1. Незалежно один від одного 10 чол. Сідають у поїзд, у якому 15 вагонів.
Імовірність того, що всі вони поїдуть в різних вагонах?
Р = число близьких іходов = 15 ... .14 ... ... .- 6 = 15! -2
Число елемент. фіналів 15 * 15 * 15 ... 15 5! »1,88 * 1е
10 разів 50
15 _____________________________________
2. У електричного кола послідовно включені 3 елементи, що працюють
незалежно один від одного. Їх вер-ть відмов рівні 1 49 1.
Знайти ймовірність того, що струму не буде? 50; 50; 4

- - € - -
А-струм є
Аi - i-й прилад не справний
Р (А1) = 49 Р (А2) = 1 Р (А3) = 3
50; 50; 4
_
Р (А) = 1-Р (А) = 1-Р (А1 А2 А3) = 1-Р (А1) Р (А2) * Р (А3) = 1 - 49 * 1 - 3 = 9,753
50 50 4 10,000
____________________________________________________________________________________________
3. Вер-ть потрапляння хоча б раз у мішень при 12-ти пострілах дорівнює 41.
Знайдіть вер-ть влучення при одному пострілі? 50
Аi - успішний i - постріл
_________
Р = 41 = 1-Р (А1 ... .. А12) - не потрапили ні в одному випадку з 12-і пострілів =
50
__ __ _ 12 грудня
= 1 - Р (А1) ... .. Р (А12) = 1 - Р (А1); 41 = 1-Р (А1)
50
Знайти Р (А1)
_ 12
Р (А1) = 1 - 41 = 9
50 50
_ 12__
Р (А1) = Ö 9
50
_ 12__
Р (А1) = 1-Р (А1) = 1 - Ö 9 »0,133
50 ___________________________________________
4. Є 28 квитків, на кожному з яких написано умова декількох
завдань. У 13 квитках завдання по статистиці, а в інших 15 - завдання з теорії
ймовірності. 3 студенти обирають на удачу по одному квитку. Знайти ймовірність
того, що хоча б одному зі студентів не дістанеться завдання з теорії ймовірності.
Аi-студенту дістанеться завдання з теорії ймовірності
А - всім дістанеться завдання по теор. вероят.
А = А1 А2 А3
А - хоча б одному не дістанеться завдання по теор.вероят.
_
Р (А) = 1 - Р (А) = 1 - Р (А1 А2 А3) = 1 - Р * (А3) * Р (А1 А2) = 1-Р * (А3) * Р *
А1А2 А1А2 А1
* (А2) * Р (А1) = 1 - 15 * 14 * 13 = 0,265
28 27 26

5. У ящику міститься 6 деталей, виготовлених на 1-му заводі, 2 деталі на 2-му заводі
і 4 деталі на 3-му заводі. Імовірність шлюбу на заводах дорівнює 19, 19 і 59
20 50 100
Знайти ймовірність того, що навмання витягнута деталь буде якісна.
Н1 - деталь з 1-го заводу
Н2 - деталь з 2-го заводу
Н3 - деталь з 3-го заводу.
Р (Н1) = 6 = 1; Р (Н2) = 2 = 1; Р (Н3) = 4 = 1
12 2 12 6 12 3
А - витягнута деталь якісна
_ _ _ _
Р (А) = Р * (А) * Р (Н1) + Р * (А) * Р (Н2) + Р * (А) * Р (Н3) = 19 * 1 + 19 * 1 + 59 * 1 = 147 =>
Н1 _ Н2 Н3 20 2 50 6 100 3 200
Р (А) = 1 - Р (А) = 53/200
__________________________________________________________________________________________
6. Незалежні ймовірні величини Х, У представляють тільки цілі значення
Х: від 1 до 16 з вер-ю 1
16
У: від 1 до 23 з вер-ю 1
23
Р (Х + У = 32)
Х У Р (Х = 9; Х = 23) = P (Х = 9) * Р (У = 23) = 1 * 1
9 23 16 23
Жовтень 1922
P (X + y = 32) = P (X = 8, y = 23) + P (X = 10; y = 12) + ... + P (y = 16, X = 16) =
16 16 = 8 * 1 * 1 = 1
16 23 46
_________________________________________________________________________________________
7. Незалежні випадкові величини Х, У приймає тільки цілі значення.
Х: від 1 до 14 з вірогідністю 1
14
У: від   1 до 7 з вірогідністю 1
7
Знайти ймовірність того, що Р (Х £ У)
Якщо У = 7, то 1 £ Х £ 6 1 * червня
14 липня
Якщо У = 6 то 1 £ Х £ 5 1 * 5
14 липня
Якщо У = 5 то 1 £ Х £ 4 1 * 4
14 липня
Якщо У = 4 то 1 £ Х £ 3 1 * 3
14 липня
Якщо У = 3 то 1 £ Х £ 2 1 * 2
14 липня
Якщо У = 2 то 1 = Х 1 * 1
14 липня
Р (Х <У) = 1 * 6 + 1 * 5 + 1 * 1 = 1 +2 +3 +4 +5 +6 = 21 = 3
7 14 7 14 7 4 7 * 14 714 14
_________________________________________________________________________________________
8. Незалежні величини Х1 ... ... Х7 приймають тільки цілі значення від
0 до 10 з вірогідністю 1
11
Знайти ймовірність того, що Р (Х1 ... .... Х7) = 0
Р (Х1 ... ... Х7 = 0) = 1-Р (Х1 .... Х7 ¹ 0) = 1 - Р (Х1 ¹ 0 .... Х7 ¹) = 1-Р (Х1 ¹ 0) * Р (Х2 ¹ 0)
7
* ... .* Р (Х7 ¹ 0) = 1 - 10 * 10 = 1 - 10
11 ... .... Листопад 1911

