Теорія автоматичного управління

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

1. Аналіз стійкості замкнутої системи

1.1 Аналіз стійкості системи по корінню характеристичного рівняння

Запишемо передавальну функцію розімкнутої системи:

. (1)

Передавальна функція замкнутої системи має вигляд:

.

Характеристичне рівняння замкнутої системи:

(2)

Коріння характеристичного рівняння (2):

Характеристичне рівняння (2) має два правих кореня, отже, дана замкнута система нестійка.

1.2 Аналіз стійкості системи по алгебраическому критерієм

Для характеристичного рівняння (2) замкнутої системи коефіцієнти a i, i = 0 .. 3,

а 0 = 0.00008,

a 1 = 0.0078,

a 2 = - 0.03,

a 3 = 48.

Необхідною умовою стійкості системи є:

a i> 0, i = 0 .. 3

Дана умова не виконується (a 2 <0), отже, замкнута система нестійка.

1.3 Аналіз стійкості системи по частотних критеріям

а) Критерій Найквіста (на комплексній площині)

Використовуючи передавальну функцію розімкнутої системи (1) запишемо характеристичне рівняння розімкнутої системи:

. (3)

Знайдемо коріння характеристичного рівняння (3):

Характеристичне рівняння розімкнутої системи (3) має один правий корінь, отже, розімкнена система нестійка.

Побудуємо годограф Найквіста. Для цього визначимо частотну передавальну функцію розімкнутої системи та її дійсну та уявну частини.

(4)

(5)

(6)

Використовуючи вирази (5) і (6), заповнимо таблицю:

Таблиця 1.3.1

w

0

-

-

P

-48

0

-

0

Q

0

-

0

0

Побудуємо годограф Найквіста (Мал. 1.3.1):

Рис. 1.3.1

Для випадку, коли розімкнена система нестійка критерій Найквіста звучить наступним чином: для стійкості замкнутої системи необхідно і достатньо, щоб годограф Найквіста охоплював особливу точку ( ; ) В позитивному напрямку на кут , Де l - число правих коренів характеристичного рівняння розімкнутої системи.

Число правих коренів характеристичного рівняння розімкнутої системи (3) дорівнює одиниці (l = 1), отриманий годограф не охоплює особливу точку (-1, j 0) на кут l π = π (годограф охоплює особливу точку в напрямку за годинниковою стрілкою), отже , критерій Найквіста не виконується і система нестійка.

б) Критерій Найквіста (на площині ЛЧХ)

Побудуємо ЛЧХ заданої системи, для цього визначимо розрахункові вирази для L (w) і φ (w):

(7)

(8)

Для побудови асимптотичної ЛАЧХ знайдемо параметри:

ЛФЧХ системи також можна побудувати як геометричну суму ЛФЧХ окремих ланок системи.

Графіки розрахункових ЛЧХ, побудовані за формулами (7) і (8) зображені на малюнку (1.3.2):

Рис. 1.3.2

w ср (частота зрізу) - частота, що відповідає перетину ЛАЧХ з віссю lgw;

w кр (критична частота) - частота, що відповідає перетину ЛФЧХ рівня - π;

Система стійка, якщо виконується умова:

w ср <w кр

Дана умова не виконується, отже, система нестійка. Аналогічний висновок можна зробити з асимптотичної ЛАЧХ і ЛФЧХ системи, побудованої як сума окремих ланок, що входять в систему, зображеної на малюнку (1.3.3):

в) Критерій Михайлова

Використовуючи характеристичне рівняння замкнутої системи (2) введемо функцію Михайлова:

, Де

,

.

Для заданої системи функція Михайлова прийме вигляд:

(9)

(10)

Графічне зображення функції Михайлова на комплексній площині при називається годографом Михайлова. Для стійкості системи n-го порядку необхідно і достатньо, щоб годограф Михайлова починався на дійсній позитивної півосі і при збільшенні частоти до ∞ проходив послідовно в позитивному напрямку n квадрантів, ніде не звертаючись в нуль.

