Структурна надійність систем

РОЗРАХУНКИ СТРУКТУРНОЇ НАДІЙНОСТІ СИСТЕМ

ВСТУП

Надійністю називають властивість об'єкта зберігати в часі у встановлених межах значення всіх параметрів, що характеризують здатність виконувати необхідні функції в заданих режимах і умовах застосування, технічного обслуговування, ремонтів, зберігання і транспортування. Розширення умов експлуатації, підвищення відповідальності виконуваних радіоелектронними засобами (РЕЗ) функцій, їх ускладнення приводить до підвищення вимог до надійності виробів.

Надійність є складним властивістю, і формується такими складовими, як безвідмовність, довговічність, відновлюваність та здатність до зберігання. Основним тут є властивість безвідмовності - здатність виробу безупинно зберігати працездатний стан протягом часу. Тому найбільш важливим у забезпеченні надійності РЕЗ є підвищення їх безвідмовності.

Особливістю проблеми надійності є її зв'язок з усіма етапами "життєвого циклу" РЕЗ від зародження ідеї створення до списання: час розрахунку та проектуванні виробу його надійність закладається в проект, при виготовленні надійність забезпечується, при експлуатації - реалізується. Тому проблема надійності - комплексна проблема і вирішувати її необхідно на всіх етапах і різними засобами. На етапі проектування виробу визначається його структура, проводиться вибір або розробка елементної бази, тому тут є найбільші можливості забезпечення необхідного рівня надійності РЕЗ. Основним методом вирішення цього завдання є розрахунки надійності (в першу чергу - безвідмовності), залежно від структури об'єкту і характеристик його складових частин, з подальшою необхідної корекцією проекту. Деякі способи розрахунку структурної надійності розглядаються в даному посібнику.

1. КІЛЬКІСНІ характеристик безвідмовності

Безвідмовність (та інші складові властивості надійності) РЕЗ проявляється через випадкові величини: наробіток до чергової відмови і кількість відмов за заданий час. Тому кількісними характеристиками властивості тут виступають імовірнісні змінні.

Напрацювання є тривалість або обсяг роботи об'єкта. Для РЕЗ природно числення напрацювання в одиницях часу, тоді як для інших технічних засобів можуть бути зручніше інші засоби вимірювання (наприклад, напрацювання автомобіля - у кілометрах пробігу). Для невідновлюваних і відновлюваних виробів поняття напрацювання розрізняється: у першому випадку мається на увазі наробіток до першої відмови (він же є й останнім відмовою), у другому - між двома сусідніми в часі відмовами (після кожного відмови проводиться відновлення працездатного стану). Математичне сподівання випадкової напрацювання Т

(1.1)

є характеристикою безвідмовності і називається середньої напрацюванням на відмову (між відмовами). У (1.1) через t позначено поточне значення напрацювання, а f (t) - щільність ймовірності її розподілу.

Імовірність безвідмовної роботи - можливість того, що в межах заданої напрацювання t відмова об'єкта не виникне:

(1.2)

Можливість протилежного події називається ймовірністю відмови і доповнює ймовірність безвідмовної роботи до одиниці:

(1.3)

У (1.2) та (1.3) F (t) є інтегральна функція розподіл випадкової напрацювання t. Щільність ймовірності f (t) також є показником надійності, званим частотою відмов:

(1.4)

З (1.4) очевидно, що вона характеризує швидкість зменшення ймовірності безвідмовної роботи в часі.

Інтенсивністю відмов називають умовну щільність ймовірності виникнення відмови вироби за умови, що до моменту t відмова не виникло:

(1.5)

Функції f (t) і (T) вимірюються в ч .

Інтегруючи (1.5), легко отримати:

(1.6)

Це вираз, зване основним законом надійності, дозволяє встановити тимчасове зміна ймовірності безвідмовної роботи при будь-якому характері зміни інтенсивності відмов у часі. У приватному разі постійності інтенсивності відмов (T) = = Const (1.6) переходить у відоме в теорії ймовірностей експоненційний розподіл:

}. (1.7)

Потік відмов при (T) = const називається найпростішим і саме він реалізується для більшості РЕЗ протягом періоду нормальної експлуатації від закінчення підробітки до початку старіння та зносу.

Підставивши вираз щільності ймовірності f (t) експоненціального розподілу (1.7) в (1.1), отримаємо:

(1.8)

тобто при найпростішому потоці відмов середнє напрацювання Т0 обратна інтенсивність-сивности відмов . За допомогою (1.7) можна показати, що за час середнього напрацювання, t = T0, ймовірність безвідмовної роботи виробу становить 1 / е. Часто використовують характеристику, звану - Процентної напрацюванням - час, протягом якого відмова не настане з ймовірністю (%):

(1.9)

Вибір параметра для кількісної оцінки надійності визначається призначенням, режимами роботи виробу, зручністю застосування в розрахунках на стадії проектування.

