Контрольна робота
Дисципліна: Вища математика
Тема: Таблиця похідних. Диференціювання складних функцій
1. Таблиця похідних
Як відомо, більшість функцій можна представити у вигляді якоїсь комбінації елементарних функцій. Знаючи, як диференціюються елементарні функції, можна продиференціювати і їх різні комбінації. Тому розглянемо таблицю похідних елементарних функцій.
1. 
.
Знайдемо похідну, коли 
.
Задамо прирощення аргументу 
, Що дасть 
. Так як
, А 
, То
Звідси 
і 
,
тобто 
. Якщо 
, Результат той самий.
2. 
.
Задамо прирощення аргументу , Що дасть . Так як , А 
, То
.
Звідси 
і 
, Тобто 
.
3. 
.
Задамо прирощення аргументу , Що дасть . Так як , А 
, То
.
Звідси 
і 
, Тобто 
.
4. 
.
За визначенням 
. Будемо диференціювати 
як приватна:
, Тобто 
.
5. 
.
За визначенням 
. Будемо диференціювати 
як приватна:
, Тобто 
.
6. 
.
Задамо прирощення аргументу , Що дасть . Так як , А 
, То
.
Звідси 
і
,
тобто 
. Тут була використана формула для другого чудового краю.
7. 
.
Для обчислення похідної скористаємося попередньої формулою, в якій покладемо 
: 
. Значить, 
.
8. 
.
Задамо прирощення аргументу , Що дасть . Так як , А 
, То 
. Звідси
і 
, Тобто 
.
Тут була використана формула для одного з наслідків з другого чудового краю.
9. 
.
Для обчислення похідної скористаємося попередньої формулою, в якій покладемо : 
. Значить, 
.
Перш ніж перейти до обчислення похідних від зворотних тригонометричних функцій, розглянемо питання про диференціюванні зворотних функцій взагалі. Як було сказано в п. 8.2, для кожного взаємно однозначного відображення існує зворотне відображення, тобто якщо 
, То 
.
Теорема. Якщо для деякої функції існує зворотна їй , Яка в точці 
має похідну не рівну нулю, то в точці функція має похідну 
рівну 
, Тобто 
.
Доказ. Розглянемо відношення приросту функції до приросту аргументу: 
. Так як функція має похідну, то згідно теоремі 11.2.2 вона неперервна, тобто 
, Звідки 
. Значить, .
Скористаємося даної теоремою для обчислення похідних зворотних тригонометричних функцій.
10. 
.
В даному випадку зворотного функцією буде 
. Для неї 
. Звідси
,
тобто 
.
11. 
.
Так як
, То 
. 
.
В даному випадку зворотного функцією буде 
. Для неї
.
Звідси 
, Тобто 
.
13. 
.
Так як
, То 
.
2. Похідна складної функції
Нехай дана функція 
і при цьому 
. Тоді вихідну функцію можна представити у вигляді 
. Функції такого типу називаються складними. Наприклад, 
.
У вираженні аргумент 
називається проміжним аргументом. Встановимо правило диференціювання складних функцій, так як вони охоплюють практично всі види існуючих функцій.
Теорема. Нехай функція має похідну в точці 
, А функція має похідну у відповідній точці . Тоді складна функція в точці також буде мати похідну рівну похідної функції по проміжному аргументу помноженої на похідну проміжного аргументу по , Тобто 
.
Для доказу дамо прирощення аргументу , Тобто від перейдемо до 
. Це викличе збільшення проміжного аргументу , Який від перейде до 
. Але це, в свою чергу, призведе до зміни , Який від перейде до 
. Так як згідно з умовою теореми функції 
і 
мають похідні, то відповідно до теореми про зв'язок діфференцируємості і безперервності функції (теорема 11.2.2) вони безперервні. Значить, якщо 
, То і 
, Що, в свою чергу, викличе прагнення 
до нуля.
Складемо 
. Звідси,
і, отже, .
Якщо функція має не один, а два проміжних аргументу, тобто її можна представити у вигляді , Де 
, А 
, Або 
, То, відповідно, 
і так далі.