7 разів
9. Незалежні випадкові величини Х, У, Z приймають цілі значення
Х: від 1 до 13 з імовірно-ю 1
13
У: від 1 до 12 _____ / _____ 1
12
Z від 1 до 9 _____ / _____ 1
9
Імовірність того, що Х; У; Z. візьмуть різні значення?
Нехай "Z" прийняло якесь значення "а". Р (У ¹ а) = 11
12
Нехай при цьому У = в
Р (Z ¹ a; Z ¹ в) = 11; Р = 11 * 11
13 грудня 1913.
_______________________________________________________________________________________
10.

Х	1	4	7
Р	0,1	0,4	0,5

м = М (Х) -? М (Х) = 0,1 +1,6 +3,5 = 5,2
Р (Х <м) -? Р (Х <5,2) = Р (Х = 1) + Р (Х = 4) = 0,5
___________________________________________________________________________________________
11.

Х	2	3	5
Р	0,2	0,3	0,5

2 Х	4	9	25
Р	0,2	0,3	0,5

Д (Х) -?
М (Х) = 0,4 +0,9 +2,5 = 3,8
2
М (Х) = 0,8 +2,7 +12,5 = 16
2 2 2
Д (Х) = М (Х) - М (Х) = 16 - 3,8 = 1,56
______________________________________________________________________________________________________________
12. Незалежні величини Х1, ... ...., Х9 беруть ціле значення - 8, - 7, ... .., 5,6
з імовірністю 1
15 9
Знайти М (Х1, Х2, ... .., Х9) * М (Х2, ...., Х9) = М (Х1) * М (Х2) * ... .* М (Х9) = М (Х9)
М (Х1) = -8 * 1 - 7 * 1 * 6 * 1 - ... + 5 * 1 + 6 * 1 = 1 (-8-7-5 .... +5 +6) = -1
15 15 15 15 15 15
9 вересня
= М (Х1) = (-1) = -1
13.

Х	8	10	12	14	16
Р	0,25	0,2	0,2	0,2	0,25

м = М (Х) -? М (Х) = 2 + 2 + 1,2 + 2,8 + 4 = 12
д (Х) -? 2 лютого
Р ((Х-м) <d) Д (Х) = М (Х - М (Х)) = М (Х-12)

Х-12	-4	-2	0	2	4
Р	0,25	0,2	0,1	0,2	0,25

2 (Х-12)	1	4	0
Р	0,5	0,4	0,1

2
М (Х-Р) = 8 +1,6
_____
d (Х) = Ö d (Х) »3,1
Р (Х -12 <3,1) = Р (-3,1 <Х -12 <3,1) = Р (8,9 <Х <15,1) =
= Р (Х = 10) + Р (Х = 12) + Р (Х = 14) = 0,5
___________________________________________________________________________________________________________
14. Х, У - невідомі випадкові величини
М (Х) = 3 8 2 2 2 2 2
М (У) = 2 ½ Д (ХУ) = М (ХУ) - М (ХУ) = М (Х) * М (У) - [М (Х) * М (Х)] =
Д (Х) = 4 ½ 2 2 2 2
Д (У) = 8 ½ Д (Х) = М (Х) - М (Х) = М (Х) = Д (Х) + М (Х) = 4 + 9 = 13
Д (Х У) 2 2
М (У) = Д (Х) + М (У) = 8 + 4 = 12
2
= 12 * 13 - (2 * 3) = 156 - 36 = 120
__________________________________________________________________________
15. Х, У - незалежні невідомі величини. Приймають значення 0 і 1.
Р (Х = 0) = 0,3 ½ 2 2 2 2 лютого

