Теореми Ролля Коші Лагранжа Правило Лопіталя

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Реферат

на тему:

"Теореми Ролля, Коші, Лагранжа. Правило Лопіталя"

1. Теорема Ролля

Знання похідної деякої функції дозволяє судити про характерні особливості в поведінці цієї функції. В основі всіх таких досліджень лежать деякі прості теореми, звані теоремами про середню в диференціальному численні.

Почнемо розгляд таких теорем з теореми, яку пов'язують з ім'ям французького математика Ролля (1652-1719).

Теорема 1.1. Якщо функція неперервна на відрізку , Дифференцируема у всіх його внутрішніх точках, а на кінцях відрізка , звертається в нуль, то існує, принаймні, одна точка , В якій .

Доказ. Так як функція неперервна на відрізку , То, відповідно до властивості 11.1.1, вона повинна досягати хоча б один раз на цьому відрізку свого мінімуму і максимуму (Рис. 1.1).

Якщо , Функція постійна, тобто . Але в цьому випадку для будь-якого .

У загальному випадку , І хоча б одне з цих чисел не дорівнює нулю. Припустимо для визначеності, що . Тоді існує точка , В якій .

Рис. 1.1

Так як дане значення є максимальним, то для нього справедливо, що для і .

Розглянемо межі

для

і

для .

Оскільки обидва межі рівні похідної функції в одній і тій же точці , То вони рівні між собою. Значить, з одночасності і випливає, що , Що й потрібно було довести.

Слід зазначити, що дана теорема справедлива і в тому випадку, коли на кінцях відрізка функція не звертається в нуль, але приймає рівні значення . Доказ проводиться аналогічно.

Геометричний зміст даної теореми наступний: якщо безперервна крива перетинає вісь в двох точках , або бере в них рівні значення, то, принаймні, в одній точці між і дотична до кривої паралельна осі .

Необхідно відзначити, що якщо не у всіх точках у розглянутої функції існує похідна, то теорема може не виконуватися. Це стосується, наприклад, функції (Рис. 1.2):

Рис. 1.2

Ця функція неперервна на відрізку і звертається в нуль на його кінцях, але в жодній точці всередині відрізка похідна не дорівнює нулю.

2. Теорема Лагранжа

Результати теореми Ролля використовуються при розгляді наступної теореми про середню, що належить Лагранжу (1736-1813).

Теорема. Якщо функція неперервна на відрізку і дифференцируема у всіх його внутрішніх точках, то існує, принаймні, одна точка , В якій .

Доказ. Розглянемо графік функції (Рис. 2.1).

Проведемо хорду, що сполучає точки і , І запишемо її рівняння. Скориставшись рівнянням прямої, що проходить через дві точки на площині, одержимо:

,

звідки:

Рис. 2.1

і .

Складемо тепер допоміжну функцію, вирахувавши з рівняння кривої рівняння хорди:

.

Отримана функція неперервна на відрізку і дифференцируема у всіх його внутрішніх точках. Крім того, обчислення в точках і показує, що . Значить, функція на відрізку задовольняє вимогам теореми Ролля. Але в цьому випадку існує така точка , В якій .

Обчислимо похідну функції :

.

Згідно теоремі Ролля в точці похідна , Тобто і

,

що потрібно було довести.

Геометричний сенс теореми Лагранжа наступний: всередині відрізка існує, принаймні, одна точка, в якій дотична паралельна хорді, стягивающей криву на даному відрізку. Зокрема, при теорема переходить в теорему Ролля.

Теорему Лагранжа часто записують у наступному вигляді:

,

тобто приріст функції одно приросту аргументу, помноженому на похідну функції в деякій внутрішній точці. У зв'язку з цим теорему Лагранжа називають також теоремою про кінцеві прирости.

3. Теорема Коші

Розглянемо, нарешті, третю теорему про середню, що належить Коші (1789-1859), яка є узагальненням теореми Лагранжа.

Теорема. Якщо функції і безупинні на відрізку і діфференцируєми у всіх його внутрішніх точках, причому не звертається в нуль в жодній із зазначених точок, то існує, принаймні, одна точка , В якій .

Доказ. Так як у всіх точках , То звідси випливає, що . В іншому випадку, як випливає з теореми Ролля, існувала хоча б одна точка , В якій .

Складемо допоміжну функцію

.

Ця функція неперервна на відрізку і дифференцируема у всіх його внутрішніх точках. Крім того, обчислення її в точках і дає: . Значить, функція задовольняє вимогам теореми Ролля, тобто існує хоча б одна точка , В якій .

Обчислимо похідну :

.

З умови випливає, що

і ,

що потрібно було довести.

У випадку, коли , Теорема Коші переходить у формулювання теореми Лагранжа.

4. Правило Лопіталя

На підставі теореми Коші про середню можна отримати зручний метод обчислення деяких меж, званий правилом Лопіталя (1661-1704).

Теорема. Нехай функції і безупинні і діфференцируєми у всіх точках полуінтервала і при спільно прагнуть до нуля або нескінченності. Тоді, якщо відношення їх похідних має межу при , То цей же межа має відношення і самих функцій, тобто .

Проведемо доказ даної теореми тільки для випадку, коли . Так як межі у обох функцій однакові, то доопределить їх на відрізку , Поклавши, що при виконується рівність .

Візьмемо точку . Так як функції і задовольняють теоремі Коші (п. 2.14), застосуємо її на відрізку :

, Де .

Так як , То

.

Перейдемо в даному рівність до межі:

.

Але якщо , То і , Що знаходиться між точками і , Буде прагне до , Значить

.

Звідси, якщо , То і , Тобто

,

що потрібно було довести.

Якщо при , То знову виходить невизначеність виду і правило Лопіталя можна застосовувати знову, тобто

Доказ правила Лопіталя для випадку проводиться складніше, і ми його розглядати не будемо.

При розкритті невизначеностей типу , , , , правило Лопіталя застосовувати безпосередньо не можна. Спочатку всі ці невизначеності необхідно перетворити до виду або .

Правило Лопіталя може бути використано при порівнянні зростання функцій, у разі коли . Найбільший практичний інтерес тут представляють функції , , . Для цього знайдемо межі їх відносин:

1) , Значить, зростає швидше, ніж ;

2) , Значить, зростає швидше, ніж ;

3) , Значить, зростає швидше, ніж .

Звідси випливає, що швидше за все зростає , Потім і, нарешті, .

Література

  1. Гмурман В.Є. Теорія ймовірностей і математична статистика. М., «Вища школа» вид. 5, 1977.

  2. Зайцев І.А. Вища математика. ДРОФА, 2005. - 400 с.

  3. Краснов М. Вся вища математика т. 1 вид. 2. Едіторіал УРСС, 2003. - 328 с.

  4. Краснов М.Л., Макаренко Г.І., Кисельов А.І., Шикін Є.В. Вся вища математика Інтегральне числення. Диференціальне числення функцій кількох змінних. Диференціальна геометрія Том 2.: Підручник - 3-е изд. ЛКИ, 2007.

  5. Мироненко О.С. Вища математика. М: Вища школа, 2002. - 109 с.

Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Реферат
52.9кб. | скачати


Схожі роботи:
Теореми Ролля Лагранжа Коші Правило Лопіталя Формула Тейлора для функції однієї та двох змін
Загальне доказ гіпотези Біля великої теореми Ферма і теореми Піфагора
Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя
Інтерполювання функцій за формулою Лагранжа
Інтерполювання функцій за формулою Лагранжа
Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами Задача Коші
ЛІнійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами Задача Коші
Правило Аллена
Правило Ленца
© Усі права захищені
написати до нас