РЕФЕРАТ
За економетрики:
Основи теорії вимірів
Теорія вимірів (надалі скорочено ТІ) є однією із складових частин економетрики. Вона входить до складу статистики об'єктів нечислової природи. Необхідність використання ТІ при аналізі економічних даних розглянемо на прикладі експертного оцінювання, зокрема, у зв'язку з агрегуванням думок експертів, побудовою узагальнених показників і рейтингів.
Використання чисел в житті та господарській діяльності людей аж ніяк не завжди передбачає, що ці числа можна складати і множити, проводити інші арифметичні дії. Що б ви сказали про людину, яка займається множенням телефонних номерів? І аж ніяк не завжди 2 +2 = 4. Якщо ви ввечері помістіть в клітку двох тварин, а потім ще двох, то аж ніяк не завжди можна вранці знайти в цій клітці чотирьох тварин. Їх може бути і багато більше - якщо ввечері ви загнали в клітку вівцематок або вагітних кішок. Їх може бути і менше - якщо до двох вовкам ви помістили двох ягнят. Числа використовуються набагато ширше, ніж рахунки.
Так, наприклад, думки експертів часто виражені в порядкової шкалою (докладніше про шкалах йдеться нижче), тобто експерт може сказати (і обгрунтувати), що один показник якості продукції більш важливий, ніж інший, перший технологічний об'єкт більш небезпечний, ніж другий, і т.д. Але він не в змозі сказати, у скільки разів або на скільки більш важливий, відповідно, більш небезпечний. Експертів часто просять дати ранжирування (упорядкування) об'єктів експертизи, тобто розташувати їх у порядку зростання (або зменшення) інтенсивності цікавить організаторів експертизи характеристики. Ранг - це номер (об'єкта експертизи) в упорядкованому ряду значень характеристики у різних об'єктів. Такий ряд у статистиці називається варіаційним. Формально ранги виражаються числами 1, 2, 3 ,..., але з цими числами можна робити звичні арифметичні операції. Наприклад, хоча в арифметиці 1 + 2 = 3, але не можна стверджувати, що для об'єкта, що стоїть на третьому місці в упорядкуванні, інтенсивність досліджуваної характеристики дорівнює сумі інтенсивностей об'єктів з рангами 1 і 2. Так, один з видів експертного оцінювання - оцінки учнів. Навряд чи хто-небудь буде стверджувати, що знання відмінника дорівнюють сумі знань двієчника і трієчника (хоча 5 = 2 + 3), хорошист відповідає двом двієчникам (2 + 2 = 4), а між відмінником і трієчником така ж різниця, як між хорошистом і двієчником (5 - 3 = 4 - 2). Тому очевидно, що для аналізу подібного роду якісних даних необхідна не всім відома арифметика, а інша теорія, що дає базу для розробки, вивчення і застосування конкретних методів розрахунку. Це і є ТИ. (Під час читання літератури треба мати на увазі, що в даний час термін "теорія вимірювань" застосовується для позначення цілого ряду наукових дисциплін: класичної метрології (науки про вимірювання фізичних величин), що розглядається тут ТІ, деяких інших напрямів, наприклад, алгоритмічної теорії вимірювань. Зазвичай з контексту зрозуміло, про яку конкретно теорії йде мова))
Коротка історія теорії вимірювань. Спочатку ТІ розвивалася як теорія психофізичних вимірювань. У післявоєнних публікаціях американський психолог С.С. Стівенс основну увагу приділяв шкалами вимірювання. У другій половині ХХ ст. сфера застосування ТІ стрімко розширюється. Подивимося, як це відбувалося. Один з томів випущеної в США в 1950-х роках "Енциклопедії психологічних наук" називався "Психологічні вимірювання". Значить, укладачі цього тому розширили сферу застосування ГТВ з психофізики на психологію в цілому. А в основній статті в цьому збірнику під назвою, зверніть увагу, "Основи теорії вимірювань", виклад йшло на абстрактно-математичному рівні, без прив'язки до будь-якої конкретної галузі застосування. У цій статті [1] упор був зроблений на "гомоморфізми емпіричних систем з відносинами в числові" (у ці математичні терміни тут вдаватися немає необхідності), і математична складність викладу зросла в порівнянні з роботами С.С. Стівенса.
Вже в одній з перших вітчизняних статей з РТВ (кінець 1960-х років) було встановлено, що бали, привласнюються експертами при оцінці об'єктів експертизи, як правило, виміряні в порядкової шкалою. Вітчизняні роботи, що з'явилися на початку 1970-х років, призвели до істотного розширення області використання ГТВ. Її застосовували до педагогічної кваліметрії (виміру якості знань учнів), у системних дослідженнях, в різних задачах теорії експертних оцінок, для агрегування показників якості продукції, в соціологічних дослідженнях, та ін
Підсумки цього етапу були підведені в монографії [2]. В якості двох основних проблем ГТВ поряд з встановленням типу шкали вимірювання конкретних даних був висунутий пошук алгоритмів аналізу даних, результат роботи яких не змінюється при будь-якому допустимому перетворення шкали (тобто є інваріантним щодо цього перетворення).
Метрологи спочатку різко заперечували проти використання терміна "вимір" для якісних ознак. Однак поступово заперечення зійшли нанівець, і до кінця ХХ ст. ТІ стала розглядатися як загальнонаукова теорія.
Зазначимо основні види шкал вимірювання та відповідні групи допустимих перетворень.
У шкалі найменувань (інша назва цієї шкали - номінальна; це - переписане російськими буквами англійська назва шкали) допустимими є всі взаємно-однозначні перетворення. У цій шкалі числа використовуються лише як мітки. Приблизно так само, як при здачі білизни у пральню, тобто лише для розрізнення об'єктів. У шкалі найменувань виміряні, наприклад, номери телефонів, автомашин, паспортів, студентських квитків. Номери страхових свідоцтв державного пенсійного страхування, медичного страхування, ІПН (індивідуальний номер платника податків) виміряні в шкалі найменувань. Пол людей теж виміряно в шкалі найменувань, результат вимірювання приймає два значення - чоловічий, жіночий. Раса, національність, колір очей, волосся - номінальні ознаки. Номери букв в алфавіті - теж вимірювання в шкалі найменувань. Нікому в здоровому глузді не прийде в голову складати або множити номери телефонів, такі операції не мають сенсу. Порівнювати букви і говорити, наприклад, що буква П краще букви С, також ніхто не буде. Єдине, для чого годяться вимірювання в шкалі найменувань - це розрізняти об'єкти. У багатьох випадках тільки це від них і потрібно. Наприклад, шафки в роздягальнях для дорослих розрізняють за номерами, тобто числах, а в дитячих садах використовують малюнки, оскільки діти ще не знають чисел.
У порядкової шкалою числа використовуються не тільки для розрізнення об'єктів, але й для встановлення порядку між об'єктами. Найпростішим прикладом є оцінки знань учнів. Символічно, що в середній школі застосовуються оцінки 2, 3, 4, 5, а у вищій школі рівно той же зміст виражається словесно - незадовільно, задовільно, добре, відмінно. Цим підкреслюється "нечислової" характер оцінок знань учнів. У порядкової шкалою допустимими є всі строго зростаючі перетворення.
