Зміст
Введення
Біографія А. Гурвіца
Допоміжні визначення
Теорема Ферма
Питання Гурвіца
Теорема Гурвіца
Додаток теореми Гурвіца
Висновок
Список використаної літератури
Введення
Предметом дослідження даної курсової роботи є різні системи «чисел», які можна побудувати, виходячи з дійсних чисел, шляхом додавання низки «уявних одиниць». Класичний приклад такої системи - це система комплексних чисел.
Одне з найважливіших властивостей комплексних чисел виражається тотожністю . Якщо позначити
,
, То дане тотожність перепишеться у вигляді
. прочитане справа наліво це тотожність звучить так: «Твір суми двох квадратів на суму двох квадратів є знову сума двох квадратів».
Чи існують подібні тотожності з більшим, ніж 2, числом квадратів? Як описати такі тотожності?
Мета моєї курсової роботи відповісти на ці питання. Питання зовсім не прості; протягом багатьох років займали уми математиків. Вичерпну відповідь було отримано в XIX столітті німецьким математиком А. Гурвіцем. Він сформулював цікаву теорему, доказ якої буде проведено пізніше.
1. Біографія А. Гурвіца
Адольф Гурвіц (26 березня 1859, Хільдесхайм - 18 листопада 1919, Цюріх) - німецький математик. Народився в сім'ї з єврейським корінням. Його батько, Соломон Гурвіц, працював в машинобудівній галузі; мати Ельза померла, коли Адольфу було всього три роки.
У гімназії, куди він вступив в 1868 році, йому викладав математику Герман Шуберт. Помітивши і оцінивши талант в юному Адольфа, Шуберт переконав його батька допомогти синові з отриманням подальшої освіти в університеті.
Гурвіц вступив до університету Мюнхена в 1877 році. Протягом першого року навчання він відвідував лекції Фелікса Клейна. Адольф Гурвіц володів винятковим математичним талантом. Ось що написав професор Ф. Клейн батькові Адольфа про майбутнє його сина напередодні захисту Гурвіцем дисертації: «Перш за все, я хочу підкреслити, що з тих пір, як я тут працюю, я не зустрічав юнака, який міг би зрівнятися за специфічним математичного таланту з Вашим сином. Йому, без сумніву, уготована блискуча наукова кар'єра, впевненість в якій підкріплюється тим фактом, що його дар щасливо поєднується з чудовими людськими рисами. Єдиною небезпекою залишається його здоров'я. Ймовірно, Ваш син уже давно ослаб через надмірне напруження в його заняттях. Дозвольте мені запевнити Вас, що ніхто не буде такий щасливий, як я, якщо здоров'я Вашого сина повністю відновиться. Мені необхідна його безкомпромісна підтримка в моїх останніх дослідженнях ». [2]
Через рік Гурвіц переїжджає до Берліна, де в місцевому університеті відвідує лекції Куммера, Кронекера, Вейєрштрасса. Закінчує навчання в Лейпцігу (1880).
Викладацьку кар'єру розпочав у Кенігсберзькому університеті, де в 1884 році став професором. У цьому ж році одружився на Іде Самуель, у них було троє дітей.
З 1892 року А. Гурвіц - професор Політехнічної школи в Цюріху. Серед його студентів в Цюріху були Давид Гільберт і Альберт Ейнштейн.
Його основні праці - з математичного аналізу, теорії функцій, алгебри та теорії чисел. У теорії функцій комплексного змінного відомі теореми Гурвіца. Широке застосування знайшов його критерій заперечності дійсних частин коренів алгебраїчних рівнянь (критерій Гурвіца). Зробив також значний внесок в геометрію. Гурвіц написав класичну двотомну монографію з теорії аналітичних та еліптичних функцій. Одним з перших він глибоко досліджував ріманови різноманіття та їх застосування до теорії алгебраїчних кривих. Вирішив изопериметрической проблему.
У 1898 році Гурвіц поставив таке завдання: описати всі трійки натуральних чисел (r, s, n), для яких можлива формула виду:
У цій формулі всі - Білінійні комбінації змінних
і
. Приклади формул такого виду можна отримати, виходячи з правила множення комплексних чисел, кватерніонів або октав. Завдання Гурвіца відкрита до сих пір, хоча багато видатних математики намагалися її вирішити, і створений ними топологічний апарат (характеристичні класи, речова К-теорія) виявився корисним у багатьох інших областях математики. Сам Гурвіц і, незалежно, Радон, повністю описали випадок s = n = r.
