Визначення 3. Об'єднання подій А і В називається подія С, що складається в наступі принаймні однієї з подій А і В.
Таке співвідношення прийнято позначати символом U: С = АUВ.
У загальному випадку:
Визначення 4. Об'єднання подій А1, А2, А3, .... Аn (або А1, або А2, ....., Або Аn, або декілька з них, або всіх).
Символічно А = А1UА2UА3U ... . UАn.
Для випадкових подій мають місце закономірності:
АUВ = ВUА
(АUВ) UС = Аu (ВUС)
Для операцій над подіями часто використовують дужки, що б показати, в якій послідовності слід проводити дії.
Наприклад, у другій закономірності (АUВ) UС означає, що спочатку потрібно знайти суму (об'єднання) подій А і В, а потім суму отриманого події і С.

П.3. Перетин подій

Нехай події А сприяють елементарні події (клітини) е1, е2, е3, е4, Е5, а події В - елементарні події (клітини) е3, е4, Е5, Е6, і Е7 (рис 8.)
Нехай події З сприяють елементарні події, які представлені заштрихованими клітинками (рис. 8).
Логічно подія З назвати перетином подій А і В. Воно означає, що відбулося і А і В.
У такому випадку застосовується символ С = А ∩ В.
У загальному випадку перетин подій визначається так:
Визначення 5. перетин подій А1, A2, А3, ..., Аn називається подія А, що складається в одночасному використанні всіх (і А1 і А2, .... та Аn) подій.
Символічно: А = А1 ∩ А2 ∩ ... ... ∩ Аn.

	А
Е1	Е2	Е3С
		Е4	Е5
			Е6	Е7
			У

Рис.8.
Приклади:
1. А-"входить у під'їзд людина-чоловік"
В-"входить у під'їзд людина світловолосий"
С-"входить у під'їзд людина світловолосий чоловік"
Подія С відбувається при одночасному виконанні подій А і В, тому С = А ∩ В.
2. довільно вибираємо два двозначних числа. Визначаємо події:
А - "вибрані числа кратні 2"
В - "вибрані числа кратні 3"
С - "обрані числа кратні 6
Подія С відбувається, якщо одночасно відбуваються події А і В. Якщо одна з подій А чи В не відбудеться, то не відбудеться С.
Нехай події А сприяють елементарні події (клітини) е1, е2, е3, е4, а події В - Е5, Е6, Е7 (рис 9)

Е1	Е2
Е3	Е4		Е5	Е6
А				Е7
				У

А ∩ В = _
Рис.9.
Ясно, що спільне здійснення АІВ неможливо: елементарних подій, що сприяють і тому, і іншої події, немає.
Визначення 6. дві події АІВ, перетин яких - неможлива подія (А ∩ В = _), називаються несумісними подіями.
Визначення 7. дві події АІВ називаються сумісними, коли існує принаймні одна елементарна подія, що сприяє події А, і події В.
Розглянемо наступні пари подій:
А1-"випадання герба при підкиданні монети"
А2 - "невипадання герба при підкиданні монети"
В1-"одужання хворого"
В2-"невиздоровленіе хворого"
С1-"поява нової комети в поточному році"
С2-"не появу нової комети в поточному році"
Природно події в кожній з пар вважати протилежними.
Встановимо дві властивості, яким задовольняє будь-яка пара подій:
1. об'єднання подій кожної з пари - достовірна подія:
А1 ∩ А2 = _
В1 ∩ В2 = _
С1 ∩ С2 = _
Визначення 8. якщо визначення подій А і В або В = А, якщо АІВ протилежні події.
Мовою простору елементарних подій протилежне подія А представляється доповненням події А щодо всього простору елементарних подій Є (рис 10).

	А
				А

Рис.10.

§ 5. Поняття ймовірності події

П.1. Класичне поняття ймовірності події.

Кидаємо гральну кістку. Випасти може або одне, або два, або три, або чотири, або п'ять, або шість очок. Кожне з цих подій елементарне, і разом вони утворюють простір елементарних подій. Але чи будуть ці події рівноможливими? Які обставини можуть це забезпечити? Це досить складне питання. Звичайно можна припустити, що ці події рівноможливими, коли кістка є правильним кубом із центром ваги в своєму геометричному центрі, коли вона зроблена з ідеального однорідного матеріалу, коли вона підкидається навмання однаковим способом. Цих "тоді" так багато, що важко всіх їх врахувати.
Рівноможливими елементарними подіями будемо вважати такі події, кожне з яких по відношенню до інших подій не володіє ніяким перевагою, з'являється частіше іншого при багаторазових випробуваннях, вироблених в однакових умовах.
У таблиці 1 розглядаємо випадкові події, що представляють підпростору простору равновозможних елементарних подій (кілька подій називаються рівноможливими, якщо немає підстави вважати, що одна з цих подій є об'єктивно більш можливим, ніж інше) визначених випробуванням гральною кісткою
Таблиця 1.

Позначення події	Зміст події	Кількість елементарних подій благопріятсвующіх даної події
А	Випало парне число очок	3
У	Випало менше трьох очок	2
З	Випало менше п'яти очок	4
Д	Випало не більше п'яти очок	5
G	Випало не менше трьох очок	4
U	Випало більше шести очок	0
І	Випало не більше шести очок	6

Ця таблиця показує неоднакові можливості появи цих подій за одному випробуванні: більш можливо то подія, якій сприяє більше число равновозможних елементарних подій цього простору. Ці числа і могли б бути чисельної мірою можливостей появи різних подій, пов'язаних з даними випробуванням.
А як порівняти можливості появи подій А1 і В1, які пов'язані з різними просторами елементарних подій?
Нехай в одному ящику 10 чорних куль пронумерованих парними числами 2,4, ... .18, 20, а в іншому 8 білих куль, пронумерованих числами 1,3,5,7,9,11,13,15. Навмання виймаємо з ящика по одній кулі. Нехай А1-"номер чорного кулі, кратний 3", подія В1-"номер білої кулі не більше 5".
Яке з цих подій більш можливо?
Події А1 сприяє 3равновозможних події (6,12,18), події В1 теж 3 (1,3,5). Може бути А1 і Б1 рівноможливими події? Відповісти на це запитання можна, лише знаючи кількість всіх равновозможних елементарних подій простору, пов'язаного з вийманням білої кулі.
Повна інформація про ці події може бути представлена ​​у формі таблиці 2.:
Таблиця 2.