Встановлення типу шкали, тобто завдання групи допустимих перетворень шкали вимірювання - справа фахівців відповідної прикладної області. Так, оцінки привабливості професій ми в монографії [2], виступаючи в якості соціологів, вважали вимірами у порядкової шкалою. Однак окремі соціологи не погоджувалися з нами, вважаючи, що випускники шкіл користуються шкалою з більш вузькою групою допустимих перетворень, наприклад, інтервального шкалою. Очевидно, ця проблема відноситься не до математики, а до наук про людину. Для її вирішення може бути поставлений досить трудомісткий експеримент. Поки ж він не поставлено, доцільно приймати порядкову шкалу, так як це гарантує від можливих помилок.
Оцінки експертів, як уже зазначалося, часто слід вважати вимірами у порядкової шкалою. Типовим прикладом є задачі ранжування та класифікації промислових об'єктів, що підлягають екологічному страхуванню.
Чому думки експертів природно виражати саме в порядкової шкалою? Як показали численні досліди, людина більш правильно (і з меншими труднощами) відповідає на питання якісного, наприклад, порівняльного, характеру, ніж кількісного. Так, йому легше сказати, яка з двох гир важче, ніж вказати їх приблизний вага в грамах.
У різних областях людської діяльності застосовується багато інших видів порядкових шкал. Так, наприклад, в мінералогії використовується шкала Мооса, за яким мінерали класифікуються згідно з критерієм твердості. А саме: тальк має бал 1, гіпс - 2, кальцій - 3, флюорит - 4, апатит - 5, ортоклаз - 6, кварц - 7, топаз - 8, корунд - 9, алмаз - 10. Мінерал з великим номером є більш твердим, ніж мінерал з меншим номером, при натисканні дряпає його.
Порядковими шкалами в географії є - бофортова шкала вітрів ("штиль", "слабкий вітер", "помірний вітер" і т.д.), шкала сили землетрусів. Очевидно, не можна стверджувати, що землетрус в 2 бали (лампа хитнулася під стелею - таке буває і в Москві) рівно в 5 разів слабкіше, ніж землетрус в 10 балів (повне руйнування всього на поверхні землі).
У медицині порядковими шкалами є - шкала стадій гіпертонічної хвороби (по М'ясникову), шкала ступенів серцевої недостатності (за Стражеска-Василенко-Лангу), шкала ступеня вираженості коронарної недостатності (за Фогельсон), і т.д. Всі ці шкали побудовані за схемою: захворювання не виявлено; перша стадія захворювання, друга стадія; третя стадія ... Іноді виділяють стадії 1а, 1б і ін Кожна стадія має властиву тільки їй медичну характеристику. При описі груп інвалідності числа використовуються в протилежному порядку: найважча - перша група інвалідності, потім - друга, сама легка - третя.
Номери будинків також виміряні в порядкової шкалою - вони показують, у якому порядку стоять будинки вздовж вулиці. Номери томів у зібранні творів письменника або номери справ в архіві підприємства зазвичай пов'язані з хронологічним порядком їх створення.
При оцінці якості продукції та послуг, у т. н. кваліметрії (буквальний переклад: вимірювання якості) популярні порядкові шкали. А саме, одиниця продукції оцінюється як придатна чи не придатна. При більш ретельному аналізі використовується шкала з трьома градаціями: є значні дефекти - присутні тільки незначні дефекти - немає дефектів. Іноді застосовують чотири градації: є критичні дефекти (що роблять неможливим використання) - є значні дефекти - присутні тільки незначні дефекти - немає дефектів. Аналогічний сенс має сортність продукції - вищий сорт, перший сорт, другий сорт, ...
При оцінці екологічних впливів перша, найбільш узагальнена оцінка - зазвичай порядкова, наприклад: природне середовище стабільна - природне середовище пригнічена (деградує). Аналогічно в еколого-медичної шкалою: немає вираженого впливу на здоров'я людей - відзначається негативний вплив на здоров'я.
Порядкова шкала використовується і в багатьох інших областях. У економетрики це перш за все різні методи експертних оцінок (див. присвячену їм розділ 12).
Всі шкали вимірювання ділять на дві групи - шкали якісних ознак і шкали кількісних ознак.
Порядкова шкала і шкала найменувань - основні шкали якісних ознак. Тому у багатьох конкретних областях результати якісного аналізу можна розглядати як вимірювання за цими шкалами.
Шкали кількісних ознак - це шкали інтервалів, відносин, різниць, абсолютна. За шкалою інтервалів вимірюють величину потенційної енергії або координату точки на прямій. У цих випадках на шкалі не можна зазначити ні природне початок відліку, ні природну одиницю виміру. Дослідник повинен сам визначити точку відліку і сам вибрати одиницю вимірювання. Припустимими перетвореннями в шкалі інтервалів є лінійні зростаючі перетворення, тобто лінійні функції. Температурні шкали Цельсія і Фаренгейта пов'язані саме такою залежністю: 0С = 5 / 9 (0F - 32), де 0С - температура (в градусах) за шкалою Цельсія, а 0F - температура за шкалою Фаренгейта.
З кількісних шкал найбільш поширеними в науці і практиці є шкали відносин. У них є природне початок відліку - нуль, тобто відсутність величини, але немає природної одиниці виміру. За шкалою відносин виміряні більшість фізичних одиниць: маса тіла, довжина, заряд, а також ціни в економіці. Припустимими перетвореннями шкалою відносин є подібні (змінюють тільки масштаб). Іншими словами, лінійні зростаючі перетворення без вільного члена. Прикладом є перерахунок цін з однієї валюти в іншу за фіксованим курсом. Припустимо, ми порівнюємо економічну ефективність двох інвестиційних проектів, використовуючи ціни в рублях. Хай перший проект виявився краще другого. Тепер перейдемо на валюту найпотужнішої економіки держави світу - юані, використовуючи фіксований курс перерахунку. Очевидно, перший проект повинен знову виявитися більш вигідним, ніж другий. Це очевидно з загальних міркувань. Проте алгоритми розрахунку не забезпечують автоматично виконання цього очевидного умови. Треба перевіряти, що воно виконане. Результати такої перевірки для середніх величин описані нижче.
У шкалі різниць є природна одиниця виміру, але немає природного початку відліку. Час вимірюється за шкалою різниць, якщо рік (або добу - від полудня до полудня) приймаємо природною одиницею виміру, і за шкалою інтервалів в загальному випадку. На сучасному рівні знань природного початку відліку вказати не можна. Дату створення світу різні автори розраховують по-різному, як і момент різдва Христового. Так, згідно з новою статистичної хронології, розробленої групою акад. РАН А.Т. Фоменко, Господь Ісус Христос народився приблизно в 1054 р. за прийнятим нині літочисленням в Стамбулі (він же - Царгород, Візантія, Троя, Єрусалим, Рим).
Тільки для абсолютної шкали результати вимірювань - числа у звичайному сенсі слова. Прикладом є число людей у кімнаті. Для абсолютної шкали допустимим є тільки тотожне перетворення.
У процесі розвитку відповідної галузі знання тип шкали може змінюватися. Так, спочатку температура вимірювалася за порядковою шкалою (холодніше - тепліше). Потім - по інтервальної (шкали Цельсія, Фаренгейта, Реомюр). Нарешті, після відкриття абсолютного нуля температуру можна вважати виміряної за шкалою відносин (шкала Кельвіна). Треба відзначити, що серед фахівців іноді є розбіжності з приводу того, за якими шкалами слід вважати виміряними ті чи інші реальні величини. Іншими словами, процес вимірювання включає в себе і визначення типу шкали (разом з обгрунтуванням вибору певного типу шкали). Крім перерахованих шести основних типів шкал, іноді використовують і інші шкали.