2. Допоміжні визначення
Комплексні числа-числа виду х + iy, де х і у - дійсні числа, а i - так звана уявна одиниця (число, квадрат якого дорівнює -1); х називають дійсною частиною, а у - уявної частиною.
Розмірність простору: векторний простір над полем F називається
-Мірним, якщо в ньому існують
лінійно незалежних векторів, а будь-які
векторів вже є лінійно залежними. При цьому число
називається розмірністю простору
. Розмірність простору
зазвичай позначають символом
.
n-мірний Евклідова простір над полем F: Речовий векторний простір називається речовим евклідовому простором (або просто евклідовому простором), якщо виконані наступні дві вимоги:
Є правило, за допомогою якого будь-яким двом елементам цього простору і
ставиться у відповідність дійсне число, зване скалярним добутком цих елементів (і що позначається символом
).
Зазначене правило підпорядковане наступних чотирьох аксіомам:
(Комутативність або симетрія);
(Дистрибутивність скалярного твори щодо додавання);
;
, Якщо
;
, Якщо
.
Підпростір-таке підмножина простору L, яка сама є простором.
Ортонормованій базис: Кажуть, що елементів
-Мірного евклідового простору
утворюють ортонормованій базис цього простору, якщо ці елементи попарно ортогональні і норма кожного з них дорівнює одиниці, тобто якщо
Білінійної відображення: Нехай L-лінійний простір над полем Р. Тоді відображення називається білінійних, якщо
,
Сюр'ектівное відображення-відображення , Яке кожному елементу з
зіставляє, принаймні, один прообраз, тобто
.
Ядро: Нехай - Гомоморфізм кільця R в кільце S. Безліч
, Де 0'-нуль в S,-ядро.
Оборотна матриця-матриця, для якої існує зворотна матриця.
Невироджених матриця - квадратна матриця, визначник якої відмінний від нуля.
Симетрична матриця - матриця є симетричною, якщо вона збігається зі своєю транспонованої матрицею (тобто A = A '). Іншими словами, нижній трикутник квадратної матриці є "дзеркальним відображенням" верхнього трикутника.
Характеристика поля - хай P-поле. Якщо існує таке ціле позитивне n, що для кожного виконується рівність n · r = 0, то найменше з таких чисел n називається характеристикою поля P. Позначення - char P.
Кососімметрічная матриця-квадратна матриця А над полем P характеристики така, що
, Де
- Транспонована матриця.
Лінійна незалежність системи векторів: Система векторів називається лінійно незалежною, якщо існує тільки тривіальна лінійна комбінація даних векторів дорівнює нульовому вектору.
3. Теорема Ферма
Які цілі числа можна представити у вигляді суми квадратів двох цілих чисел? Це один з найстаріших питань теорії чисел, висхідний, принаймні, до Діофанта. Повна відповідь на дане питання дав П'єр де Ферма (французький математик, 17 серпня 1601 - 12 січня 1665). Напишемо перші кілька цілих чисел, представимо у вигляді суми квадратів
0, 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13; 16, 17, 18, 20, 25, 26; 29; 32; 34; 36; 37; 40; 41; 45;
49; 50; 52; 53; 58; 61; 64; 65; 68; 72; 73; 74; 80; 81; 82; 85; 89; 90; 97; 98; 100
Можна зробити декілька експериментальних висновків. По-перше, не кожне число представимо у вигляді суми двох квадратів. Наприклад, 3, 6, 11, 12 не представляються в такому вигляді. Більше того, можна помітити, що жодне число виду 4к +3 не представляються у вигляді суми двох квадратів (при цілому к). По-друге, якщо кожне з двох чисел є сумою квадратів, то таке і їх твір. Можна зробити й інші висновки.
Зупинимося більш детально на другому укладенні та спробуємо обгрунтувати його. Справедлива формула
(1)
Дійсно,
і
З цієї формули, зокрема, випливає, що якщо кожне з чисел a і b можна представити як суму квадратів двох цілих чисел, то їх твір теж представимо в такому вигляді. Формула (1) є простим наслідком коммутативна, асоціативного і дистрибутивного законів.
Формула (1) важлива для теорії чисел. У наступних розділах ми обговоримо її теоретико-числові програми, а також і інші аналогічні формули, важливі для теорії чисел.