Подія	Зміст події	Число елементарних подій всього простору	Число елементарних подій благоприятствующих даної події	ставлення
А1	Поява числа кратного 3 На чорному кулі	10	3	0,30
В1	Поява числа не більшого 5, на білому кулі	8	3	0,37

Приходимо до висновків:
А) подія В1 більш можливе, ніж подія А1;
Б) можливість появи деякої події n зручно вимірювати відношенням m / n, де n - число всіх равновозможних елементарних подій випливають з умов даного випробування, а m-число равновозможних подій, які сприяють події Н.
Цю зручну міру можливості появи події Н прийнято називати ймовірністю цієї події і позначати символом Р (Н) = m / n.
Визначення 1. ймовірністю випадкової події Називається відношення числа равновозможних елементарних подій, що сприяють цій події, до числа всіх равновозможних елементарних подій простору Е, що визначається даними випробуванням.
Це класичне визначення ймовірності випадкової події.
Р = (І) = n / n = 1, тому що число можливих результатів випробування дорівнює числу випадків, що сприяють появі події.
Р = (_) = o / n = o, тому що число результатів випробування, що сприяють появі неможливого події, дорівнює 0.

П.2. Статистичне визначення ймовірності

При класичному підході визначення поняття ймовірності зводиться до простішого поняття - одно можливості елементарних подій. А це поняття основного на інтуїтивному уяві людиною тих умов випробування, які начебто достовірно визначають цю одно можливість. Але не кожне випробування піддається такому уяві. Наприклад, не може бути мови про равновозможних результатах випробування, що складається в підкиданні неправильної гральної кістки, центр ваги якої свідомо усунутий з геометричного центру.
Яка ймовірність випадання шістки, при підкиданні такий кістки?
Як відомо ймовірність випадання шістки при підкиданні правильної гральної кістки, дорівнює 1ч6.
Припустимо, провели n кидання такий кістки і визначили, що шістка випала m разів. Ставлення mчn назвемо статистичної частотою появи шістки. При проведенні серії таких випробувань, може статися, що
при підкиданні кістки n раз шістка випала m1раз; статистична частота Р1 = m1чn;
при підкиданні кістки n +1 раз шістка випала m2раз: статистична частота Р2 = m2чn +1;
при підкиданні кістки Nраз шістка випала mN раз: статистична частота РN = mNчN.
Зауважимо, що для статистичних частот р1, р2, р3, .... РN буде характерна стійкість: вони будуть зі зростанням числа випробувань як завгодно близько зосереджуватися близько ймовірності Р = 1ч6.
Підкидаючи неправильну кістку і визначаючи статистичні частоти появи, наприклад, шістки, помітив таку ж стійкість цих частот, але ці частоти зі зростанням числа випробувань стійко будуть зосереджуватися близько деякого, в результаті неправильності гральної кістки нам невідомо числа Р. Це невідоме число щодо статистичних частот появи шістки при підкиданні неправильної гральної кістки виступає як би в ролі 1ч6 щодо статистичних частот появи шістки при підкиданні правильної гральної кістки. Будемо вважати це невідоме число Р ймовірністю випадшей шістки при киданні неправильної гральної кістки. Для кожної неправильної гральної кістки це Р буде різне.
Нехай m1чn; m2чn +1; ... .; MNчN - статистична частота настання події А в деякій серії випробувань, кожне з яких проводиться в однакових умовах (наприклад, підкидається одна і та ж гральна кістка з однакової висоти)
Визначення 2. ймовірністю події А називається щось невідоме число Р, біля якого зосереджуються значення статистичних частот настання події А при зростанні числа випробувань.
Це - статистичне визначення ймовірності випадкової події.

П.3. Геометричне визначення ймовірності.

Нехай на площині заданий коло і ньому трикутник В. До кола на удачу "впадає точка". Як визначити ймовірність події Н, що складається в тому, що точка потрапляє в трикутник?
При вирішенні цього завдання будемо користуватися наступному вихідним положенням: вірогідність потрапити в яку-небудь частину кола пропорційно площі цієї частини.
Якщо площа кола становить n одиниць площі, а площа трикутника m одиниць площі, то в силу пропорційності Р (А) = mk одиниць площі чnk одиниць площі = mчn.
На конкретному прикладі можна побачити, що геометричний підхід до ймовірності події не залежить від виду вимірювань геометричного простору: важливо тільки, щоб простір елементарних подій Є і простір представляє подія А, були однакового виду і однакових вимірювань.
Приклад
Нехай на площині заданий коло та визначено його сектор ВОС (ріс11), <ВОС = α. Розглянемо ймовірності трьох подій А1, А2, А3, що складаються в наступному: у коло на удачу кидається точка М. А1-"попадання М1 у сектор ВОС". На дугу кола навмання кидається точка N. А2-"попадання N на дугу ВОС". На малюнок на удачу кидається вектор OS, початок якого закріплено в точці О.
А3-"попадання OS в кут α"
Нехай ОС = r - радіус кола. Тогдa:
Той факт, що Р (А1) = Р (А2) = Р (А3), підтверджує вищевикладене судження і дозволяє узагальнити формулу (х):
якщо подія А полягає в потраплянні точки М на відрізок [α; β] при її киданні навмання на відрізок [а; в] (рис.12), то
Р (А) = β - αчв-а;
якщо позиція А полягає в попаданні вектором ОМ в кут α при киданні навмання, коли початок вектора закріплено в точці О (ріс13), то Р (А) = αч2π (в радіанах) = α ч360 ° (в градусах);
якщо подія А полягає в потраплянні точки М в простір Т при киданні її навмання у простір S, то Р (А) = VтчVs
Геометрична інтерпретація ймовірності події є важливим засобом підходу до розрахунку ймовірностей складних подій.
Визначення 3. ймовірністю випадкової події А називається чисельна міра можливості настання цієї події при деякому випробуванні.