Таким чином, одна з основних цілей теорії вимірювань - боротьба з суб'єктивізмом дослідника при приписуванні чисельних значень реальним об'єктам. Так, відстані можна вимірювати в аршинах, метрах, мікронах, милях, парсеках та інших одиницях виміру. Масу (вага) - у пудах, кілограмах, фунтах і ін Ціни на товари і послуги можна вказувати в юанях, рублях, тенге, гривнях, латах, кронах, марках, доларах США та інших валютах (за умови заданих курсів перерахунку). Підкреслимо дуже важливе, хоча й цілком очевидна обставина: вибір одиниць вимірювання залежить від дослідника, тобто суб'єктивний. Статистичні висновки можуть бути адекватні реальності тільки тоді, коли вони не залежать від того, яку одиницю виміру віддасть перевагу дослідник, тобто коли вони інваріантні щодо допустимої перетворення шкали.
За економетрики:
Основи теорії вимірів
Теорія вимірів (надалі скорочено ТІ) є однією із складових частин економетрики. Вона входить до складу статистики об'єктів нечислової природи. Необхідність використання ТІ при аналізі економічних даних розглянемо на прикладі експертного оцінювання, зокрема, у зв'язку з агрегуванням думок експертів, побудовою узагальнених показників і рейтингів.
Використання чисел в житті та господарській діяльності людей аж ніяк не завжди передбачає, що ці числа можна складати і множити, проводити інші арифметичні дії. Що б ви сказали про людину, яка займається множенням телефонних номерів? І аж ніяк не завжди 2 +2 = 4. Якщо ви ввечері помістіть в клітку двох тварин, а потім ще двох, то аж ніяк не завжди можна вранці знайти в цій клітці чотирьох тварин. Їх може бути і багато більше - якщо ввечері ви загнали в клітку вівцематок або вагітних кішок. Їх може бути і менше - якщо до двох вовкам ви помістили двох ягнят. Числа використовуються набагато ширше, ніж рахунки.
Так, наприклад, думки експертів часто виражені в порядкової шкалою (докладніше про шкалах йдеться нижче), тобто експерт може сказати (і обгрунтувати), що один показник якості продукції більш важливий, ніж інший, перший технологічний об'єкт більш небезпечний, ніж другий, і т.д. Але він не в змозі сказати, у скільки разів або на скільки більш важливий, відповідно, більш небезпечний. Експертів часто просять дати ранжирування (упорядкування) об'єктів експертизи, тобто розташувати їх у порядку зростання (або зменшення) інтенсивності цікавить організаторів експертизи характеристики. Ранг - це номер (об'єкта експертизи) в упорядкованому ряду значень характеристики у різних об'єктів. Такий ряд у статистиці називається варіаційним. Формально ранги виражаються числами 1, 2, 3 ,..., але з цими числами можна робити звичні арифметичні операції. Наприклад, хоча в арифметиці 1 + 2 = 3, але не можна стверджувати, що для об'єкта, що стоїть на третьому місці в упорядкуванні, інтенсивність досліджуваної характеристики дорівнює сумі інтенсивностей об'єктів з рангами 1 і 2. Так, один з видів експертного оцінювання - оцінки учнів. Навряд чи хто-небудь буде стверджувати, що знання відмінника дорівнюють сумі знань двієчника і трієчника (хоча 5 = 2 + 3), хорошист відповідає двом двієчникам (2 + 2 = 4), а між відмінником і трієчником така ж різниця, як між хорошистом і двієчником (5 - 3 = 4 - 2). Тому очевидно, що для аналізу подібного роду якісних даних необхідна не всім відома арифметика, а інша теорія, що дає базу для розробки, вивчення і застосування конкретних методів розрахунку. Це і є ТИ. (Під час читання літератури треба мати на увазі, що в даний час термін "теорія вимірювань" застосовується для позначення цілого ряду наукових дисциплін: класичної метрології (науки про вимірювання фізичних величин), що розглядається тут ТІ, деяких інших напрямів, наприклад, алгоритмічної теорії вимірювань. Зазвичай з контексту зрозуміло, про яку конкретно теорії йде мова))
Коротка історія теорії вимірювань. Спочатку ТІ розвивалася як теорія психофізичних вимірювань. У післявоєнних публікаціях американський психолог С.С. Стівенс основну увагу приділяв шкалами вимірювання. У другій половині ХХ ст. сфера застосування ТІ стрімко розширюється. Подивимося, як це відбувалося. Один з томів випущеної в США в 1950-х роках "Енциклопедії психологічних наук" називався "Психологічні вимірювання". Значить, укладачі цього тому розширили сферу застосування ГТВ з психофізики на психологію в цілому. А в основній статті в цьому збірнику під назвою, зверніть увагу, "Основи теорії вимірювань", виклад йшло на абстрактно-математичному рівні, без прив'язки до будь-якої конкретної галузі застосування. У цій статті [1] упор був зроблений на "гомоморфізми емпіричних систем з відносинами в числові" (у ці математичні терміни тут вдаватися немає необхідності), і математична складність викладу зросла в порівнянні з роботами С.С. Стівенса.
Вже в одній з перших вітчизняних статей з РТВ (кінець 1960-х років) було встановлено, що бали, привласнюються експертами при оцінці об'єктів експертизи, як правило, виміряні в порядкової шкалою. Вітчизняні роботи, що з'явилися на початку 1970-х років, призвели до істотного розширення області використання ГТВ. Її застосовували до педагогічної кваліметрії (виміру якості знань учнів), у системних дослідженнях, в різних задачах теорії експертних оцінок, для агрегування показників якості продукції, в соціологічних дослідженнях, та ін
Підсумки цього етапу були підведені в монографії [2]. В якості двох основних проблем ГТВ поряд з встановленням типу шкали вимірювання конкретних даних був висунутий пошук алгоритмів аналізу даних, результат роботи яких не змінюється при будь-якому допустимому перетворення шкали (тобто є інваріантним щодо цього перетворення).
Метрологи спочатку різко заперечували проти використання терміна "вимір" для якісних ознак. Однак поступово заперечення зійшли нанівець, і до кінця ХХ ст. ТІ стала розглядатися як загальнонаукова теорія.
Основні шкали вимірювання
Відповідно до ТІ при математичному моделюванні реального явища або процесу слід перш за все встановити типи шкал, в яких виміряні ті чи інші змінні. Тип шкали задає групу допустимих перетворень шкали. Допустимі перетворення не змінюють співвідношень між об'єктами вимірювання. Наприклад, при вимірюванні довжини перехід від аршин до метрам не змінює співвідношень між довжинами аналізованих об'єктів - якщо перший об'єкт довше другого, то це буде встановлено і при вимірюванні в аршинах, і при вимірюванні в метрах. Зверніть увагу, що при цьому чисельне значення довжини в аршинах відрізняється від чисельного значення довжини в метрах - не змінюється лише результат порівняння довжин двох об'єктів.Зазначимо основні види шкал вимірювання та відповідні групи допустимих перетворень.