Використовуючи вирази (9) і (10), заповнимо таблицю:

Таблиця 1.3.3

w

0

77,625

-

X (w)

47

0

-

- ∞

Y (w)

0

-39,748

0

- ∞

Побудуємо годограф Михайлова (Мал. 1.3.4):

Рис. 1.3.4

Отриманий годограф починається на дійсній позитивної півосі, проходить 2 квадранта в негативному напрямку, таким чином, критерій Михайлова не виконується, отже, система нестійка.

2. Побудова області стійкості в площині параметра До р

Побудуємо область стійкості, використовуючи критерій Гурвіца.

Запишемо характеристичне рівняння замкнутої системи в загальному вигляді:

.

Для конкретного випадку характеристичне рівняння замкнутої системи має вигляд:

(11)

Для стійкості системи К Р має задовольняти необхідній умові

Рис. 2.1

Але зауважимо, що вихідний К Р задовольняє цій умові, і його зміною стійкості замкнутої системи домогтися неможливо, тому що в ХУ ЗС (2.3) а 2 <0, і залежить цей коефіцієнт від постійних часу.

Побудуємо область стійкості в площині параметра Т 2

Необхідна умова стійкості:

Достатня умова стійкості для системи третього порядку за критерієм Гурвіца має вигляд:

Враховуючи всі умови:

Рис. 2.2





3. Корекція системи

Для забезпечення стійкості системи необхідно ввести коригуючий ланку з передатною функцією виду:

Структурна схема скоректованої системи (Мал. 3.1):

Рис. 3.1

Передавальна функція скоригованого розімкнутої системи має вигляд:

(12)

Визначимо параметр Т з умови забезпечення мінімального запасу стійкості (L зап = 5 дБ).

Запас по амплітуді визначається на критичній частоті - частоті, на якій функція φ (w) приймає значення, рівне - π

Розрахункове вираз для φ (w):

, Звідси

(13)

Розрахункове вираз для L (w):

(14)

Підставимо знайдене вираз Т (13) у функцію L (w) (14):

На критичної частоті значення функції L (w), виходячи з умови забезпечення мінімального запасу стійкості, повинна дорівнювати не менш 5 дБ.

З даного виразу знайдемо w кр

w кр = 308,4185, отже,

Т = 0,001198

Аналізуючи дане значення область стійкості, знайдену в п. 2, можна зробити висновок, що введення коригуючого ланки з передавальною функцією забезпечить не тільки стійкість системи, але і більш ніж мінімальний запас стійкості по амплітуді.

4. Побудова та аналіз ЛЧХ системи та годографа Найквіста скоригованої системи

Використовуючи передавальну функцію скоригованого розімкнутої системи (12), запишемо характеристичне рівняння скоригованого розімкнутої системи:

(15)

Знайдемо коріння характеристичного рівняння (15):

Рівняння (15) має один правий корінь, отже, скоригована розімкнена система нестійка.

Побудуємо годограф Найквіста. Для цього визначимо частотну передавальну функцію скоригованого розімкнутої системи та її дійсну та уявну частини.

(16)

(17)

Використовуючи вирази (16) і (17), заповнимо таблицю:

Таблиця 4.1

w

0

-

328,8237

P

-48

0

- 0,485

0

Q

0

-

0

0

Побудуємо годограф Найквіста (Мал. 4.1):

Рис. 4.1

Для випадку, коли розімкнена система нестійка критерій Найквіста звучить наступним чином: для стійкості замкнутої системи необхідно і достатньо, щоб годограф Найквіста охоплював особливу точку ( ; ) В позитивному напрямку на кут , Де l - число правих коренів характеристичного рівняння розімкнутої системи.

Число правих коренів характеристичного рівняння розімкнутої системи дорівнює одиниці (l = 1), отриманий годограф охоплює особливу точку (-1, j 0) на кут l π = π, отже, критерій Найквіста виконується і система стійка.

Побудуємо ЛЧХ розімкнутої скоригованої системи:

Визначимо розрахункові вирази для L (w) і φ (w):

(18)

(19)

Для побудови асимптотичної ЛАЧХ знайдемо параметри:

ЛФЧХ системи також можна побудувати як геометричну суму ЛФЧХ окремих ланок системи.