П.4. Аксіомотіческое визначення ймовірності

Нехай Ω - довільне простір елементарних подій, а І - деякий клас підмножин безлічі Ω.
Клас підмножин І називається алгеброю подій, якщо Ω в І і якщо А; ВЄІ, А + ВЄІ, А / ВЄІ при будь-якому АЄІ, ВЄІ. Звідси випливає, що ǿ = Ω \ ΩЄІ. Найменшою системою підмножин, є алгеброю, очевидно будучи системою І = {d, Ω}. Неважко перевірити наступні твердження. Якщо І - система всіх підмножин множини Ω, то і алгебра, якщо Ω-кінцеве безліч, то система всіх підмножин буде так само кінцевим числом.
Приклад.
Підкидання гральної кістки один раз. У цьому досвіді Ω = {W1, W2 ..., W6}, де Wк позначений результат досвіду, що полягає у випаданні k очок. Маємо шість виключають один одного випадків. Випишемо всі події алгебри І, що складаються з всіх підмножин Ω:
{W1}, {W2 },... . {W6};
{W1, W2}, {W1, W3 },... . {W5, W6}, {W1, W2, W3 },... . .;
{W1, W2, W3, W4, W5, W6} = Ω
У цьому прикладі алгебра і складається з 2 = 64 подій. Якщо безлічі Ω складається з N елементів, то число всіх підмножин одно 2N. Справді, кількість послідовностей з 0 і 1 довжини N одно 2N, а між такими послідовностями і підмножинами Ω можна встановити взаимнооднозначное відповідність за наступним правилом: елемент з номером i з безлічі Ω включається в підмножину, що відповідає даній послідовності коштує 1.
Визначення 4. числова функція Р, визначена на класі подій І, називається ймовірністю, якщо здійснимі наступні умови:
А1. не є алгеброю подій;
А2. Р (А) ≥ 0 для будь-якого а АЄІ.
А3. Р (Ω) = 1
А4. (Аксіома кінцевої аудитивного)
Якщо А і В несумісні, то Р (А + В) = Р (А) + Р (В).
Для вирішення завдань, пов'язаних з нескінченними послідовностями подій, потрібно доповнити наведені аксіоми наступної аксіомою безперервності:
А5. для будь-якої спадної послідовності А1еА2е .... еАnе ... подій з І такий, что__Аn = ǿ має місце рівність е1m Р (Аn) = 0.
Вкажіть декілька простих властивостей ймовірності, які безпосередньо випливають з аксіом А2-А4. З аксіом А3-А4 і рівності А + А = Ω випливає, що Р (А) = 1-Р (А).
Вважаючи тут А = Ω, отримаємо Р (ǿ) = 0.

§ 6. Теореми про ймовірність суми подій

Визначення 1. кілька подій називаються несумісними в даному досвіді, якщо ніякі дві з них не можуть з'явиться разом.
Приклади.
поява 1,2,4 очок при киданні гральної кістки;
влучення і промах при одному пострілі - несумісні події.
Теорема 1. ймовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірності цих подій:
Р (А + В) = Р (А) + Р (В) (1)
Доведемо цю теорему для схеми випадків.
Нехай можливі результати досвіду сходяться до сукупності випадків. Для наочності зобразимо їх у вигляді n точок.
mn A kn B
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
n
Припустимо, що з цих випадків m сприятливі події А, а k події В. Тоді Р (А) = mчn; P (B) = kчn.
Оскільки події А і В несумісні, то немає таких випадків, які сприятливі m + k випадків І
Р (А + В) = m + kчn.
Підставимо отримані вирази у формулу (1) отримаємо тотожність. Теорема доведена.
Узагальнимо теорему додавання на випадок трьох подій. Позначаючи події А + В літерою Д і приєднуючи до суми ще одна подія С, легко довести, що: Р (А + В + С) = Р (Д + С) = Р (Д) + Р (С) = Р (А + В) + Р (С) =
= Р (А) + Р (В) + Р (С).
Методом повної індукції можна узагальнити теорему додавання на довільне число несумісних подій. Припустимо, що вона справедлива для n подій: А1, А2, ... Аn, і доведемо, що вона буде справедлива для n +1 подій: А1, А2, ... ... Аn, An +1
Позначимо: А1 + А2 + .... + Аn = C
Маємо: Р (А1 + А2 + .... + Аn + An +1) = P (C + An +1) = P (C) + P (An +1).
Але тому що для n подій теорема справедлива, то Р (С) = Р (А1) + Р (А2) + .... + Р (Аn), звідки Р (А1 + А2 + ... + Аn + An +1) = P (A1) + P (A2) + ... . P (An) + P (An +1), що й потрібно було довести.
Таким чином, теорема додавання ймовірностей застосовна до будь-якого кінцевого числа несумісних подій. Її зручно записати у вигляді: Р (ΣАi) = ΣP (Ai)
Відзначимо слідства, які з теореми складання ймовірностей.
Попередньо введемо допоміжне поняття.
Визначення 2. кажуть, що кілька подій у даному досвіді утворюють повну групу подій, якщо в результаті досвіду неодмінно має з'явитися хоча б одна з них.
Приклади.
3) випадання герба і випадання цифри при киданні монети;
4) влучення і промах при пострілі - повні групи подій.
Наслідок 1. якщо події А1, А2, ... Аn, образу4ют повну групу несумісних подій, то сума їх ймовірностей дорівнює одиниці: ΣP (Ai) = 1.
Доказ. Оскільки події А1, А2, .... Аn утворюють повну групу, це поява хоча б одного з них - достовірна подія.
P (A1 + A2 + ... + An) = 1
Т. до А1, А2, .... Аn - несумісні події, то до них застосовується теорема додавання ймовірностей.
P (A1 + A2, ...., + An) = P (A1) + P (A2) + ... . + P (An) = ΣP (Ai),
звідки ΣP (Ai) = 1, що й потрібно було довести.
Перед тим, як запровадити другий наслідок теореми складання, визначимо поняття про "протилежних подіях".
Визначення 3. протилежними подіями називаються два несумісних події, що утворюють повну групу.
Подія, протилежне події А, прийнято позначати А.
Приклади.
5) А-влучення при пострілі;
А-промах при пострілі;
6) У-випадання герба при киданні монети;
По-випадання цифри при киданні монети - протилежні події.
Наслідок 2. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці. Р (А) + Р (А) = 1.
Доказ. Згадаймо для доказу, що А + А = І, Р (І) = 1, А * А = ǿ, Тоді по теоремі 1 отримуємо:
1 = Р (І) = Р (А + А) = Р (А) + Р (А), що й потрібно було довести.
Це наслідок є окремий випадок слідства 1. воно важливе в практичному застосуванні теорії ймовірностей. На практиці досить часто виявляється легше обчислити вірогідність протилежного події А, ніж вірогідність прямого події А. в цих випадках обчислюють Р (А) і знаходять Р (А) = 1-Р (А).
Приклад 7.
Кругова мішень (рис 14) складається з трьох зон: I, II, III. Вірогідність потрапляння в першу зону при одному пострілі - 0,15, в другу - 0,23, в третю - 0,17. Знайти ймовірність промаху.
Рішення. Позначимо А-промах при пострілі, тоді А-влучення. Тоді А = А1 + А2 + А3, де А1, А2, А3-непопадання відповідно в першу, другу, третю зони.
По теоремі 1 Р (А) = Р (А1) + Р (А2) + Р (А3) = 0,15 +0,23 +0,17 = 0,55, звідки Р (А) = 1-Р (А ) = 0,45
У ряді випадків доводиться обчислювати ймовірність суми подій, які можуть бути спільними.
Теорема 2. для будь-яких двох подій справедливо рівність: Р (А + В) = Р (А) + Р (В) - Р (АВ) (2)
Доказ. Подія А складається з компонент А * В і А * В, а подія в з компонент А * В і А * В. Тому А + В = (АВ) + (АВ) + (АВ) + (АВ) = (АВ) + (АВ) + (АВ), і оскільки входять в це положення компоненти попоріо не перетинаються, то
Р (А + В) = Р (АВ) + Р (АВ) + Р (АВ) (3)
З іншого боку маємо Р (А) = Р (АВ) + Р (АВ); і Р (В) = Р (АВ) + Р (АВ), а тому P (A) + P (B) = 2P (AB ) + P (AB) + P (AB).
Порівнюючи ці рівності до (3) отримуємо доводимо формулу (2)
Для довільного числа подій формула виглядає так: Р (ΣAi) = ΣP (Ai) - ΣP (Ai-Aj) + ΣP (AiAjAk) ... . + (-1) N-1P (A1A2. .. An).
Зокрема при n = 3 маємо: Р (А + В + С) = Р (А) + Р (В) + Р (С) - Р (АВ) - Р (АС) - Р (ВС) + Р (АВС ).