У шкалі найменувань (інша назва цієї шкали - номінальна; це - переписане російськими буквами англійська назва шкали) допустимими є всі взаємно-однозначні перетворення. У цій шкалі числа використовуються лише як мітки. Приблизно так само, як при здачі білизни у пральню, тобто лише для розрізнення об'єктів. У шкалі найменувань виміряні, наприклад, номери телефонів, автомашин, паспортів, студентських квитків. Номери страхових свідоцтв державного пенсійного страхування, медичного страхування, ІПН (індивідуальний номер платника податків) виміряні в шкалі найменувань. Пол людей теж виміряно в шкалі найменувань, результат вимірювання приймає два значення - чоловічий, жіночий. Раса, національність, колір очей, волосся - номінальні ознаки. Номери букв в алфавіті - теж вимірювання в шкалі найменувань. Нікому в здоровому глузді не прийде в голову складати або множити номери телефонів, такі операції не мають сенсу. Порівнювати букви і говорити, наприклад, що буква П краще букви С, також ніхто не буде. Єдине, для чого годяться вимірювання в шкалі найменувань - це розрізняти об'єкти. У багатьох випадках тільки це від них і потрібно. Наприклад, шафки в роздягальнях для дорослих розрізняють за номерами, тобто числах, а в дитячих садах використовують малюнки, оскільки діти ще не знають чисел.
У порядкової шкалою числа використовуються не тільки для розрізнення об'єктів, але й для встановлення порядку між об'єктами. Найпростішим прикладом є оцінки знань учнів. Символічно, що в середній школі застосовуються оцінки 2, 3, 4, 5, а у вищій школі рівно той же зміст виражається словесно - незадовільно, задовільно, добре, відмінно. Цим підкреслюється "нечислової" характер оцінок знань учнів. У порядкової шкалою допустимими є всі строго зростаючі перетворення.
Встановлення типу шкали, тобто завдання групи допустимих перетворень шкали вимірювання - справа фахівців відповідної прикладної області. Так, оцінки привабливості професій ми в монографії [2], виступаючи в якості соціологів, вважали вимірами у порядкової шкалою. Однак окремі соціологи не погоджувалися з нами, вважаючи, що випускники шкіл користуються шкалою з більш вузькою групою допустимих перетворень, наприклад, інтервального шкалою. Очевидно, ця проблема відноситься не до математики, а до наук про людину. Для її вирішення може бути поставлений досить трудомісткий експеримент. Поки ж він не поставлено, доцільно приймати порядкову шкалу, так як це гарантує від можливих помилок.
Оцінки експертів, як уже зазначалося, часто слід вважати вимірами у порядкової шкалою. Типовим прикладом є задачі ранжування та класифікації промислових об'єктів, що підлягають екологічному страхуванню.
Чому думки експертів природно виражати саме в порядкової шкалою? Як показали численні досліди, людина більш правильно (і з меншими труднощами) відповідає на питання якісного, наприклад, порівняльного, характеру, ніж кількісного. Так, йому легше сказати, яка з двох гир важче, ніж вказати їх приблизний вага в грамах.
У різних областях людської діяльності застосовується багато інших видів порядкових шкал. Так, наприклад, в мінералогії використовується шкала Мооса, за яким мінерали класифікуються згідно з критерієм твердості. А саме: тальк має бал 1, гіпс - 2, кальцій - 3, флюорит - 4, апатит - 5, ортоклаз - 6, кварц - 7, топаз - 8, корунд - 9, алмаз - 10. Мінерал з великим номером є більш твердим, ніж мінерал з меншим номером, при натисканні дряпає його.
Порядковими шкалами в географії є - бофортова шкала вітрів ("штиль", "слабкий вітер", "помірний вітер" і т.д.), шкала сили землетрусів. Очевидно, не можна стверджувати, що землетрус в 2 бали (лампа хитнулася під стелею - таке буває і в Москві) рівно в 5 разів слабкіше, ніж землетрус в 10 балів (повне руйнування всього на поверхні землі).
У медицині порядковими шкалами є - шкала стадій гіпертонічної хвороби (по М'ясникову), шкала ступенів серцевої недостатності (за Стражеска-Василенко-Лангу), шкала ступеня вираженості коронарної недостатності (за Фогельсон), і т.д. Всі ці шкали побудовані за схемою: захворювання не виявлено; перша стадія захворювання, друга стадія; третя стадія ... Іноді виділяють стадії 1а, 1б і ін Кожна стадія має властиву тільки їй медичну характеристику. При описі груп інвалідності числа використовуються в протилежному порядку: найважча - перша група інвалідності, потім - друга, сама легка - третя.
Номери будинків також виміряні в порядкової шкалою - вони показують, у якому порядку стоять будинки вздовж вулиці. Номери томів у зібранні творів письменника або номери справ в архіві підприємства зазвичай пов'язані з хронологічним порядком їх створення.
При оцінці якості продукції та послуг, у т. н. кваліметрії (буквальний переклад: вимірювання якості) популярні порядкові шкали. А саме, одиниця продукції оцінюється як придатна чи не придатна. При більш ретельному аналізі використовується шкала з трьома градаціями: є значні дефекти - присутні тільки незначні дефекти - немає дефектів. Іноді застосовують чотири градації: є критичні дефекти (що роблять неможливим використання) - є значні дефекти - присутні тільки незначні дефекти - немає дефектів. Аналогічний сенс має сортність продукції - вищий сорт, перший сорт, другий сорт, ...
При оцінці екологічних впливів перша, найбільш узагальнена оцінка - зазвичай порядкова, наприклад: природне середовище стабільна - природне середовище пригнічена (деградує). Аналогічно в еколого-медичної шкалою: немає вираженого впливу на здоров'я людей - відзначається негативний вплив на здоров'я.
Порядкова шкала використовується і в багатьох інших областях. У економетрики це перш за все різні методи експертних оцінок (див. присвячену їм розділ 12).
Всі шкали вимірювання ділять на дві групи - шкали якісних ознак і шкали кількісних ознак.
Порядкова шкала і шкала найменувань - основні шкали якісних ознак. Тому у багатьох конкретних областях результати якісного аналізу можна розглядати як вимірювання за цими шкалами.
Шкали кількісних ознак - це шкали інтервалів, відносин, різниць, абсолютна. За шкалою інтервалів вимірюють величину потенційної енергії або координату точки на прямій. У цих випадках на шкалі не можна зазначити ні природне початок відліку, ні природну одиницю виміру. Дослідник повинен сам визначити точку відліку і сам вибрати одиницю вимірювання. Припустимими перетвореннями в шкалі інтервалів є лінійні зростаючі перетворення, тобто лінійні функції. Температурні шкали Цельсія і Фаренгейта пов'язані саме такою залежністю: 0С = 5 / 9 (0F - 32), де 0С - температура (в градусах) за шкалою Цельсія, а 0F - температура за шкалою Фаренгейта.