3. Диференціювання параметрично заданої функції
Вище були розглянуті похідні елементарних функцій і вказано правило диференціювання складних функцій, складених з елементарних. Але існують і інші способи завдання функцій, які також необхідно диференціювати. Одним з таких способів є параметричне завдання функції, з яким ми вже стикалися при вивченні рівняння прямої лінії.
При звичайному завданні функції рівняння пов'язувало між собою дві змінних: аргумент і функцію. Задаючи , Отримуємо значення , Тобто пару чисел, які є координатами точки 
. При зміні змінюється , Точка починає переміщатися і описувати деяку лінію. Однак при завданні лінії часто буває зручно змінні і пов'язувати не між собою, а виражати їх через третю змінну величину.
Нехай дано дві функції: 
де 
. Для кожного значення 
з даного проміжку буде своя пара чисел і , Якою буде відповідати точка . Пробігаючи всі значення, змушує змінюватися і , Тобто точка рухається і описує деяку криву. Зазначені рівняння називаються параметричним завданням функції, а змінна - Параметром.
Якщо функція 
взаємно однозначна і має зворотну собі, то можна знайти 
. Підставляючи в , Одержимо 
, Тобто звичайну функцію. Зазначена операція називається винятком параметра. Однак при параметричному завданні функції цю операцію не завжди робити зручно, а іноді й просто неможливо.
Так, в механіці прийнятий спосіб зображення траєкторії точки у вигляді зміни її проекцій по осях 
і 
в залежності від часу , Тобто у вигляді параметрично заданої функції 
Такий спосіб значно зручніше при вирішенні цілого ряду завдань. У тривимірному випадку сюди додається ще й рівняння 
.
Як приклад розглянемо декілька параметрично заданих кривих.
1. Коло.
Візьмемо точку на колі з радіусом 
. Висловлюючи і через гіпотенузу прямокутного трикутника, отримуємо:
Це і є рівняння кола в параметричній формі (рис. 3.1). Зводячи кожне рівняння в квадрат, звідси легко отримати звичайне рівняння кола 
.
Рис. 3.1
2. Еліпс.
Відомо, що рівняння еліпса - 
. Звідси 
. Візьмемо дві точки 
і 
на колі і еліпсі, що мають однакову абсциссу (Рис. 3.2). Тоді з рівняння кола випливає, що 
. Підставимо це вираження в : 
. Значить, рівняння еліпса в параметричній формі має вигляд
Рис. 3.2
3. Циклоїда.
Нехай по рівній горизонтальній поверхні котиться без ковзання коло з радіусом 
. Зафіксуємо точку O її зіткнення з поверхнею в початковий момент. Коли коло повернеться на кут t, точка O перейде в точку C (рис. 3.3). Знайдемо її координати:
Значить, параметричне рівняння циклоїди має вигляд:
Рис. 3.3
4. Астроіда.
Нехай всередині кола радіуса без ковзання котиться інша коло радіуса 
. Тоді точка меншою кола, яка в початковий момент часу була точкою зіткнення з більшою, в процесі руху опише астроіду (рис. 3.4), параметричне рівняння якої має вигляд:
Рис. 3.4
Розглянувши ряд прикладів, перейдемо тепер до питання про диференціюванні параметрично заданих функцій.
Нехай функція від задана параметрично: де 
. Нехай на цьому відрізку обидві функції мають похідні і при цьому 
. Знайдемо 
.
Складемо ставлення 
. Тоді
.
Отже, 
. Це і є правило диференціювання параметрично заданих функцій.
Література
Бугров Я.С., Нікольський С.М. ВИЩА МАТЕМАТИКА У 3-х томах Т. 1 Елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії 8-е изд. Вид-во: ДРОФА, 2006. - 284с.
Мироненко О.С. Вища математика. М: Вища школа, 2002. - 109с.
Нікольський С.М., Бугров Я.С. ВИЩА МАТЕМАТИКА У 3-Х ТОМАХ Т. 2 Диференціальне та інтегральне числення 8-е изд. Вид-во: ДРОФА, 2007. - 509с.
Черненко В.Д. Вища математика в прикладах і задачах. У трьох томах. ПОЛІТЕХНІКА, 2003.