2. СТРУКТУРНО - ЛОГІЧНИЙ АНАЛІЗ ТЕХНІЧНИХ СИСТЕМ

Кінцевою метою розрахунку надійності технічних пристроїв є оптимізація конструктивних рішень і параметрів, режимів експлуатації, організація технічного обслуговування і ремонтів. Тому вже на ранніх стадіях проектування важливо оцінити надійність об'єкта, виявити найбільш ненадійні вузли і деталі, визначити найбільш ефективні заходи підвищення показників надійності. Вирішення цих завдань можливе після перед-редньої структурно - логічного аналізу системи.

Більшість технічних об'єктів, в тому числі РЕЗ, є складними системами, що складаються з окремих вузлів, деталей, агрегатів, пристроїв контролю, управління, тощо. Технічна система (ТС) - сукупність технічних пристроїв (елементів), призначених для виконання певної функції або функцій. Відповідно, елемент - складова частина системи.

Розчленування ТЗ на елементи досить умовно і залежить від постановки задачі розрахунку надійності. Наприклад при аналізі працездатності технологічної лінії її елементами можуть вважатися окремі установки і верстати, транспортні і завантажувальні пристрої і т.д.. У свою чергу верстати та устаткування також можуть вважатися технічними системами і при оцінці їх надійності повинні бути розділені на елементи - вузли, блоки, які, у свою чергу - на деталі, тощо.

При визначенні структури ТС в першу чергу необхідно оцінити вплив кожного елементу і його працездатності на працездатність системи в цілому. З цієї точки зору доцільно розділити всі елементи на чотири групи:

1. Елементи, відмова яких практично не впливає на працездатність системи (наприклад, деформація кожуха, зміна забарвлення поверхні тощо).

2. Елементи, працездатність яких за час експлуатації практично не змінюється і ймовірність безвідмовної роботи близька до одиниці (корпусні деталі, малонавантажені елементи з великим запасом міцності).

3. Елементи, ремонт або регулювання яких можлива при роботі виробу або під час планового технічного обслуговування (налагодження або заміна технологічного інструменту обладнання, налаштування частоти селек-тивних ланцюгів РЕЗ і т.д.).

4. Елементи, відмова яких сам по собі або в поєднанні з відмовами інших елементів призводить до відмови системи.

Очевидно, при аналізі надійності ТЗ має сенс включати в роз-смотреніе тільки елементи останньої групи.

Для розрахунків параметрів надійності зручно використовувати структурно - логічні схеми надійності ТЗ, які графічно відображають взаємозв'язок елементів та їх вплив на працездатність системи в цілому. Структурно - логічна схема являє собою сукупність раніше виділених елементів, з'єднаних один з одним послідовно або паралельно. Критерієм для визначення виду з'єднання елементів (послідовного або паралельного) при побудові схеми є вплив їх відмови на працездатність ТЗ.

Послідовним (з точки зору надійності) вважається з'єднання, при якому відмова будь-якого елемента приводить до відмови всієї системи (рис. 2.1).

Паралельним (з точки зору надійності) вважається з'єднання, при якому відмова будь-якого елемента не призводить до відмови системи, поки не відмовлять всі з'єднані елементи (рис. 2.2).

Певна аналогія тут простежується з ланцюгом, складеної з провідних елементів (справний елемент пропускає струм, що відмовив не пропускає): працездатному станом ТЗ відповідає можливість протікання струму від входу до виходу ланцюга.

Прикладом послідовного з'єднання елементів структурно - логічної схеми може бути технологічна лінія, в якій відбувається переробка сировини в готовий продукт, або РЕЗ, в якому послідовно здійснюється перетворення вхідного сигналу. Якщо ж на деяких ділянках лінії, або шляху сигналу, передбачена одночасна обробка на кількох одиницях обладнання, то такі елементи (одиниці обладнан-ня) можуть вважатися з'єднаними паралельно.

Однак не завжди структурна схема надійності аналогічна конструктив-ний або електричної схеми розміщення елементів. Наприклад, підшипники на валу редуктора працюють конструктивно паралельно один з одним, проте вихід з ладу будь-якого з них призводить до відмови системи. Аналогічно дію-віє індуктивності і ємності паралельного коливального контуру в селективних каскадах РЕЗ. Зазначені елементи з точки зору надійності утворюють послідовне з'єднання.