§ 7. Теорема множення ймовірностей

Умовна ймовірність.
Другий основною теоремою теорії ймовірностей є терема множення ймовірностей.
Перед тим як викладати теорему множення введемо важливе поняття: поняття про незалежних і залежних подіях.
Визначення 1. подія А називається незалежною від події В, якщо ймовірність події А не залежить від того, чи відбулося подія В, чи ні.
Визначення 2. подія А називається залежним від події В, якщо ймовірність події А є в залежності від того, чи відбулося подія В, чи ні.
Приклади.
1) досвід полягає в киданні двох монет; розглядаються події:
А-появи герба на першій монеті
По-поява герба на другий монеті
У даному випадку ймовірність події А не залежить від того, чи відбулося подія В, чи ні; подія А незалежно від події В.
2) в урні два білих кулі і один чорний; дві особи виймають з урни по одній кулі; розглядаються події:
А-поява білої кулі у першої особи
По-поява білої кулі у другої особи
Ймовірність події А до того, як відомо що-небудь про подію В, дорівнює 2 / 3. якщо стало відомо, що подія В сталося, то ймовірність події А стає рівною Ѕ, з чого укладаємо що подія А залежить від події В.
Визначення 3. ймовірність події А, обчислена за умови, що мало місце інша подія В, називається умовною ймовірністю події А і позначається Р (А / В).
Умова незалежності події А від події В можна записати у вигляді: Р (А / В) ≠ Р (А).
Сформулюємо теорему множення ймовірностей.
Теорема. Імовірність добутку двох подій дорівнює добутку одного з них на умовну ймовірність іншого, обчислену за умови, що перше мало місце: Р (АВ) = Р (А) Р (В / А)
Доведемо теорему для схеми випадків.
Нехай можливі результати досвіду зводяться n випадків. Зобразимо їх для наочності у вигляді n точок:
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Припустимо, що події А сприятливі m випадків, а події У сприятливі k випадків. Оскільки ми не припускали події АІВ несумісними, то взагалі існують випадки, сприятливі і події А, і події В одночасно. Нехай число таких випадків L. Тоді Р (АВ) = L / n; P (A) = m / n
Обчислимо Р (В / А), тобто умовну ймовірність події В у припущенні, що А мало місце.
Якщо відомо, що подія А сталося, то з раніше можливих n випадків залишаються можливими тільки ті m, які сприятливі події А. з них L випадків сприятливі події В. Отже, Р (В / А) = L \ n
Підставляючи вирази Р (АВ) і Р (А), Р (В / А) у формулу (1) отримуємо тотожність. Теорема доведена.
При застосуванні теореми множення байдуже, яка з подій А і В вважати першим, а яке другим, і теорему множення можна записати так: Р (АВ) = Р (В) Р (А / В)
Наслідок 1. якщо подія А не залежить від події В, то і подія В не залежить від події А.
Доказ. Дано, що подія А не залежить від події В, тобто Р (А) = Р (А / В).
Потрібно довести, що подія В не залежить від події А, тобто Р (В) = Р (В / А) (2)
Будемо припускати, що Р (А) ≠ 0.
Напишемо теорему множення ймовірностей у двох формах:
Р (АВ) = Р (А) Р (В / А),
Р (АВ) = Р (В) Р (А / В), звідки
Р (А) Р (В / А) = Р (В) Р (А / В) або згідно з умовою (2)
Р (А) Р (В / А) = Р (В) Р (А).
Розділимо обидві частини останнього рівності на Р (А). отримаємо:
Р (В / А) = Р (В), що й потрібно було довести.
Наслідок 2. якщо подія А не залежить від події В, то справедливо рівність:
Р (АВ) = Р (А) Р (В) (3)
Доказ. Подія А не залежить від події В, якщо виконується рівність Р (А / В) = Р (А) (4)
По теоремі про ймовірність добутку двох подій Р (АВ) = Р (В) Р (А / В). (5)
Якщо в правій частині рівності (5) замінити Р (А / В) на Р (В), то прийдемо до (3), причому Р (В) ≠ 0, то подія А не залежить від події В. Дійсно з (3) слід, Р (А) = Р (АВ) ЧР (В) і отже, Р (А) = Р (А / В), що й потрібно було довести.
Приклад 3.
В урні 2 білі і 3черних кулі. З урни виймають поспіль дві кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі білі.
Рішення:
А-поява двох білих куль.
Подія А є добутком двох подій:
А = А1А2, де А1-поява білої кулі, при першому вийманні, А2-поява білої кулі при другому вийманні.
За теоремам множення ймовірності Р (А) = Р (А1) Р (А2/А1) = 2 \ 5 * 1 \ 4 = 0,1.
Поняття незалежності подій може бути поширене на випадок довільного числа подій.
Визначення 4. кілька подій називаються незалежними, якщо будь-яка з них не залежить від будь-якої сукупності інших.

