Московський Державний Інститут Електроніки і Математики
(Технічний Університет)
Контрольна робота
по темі "Теорія випадкових функцій"
Студент: Айдаров Д.А.
Варіант: 2.4.5.б
Викладач: Попка А.І.
Шимкент 2009
Дано: Відновлювана, резервована система (5,1) з КПУ, ймовірність спрацьовування КПУ дорівнює .
Час невиходу з ладу (тобто безвідмовної роботи) основного елемента розподілено експоненціально з параметром .
Час відновлення вийшов з ладу елемента розподілено експоненціально з параметром .
Тип резервування - ненавантажений.
Для опису стану системи введемо двовимірний випадковий процес (t) = ( (t), (t)) з координатами, що описують:
- Функціонування елементів
(t) {0, 1, 2} - число несправних елементів;
- Функціонування КПУ
(t) {0,1} - 1 - 1, якщо справний, 0 - якщо ні.
Так як часи безвідмовної роботи і відновлення мають експоненційний розподіл, то в силу властивостей експоненційного розподілу, одержимо, що (t) - однорідний Марковський процес.
Визначимо стан відмови системи:
Система відмовляє або якщо переходить в стан 2 процесу (t) (тобто відмова будь-якого елемента при кількості резервних елементів, рівним нулю), або якщо перебуває в стані 0 процесу (t) (тобто відмова будь -небудь елемента і відмова КПУ).
Таким чином, можна побудувати граф станів системи:
|
|
|
- П
0 - стан, при яких 0 несправних елементів, тобто стан (t) = (0, (t))
1 - стан, при якому 1 несправний елемент, тобто стан (t) = (1, 1)
П - стан, при якому або 2 несправних елемента, або 1 несправний елемент і несправний КПУ, тобто композиція станів (t) = (1, 1), (t) = (2, 0) - поглинає стан.
Знайдемо інтенсивності переходів.
Так як вихід з ладу кожного з елементів - події незалежні, то одержимо:
ймовірність виходу з ладу елементи: 1-exp (-5 h) 5 h + o (h)
ймовірність відновлення елемента: 1-exp (- h) h + o (h)
Нехай
Отримаємо систему диференціальних рівнянь Колмогорова:
Нехай ,
тобто застосуємо перетворення Лапласа до .
Т.к. , То, підставляючи значення інтенсивностей, отримуємо:
коріння
Представляючи кожну з отриманих функцій у вигляді суми двох правильних дробів, отримуємо:
Застосовуючи зворотне перетворення Лапласа, отримуємо вирази для функцій :
Шукана ймовірність невиходу системи з ладу за час t:
Де
,
Отже,
Де
Визначимо тепер середній час життя такої системи, тобто M T (T - час життя системи):