Крім того, на структуру схеми надійності може впливати і вид відмов, що виникають. Наприклад, в електричних системах для вище-ня надійності в ряді випадків застосовують паралельне або послідовне з'єднання комутуючих елементів (рис. 2.3). Відмова таких виробів може відбуватися з двох причин: обриву (тобто неможливості замикання ланцюга) і замкнення (тобто неможливості розриву з'єднання). У разі відмови типу "обрив" схема надійності відповідає електричній схемі системи (при "обриві" будь-якого комутатора при послідовному їх з'єднанні виникає відмова, при паралельному - всі функції управління буде виконувати справний комутатор). У разі відмови типу "замикання" схема надійності протилежна електричної (у паралельному включенні утратиться можливість отк-чення струму, а у послідовному загального відмови не відбувається).

Рис. 2.3. Електричні та структурні схеми з'єднання комутаційних елементів при різних видах відмов

У цілому аналіз структурної надійності ТЗ, як правило, включає наступні операції:

1. Аналізуються пристрої та їх системою та її складовими частинами функції, а також взаємозв'язок складових частин.

2. Формується зміст поняття "безвідмовної роботи" для даної конкретної системи.

3. Визначаються можливі відмови складових частин і системи, їх причини і можливі наслідки.

4. Оцінюється вплив відмов складових частин системи на її працездатність.

5. Система поділяється на елементи, показники надійності яких відомі.

6. Складається структурно - логічна схема надійності технічної системи, яка є моделлю її безвідмовної роботи.

7. Складаються розрахункові залежності для визначення показників надійності ТЗ з використанням даних по надійності її елементів та з урахуванням структурної схеми.

У залежності від поставленої задачі на підставі результатів розрахунку характеристик надійності ТЗ робляться висновки і приймаються рішення про необхідність зміни або доопрацювання елементної бази, резервування окремих елементів або вузлів, про встановлення певного режиму профілактичного обслуговування, про номенклатуру і кількість запасних елементів для ремонту і т.д ..

3. РОЗРАХУНКИ СТРУКТУРНОЇ НАДІЙНОСТІ СИСТЕМ

Розрахунки показників безвідмовності ТЗ звичайно проводяться в припускає-додатку, що як вся система, так і будь-який її елемент можуть знаходитися тільки в одному з двох можливих станів - працездатному та непрацездатному і відмови елементів незалежні один від одного. Стан системи (робо-спроможнішою або недієздатний) визначається станом елементів і їх поєднанням. Тому теоретично можливо розрахунок безвідмовності будь ТЗ звести до перебору всіх можливих комбінацій станів елементів, визначення вірогідності кожного з них і додаванню ймовірностей робо-спроможнішою станів системи.

Такий метод (метод прямого перебору - див. п. 3.3) практично універсальний і може використовуватися при розрахунку будь-яких ТЗ. Однак при великій кількості елементів системи n такий шлях стає нереальним через великого обсягу обчислень (наприклад, при n = 10 число можливих станів системи становить, = 1024, при n = 20 перевищує , При n = 30-більш ). Тому на практиці використовують більш ефективні і економічні методи розрахунку, не пов'язані з великим обсягом обчислень. Можливість застосування таких методів пов'язана із структурою ТЗ.

3.1. Системи з послідовним з'єднанням елементів

Системою з послідовним з'єднанням елементів називається система, в якій відмова будь-якого елемента приводить до відмови всієї системи (див. п. 2, рис 2.1). Таке з'єднання елементів в техніці зустрічається найбільш часто, тому його називають основним з'єднанням.

У системі з послідовним з'єднанням для безвідмовної роботи протягом деякого напрацювання t необхідно і достатньо, щоб кожен з її n елементів працював безвідмовно протягом цієї напрацювання. Вважаючи відмови елементів незалежними, ймовірність одночасної безвідмовної роботи n елементів визначається по теоремі множення ймовірностей: ймовірність спільного появи незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій:

(3.1)

(Далі аргумент t в дужках, що показує залежність показників надійності від часу, опускаємо для скорочення записів формул). Відповідно, ймовірність відмови такий ТЗ

(3.2)

Якщо система складається з равнонадежних елементів ( ), То

(3.3)

З формул (3.1) - (3.3) очевидно, що навіть при високій надійності елементів надійність системи при послідовному з'єднанні виявляється тим більш низькою, чим більше число елементів (наприклад, при і маємо , При , А при ). Крім того, оскільки всі співмножники в правій частині виразу (3.1) не перевищують одиниці, ймовірність безвідмовної роботи ТС при послідовному з'єднанні не може бути вище ймовірності безвідмовної роботи самого ненадійного з її елементів (принцип "гірше гіршого") і з малонадійних елементів не можна створити високонадійної ТЗ з послідовним з'єднанням.

Якщо всі елементи системи працюють у періоді нормальної експлуа-тації і має місце найпростіший потік відмов (див. п. 1), напрацювання елементів і системи підкоряються експоненціальним розподілом (1.7) та на підставі (3.1) можна записати

(3.4)

де

(3.5)

є інтенсивність відмов системи. Таким чином, інтенсивність відмов системи при послідовному з'єднанні елементів і найпростішому потоці відмов дорівнює сумі інтенсивностей відмов елементів. За допомогою висловлю-ний (1.8) і (1.9) можуть бути визначені середня і - Процентна напрацювання.

