги різних груп гравців (коаліцій) і з них виводяться оптимальні (стійкі, справедливі) для гравців ситуації, у тому числі розподілу між ними сумарних виграшів: встановлюються самі принципи оптимальності, доводиться їх реалізація в різних класах ігор і перебувають конкретні реалізації. У термінах кооперативних ігор піддаються опису багато економічних і соціологічні явища.
Список використаної літератури
Велика радянська енциклопедія, 1978 р.
Теорія ігор - стаття Міркіна Б.Г. на портале "Экономика. Социология. Менеджмент".
Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн. Теория игр и экономическое поведение .