Теорема 1 (Ферма): Для того щоб непарне просте число було представимо у вигляді суми двох квадратів, необхідно і достатньо, щоб воно при розподілі на 4 давало в залишку 1.
Доказ: Доказ належить Жозе фу Луї Лагра нжу (25 січня 1736, Турін - 10 квітня 1813, Париж, французький математик).
Воно спирається на наступну лему Вільсона: якщо p - просте число, то число (p-1)! +1 Ділиться на p.
Щоб не відволікатися на доказ цього допоміжного факту, продемонструємо лише основну ідею цього докази на прикладі простого числа 13. Для будь-якого числа x: 2 x
11, знайдеться таке число y: 2
y
11, що x * y при діленні на 13 дає в залишку 1. Дійсно, (13-1)! = 12! = (2 * 7) (3 * 9) (4 * 10) (5 * 8) (6 * 11) * 12, і при цьому всі твори в дужках при діленні на 13 дають в залишку 1, а значить, 12! при розподілі на 13 дасть у залишку 12, звідки (для обраного нами числа 13) слід твердження леми Вільсона. Узагальнення, наведеної вище ідеї, призводить до доведення леми Вільсона і в загальному випадку.
З леми Вільсона витягнемо таке слідство: якщо p = 4n +1, де n - натуральне число, то ((2n)!) +1 ділиться на p. Дійсно, з леми Вільсона випливає, що (4n)! +1 Ділиться на p, і тепер необхідне твердження випливає з наступної викладки:
(4n)! +1 = (2n)! (2n +1 )*...*( 4n) +1 = (2n)! (P-2n) (p-(2n-1 ))*...* (p-1) +1 = (2n)! *
* (-1) 2n (2n)! + Pk +1 ((2n)!)
+1 (Mod p).
Позначимо (2n)! через N. Ми довели, що N 2 -1 (Mod p).
Тепер розглянемо всі пари цілих чисел (m, s), такі що 0 m
[
], 0
s
[
], Через [
] Позначена ціла частина числа - найбільше ціле число, не перевершує
. Число таких пар ([
] +1)> P 2. Значить, по крайней мере, для двох різних пар (
) і (
) Залишки від ділення
,
на p однакові, тобто число a + Nb, де a = m
-M 2, b = s
-S 2, буде ділитися на p. При цьому | a |
[
], | B |
[
]. Але тоді число a
-N
b
= (A + Nb) (a-Nb) ділиться на p, і виходить, враховуючи, що N 2
(Mod p), отримаємо, що a
+ B 2 ділиться на p, тобто a
+ B
= Rp де r - натуральне число (r
0, інакше пари були б однакові). З іншого боку, a
+ B 2
[
]
<2p, тобто r = 1, і значить, a
+ B
= P. Теорема доведена.
Приклад 1:
,
,
,
,
Питання про представлення чисел у вигляді суми двох квадратів вичерпується наступним твердженням: Для того щоб ціле раціональне число було представимо у вигляді суми двох квадратів, необхідно і достатньо, щоб прості числа виду 4 n +3 входили у розкладання цього числа на прості співмножники в парних ступенях . [3]
4. Питання Гурвіца
Повернемося до формул із сумами квадратів. Тепер нас цікавить така алгебраїчна завдання: які формули із сумами квадратів можна написати для випадку багатьох змінних? Сформулюємо цю задачу більш точно. Розглянемо формулу виду
(2),
в якій всі - Білінійні комбінації змінних
і
. Білінійні комбінації-вирази виду
і т.д., а також суми таких виразів, узятих з довільними дійсними коефіцієнтами. Формулу (2) будемо називати формулою типу (r, s, n).
Існує формула типу (4, 4, 4). Це пов'язано зі знаменитою алгеброю кватерніонів, побудованої Вільямом Роуеном Гамільтоном (1806-1865, ірландський математик).
, Де
,
,
,
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
0 -1 0 0,
= 1 0 0 0,
0 0 0 -1,
0 0 1 0
0 0 -1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 -1 0 0
0 0 0 -1 0 0 -1 0 0 1 0 0 1 0 0 0
Комплексні числа зручно ототожнювати з точками площини, оскільки вони мають дві координати - речову частину і уявну. За аналогією з комплексними числами, Гамільтон довго намагався побудувати «тривимірні числа», тобто наділити точки тривимірного простору природними операціями додавання і множення, що задовольняють деяким природним властивостям. Однак, йому це не вдалося. Більше того, в деякому природному сенсі, таких «хороших» операцій не існує. Все ж пошуки були не даремні. В результаті своїх пошуків Гамільтон наткнувся на чудову і природну конструкцію «чотиривимірних» чисел - кватерніонів.