Р (У = 0) = 0,6 ½ М (Х + У) + М (Х + 2ху + у) = М (Х) +2 М (Х) * М (У) + М (У) =

2

М (Х + У)

2 Х, Х	0	1
Р	0,3	0,7

2 Х, Х	0	1
Р	0,6	0,4

2
М (Х) = 0,7 = М (Х)
2
М (У) = 0,4 = М (У)
= 0,7 + 2 * 0,7 * 0,4 + 0,4 = 1,66
16. Х, У незалежні невідомі величини Приймають значення 0 і 1.
(Завдання як в 15).

Х	0	1
Р	0,3	0,7

У	0	1
Р	0,5	0,5

х - у
М (3) -?
х-у х-у х-у
М (3) = М (3 * 3) = М (3) * М (3) = 2,4 * 2 = 1,6
3

х 3	1	3
Р	0,3	0,7

-У 3	1	1 3
Р	0,5	0,5

Х-у
М (3) = 0,3 + 2,1 = 2,4 М (3) = 0,5 + 0,5 = 4 * 0,5 = 1
3 3 3
_____________________________________________________________________________________________________________
17. Виробляється 10240 незалежних випробувань, що складаються в тому, що
підкидаються 9 монет
Х - число випробувань, в яких випало 3 герба
М (Х) -?
1-ІСПТ. - 9 монет
9 випробувань Р = 1
2
3 3 6 3 9
Р (Г = 3) = С9 * (1) * (1) = С9 * (1) = 84 * 1 - 21 = ...
2 2 2 512 128
n = 10240 випробувань
Р = 21; М (Х) = np = 21 * 10 240 = 1680
18. У серії незалежних випробувань (одне випробування за ед.времені)
ймовірність настання А дорівнює 1
8.
Нехай Т-час очікування настання події А 14 разів. Знайти М (Т) 1 Д (Т).
Х1 - час очікування до першого настання А
Х2 - час очікування від першого настання А до 2-го
Т = Х1 + Х2 + Х3 + ... .. Х14
Хi Р = 1
8 7 / 8
М (Хi) = 1 = 8; d = 7 Д (Хi) = d = = 56
8 8 2 2
p 1 / 8


М (Т) = 14М * (Х1) 14 * 8 = 112
Д (Т) = Д (X1) = 14 * 56 = 784
19. Величини Х1 ... .. Х320 розподілені по Біноміальна закону з параметрами
п = 4, р = 3 Знайти М (Х1 + Х2 + ... + Х320) =?
8
2 2 2
М (Х1 + ... .. + Х 320) = 320м (Х1) = Х1 - біномінальної
2 лютого М (Х1) = пр = 3
= М (Х1) = Д (Х1) + М (Х1) = 2
2 Д (Х1) = nрq = 3 * 5 = 5
= 15 + 3 = 15 + 9 = 51 2 серпня 1916

16 2 16 4 16
= 320 * 51 = 1020
16
_____________________________________________________________________________________________________________________
20. Величини Х1 ... .. Х18 розподілені за законом Пуассона з однаковим
мат. очікуванням рівним 8.
2 лютого
Знайти М (Х1 + ... + Х18) -?
M (Х) = Д (Х) = l = 8
2 2 2 2
М (Х1 + ... + Х18) = 18 М (Х1) = 18 (Д (Х1) + М (Хi)) = 18 (8 + 64) = 18 * 72 = 1296
_________________________________________________________________________________________________________
21. Х - рівномірно розподілений на отр. [- 8,2]
Р (1)> 5 = Р (0 <Х <1) => (0 <Х <0,5) =
Х 5
1 - 5> 0; 1 - 5Х> 0; Х - 1 / 5 <0 Û (0 <Х <0,5)
Х Х Х

1 - 5Х> 0; Х - 1 / 5 <0
Х Х
[Х, в]
0, Х> а 0; Х <а
f (Х) = 1; а <Х <в F (Х) = х - а; а £ Х £ а Û 0 <Х 1 / 5  
в-о в-а
0, Х> в 1, Х> B