§ 8. Формула повної ймовірності. Теорема гіпотез

п.1. Формула повної ймовірності.

Наслідком обох основних теорем-теорем додавання ймовірностей і теореми множення ймовірностей є так звана формула повної ймовірності.
Нехай потрібно визначити ймовірність деякої події А1, яке може відбутися разом з однією з подій: Н1, Н2 ... Hn, що утворюють повну групу несумісних подій. Будемо ці події називати гіпотезами. Доведемо, що в цьому випадку P (A) = ΣP (Hi) P (A / Hi), (1)
Тобто ймовірність події А обчислюється як сума творів ймовірності кожної гіпотези на ймовірність події при цій гіпотезі.
Формула (1) носить назву формули повної ймовірності.
Доказ. Оскільки гіпотези Н1, Н2, ... Нn утворюють повну групу, то подія А може з'явиться тільки в коливанні з будь-якої з цих гіпотез.:
А = Н1А + Н2А + ... + НnA.
Так як гіпотези Н1, Н2, ... Нn, несумісні, то комбінації Н1, А1, Н2А, ... НnA так само несумісні; застосовуючи до них теорему додавання, отримаємо: Р (А) = Р (Н1А) + Р (Н2А) + ... + Р (НnA) = ΣP (Hi) P (A / Hi), що й потрібно було довести.
Приклад 1.
Є три однакові на вигляд урни, У першій урні 2 білі і 1 чорна куля, в другій урні 3 білих і 1 чорна куля; в третій 2 білих і 2 чорних кулі.
Хтось вибирає одну з урн навмання і виймає з неї кулю. Знайти ймовірність того, що ця куля білий.
Рішення:
Розглянемо три гіпотези:
Н1-вибір першої урни
Н2-вибір другої урни
Н3-вибір третього урни
Н1Н2Н3-повна група несумісних подій.
Нехай подія А-поява білої кулі. Оскільки гіпотези, за умовою задачі одно можливі, то Р (Н1) = Р (Н2) = Р (Н3) = 1 \ 3
Умовні ймовірності події А за цих гіпотезах відповідно рівні: Р (А/Н1) = 2 \ 3; Р (А/Н2) = 3 \ 4; Р (А/Н3) = 1 / 2.
За формулою повної ймовірності
Р (А) = 1 \ 3 * 3 \ 2 +1 \ 3 * 3 \ 4 +1 \ 3 * 1 \ 2 = 23 \ 36
Відповідь: 23 \ 36

П.2. Теорема гіпотез.

Наслідком теореми множення і формули повної ймовірності є так звана теорема гіпотез, або формула Бейса (Байєса).
Поставив такі завдання.
Є повна група несумісних гіпотез Н1, Н2,. . Нn. ймовірності цих гіпотез до дослідів відомі і дорівнюють відповідно Р (Н1), Р (Н2) ..., Р (Нn). Зроблено досвід, в результаті якого спостережено появу деякої події А. Питається, як слід змінити ймовірності гіпотез, у зв'язку з появою цієї події?
Тут, по суті, йдеться про те, щоб знайти умовну ймовірність Р (Н1 / А) для кожної гіпотези.
З теореми множення маємо:
Р (A * Нi) = P (A) P (Hi / A) = P (Hi) P (A / Hi), (i = 1,2,3, ... n) або, відкидаючи ліву частину
P (A) P (Hi / A) = P (Hi) P (A / Hi), (i = 1,2,.., N)
Звідки P (Hi / A) = P (Hi) P (A / Hi) чP (A), (i = 1,2,3, .... N)
Висловлюючи з P (A) допомогою повної ймовірності, маємо
P (Hi / A) = P (Hi) P (A / Hi) чΣP (Hi) P (A \ Hi), (i = 1,2,3, .... N) (2)
Формула (2) носить назву формули Бейса чи теореми гіпотез
Приклад 2. на фабриці 30% продукції виробляється машиною I, 25% продукції - машиною II, інша частина продукції - машиною III. У машини I в шлюб йде 1% цього виробленої його продукції, у машини II-1.5%, у машини III-2% навмання обрана одиниця продукції виявилася браком. Яка ймовірність того, що вона зроблена машиною I?
Рішення.
Введемо позначення для подій.
А-вибраного виріб виявилося шлюбом
Н1-виріб вироблено машиною I
H2 - виріб вироблено машиною II
H3 - виріб вироблено машиною III
P (H1) = 0,30; Р (Н2) = 0,25; Р (Н3) = 0,45
Р (А/Н1) = 0,01,
Р (А/Н2) = 0,015
Р (А/Н3) = 0,02
Р (А) = 0,01 * 0,30 +0,015 * 0,25 +0,02 * 0,45 = 0,015,
Р (Н1 / А) = 0,01 * 0,30 ч0, 015 = 0, 20
Відповідь: 20% всіх бракованих виробів випускається машиною I.