Кватерніонів називається вираз виду
,
в якому i, j, k - формальні символи, які не є дійсними числами. Ці символи задовольняють наступним співвідношенням:
,
,
Перша серія співвідношень полягає в тому, що кожне з чисел i, j, k є уявною одиницею. Друга серія співвідношень містить 2 речі. Перша - уявні одиниці i, j, k антікоммутіруют. Крім цього, друга серія співвідношень висловлює твір будь-яких двох уявних одиниць з трьох зазначених через ці ж самі уявні одиниці. Як складати і множити довільні кватерніони? Для цього потрібно скористатися правилами множення уявних одиниць i, j, k, а також всіма звичайними законами складання і звичайним законом дистрибутивності. Наприклад,
Теорема 2: Множення кватернионов асоціативно, тобто для будь-яких трьох кватернионов виконано рівність
Кватерніони називається зв'язаним до
.
Так само, як і для комплексних чисел,
називається модулем q (або нормою q).
Теорема 3: Для будь-якої пари кватернионов виконано співвідношення
Доказ:
Цю формулу можна інтерпретувати як формулу типу (4, 4, 4) для твору сум квадратів.
Формула типу (8, 8, 8) була знайдена в 1845 році англійським математиком А. Келі.
А. Гурвіц в 1898 році поставив наступне питання, яке до цих пір є відкритим: Для яких цілих чисел r, n, s існує формула типу (r, s, n) для твору сум квадратів?
Це питання має кілька варіантів. У формулі типу (r, s, n) сума квадратів r змінних, помножена на суму квадратів s змінних, представляється у вигляді суми квадратів n білінійних форм від цих двох груп змінних. Проте коефіцієнти в цих білінійних формах можуть бути цілими, речовими, комплексними і т.п. У жодній з цих ситуацій, на питання Гурвіца не знайдено повної відповіді. Здається, що відповідь повинна залежати від вибору коефіцієнтів. Для всіх відомих прикладів формул з комплексними коефіцієнтами, існують формули того ж типу з речовими і навіть цілими коефіцієнтами.
5. Теорема Гурвіца
Розглянемо n-мірний Евклідова простір . Якщо
, То його довжиною називають число
. Природно поставити
Питання 1. Для яких n існує білінійної відображення таке, що
для будь-яких
?
Зауважимо, що, якщо виконано цю умову , То
-Алгебра без дільників нуля (тому
і або а = 0, або b = 0). Більше того, якщо
, То для будь-якого і вирішується рівняння
і
. Т.к. відображення
і
мають нульові ядра і отже є сюр'ектівнимі (тобто
є тілом, взагалі кажучи неассоціатівное і некомутативними). Якщо
ортонормованій базис
, То
і якщо
, То
, Де
і умова
еквівалентно наступного питання.
Питання 2: Для яких n існує тотожність , Де
-Будь-які дійсні числа,
і матриці
є постійними, тобто не залежать від
?
У 1989 році Гурвіц довів, що представляти твір цілих чисел у вигляді сум квадратів цілих чисел можна тільки для множників, що складаються із сум двох, чотирьох і восьми квадратів.
Теорема 4: Питання 1-2 мають рішення тільки при n = 1,2,4,8.
Доказ: Будемо вважати, що . Покладемо
,
. Тоді рівність
=
, Де
переписується у вигляді
=
.
Фіксуємо і розглянемо ліву і праву частини многочлена від
. Тоді
,
,
Якщо , То попередні рівності рівносильні
. Перепишемо
, Де
(Тобто
не залежить від
). Тоді з рівності
слід еквівалентну рівність
, Порівнюючи коефіцієнти при
, Останнє тягне за собою
, I = 1,2, .., n і, отже,
. Покладемо
. Тоді попереднє рівність можна переписати у вигляді:
,
* .
Порівнюючи коефіцієнти при , Отримаємо, що
,
,
. Отримаємо
,
або
,
,
. Покажемо, що існування таких матриць
тягне за собою, що n = 2,4,8.