З кількісних шкал найбільш поширеними в науці і практиці є шкали відносин. У них є природне початок відліку - нуль, тобто відсутність величини, але немає природної одиниці виміру. За шкалою відносин виміряні більшість фізичних одиниць: маса тіла, довжина, заряд, а також ціни в економіці. Припустимими перетвореннями шкалою відносин є подібні (змінюють тільки масштаб). Іншими словами, лінійні зростаючі перетворення без вільного члена. Прикладом є перерахунок цін з однієї валюти в іншу за фіксованим курсом. Припустимо, ми порівнюємо економічну ефективність двох інвестиційних проектів, використовуючи ціни в рублях. Хай перший проект виявився краще другого. Тепер перейдемо на валюту найпотужнішої економіки держави світу - юані, використовуючи фіксований курс перерахунку. Очевидно, перший проект повинен знову виявитися більш вигідним, ніж другий. Це очевидно з загальних міркувань. Проте алгоритми розрахунку не забезпечують автоматично виконання цього очевидного умови. Треба перевіряти, що воно виконане. Результати такої перевірки для середніх величин описані нижче.
У шкалі різниць є природна одиниця виміру, але немає природного початку відліку. Час вимірюється за шкалою різниць, якщо рік (або добу - від полудня до полудня) приймаємо природною одиницею виміру, і за шкалою інтервалів в загальному випадку. На сучасному рівні знань природного початку відліку вказати не можна. Дату створення світу різні автори розраховують по-різному, як і момент різдва Христового. Так, згідно з новою статистичної хронології, розробленої групою акад. РАН А.Т. Фоменко, Господь Ісус Христос народився приблизно в 1054 р. за прийнятим нині літочисленням в Стамбулі (він же - Царгород, Візантія, Троя, Єрусалим, Рим).
Тільки для абсолютної шкали результати вимірювань - числа у звичайному сенсі слова. Прикладом є число людей у кімнаті. Для абсолютної шкали допустимим є тільки тотожне перетворення.
У процесі розвитку відповідної галузі знання тип шкали може змінюватися. Так, спочатку температура вимірювалася за порядковою шкалою (холодніше - тепліше). Потім - по інтервальної (шкали Цельсія, Фаренгейта, Реомюр). Нарешті, після відкриття абсолютного нуля температуру можна вважати виміряної за шкалою відносин (шкала Кельвіна). Треба відзначити, що серед фахівців іноді є розбіжності з приводу того, за якими шкалами слід вважати виміряними ті чи інші реальні величини. Іншими словами, процес вимірювання включає в себе і визначення типу шкали (разом з обгрунтуванням вибору певного типу шкали). Крім перерахованих шести основних типів шкал, іноді використовують і інші шкали.
Інваріантні алгоритми й середні величини
Основна вимога до алгоритмів аналізу даних формулюється в ТІ так: висновки, зроблені на основі даних, виміряних в шкалі певного типу, не повинні мінятися при допустимому перетворення шкали вимірювання цих даних. Іншими словами, висновки повинні бути інваріантні по відношенню до допустимих перетворень шкали.Таким чином, одна з основних цілей теорії вимірювань - боротьба з суб'єктивізмом дослідника при приписуванні чисельних значень реальним об'єктам. Так, відстані можна вимірювати в аршинах, метрах, мікронах, милях, парсеках та інших одиницях виміру. Масу (вага) - у пудах, кілограмах, фунтах і ін Ціни на товари і послуги можна вказувати в юанях, рублях, тенге, гривнях, латах, кронах, марках, доларах США та інших валютах (за умови заданих курсів перерахунку). Підкреслимо дуже важливе, хоча й цілком очевидна обставина: вибір одиниць вимірювання залежить від дослідника, тобто суб'єктивний. Статистичні висновки можуть бути адекватні реальності тільки тоді, коли вони не залежать від того, яку одиницю виміру віддасть перевагу дослідник, тобто коли вони інваріантні щодо допустимої перетворення шкали.
Виявляється, сформульоване умова є досить сильним. З багатьох алгоритмів економетричного аналізу даних йому задовольняють лише деякі. Покажемо це на прикладі порівняння середніх величин.
Нехай Х1, Х2, ..., Хn - вибірка обсягу n. Часто використовують середнє арифметичне
Використання середнього арифметичного настільки звично, що друге слово у терміні часто опускають. І кажуть про середню зарплату, середній дохід та інших середніх для конкретних економічних даних, маючи на увазі під "середнім" середнє арифметичне. Така традиція може призводити до помилкових висновків. Покажемо це на прикладі розрахунку середньої заробітної плати (середнього доходу) працівників умовного підприємства (табл.1).
Табл.1. Чисельність працівників різних категорій, їх заробітна плата і доходи (в умовних одиницях).
Перші три рядки в табл.1 навряд чи вимагають пояснень. Менеджери - це директори по напрямках, а саме, з виробництва (головний інженер), з фінансів, з маркетингу та збуту, по персоналу (по кадрах). Власник сам керує підприємством в якості генерального директора. У стовпці "заробітна плата" вказані доходи одного працівника відповідної категорії, а в стовпці "сумарні доходи" - доходи всіх працівників відповідної категорії.
Фонд оплати праці становить 40000 одиниць, працівників всього 100, отже, середня заробітна плата становить 40000/100 = 400 одиниць. Однак ця середня арифметична величина явно не відповідає інтуїтивному уявленню про "середній зарплаті". З 100 працівників лише 5 мають заробітну плату, її перевищує, а зарплата решти 95 істотно менше середньої арифметичної. Причина очевидна - заробітна плата однієї людини - генерального директора - перевищує заробітну плату 95 працівників - низькокваліфікованих і висококваліфікованих робітників, інженерів і службовців.
Ситуація нагадує описану у відомому оповіданні про лікарню, в якій 10 хворих, з них у 9 температура 40 0С, а один вже відмучився, лежи в морзі з температурою 0 0С. Тим часом середня температура по лікарні дорівнює 36 0С - краще не буває!
Сказане показує, що середнє арифметичне можна використовувати лише для досить однорідних сукупностей (без великих викидів в ту або іншу сторону). А які середні використовувати для опису заробітної плати? Цілком природно використовувати медіану. Для даних табл.1 медіана - середнє арифметичне 50-го і 51-го працівника, якщо їх заробітні плати розташовані в порядку неспадання. Спочатку йдуть зарплати 40 низькокваліфікованих робітників, а потім - з 41-го до 70-го працівника - заробітні плати висококваліфікованих робітників. Отже, медіана потрапляє саме на них і дорівнює 200. У 50-ти працівників заробітна плата не перевищує 200, і у 50-ти - не менше 200, тому медіана показує "центр", біля якого групується основна маса досліджуваних величин. Ще одна середня величина - мода, найбільш часто зустрічається значення. У даному випадку це заробітна плата нізкокваліфіціруемих робітників, т.е.100. Таким чином, для опису зарплати маємо три середні величини - моду (100 одиниць), медіану (200 одиниць) та середнє арифметичне (400 одиниць). Для спостерігаються в реальному житті розподілів доходів і заробітної плати справедлива та сама закономірність: мода менше медіани, а медіана менше середнього арифметичного.
Для чого в економіці використовуються середні величини? Зазвичай для того, щоб замінити сукупність чисел одним числом, щоб порівнювати сукупності за допомогою середніх.
Нехай, наприклад, Y1, Y2 ,..., Yn - сукупність оцінок експертів, "виставлених" одному об'єкту експертизи (наприклад, одному з варіантів стратегічного розвитку фірми), Z1, Z2 ,..., Zn - другому (іншим варіантом такого розвитку). Як порівнювати ці сукупності? Очевидно, найпростіший спосіб - за середнім значенням.