F (Х) = Х + 8 = F (1 / 5) - F (0) = 1 / 5 + 8 - 8 = 1
5 10 10 50
_______________________________________________________________________________________________________________________
22. Х - рівномірно розподілена на отр. [-17; 10]
2 лютого
Р (Х> 64) = 1 - Р (Х <64) = 1 - 16
27
2
Р (Х <64) = Р (-8 <Х <8) =
0; Х <-17
F (Х) = Х + 17, -17 £ Х £ 10
27
1, Х> 10

= F (8) - F (-8) = 8 + 17 - -8 + 17 = 16
27 27 27
______________________________________________________________________________________________________________
23. Х - рівномірно розподілена на отр. [-1; 1]
8 / 9 X [a, b]; f (x)
М (Х) a 0; x <-1
M (x) = ∫ xf (x) dx f (x) = -1 <x <1
b 0; x> 1
a
M (y (x)) = ∫ y (x) f (x) dx
b
8 / 9 1 8 / 9 17 / 9 1
M (X) = ∫ Ѕ * X DX = Ѕ * X = 9 / 17
-1 17 / 9 -1
24. Х - рівномірно розподілена на отр. [0.1]
9 / 10 9 / 10
Д (19Х) = 361 (Х)
9 / 10 9 / 10 2 2 9 / 10 9 / 4 2 9 / 10 9 / 10 * 2
Д (Х) = М ((Х)) - М (Х) = М (Х) - М (Х) Х
__________________________________________________________________________________________________________
25. Х - рівномірно розподілена на отр. [5; 8] * Д (24x + 36) -?
Д (24х + 36) = Д (24х) = 576 * Д (Х) = 576 * 3 ​​= 432
2 квітня
Д (Х) = (в - а)
12
2
Д (Х) = 8 - 5 = 9 = 3
12 12 4
_______________________________________________________________________________________________________________
26. Х1, ... ... Х2 - Незалежні та розподілені по показовому закону.
2
Знайти М [(Х1 + Х2 + ... .. + Х10)], якщо М (Хi) = 4.
М (Х) = 1
l
Д (Х) = 1
2
l
M (Хi) => Д (Хi) = 16
2 2 2
М [(Х1 + .... + Х10)] = Д (Х1 + ... + Х10) + М (Х1 + .... + Х10) = 10Д (Х1) + [10М (Х1)] =
2
= 160 + (10 * 4) = 1760
_________________________________________________________________________________________________________________
2
М (Х) = 1 / l; Д (Х) = 1 / l
27. Х-розподілений по показовому ознакою
2
Знайти М [(Х + 8)], якщо Д (Х) = 36 М (Х) = 6
2 2 2 2
М (Х + 8) = M (Х + 16х + 64) = М (Х) + 16М (Х) + М (64) = Д (Х) + М (Х) +
+ 16 М (Х) + 64 = 36 + 36 + 96 + 64 = 232
____________________________________________________________________________________________________________
28. Х-показове розподіл; Х - показовий закон


0, Х <0
F (Х) =-2х
1 - е, Х> 0, Знайти Ln (1 - Р (Х <6)) = Ln (1 - F (6)) =
-6 / 7 -6 / 7 -6 / 7
= F (6) = 1 - е = Ln (1 - (1 - е)) = Ln е = - 6 / 7
29. (Х) - випадкова величина


0, Х <10
ѓ (Х) = С; Х ≥ 10
5
Х
С -? ; М (Х) -?
¥ ¥ опр. B ¥ -5
∫ ѓ (Х) dх = 1 => ∫ з dх = lim ∫ = cdx = C lim ∫ X dx =
10 10 5 b-> ¥ 10 травня b-> ¥ 10
Х X
b
-4 -4 4 4 4
= C * lim X = C lim - b + 10 = C * 10 => 1 = C 10 =>
b-> ¥ -4 b-> ¥ 4 4 4 4
10
4
=> C = 4 * 10


0; Х <10
ѓ (Х) = 4
4 * 10, Х ³ 10
5
Х
¥ ¥ 4
М (Х) = ∫ Х ѓ (Х) dx = ∫ 4 * 10 dx
10 10 4
Х
_________________________________________________________________________________
30. Х - нормальна випадкова величина
М (Х) = 16
Д (Х) = 25
? - Р (Х> 10,5)


= 1 - f 10,5 - 16 = 0,5 + f (1,1) = 0,5 + 0,364 = 0,864
5 лютого
________________________________________________________________________________________


1. Р (d £ X £ b) = f b - m - f d - m
d d


2. P (X <b) = 1 + f b - m
2 d


3. P (X> b) = 1 - f b - m
2 d