-Кососімметрічная і невироджених. Значить n-парне число. Зокрема
Породимо цими матрицями подалгебру
Матриця виду , Де
є системою K. Їх число дорівнює
. Покажемо, що, щонайменше,
з них лінійно незалежні. Для цього спочатку зауважимо, що
,
задовольняє
=
=
Зокрема М - симетрична тоді і тільки тоді, коли , Або
. Якщо існує співвідношення
, Де
-Ліворуч від
, То можна вважати, що всі
і всі власні підмножини
є лінійно незалежними. Тоді, множачи на
, Отримаємо співвідношення виду:
. При цьому всі
є симетричними (зважаючи лінійної незалежності
).
Нехай залучає найменше число чинників r. Тоді
.
Якщо і
, То виберемо
і помножимо ліву і праві частини на
. Отримаємо, що
. Т.к.
-Кососімметрічная, а
-Симетрична, то отримали протиріччя.
Якщо , То помножимо обидві частини на
. Отримаємо, що
, Де
(Їх кількість 4 e -1) - симетрична матриця, а ліворуч кососімметрічная матриця. Протиріччя. Отже,
і
, І як показують міркування вище, або
, Або
. Якщо
, То, множачи на
, Отримаємо, що
(Їх число n -2 = 4 e -1) - симетрична. Протиріччя. отже
. Зокрема, якщо
і
, То отримуємо протиріччя, тобто
. Нехай
. Доведемо, що
- Лінійно незалежні. Їх число дорівнює
. Дійсно, якщо між ними є лінійно залежні, то отримаємо, що
, Де довжина
,
Довжина
Тобто ми не отримали . Протиріччя.
Отже, і
. Це можливо при
. Якщо n <10, то при n = 2,4,8 теорема вірна. Далі n-парне число. Залишилося зрозуміти, що при n = 6 кососімметрічние матриці з
лінійно незалежні.
в
.
З іншого боку, серед , Де
(Їх число дорівнює 32) кількість кососімметрічних одно
. Т.к.
, То всі ці матриці
лінійно незалежні. Зокрема і ці лінійно незалежні
. З іншого боку їх число менше 15. Протиріччя. (Можна послатися що
, 6-не підходить).
Таким чином, теорема Гурвіца доведена. [1]
Приклад 2:
Можна відповісти на питання Гурвіца у разі s = n. Це зробив сам Гурвіц в кінці життя, через 20 років після того, як поставив своє запитання. Відповідь, виявляється, пов'язаний з уявленнями алгебр Кліффорда. Відповідь звучить так: формула типу (r, n, n) існує тоді і тільки тоді, коли число r не перевершує числа p, що залежить від n наступним чином. Нехай -Найбільша ступінь двійки, на яку ділиться число n. Розділимо
на 4 з залишком. Позначимо через a неповне приватне, а через b залишок. Тоді
= 4a + b,
. Число p одно
[5]
6. Додаток теореми Гурвіца
У 1878 р. Німецький математик Г. Фробеніус довів наступну чудову теорему.
Теорема Фробеніуса. Будь асоціативна алгебра з діленням ізоморфна одній з трьох: алгебрі дійсних чисел, алгебрі комплексних чисел або алгебрі кватерніонів.
Згодом було встановлено більш загальний результат, який можна назвати узагальненої теоремою Фробеніуса.
Узагальнена теорема Фробеніуса. Будь-яка альтернативна алгебра з діленням ізоморфна одній з чотирьох алгебр: алгебрі дійсних чисел, алгебрі комплексних чисел, алгебрі кватерніонів або алгебрі октав.
Альтернативною алгеброю називається алгебра, в якій для будь-яких двох елементів a, b справедливі рівності ,
.
Щоб довести ці теореми, перерахуємо спочатку деякі властивості асоціативної алгебри з поділом.
Твердження 1. Алгебра А містить 1.
Твердження 2. Якщо елемент не пропорційний 1, то сукупність
елементів виду
утворює подалгебру, изоморфную алгебрі комплексних чисел.
Твердження 3. Якщо елементи не належать одній подалгебре
, То сукупність
елементів виду
утворює подалгебру, изоморфную алгебрі кватерніонів.
Доказ теореми Фробеніуса.
Дамо спочатку інше визначення альтернативної алгебри.
Нехай a, b-два довільних елемента алгебра А. Розглянемо всілякі твори, складені з них. Якщо кожне таке твір не залежить від способу розстановки дужок, алгебра А називається альтернативною.