А як обчислювати середні? Відомі різні види середніх величин: середнє арифметичне, медіана, мода, середнє геометричне, середнє гармонійне, середнє квадратичне. Нагадаємо, що загальне поняття середньої величини введено французьким математиком першої половини ХІХ ст. академіком О. Коші. Воно таке: середньою величиною є будь-яка функція f (X1, X2 ,..., Xn) така, що при всіх можливих значеннях аргументів значення цієї функції не менше, ніж мінімальне з чисел X1, X2 ,..., Xn, і не більше, ніж максимальна з цих чисел. Всі перераховані вище види середніх є середніми за Коші.
При допустимому перетворення шкали значення середньої величини, очевидно, змінюється. Але висновки про те, для якої сукупності середнє більше, а для якої - менше, не повинні змінюватися (відповідно до вимоги інваріантності висновків, прийнятому як основна вимога в ТІ). Сформулюємо відповідну математичну задачу пошуку виду середніх величин, результат порівняння яких стійкий щодо допустимих перетворень шкали.
Нехай f (X1, X2 ,..., Xn) - середнє за Коші. Нехай середнє по першій сукупності менше середнього по другій сукупності:
f (Y1, Y2 ,..., Yn) <f (Z1, Z2 ,..., Zn).
Тоді відповідно до ТІ для стійкості результату порівняння середніх необхідно, щоб для будь-якого припустимого перетворення g з групи допустимих перетворень у відповідній шкалі було справедливо також нерівність
f (g (Y1), g (Y2 ),..., g (Yn)) <f (g (Z1), g (Z2 ),..., g (Zn)).
тобто середнє перетворених значень з першої сукупності також було менше середнього перетворених значень для другої сукупності. Причому сформульоване умова повинна бути вірно для будь-яких двох сукупностей Y1, Y2 ,..., Ynі Z1, Z2 ,..., Zn і, нагадаємо, будь-якого припустимого перетворення. Середні величини, що задовольняють сформульованим умові, назвемо допустимими (у відповідній шкалі). Згідно ТІ тільки такими середніми можна користуватися при аналізі думок експертів та інших даних, виміряних в розглянутій шкалою.
За допомогою математичної теорії, розвинутої в монографії [2], вдається описати вид допустимих середніх в основних шкалах. Відразу ясно, що для даних, виміряних в шкалі найменувань, в якості середнього годиться тільки мода.
Теорема 1. З усіх середніх за Коші допустимими середніми в порядкової шкалою є тільки члени варіаційного ряду (порядкові статистики).
Теорема 1 справедлива за умови, що середнє f (X1, X2 ,..., Xn) є безперервною (за сукупністю змінних) і симетричної функцією. Останнє означає, що при перестановці аргументів значення функції f (X1, X2 ,..., Xn) не змінюється. Ця умова є цілком природним, бо середню величину ми знаходимо для сукупності (множини), а не для послідовності. Безліч не змінюється в залежності від того, в якій послідовності ми перераховуємо його елементи.
Згідно з теоремою 1 як середнього для даних, виміряних в порядкової шкалою, можна використовувати, зокрема, медіану (при непарній обсязі вибірки). При парному ж обсязі слід застосовувати один із двох центральних членів варіаційного ряду - як їх іноді називають, ліву медіану або праву медіану. Моду теж можна використовувати - вона завжди є членом варіаційного ряду. Але ніколи не можна розраховувати середнє арифметичне, середнє геометричне і т.д.
Наведемо чисельний приклад, що показує некоректність використання середнього арифметичного f (X1, X2) = (X1 + X2) / 2 в порядкової шкалою. Нехай Y1 = 1, Y2 = 11, Z1 = 6, Z2 = 8. Тоді f (Y1, Y2) = 6, що менше, ніж f (Z1, Z2) = 7. Нехай суворо зростаюче перетворення g таке, що g (1) = 1, g (6) = 6, g (8) = 8, g (11) = 99. Таких перетворень багато. Наприклад, можна покласти g (x) = x при x, що не перевищують 8, і g (x) = 99 (x-8) / 3 + 8 для х, великих 8. Тоді f (g (Y1), g (Y2)) = 50, що більше, ніж f (g (Z1), g (Z2)) = 7. Як бачимо, в результаті допустимого, тобто суворо зростаючого перетворення шкали впорядкованість середніх змінилася.
Таким чином, ТІ виносить жорсткий вирок середньому арифметичному - використовувати його з порядковою шкалою не можна. Проте ж ті, хто не знає теорії вимірювань, використовують його. Чи завжди вони помиляються? Виявляється, можна в якійсь мірі реабілітувати середнє арифметичне, якщо перейти до ймовірної постановці і до того задовольнитися результатами для великих обсягів вибірок. У монографії [2] отримано також наступне твердження.
Теорема 2. Нехай Y1, Y2 ,..., Ym - незалежні однаково розподілені випадкові величини з функцією розподілу F (x), а Z1, Z2 ,..., Zn - незалежні однаково розподілені випадкові величини з функцією розподілу H (x), причому вибірки Y1, Y2 ,..., Ym і Z1, Z2 ,..., Zn незалежні між собою і МY1> MZ1. Для того, щоб ймовірність події
прагнула до 1 при
необхідно і достатньо, щоб при всіх x виконувалося нерівність F (x) <H (x), причому існувало число x0, для якого F (x0) <H (x0).
Примітка. Умова з верхньою межею носить чисто внутріматематіческій характер. Фактично функція g - довільне припустиме перетворення в порядкової шкалою.
Згідно теоремі 2 середнім арифметичним можна користуватися і в порядкової шкалою, якщо порівнюються вибірки з двох розподілів, що задовольняють наведеним в теоремі нерівності. Простіше кажучи, одна з функцій розподілу повинна завжди лежати над іншою. Функції розподілу не можуть перетинатися, їм дозволяється тільки торкатися один одного. Це умова виконана, наприклад, якщо функції розподілу відрізняються тільки зрушенням:
F (x) = H (x + b)
при деякому b. Остання умова виконується, якщо два значення деякої величини вимірюються за допомогою одного і того ж засоби вимірювання, у якого розподіл похибок не змінюється при переході від вимірювання одного значення аналізованої величини до вимірювання іншого.
G {(F (X1) + F (X2) + ... F (Xn)) / n},
де F - строго монотонна функція (тобто строго зростаюча чи суворо спадна), G - функція, обернена до F. Серед середніх за Колмогорова - багато добре відомих персонажів. Так, якщо F (x) = x, то середнє за Колмогорова - це середнє арифметичне, якщо F (x) = ln x, то середнє геометричне, якщо F (x) = 1 / x, то середнє гармонійне, якщо F (x ) = x2, щось середнє квадратичне, і т.д. Середнє по Колмогорова - приватний випадок середнього по Коші. З іншого боку, такі популярні середні, як медіана і мода, не можна уявити у вигляді середніх за Колмогорова. У монографії [2] доведені наступні твердження.
Теорема 3. При справедливості деяких внутріматематіческіх умов регулярності в шкалі інтервалів з усіх середніх за Колмогорова допустимим є лише середнє арифметичне.
Таким чином, середнє геометричне або середнє квадратичне температур (у шкалі Цельсія) або відстаней не мають сенсу. В якості середнього треба застосовувати середнє арифметичне. А також можна використовувати медіану або моду.