§ 9. Формула Бернуллі

Закон великих чисел
Нехай А випадкова подія по відношенню до деякого досвіду σ. Будемо цікавитися лише тим, настав або не настало в результаті досвіду подія А, тому приймемо таку точку зору: простір елементарних подій, пов'язане з досвідом σ, складається тільки з двох елементів - А і А. Позначимо ймовірності цих елементів відповідно, через p та q , (p + q = 1).
Припустимо тепер, що досвід σ в незмінних умовах повторюється певну кількість разів, наприклад, 3 рази. Домовимося триразове здійснення σ розглядати як якийсь новий досвід η. Якщо за раніше цікавитися тільки настанням або не настанням А., то слід очевидно прийняти, що простір елементарних подій, що відповідає досвіду η, складається з різноманітних послідовностей довжини 3: (А, А, А), (А, А, А), ( А, А, А), (А, А, А), (А, А, А), (А, А, А), (А, А, А), (А, А, А), яке можна скласти з А і А.
Кожна із зазначених послідовностей означає ту чи іншу послідовність появи або появи подій А в трьох дослідах σ, наприклад, послідовність (А, А, А), означає, що в першому досвіді настав А, а в другому і третьому - А. Визначимо, які ймовірності слід приписати кожної з послідовностей (1)
Умова, що всі три рази досвід σ проводиться в незмінних умовах, за змістом має означати наступні - результат кожного з трьох дослідів не залежить від того, які наслідки мали місце в інших двох дослідах. Тобто будь-яка комбінація результатів трьох дослідів представляє собою трійку незалежних подій. У такому випадку, елементарному події (А, А, А), природно приписати ймовірність, рівну p * q * q, події (А, А, А),-ймовірність q * y * y і т.д.
Т. о. приходимо до наступного опису ймовірнісної моделі для досвіду η (тобто для трикратного здійснення досвіду σ). Простір Ω елементарних подій є безліч з 2 в 3степені послідовностей. (1). Кожній послідовності зіставляється як ймовірності число р в ступені k, q в ступені e, де показники ступенів визначають, скільки разів символи А і А входять у вираз для даної послідовності.
Імовірнісні моделі такого роду називаються схемами Бернуллі. У загальному випадку схема Бернуллі визначається значенням чисел n і p, де n - число повторень вихідного досвіду σ (у попередньому досвіді ми вважали n = 3), а p-ймовірність події А по відношенню до досвіду σ.
Теорема 1. нехай ймовірність події А дорівнює p, і нехай Pmn-ймовірність того, що в серії з n незалежних випробувань ця подія відбудеться m-раз.
Тоді справедлива формула Бернуллі.
Pmn = Cn в ступені m * P в ступені m * q в ступені nm [20, стр58]
Приклад 1.
Монета підкидається 10 разів. Яка ймовірність того, що герб випаде при цьому рівно 3раза?
Рішення:
У даному випадку успіхом вважається випадання герба, ймовірність p цієї події в кожному досвіді дорівнює 1 \ 2.
Звідси: Р10, 3 = С10в 3степені * (1 \ 2) у 3степені * (1 \ 2) у 7степені = 10 * 9 * 8ч1 * 2 * 3 * (1ч2в 10степені) = 15 \ 128
Відповідь: 15 \ 128
При великому числі випробувань відносна частота появи події мало відрізняється від імовірності цієї події. Математичне формулювання цього якісного це якісного твердження дає належить Бернуллі закон великих чисел, який уточнив Чебишев.
Теорема 2. Нехай імовірність події А у випробуванні p дорівнює p, і нехай проводяться серії складаються з n незалежних повторень цього випробування.
Через m позначимо число випробувань, в яких відбувалася подія А. тоді для будь-якого позитивного числа α виконується нерівність:
З (| m \ np |> α) <pqч2во 2степені n (3) [20, стор 148]
Сенс цієї нерівності полягає в тому, що вираз mчn одно відносної частоті події А в серії дослідів, а | m \ np |> α означає, що відхилення цієї відносної від теоретичного значення p. Нерівність | m \ np |> α означає, що відхилення виявилося більше ніж α. Але при постійному значенні α із зростанням n права частина нерівності (3) прагне до нуля. Іншими словами, серії в яких відхилення експериментальної частоти від теоретичної велике, становлять малу частку всіх можливих серій випробувань.
З теореми випливає твердження, отримане Бернуллі: в умовах теореми при будь-якому значенні α> 0 маємо
P (| m \ np |)> α) = 0.

Глава II. Методичні особливості вивчення основ

Теорії ймовірностей у класах з поглибленим вивченням математики

§ 1. Основні цілі вивчення теорії ймовірностей в класах з поглибленим вивченням математики

Математичні школи і класи з поглибленим вивченням математики були створені в нашій країні на початку 60-х років, коли з'ясовувалась потреба у підготовці спеціалістів, які вміють використовувати прикладні можливості математики: програмістів, інженерів-конструкторів, фізиків, економістів та інших.
В даний час в математичних школах і класу з поглибленим вивченням математики навчання ведеться за програмами розробленим колективом вчених і викладачів ВУЗів.
При порівнянні програм масової та математичної школи можна відзначити, що алгебраїчний матеріал, досліджуваний у математичних класах, включає теми, відсутні в програмі масової школи. Серед них теорія ймовірностей.
Зміст навчання темі "елементи теорії ймовірностей", виділені в "програмі для загальноосвітніх установ. Математика" [18] забезпечує подальший розвиток в учнів їх математичних здібностей, орієнтації на професії, істотним чином пов'язаних з математикою, підготовку до навчання у ВУЗі. Специфіка математичного змісту даної теми дозволяє конкретизувати виділену основне завдання поглибленого вивчення математики наступним чином.
1. продовжити розкриття змісту математики, як дедуктивної системи знань.
А) побудувати систему визначень основних понять;
Б) виявити додаткові властивості введених понять;
В) встановити зв'язки введених і раніше вивчених понять.
2. Систематизувати деякі імовірнісні способи вирішення завдань; розкрити операційний склад пошуку рішень задач певних типів.
3. Створити умови для розуміння і усвідомлення учнями основної ідеї практичної значущості теорії ймовірностей шляхом аналізу основних теоретичних фактів. Розкрити практичні додатки вивчається в даній темі теорії.
Досягненню поставлених освітніх цілей сприятиме рішення наступних завдань:
1. Сформувати уявлення про різні способи визначення ймовірності події (статистичне, класичне, геометричне, аксіоматичне)
2. Сформувати знання основних операцій над подіями і вміння застосовувати їх для опису одних подій через інші.
3. Розкрити сутність теорії додавання і множення ймовірностей; визначити межі використання цих теорем. Показати їх застосування для виведення формул повної ймовірності та формул Байєса.
4. Виявити алгоритми знаходження ймовірностей подій
а) за класичним визначенням ймовірності;
б) з теорії додавання і множення;
в) за формулою повної ймовірності;
г) за формулою Байєса.
Сформувати припис, що дозволяє раціонально вибрати один з алгоритмів при вирішенні конкретної задачі.
Виділені освітні цілі для вивчення елементів теорії ймовірностей доповнимо постановкою розвиваючих і виховних цілей.
Розвиваючі цілі:
· Формувати в учнів стійкий інтерес до предмету, виявляти та розвивати математичні здібності;
· У процесі навчання розвивати мовлення, мислення, емоційно-вольову та конкретностно-мотиваційну області;
· Самостійне перебування учнями нових способів вирішення проблем і завдань;
· Застосування знань у нових ситуаціях і обставинах;
· Розвивати вміння пояснити факти, зв'язки між явищами, перетворювати матеріал з однієї форми подання в іншу (вербальна, знако-символічна, графічна);
· Вчити демонструвати правильне застосування методів, бачити логіку міркувань, схожість і відмінність явищ.
Виховні цілі:
· Формувати у школярів моральні і естетичні уявлення, систему поглядів на світ, здатність дотримуватися норм поведінки в суспільстві;
· Формувати потреби особистості, мотиви соціальної поведінки, діяльності, цінностей і ціннісних орієнтацій;
· Виховувати особистість, здатну до самоосвіти і самовиховання.