При доведенні теореми будемо використовувати друге визначення альтернативності, тобто доведемо наступну теорему: Якщо алгебра А з поділом така, що будь-який твір, складене з двох довільних елементів a, b, не залежить від розстановки дужок, то алгебра А ізоморфна одній з чотирьох алгебр: алгебрі дійсних чисел, алгебрі комплексних чисел, алгебрі кватерніонів або алгебри октав.
Доказ затвердження 1. Знайшовши елемент е з рівняння xa = a і помноживши обидві частини рівності ea = a лівого е, отримаємо e (ea) = ea або, враховуючи її альтернативність, (ee) a = ea. Звідси випливає, що її = е. Знову-таки в силу альтернативності маємо (be) e = b (ee) і e (ec) = (ee) c, тобто (Be) e = be і e (ec) = ec. Звідси випливає be = b і ec = c. Значить е - одиниця алгебри.
Інші твердження приймемо без доведення.
Спробуємо довести, що алгебра А є нормованої. Звідси по теоремі Гурвіца буде слідувати потрібний нам результат.
Введемо в алгебрі А операцію сполучення наступним чином. Якщо елемент а пропорційний 1, то . Якщо ж а не пропорційний 1, то, відповідно до твердження 2, він міститься в комплексній подалгебре
. У цій подалгебре для елемента а є зв'язаний елемент
, Який ми і приймемо за елемент, пов'язаний к а в алгебрі А.
З визначення безпосередньо випливає
, А також
, Де
- Будь-яке.
Для виводу інших властивостей сполучення нам необхідно з'ясувати одне питання. Нехай елемент а не пропорційний 1. Розглянемо будь-яку кватерніонів подалгебру , Що містить а. У цій подалгебре для а теж є зв'язаний елемент
. Чи буде він збігатися з певним вище елементом
? Покажемо, що буде.
Елементи а і , Як сполучені в комплексній алгебрі, задовольняють умовам
і
, Де t, p - дійсні числа.
Елементи а і як сполучені в алгебрі кватерніонів задовольняють аналогічним умовам:
і
, Де k, l - дійсні числа.
Віднімемо з останніх рівностей попередні, отримаємо: і
і якщо
, То з цих співвідношень випливає, що елемент а пропорційний 1, що суперечить припущенню.
Т.ч., елемент, пов'язаний а, один і той же, незалежно від того, розглядаємо ми а як елемент комплексної подалгебри (Тобто як комплексне число) або ж як елемент будь-якої подалгебри
(Тобто як кватерніони).
Зауважимо принагідно, що те ж саме відноситься і до модулю елемента а. Оскільки як у випадку комплексних чисел, так і у випадку кватерніонів, то модуль елемента а не залежить від ого, розглядаємо ми а як елемент комплексної або ж кватерніонів подалгебри.
З того, що доведено нами щодо сполучення, легко випливає, що для будь-яких двох елементів a і b алгебри А справедливі рівності
,
Дійсно, якщо a і b належать одній комплексної подалгебре (тобто збігається з
), То написані рівності суть властивості сполучення в цій подалгебре, якщо ж b не міститься в
, То ці рівності знову справедливі - вже як властивості сполучення в
.
З і з
випливає, що елемент, пов'язаний
дорівнює
; Отже,
, N - дійсне число.
Визначимо в алгебрі А скалярний твір (a, b) за допомогою формули . Що вираз (a, b) має всі властивості скалярного твори, перевіряється просто. Нагадаємо ці властивості:
, Якщо
і (0,0) = 0
В даному випадку властивість 2 очевидно, 2-е властивість випливає з , 3-є з
. Для доказу 1-го властивості слід написати
і врахувати, що модуль комплексного числа а строго позитивний, якщо , І дорівнює нулю, якщо а = 0.
Зауважимо, що з останнього рівності слід , Тобто норма елементу а в алгебрі А збігається з модулем а як комплексного числа (або кватерніони).
Т.к. будь-які 2 елементи a і b алгебри А належать одній комплексної або однієї кватерніонів подалгебре, то (Адже алгебра комплексних чисел, так само як і алгебра кватерніонів, є нормованої), або (ab, ab) = (a, a) (b, b). Але це рівність якраз і означає нормированность алгебри А. Далі вступає теорема Гурвіца, згідно з якою алгебра А ізоморфна одній з чотирьох алгебр: дійсних чисел, кватерніонів, октав. У цьому якраз і полягає узагальнена теорема Фробеніуса. [7]
Наведемо ще одне застосування теореми Гурвіца (або тотожності Гамільтона).