Теорема 4. При справедливості деяких внутріматематіческіх умов регулярності в шкалі відносин з усіх середніх за Колмогорова допустимими є тільки статечні середні з F (x) = xс,
Зауваження. Середнє геометричне є межею статечних середніх при
Чи є середні за Колмогорова, якими не можна користуватися в шкалі відносин? Звичайно, є. Наприклад, з F (x) = ex.
Аналогічно середнім величинам можуть бути вивчені і інші статистичні характеристики - показники розкиду, зв'язку, відстані та ін (див., наприклад, [2]). Неважко показати, наприклад, що коефіцієнт кореляції не змінюється при будь-якому допустимому перетворенні в шкалі інтервалів, як і ставлення дисперсій, дисперсія не змінюється в шкалі різниць, коефіцієнт варіації - в шкалі відносин, і т.д.
Наведені вище результати про середні величини широко застосовуються, причому не тільки в економіці, менеджменті, теорії експертних оцінок або соціології, але і в інженерній справі, наприклад, для аналізу методів агрегування датчиків в АСУ ТП доменних печей. Велико прикладне значення ТІ в задачах стандартизації та управління якістю, зокрема, в кваліметрії. Тут є і цікаві теоретичні результати. Так, наприклад, будь-яка зміна коефіцієнтів вагомості одиничних показників якості продукції приводить до зміни впорядкування виробів за середньозваженим показником (ця теорема доведена проф.В.В. Подіновскім).
2. Орлов О.І. Стійкість у соціально-економічних моделях. - М.: Наука, 1979. - 296 с.
3. Пфанцагль І. Теорія вимірів. - М.: Світ, 1976. - 165 с.
Нехай Х1, Х2, ..., Хn - вибірка обсягу n. Часто використовують середнє арифметичне
Використання середнього арифметичного настільки звично, що друге слово у терміні часто опускають. І кажуть про середню зарплату, середній дохід та інших середніх для конкретних економічних даних, маючи на увазі під "середнім" середнє арифметичне. Така традиція може призводити до помилкових висновків. Покажемо це на прикладі розрахунку середньої заробітної плати (середнього доходу) працівників умовного підприємства (табл.1).
Табл.1. Чисельність працівників різних категорій, їх заробітна плата і доходи (в умовних одиницях).
| № п / п | Категорія працівників | Число працівників | Заробітна плата | Сумарні доходи |
| 1 | Низькокваліфіковані робітники | 40 | 100 | 4000 |
| 2 | Висококваліфіковані робітники | 30 | 200 | 6000 |
| 3 | Інженери і службовці | 25 | 300 | 7500 |
| 4 | Менеджери | 4 | 1000 | 4000 |
| 5 | Генеральний директор (власник) | 1 | 18500 | 18500 |
| 6 | Всього | 100 | 40000 |
Фонд оплати праці становить 40000 одиниць, працівників всього 100, отже, середня заробітна плата становить 40000/100 = 400 одиниць. Однак ця середня арифметична величина явно не відповідає інтуїтивному уявленню про "середній зарплаті". З 100 працівників лише 5 мають заробітну плату, її перевищує, а зарплата решти 95 істотно менше середньої арифметичної. Причина очевидна - заробітна плата однієї людини - генерального директора - перевищує заробітну плату 95 працівників - низькокваліфікованих і висококваліфікованих робітників, інженерів і службовців.
Ситуація нагадує описану у відомому оповіданні про лікарню, в якій 10 хворих, з них у 9 температура 40 0С, а один вже відмучився, лежи в морзі з температурою 0 0С. Тим часом середня температура по лікарні дорівнює 36 0С - краще не буває!
Сказане показує, що середнє арифметичне можна використовувати лише для досить однорідних сукупностей (без великих викидів в ту або іншу сторону). А які середні використовувати для опису заробітної плати? Цілком природно використовувати медіану. Для даних табл.1 медіана - середнє арифметичне 50-го і 51-го працівника, якщо їх заробітні плати розташовані в порядку неспадання. Спочатку йдуть зарплати 40 низькокваліфікованих робітників, а потім - з 41-го до 70-го працівника - заробітні плати висококваліфікованих робітників. Отже, медіана потрапляє саме на них і дорівнює 200. У 50-ти працівників заробітна плата не перевищує 200, і у 50-ти - не менше 200, тому медіана показує "центр", біля якого групується основна маса досліджуваних величин. Ще одна середня величина - мода, найбільш часто зустрічається значення. У даному випадку це заробітна плата нізкокваліфіціруемих робітників, т.е.100. Таким чином, для опису зарплати маємо три середні величини - моду (100 одиниць), медіану (200 одиниць) та середнє арифметичне (400 одиниць). Для спостерігаються в реальному житті розподілів доходів і заробітної плати справедлива та сама закономірність: мода менше медіани, а медіана менше середнього арифметичного.
Для чого в економіці використовуються середні величини? Зазвичай для того, щоб замінити сукупність чисел одним числом, щоб порівнювати сукупності за допомогою середніх.
Нехай, наприклад, Y1, Y2 ,..., Yn - сукупність оцінок експертів, "виставлених" одному об'єкту експертизи (наприклад, одному з варіантів стратегічного розвитку фірми), Z1, Z2 ,..., Zn - другому (іншим варіантом такого розвитку). Як порівнювати ці сукупності? Очевидно, найпростіший спосіб - за середнім значенням.
А як обчислювати середні? Відомі різні види середніх величин: середнє арифметичне, медіана, мода, середнє геометричне, середнє гармонійне, середнє квадратичне. Нагадаємо, що загальне поняття середньої величини введено французьким математиком першої половини ХІХ ст. академіком О. Коші. Воно таке: середньою величиною є будь-яка функція f (X1, X2 ,..., Xn) така, що при всіх можливих значеннях аргументів значення цієї функції не менше, ніж мінімальне з чисел X1, X2 ,..., Xn, і не більше, ніж максимальна з цих чисел. Всі перераховані вище види середніх є середніми за Коші.
При допустимому перетворення шкали значення середньої величини, очевидно, змінюється. Але висновки про те, для якої сукупності середнє більше, а для якої - менше, не повинні змінюватися (відповідно до вимоги інваріантності висновків, прийнятому як основна вимога в ТІ). Сформулюємо відповідну математичну задачу пошуку виду середніх величин, результат порівняння яких стійкий щодо допустимих перетворень шкали.
Нехай f (X1, X2 ,..., Xn) - середнє за Коші. Нехай середнє по першій сукупності менше середнього по другій сукупності:
f (Y1, Y2 ,..., Yn) <f (Z1, Z2 ,..., Zn).
Тоді відповідно до ТІ для стійкості результату порівняння середніх необхідно, щоб для будь-якого припустимого перетворення g з групи допустимих перетворень у відповідній шкалі було справедливо також нерівність
f (g (Y1), g (Y2 ),..., g (Yn)) <f (g (Z1), g (Z2 ),..., g (Zn)).
тобто середнє перетворених значень з першої сукупності також було менше середнього перетворених значень для другої сукупності. Причому сформульоване умова повинна бути вірно для будь-яких двох сукупностей Y1, Y2 ,..., Ynі Z1, Z2 ,..., Zn і, нагадаємо, будь-якого припустимого перетворення. Середні величини, що задовольняють сформульованим умові, назвемо допустимими (у відповідній шкалі). Згідно ТІ тільки такими середніми можна користуватися при аналізі думок експертів та інших даних, виміряних в розглянутій шкалою.
