Реферат
на тему:
"Теореми Ролля, Коші, Лагранжа. Правило Лопіталя"
1. Теорема Ролля
Знання похідної деякої функції дозволяє судити про характерні особливості в поведінці цієї функції. В основі всіх таких досліджень лежать деякі прості теореми, звані теоремами про середню в диференціальному численні.
Почнемо розгляд таких теорем з теореми, яку пов'язують з ім'ям французького математика Ролля (1652-1719).
Теорема 1.1. Якщо функція неперервна на відрізку , Дифференцируема у всіх його внутрішніх точках, а на кінцях відрізка , звертається в нуль, то існує, принаймні, одна точка , В якій .
Доказ. Так як функція неперервна на відрізку , То, відповідно до властивості 11.1.1, вона повинна досягати хоча б один раз на цьому відрізку свого мінімуму і максимуму (Рис. 1.1).
Якщо , Функція постійна, тобто . Але в цьому випадку для будь-якого .
У загальному випадку , І хоча б одне з цих чисел не дорівнює нулю. Припустимо для визначеності, що . Тоді існує точка , В якій .
Рис. 1.1
Так як дане значення є максимальним, то для нього справедливо, що для і .
Розглянемо межі
для
і
для .
Оскільки обидва межі рівні похідної функції в одній і тій же точці , То вони рівні між собою. Значить, з одночасності і випливає, що , Що й потрібно було довести.
Слід зазначити, що дана теорема справедлива і в тому випадку, коли на кінцях відрізка функція не звертається в нуль, але приймає рівні значення . Доказ проводиться аналогічно.
Геометричний зміст даної теореми наступний: якщо безперервна крива перетинає вісь в двох точках , або бере в них рівні значення, то, принаймні, в одній точці між і дотична до кривої паралельна осі .
Необхідно відзначити, що якщо не у всіх точках у розглянутої функції існує похідна, то теорема може не виконуватися. Це стосується, наприклад, функції (Рис. 1.2):
Рис. 1.2
Ця функція неперервна на відрізку і звертається в нуль на його кінцях, але в жодній точці всередині відрізка похідна не дорівнює нулю.
2. Теорема Лагранжа
Результати теореми Ролля використовуються при розгляді наступної теореми про середню, що належить Лагранжу (1736-1813).
Теорема. Якщо функція неперервна на відрізку і дифференцируема у всіх його внутрішніх точках, то існує, принаймні, одна точка , В якій .
Доказ. Розглянемо графік функції (Рис. 2.1).
Проведемо хорду, що сполучає точки і , І запишемо її рівняння. Скориставшись рівнянням прямої, що проходить через дві точки на площині, одержимо:
,
звідки:
Рис. 2.1
і .
Складемо тепер допоміжну функцію, вирахувавши з рівняння кривої рівняння хорди:
.
Отримана функція неперервна на відрізку і дифференцируема у всіх його внутрішніх точках. Крім того, обчислення в точках і показує, що . Значить, функція на відрізку задовольняє вимогам теореми Ролля. Але в цьому випадку існує така точка , В якій .
Обчислимо похідну функції :
.
Згідно теоремі Ролля в точці похідна , Тобто і
,
що потрібно було довести.
Геометричний сенс теореми Лагранжа наступний: всередині відрізка існує, принаймні, одна точка, в якій дотична паралельна хорді, стягивающей криву на даному відрізку. Зокрема, при теорема переходить в теорему Ролля.
Теорему Лагранжа часто записують у наступному вигляді:
,
тобто приріст функції одно приросту аргументу, помноженому на похідну функції в деякій внутрішній точці. У зв'язку з цим теорему Лагранжа називають також теоремою про кінцеві прирости.
3. Теорема Коші
Розглянемо, нарешті, третю теорему про середню, що належить Коші (1789-1859), яка є узагальненням теореми Лагранжа.
Теорема. Якщо функції і безупинні на відрізку і діфференцируєми у всіх його внутрішніх точках, причому не звертається в нуль в жодній із зазначених точок, то існує, принаймні, одна точка , В якій .
Доказ. Так як у всіх точках , То звідси випливає, що . В іншому випадку, як випливає з теореми Ролля, існувала хоча б одна точка , В якій .
Складемо допоміжну функцію
.
Ця функція неперервна на відрізку і дифференцируема у всіх його внутрішніх точках. Крім того, обчислення її в точках і дає: . Значить, функція задовольняє вимогам теореми Ролля, тобто існує хоча б одна точка , В якій .
Обчислимо похідну :
.
З умови випливає, що
і ,
що потрібно було довести.
У випадку, коли , Теорема Коші переходить у формулювання теореми Лагранжа.
4. Правило Лопіталя
На підставі теореми Коші про середню можна отримати зручний метод обчислення деяких меж, званий правилом Лопіталя (1661-1704).
Теорема. Нехай функції і безупинні і діфференцируєми у всіх точках полуінтервала і при спільно прагнуть до нуля або нескінченності. Тоді, якщо відношення їх похідних має межу при , То цей же межа має відношення і самих функцій, тобто .
Проведемо доказ даної теореми тільки для випадку, коли . Так як межі у обох функцій однакові, то доопределить їх на відрізку , Поклавши, що при виконується рівність .
Візьмемо точку . Так як функції і задовольняють теоремі Коші (п. 2.14), застосуємо її на відрізку :
, Де .
Так як , То
.
Перейдемо в даному рівність до межі:
.
Але якщо , То і , Що знаходиться між точками і , Буде прагне до , Значить
.
Звідси, якщо , То і , Тобто
,
що потрібно було довести.
Якщо при , То знову виходить невизначеність виду і правило Лопіталя можна застосовувати знову, тобто
Доказ правила Лопіталя для випадку проводиться складніше, і ми його розглядати не будемо.
При розкритті невизначеностей типу , , , , правило Лопіталя застосовувати безпосередньо не можна. Спочатку всі ці невизначеності необхідно перетворити до виду або .
Правило Лопіталя може бути використано при порівнянні зростання функцій, у разі коли . Найбільший практичний інтерес тут представляють функції , , . Для цього знайдемо межі їх відносин:
1) , Значить, зростає швидше, ніж ;
2) , Значить, зростає швидше, ніж ;
3) , Значить, зростає швидше, ніж .
Звідси випливає, що швидше за все зростає , Потім і, нарешті, .
Література
Гмурман В.Є. Теорія ймовірностей і математична статистика. М., «Вища школа» вид. 5, 1977.
Зайцев І.А. Вища математика. ДРОФА, 2005. - 400 с.
Краснов М. Вся вища математика т. 1 вид. 2. Едіторіал УРСС, 2003. - 328 с.
Краснов М.Л., Макаренко Г.І., Кисельов А.І., Шикін Є.В. Вся вища математика Інтегральне числення. Диференціальне числення функцій кількох змінних. Диференціальна геометрія Том 2.: Підручник - 3-е изд. ЛКИ, 2007.
Мироненко О.С. Вища математика. М: Вища школа, 2002. - 109 с.