Теорема Лагранжа.
.
Лемма. Для будь-якого простого числа p> 2 знайдеться число , Таке що mp = a
+ B
+ C
, A, b, c
.
Доказ:
Розглянемо дві множини чисел:
K = {0, 1, 4, ..., }, L = {-1-0, -1-1, -1-4, ..., -1 -
}.
У кожному з множин числа попарно непорівнянні по модулю p. Справді, візьмемо з безлічі K (або, еквівалентно, -1 - k
-1 - K
з безлічі L), де
,
. Якщо k
k
(Mod p), то (k
+ K
) (K
-K
)
0 (mod p). . Але 0 <k
+ K
<P і 0 <| k
- K
| <P, оскільки k
<P / 2, k
<P / 2 і
. Протиріччя.
Усього в цих двох множинах p +1 чисел, отже, серед них знайдуться порівнянні за модулю p, тобто такі числа з першого числа й
з другого, що
. Звідки
для деякого
. Тепер, оскільки k <p / 2,
<P / 2, отримуємо mp =
<
<
, А значить, m <p. Лемма доведена.
Доказ теореми Лагранжа:
Доведемо, що будь-яке просте число представимо у вигляді суми чотирьох квадратів цілих чисел. Для p = 2 маємо . Для p> 2, за попередньою лемі, знайдеться таке m <p, що число mp можна представити у вигляді mp =
(N
можна покласти рівним 0). Виберемо тепер мінімальне натуральне m, що володіє такою властивістю. Покажемо, що воно дорівнює 1. Нехай m парне. Тоді або все n
мають однакову парність, або серед них є два парних і два непарних (нумерація цих чисел не важлива, тому нехай n
n
(Mod 2), а n
n
(Mod 2). В обох випадках числа
є цілими. Маємо:
=
,
значить, також представляється у вигляді суми чотирьох квадратів цілих чисел. Але
, А m, за припущенням, мінімальне число з такою властивістю. Протиріччя.
Нехай m непарній. Тоді числа n можна представити у вигляді n
= Q
m + m
(
). причому | m
| <
. Тоді
mp = = Sm +
,
де s - деяке ціле число.
Отже, = Mn, де n - невід'ємне ціле число. Якщо n = 0, то все m
= 0, n
= Q
m, і тоді mp =
= M
k, де k - натуральне, тобто p = mk, m <p, а це означає, що m = 1. Припустимо тепер, що n
1. По теоремі Гурвіца отримуємо
( ) (
) =
, Де
s =
,
s =
,
s =
,
s =
.
За визначенням, m n
(Mod m), тобто s
0 (mod m) і, значить,
. Аналогічно доводиться, що
при i = 2, 3, 4. Але тоді (в силу нерівностей | m
| <
) Отримуємо: nm =
, Тобто n <m, і в підсумку mp * nm =
, Звідки np =
, Що суперечить мінімальності m. Отже, всяке просте число можна представити у вигляді суми чотирьох квадратів цілих чисел. Тоді, по теоремі Гурвіца, і будь-складене число представимо в такому вигляді. Нарешті, 1 =
. Теорема доведена. [6]
Приклад 3.
Висновок
Ми розглянули різні системи «чисел», які можна побудувати, виходячи з дійсних чисел, шляхом додавання низки «уявних одиниць». Довели, що існують тотожності з більшим, ніж 2, числом квадратів і описали їх (теорема Гурвіца). Було з'ясовано, що
+
= +
+
Так само було знайдено додаток теореми Гурвіца.
Я добилася цілей, які перед собою поставила.
Список використовуваної літератури
Charles W. Curtis "Linear algebra" An Introductory Approach (Fourth Edition), Springer Verlag, 1984, xvii - 347 pp.
Rowe David E. "Jewish Mathematics" at Göttingen in the Era of Felix Klein. Isis, Vol. 77, No. 3, (Sep., 1986) - 432 pp
Калужин Л. А. "Основна теорема арифметики, Популярні лекції з математики" М.: Наука, 1969 р. - 32 стор
Кантор І.Л., Солодовников А.С. "Гіперкомплексні числа" М.: Наука, 1973. - 144 с.
Тіморін В.А. "Квадратична математика" - 2005
Тихомиров В. М. "Великі математики минулого і їхні великі теореми" М.: МЦНМО, 2003 .- 16 с.
Херстейн І. "некомутативних кільця" М.: Мир, 1972. - 192 c.