За допомогою математичної теорії, розвинутої в монографії [2], вдається описати вид допустимих середніх в основних шкалах. Відразу ясно, що для даних, виміряних в шкалі найменувань, в якості середнього годиться тільки мода.
Середні величини в порядкової шкалою
Розглянемо обробку думок експертів, виміряних в порядкової шкалою. Справедливо наступне твердження.Теорема 1. З усіх середніх за Коші допустимими середніми в порядкової шкалою є тільки члени варіаційного ряду (порядкові статистики).
Теорема 1 справедлива за умови, що середнє f (X1, X2 ,..., Xn) є безперервною (за сукупністю змінних) і симетричної функцією. Останнє означає, що при перестановці аргументів значення функції f (X1, X2 ,..., Xn) не змінюється. Ця умова є цілком природним, бо середню величину ми знаходимо для сукупності (множини), а не для послідовності. Безліч не змінюється в залежності від того, в якій послідовності ми перераховуємо його елементи.
Згідно з теоремою 1 як середнього для даних, виміряних в порядкової шкалою, можна використовувати, зокрема, медіану (при непарній обсязі вибірки). При парному ж обсязі слід застосовувати один із двох центральних членів варіаційного ряду - як їх іноді називають, ліву медіану або праву медіану. Моду теж можна використовувати - вона завжди є членом варіаційного ряду. Але ніколи не можна розраховувати середнє арифметичне, середнє геометричне і т.д.
Наведемо чисельний приклад, що показує некоректність використання середнього арифметичного f (X1, X2) = (X1 + X2) / 2 в порядкової шкалою. Нехай Y1 = 1, Y2 = 11, Z1 = 6, Z2 = 8. Тоді f (Y1, Y2) = 6, що менше, ніж f (Z1, Z2) = 7. Нехай суворо зростаюче перетворення g таке, що g (1) = 1, g (6) = 6, g (8) = 8, g (11) = 99. Таких перетворень багато. Наприклад, можна покласти g (x) = x при x, що не перевищують 8, і g (x) = 99 (x-8) / 3 + 8 для х, великих 8. Тоді f (g (Y1), g (Y2)) = 50, що більше, ніж f (g (Z1), g (Z2)) = 7. Як бачимо, в результаті допустимого, тобто суворо зростаючого перетворення шкали впорядкованість середніх змінилася.
Таким чином, ТІ виносить жорсткий вирок середньому арифметичному - використовувати його з порядковою шкалою не можна. Проте ж ті, хто не знає теорії вимірювань, використовують його. Чи завжди вони помиляються? Виявляється, можна в якійсь мірі реабілітувати середнє арифметичне, якщо перейти до ймовірної постановці і до того задовольнитися результатами для великих обсягів вибірок. У монографії [2] отримано також наступне твердження.
Теорема 2. Нехай Y1, Y2 ,..., Ym - незалежні однаково розподілені випадкові величини з функцією розподілу F (x), а Z1, Z2 ,..., Zn - незалежні однаково розподілені випадкові величини з функцією розподілу H (x), причому вибірки Y1, Y2 ,..., Ym і Z1, Z2 ,..., Zn незалежні між собою і МY1> MZ1. Для того, щоб ймовірність події
прагнула до 1 при
необхідно і достатньо, щоб при всіх x виконувалося нерівність F (x) <H (x), причому існувало число x0, для якого F (x0) <H (x0).
Примітка. Умова з верхньою межею носить чисто внутріматематіческій характер. Фактично функція g - довільне припустиме перетворення в порядкової шкалою.
Згідно теоремі 2 середнім арифметичним можна користуватися і в порядкової шкалою, якщо порівнюються вибірки з двох розподілів, що задовольняють наведеним в теоремі нерівності. Простіше кажучи, одна з функцій розподілу повинна завжди лежати над іншою. Функції розподілу не можуть перетинатися, їм дозволяється тільки торкатися один одного. Це умова виконана, наприклад, якщо функції розподілу відрізняються тільки зрушенням:
F (x) = H (x + b)
при деякому b. Остання умова виконується, якщо два значення деякої величини вимірюються за допомогою одного і того ж засоби вимірювання, у якого розподіл похибок не змінюється при переході від вимірювання одного значення аналізованої величини до вимірювання іншого.
Середні за Колмогорова
Узагальненням декількох з перерахованих вище середніх є середнє за Колмогорова. Для чисел X1, X2 ,..., Xn середнє за Колмогорова обчислюється за формулоюG {(F (X1) + F (X2) + ... F (Xn)) / n},
де F - строго монотонна функція (тобто строго зростаюча чи суворо спадна), G - функція, обернена до F. Серед середніх за Колмогорова - багато добре відомих персонажів. Так, якщо F (x) = x, то середнє за Колмогорова - це середнє арифметичне, якщо F (x) = ln x, то середнє геометричне, якщо F (x) = 1 / x, то середнє гармонійне, якщо F (x ) = x2, щось середнє квадратичне, і т.д. Середнє по Колмогорова - приватний випадок середнього по Коші. З іншого боку, такі популярні середні, як медіана і мода, не можна уявити у вигляді середніх за Колмогорова. У монографії [2] доведені наступні твердження.
Теорема 3. При справедливості деяких внутріматематіческіх умов регулярності в шкалі інтервалів з усіх середніх за Колмогорова допустимим є лише середнє арифметичне.
Таким чином, середнє геометричне або середнє квадратичне температур (у шкалі Цельсія) або відстаней не мають сенсу. В якості середнього треба застосовувати середнє арифметичне. А також можна використовувати медіану або моду.
Теорема 4. При справедливості деяких внутріматематіческіх умов регулярності в шкалі відносин з усіх середніх за Колмогорова допустимими є тільки статечні середні з F (x) = xс,
Зауваження. Середнє геометричне є межею статечних середніх при
Чи є середні за Колмогорова, якими не можна користуватися в шкалі відносин? Звичайно, є. Наприклад, з F (x) = ex.
Аналогічно середнім величинам можуть бути вивчені і інші статистичні характеристики - показники розкиду, зв'язку, відстані та ін (див., наприклад, [2]). Неважко показати, наприклад, що коефіцієнт кореляції не змінюється при будь-якому допустимому перетворенні в шкалі інтервалів, як і ставлення дисперсій, дисперсія не змінюється в шкалі різниць, коефіцієнт варіації - в шкалі відносин, і т.д.
Наведені вище результати про середні величини широко застосовуються, причому не тільки в економіці, менеджменті, теорії експертних оцінок або соціології, але і в інженерній справі, наприклад, для аналізу методів агрегування датчиків в АСУ ТП доменних печей. Велико прикладне значення ТІ в задачах стандартизації та управління якістю, зокрема, в кваліметрії. Тут є і цікаві теоретичні результати. Так, наприклад, будь-яка зміна коефіцієнтів вагомості одиничних показників якості продукції приводить до зміни впорядкування виробів за середньозваженим показником (ця теорема доведена проф.В.В. Подіновскім).
Література
1. Суппес П., Зінес Дж. Основи теорії вимірів. - В зб.: Психологічні вимірювання. - М.: Світ, 1967. С.9-110.2. Орлов О.І. Стійкість у соціально-економічних моделях. - М.: Наука, 1979. - 296 с.
3. Пфанцагль І. Теорія вимірів. - М.: Світ, 1976. - 165 с.