§ 2. Аналіз змісту теми "Елементи теорії ймовірностей" у шкільних підручниках

Теорія ймовірностей не вивчається на базовому рівні. Ця тема стає актуальною лише для учнів класів з поглибленим вивченням математики.
З поняттям "ймовірність" учні вперше зустрічаються в9классе.
У змісті теми підручника "Алгебра 9" [4] виділяються три взаємопов'язаних напрямки, що мають особливе значення для розвитку логічного і варіаційного мислення. По-перше, це підготовка в області комбінаторики, з метою створення апарату для вирішення імовірнісних та формування важливого виду практично орієнтованої математичної діяльності, по-друге, формування умінь пов'язаних зі збором, поданням і аналізом даних; і по - третє, формування уявлень про ймовірності випадкових подій і вміння вирішувати імовірнісні задачі.
На даному етапі вивчення уточнюються способи подання та знаходження інформації в таблицях, на діаграмах, в каталогах, розглядаються завдання на перебір варіантів, формуються початкові уявлення про частоту і імовірність подій.
Подальше вивчення теорії ймовірностей здійснюється в 11 класі.
У підручнику "Алгебра 11" [5] глава "елементи теорії ймовірностей" починається з розгляду достовірних, неможливих і випадкових подій поки тільки на інтуїтивному рівні. Наводяться приклади на кожен вид подій і говориться про те, що випадкові події представляють для нас особливий інтерес, до їх вивчення призвели математиків потреби практики.
Основне поняття, з яким пов'язаний весь курс теорії ймовірностей - це поняття досвіду (або випробування). Але йому не дається чітке математичне визначення, а вводиться на інтуїтивному рівні.
Матеріал у темі викладено дедуктивно, якщо вводиться поняттям даються точні математичні визначення. Можна побудувати кілька логічних ланцюжків визначень:
1. За кількістю сприятливих результатів з можливих, щодо однієї події.
Подія
достовірне неможливе випадкове
2. За кількістю сприятливих результатів, щодо кількох подій:
Події
несумісні
протилежні
незалежні
3. операції над подіями


об'єднання різниця подій
подій перетин
подій наслідок
подій
Перераховані поняття вводяться описово, на кожне з них наводиться приклад.
У теми сформульовані і доведені наступні твердження:
1. Якщо події А і В несумісні, то Р (АUВ) = P (A) + P (B).
В основі докази лежить підрахунок всіляких результатів події А і В і визначення поєднання подій.
2. Якщо події А1, А2, ... ... Аn попарно несумісні, то ймовірність об'єднання цих подій дорівнює сумі їх імовірностей:
Р (А1UA2U. ... UAn) = P (A1) + P (A2) + ... + P (An)
Для доказу застосовується визначення несумісних подій і затвердження 1.
3. Для будь-якої події А маємо:
Р (А) = 1-Р (А).
Для доказу виконуються факти: AUA - є достовірна подія (І) і Р (І) = 1. А ∩ А - неможлива подія (ǿ) та затвердження 1.
4. Для будь-яких двох подій справедливо рівність Р (АUВ) = P (A) + P (B) - Р (А ∩ В)
Ідея докази складається з:
· Розкладання подій А і В на компоненти;
· Знаходження об'єднання події А та події В;
· Знаходження ймовірності об'єднання подій А і В;
· Знаходження суми ймовірності події А та події В.
5. нехай ймовірнісний простір І представлено у вигляді об'єднання попарно несумісних подій Х1,, ... ..., Хn: І = Х1UX2U ... . UХn, де Xi ∩ Xj = ǿ при i ≠ j. Тоді для будь-якої події А вірно рівність: Р (А) = Р (Х1) Р (А/Х1) + ... + Р (Хn) P (A / Xn).
Для доказу знаходиться перетин події А і ймовірнісного простору І. користуючись законом дистрибутивності операції перетину подій, теоремою додавання ймовірностей і умовою, що Xi ∩ Xj-неможлива подія, виходить, що подія А є об'єднанням попарно несумісних подій А ∩ Х1, ... А ∩ Хn . Знаходиться ймовірність Р (А) і застосовується формула умовної ймовірності.
6. Нехай імовірність події А дорівнює Р, і нехай Рmn-ймовірність того, що в серії з n незалежних випробувань ця подія відбудеться m разів. Тоді справедлива формула Бернуллі Pmn = Cn в ступені m * p в ступені m * q в ступені nm.
Ідея докази: підрахунок сприятливих серій випробувань, знаходження ймовірності кожної з них та використання умови, що будь-які дві різні серії несумісні.
Теорія ймовірності розглядається в підручниках Ю.М. Колягіна та інших "Алгебра та початок аналізу 11" для загальноосвітніх класів та А.Л. Вершера, А.П. Харп "Математика 11" для учнів гуманітарного профілю.
Представлені в навчальному посібнику завдання вважаємо можливим кваліфікувати наступним чином: (Основа класифікації - теоретичні відомості основ теорії ймовірностей).
Обчислення ймовірності як відносної частоти (частості) появи події (NN 493-499)
Визначення множини результатів випробування (NN 499-508)
обчислення ймовірності за класичним визначенням ймовірності:
а) число фіналів випробування визначається методом "перебору" (NN 516-521)
б) число фіналів випробування визначається із застосуванням формул комбінаторики (NN 522-548)
4. Алгебра подій (NN 533-548)
5. Обчислення ймовірності по теоремам складання ймовірностей (NN 549-553)
6. Обчислення умовної ймовірності (NN 565-579).