Графіки розрахункових ЛЧХ, побудовані за формулами (18) і (19), зображені на малюнку (4.2):

Рис. 4.2

w ср (частота зрізу) - частота, що відповідає перетину ЛАЧХ з віссю lgw;

w кр (критична частота) - частота, що відповідає перетину ЛФЧХ рівня - π;

Система стійка, якщо виконується умова:

w ср <w кр

Дана умова виконується, отже, система стійка. Запас стійкості по амплітуді: L зап = 5,8 дБ

Запас стійкості по фазі: φ зап = 0,2 радий

Аналогічний висновок можна зробити з асимптотичної ЛАЧХ і ЛФЧХ системи, побудованої як сума окремих ланок, що входять в систему.

5. Аналіз якості системи в перехідному режимі

Визначимо прямі показники якості, для цього побудуємо перехідну характеристику:

, Де (20)

(21)

Ф (s) - передавальна функція скоригованого замкнутої системи.

Перехідна характеристика, побудована за формулою (20), зображена на малюнку (5.1):

Рис. 5.1

За малюнком (5.1) визначимо: h max = 0.3; h вуст = 0.17; h (0) = 0, час регулювання на рівні 0.05 (h вуст - h (0)).

Коридор: [0.95 (h вуст - h (0)); 1.05 (h вуст - h (0))].

Коридор: [0.1615; 0.1785].

Час регулювання: t рег = 0,15 с.

Перерегулювання одно:

(5.3)

.

Визначимо показник коллебательності. Використовуючи передавальну функцію скоригованого замкнутої системи (21), запишемо частотну передавальну функцію скоригованого замкнутої системи:

Виділимо дійсну та уявну частини:

Модуль частотної передавальної функції замкнутої системи:

(22)

Побудуємо амплітудно-частотну характеристику, використовуючи вираз (22) (Мал. 5.2):

Рис. 5.2

За малюнком (5.2) визначимо: ; .

Показник коливальності M є відношення максимальної ординати амплітудно-частотної характеристики замкнутої системи до початкової ординаті:

Визначимо запаси стійкості системи.

Знайдемо критичну частоту - частоту, на якій значення φ (w) дорівнює - π.

(23)

w кр = 328,824

Розрахуємо запас по амплітуді:

(24)

Запас по амплітуді: L зап = 5,797 дБ

Знайдемо частоту зрізу - частоту, на якій значення L (w) дорівнює 0, використовуючи вираз (24):

w ср = 232,624

Розрахуємо запас по фазі, використовуючи вираз (23):

Запас по фазі: φ зап = 0,168 рад.

6. Аналіз якості системи в усталеному режимі

Встановлена ​​помилка системи дорівнює:

(25)

ε устХо = З 0 Х 0 (t) + З 1 Х '0 (t) + ...

ε вуст f = С 0 F 0 (t) + З 1 F '0 (t) + ...

Так як в заданому випадку задає і обурює впливу - константи, необхідно знайти лише перші коефіцієнти функцій помилок.

Запишемо передавальну функцію замкненої системи помилково по задающему впливу:

Встановлена ​​помилка системи по задающему впливу:

Запишемо передавальну функцію замкненої системи помилково за збуренням:

Встановлена ​​помилка системи по задающему впливу:

Розрахуємо усталену помилку системи, використовуючи вираз (25):

Наведемо розмірність сталої помилки до розмірності вхідного сигналу:

;

Система є статичною як щодо обурення, так і щодо задає впливу, що встановилася помилка системи дорівнює 7 / 282.

Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Комунікації, зв'язок, цифрові прилади і радіоелектроніка | Курсова
68кб. | скачати


Схожі роботи:
Теорія автоматичного управління Структурна схема
Корекція систем автоматичного управління
Точність систем автоматичного управління
Характеристики систем автоматичного управління
Розрахунок системи автоматичного управління
Дослідження системи автоматичного управління
Проектування стежить системи автоматичного управління
Принципи побудови систем автоматичного управління
Характеристика дискретних систем автоматичного управління
© Усі права захищені
написати до нас