§ 3. Методичні особливості вивчення основ теорії ймовірностей в класах з поглибленим вивченням математики

П.1. Види подій

Вивчення теорії ймовірностей починається з введення понять подій: достовірних, неможливих і випадкових. Це можна зробити наступним чином: у житті ви часто чули або вживали в розмові наступні фрази: "Важлива подія", "Ось цю подію", і т.д. А що ж така подія? Як ви розумієте це слово? Наведіть приклади подій. Після цього вчитель може підвести підсумок, запровадивши певні події (це результат спостереження або досвіду).
Розглянемо наступні події:
1) при зниженні температури до 90 ° вода перетворюється на лід;
2) при зниженні температури вода закипає;
3) при киданні монети випав герб.
Охарактеризуємо ці події: наскільки достовірно кожне з них? Ймовірно Чи то, що вони стверджують? Перше вірно, т. до вода обов'язково замерзне, якщо знизити температуру, тому ця подія називається достовірним. Друге ніколи не відбудеться, тому воно називається неможливим. До якого ж виду подій слід віднести третє? Чи завжди воно має місце? Ні! Може статися, що випаде решка і сто випаде герб. Тому ця подія називається випадковим. Вводиться визначення випадкової події (це такий результат спостереження чи експерименту, який може відбутися, а може не відбутися).
Після бесіди учням доцільно запропонувати усну роботу. Її зміст може бути наступним:
1. Визначити вид наступних подій.
При нагріванні дроту її довжина збільшилася;
При киданні гральної кістки випало 4очка;
При киданні монети випала решка;
При огляді поштового знайдені 3 листа;
При киданні гральної кістки кількість випали окуляри мають натуральне число;
При стрільбі по мішені стрілок двічі влучив у ціль.
2. Чи є наступні події неможливими?
Отримання усіма учнями вашого класу відмінних оцінок за чергову контрольну роботу з математики;
Заміна всіх завтрашніх уроків переглядом пригодницького фільму.
3. Наведіть приклади подій, які ви вважаєте:
Достовірними;
Неможливими
Випадковими
Доцільно підготувати повідомлення учнів на теми:
1) Теорія ймовірності як наука.
2) Застосування теорії ймовірності.
Мета: показати учням обширність областей застосування теорії ймовірностей, її значимість у науці і в житті.
Для ознайомлення учнів з поняттям частоти появи якої-небудь події у довгій серії випробувань рекомендується виконання ряду вправ, які вимагають відповіді на питання: "Яка з подій вірогідніше?".
Вчителю необхідно пояснити учням, що порівнювати події слід за їх ймовірностями.
Наприклад. Що імовірніше-поява герба при киданні монети або появи непарного числа очок при киданні гральної кістки?
Рішення.
Імовірність появи герба при киданні монети дорівнює 1 \ 2, а поява непарного числа очок при киданні гральної кістки дорівнює 3 \ 6 або 1 \ 2.
Отже, ці події рівноімовірні.
Після вивчення даного матеріалу, учні повинні вміти:
Наводити приклади достовірних, неможливих і випадкових подій;
Вміти класифікувати події на достовірні, неможливі і випадкові;
З кількох подій виділяти найбільш ймовірне, пояснювати свій вибір.

П.2. Ймовірнісний простір

При введенні поняття "ймовірнісний простір" учні стикаються з поняттям досвіду або випробування. Але цьому поняттю можна дати математичне визначення. Учні повинні розуміти, що означають слова: "підкинемо монету і подивимося впала вона вгору гербом і цифрою" або "запалимо свічку і подивимося, коли вона згорить". Учням слід пояснити, що істотно лише те, що дане випробування може мати різні наслідки. Для простоти зручно розглядати лише випадки, коли безліч випадків звичайно.
Для того, щоб учні переконалися в тому, що дійсно при випробуванні можливі різні результати, тобто безліч випадків, проведемо експеримент.
Для експерименту потрібно гральна кістка і вільний стіл, на якому буде проводитися випробування.
Один з учнів кілька разів підкидає гральну кістку і щоразу на дошці записує результат.
В кінці випробування корисно підвести підсумок про можливі множинах результатів:
1. {A1, A2, A3, A4, A5, A6}, Аk-випадання k очок;
2. {В0, В1}, В0-випадання парного числа очок, В1-випадання непарного числа очок;
3. {C1, C2}, С1-випадання очок менше або рівне 4, С2-випадання очок більше або дорівнює 5.
Вчителю рекомендується запропонувати ще кілька можливих множин результатів, наприклад, безліч {A1, A2}, де Аk випадання k очок, або безліч {В1, С2}, де В1-випадання непарного числа очок, С2 - випадання очок більше або дорівнює 5 і запропонувати учням з'ясувати: чи є ці безлічі випадків множинами результатів даного досвіду!
Для того, щоб можна було висловити ймовірність кожного результату числом, буде потрібно вибрати "одиницю виміру". Можна сказати учням, що математики домовилися, що сума ймовірностей всіх результатів дорівнює 1.
З хлопцями рекомендується звернутися до проведеного експерименту і з'ясувати, який з результатів має можливість відбуватися частіше за інших.
З'ясувавши, що жоден з випадків не відповідає цій вимозі, вчитель робить висновок, що всі елементарні результати одно можливі, а тому що їх сума дорівнює 1, то ймовірність кожної з них дорівнює 1 \ n, де n-число випадків.