З (3.4) - (3.5) випливає, що для системи з n равнонадежних елементів ( )

(3.6)

тобто інтенсивність відмов у n разів більше, а середнє напрацювання в n разів менше, ніж у окремого елемента.

3.2. Системи з паралельним з'єднанням елементів

Системою з паралельним з'єднанням елементів називається система, відмова якої відбувається тільки у разі відмови усіх її елементів (див. п. 2, рис. 2.2). Такі схеми надійності характерні для ТЗ, в яких елементи дублюються чи резервуються, тобто паралельне з'єднання використовується як метод підвищення надійності (див. п. 4.2). Однак такі системи зустрічаються і самостійно (наприклад, системи двигунів чотиримоторного літака або паралельне включення діодів в потужних випрямлячах).

Для відмови системи з паралельним з'єднанням елементів протягом напрацювання t необхідно і достатньо, щоб всі її елементи відмовили протягом цього напрацювання. Так що відмова системи полягає у спільному відмові всіх елементів, ймовірність чого (при допущенні незалежності відмов) може бути знайдена по теоремі множення ймовірностей як твір ймовірностей відмови елементів:

(3.7)

Відповідно, ймовірність безвідмовної роботи

(3.8)

Для систем з равнонадежних елементів ( )

(3.9)

тобто надійність системи, з паралельним з'єднанням підвищується при збільшенні числа елементів (наприклад, при і , А при ).

Оскільки , Твір у правій частині (3.7) завжди менше будь-якого із співмножників, тобто ймовірність відмови системи не може бути вище ймовірності самого надійного її елемента ("краще кращого") і навіть з порівняно ненадійних елементів можлива побудова цілком надійної системи.

При експоненційному розподіл напрацювання (1.7) вираз (3.9) приймає вигляд

(3.10)

звідки за допомогою (1.1) після інтегрування і перетворень середнє напрацювання системи визначається

(3.11)

де - Середнє напрацювання елемента. При великих значеннях n справедлива наближена формула

(3.12)

Таким чином, середнє напрацювання системи з паралельним з'єднанням більше середнього напрацювання її елементів (наприклад, при , При ).

3.3. Системи типу "m з n"

Систему типу "m з n" можна розглядати як варіант системи з паралельним з'єднанням елементів, відмова якої відбудеться, якщо з n елементів, з'єднаних паралельно, працездатними виявляться менш m елементів (m <n).

На рис. 3.1 представлена ​​система "2 з 5", яка працездатна, якщо з п'яти її елементів працюють будь-які два, три, чотири або всі п'ять (на схемі пунктиром обведені функціонально необхідні два елементи, причому виділення елементів 1 і 2 вироблено умовно, насправді всі п'ять елементів рівнозначні). Системи типу "m з n" найбільш часто зустрічаються в електричних і зв'язкових системах (при цьому елементами виступають зв'язку-щие канали), технологічних ліній, а також при структурному резервування (див. п. 4.1, 4.2).

Для розрахунку надійності систем типу "m з n" при порівняно невеликій кількості елементів можна скористатися методом прямого перебору. Він полягає у визначенні працездатності кожного з можливих станів системи, які визначаються різними сполучення-нями працездатних і непрацездатних станів елементів.

Всі стану системи "2 з 5" занесені в табл. 3.1. (У таблиці працездатні стану елементів і системи відмічені знаком "+", непрацездатні - знаком "-"). Для даної системи працездатність визначається лише кількістю працездатних елементів. По теоремі множення ймовірностей ймовірність будь-якого стану визначається як добуток ймовірностей станів, у яких перебувають елементи. Наприклад, у рядку 9 описаний стан системи, в якій відмовили елементи 2 та 5, а інші працездатні. При цьому умова "2 з 5" виконується, так що система в цілому працездатна. Імовірність такого стану

(Передбачається, що всі елементи равнонадежни). З урахуванням всіх можливих станів ймовірність безвідмовної роботи системи може бути знайдена по теоремі складання ймовірностей всіх працездатних поєднань. Оскільки в табл. 3.1 кількість непрацездатних станів менше, ніж працездатних (відповідно 6 і 26), простіше обчислити вірогідність відмови системи. Для цього підсумовуються ймовірності непрацездатних станів (де не виконується умова "2 з 5")

(3.13)

Тоді ймовірність безвідмовної роботи системи

(3.14)

Розрахунок надійності системи "m з n" може проводитися комбінаторним методом, в основі якого лежить формула біноміального розподілу. Біноміальним розподілу підпорядковується дискретна випадкова величина k - число появ деякої події в серії з n дослідів, якщо в окремому досвіді ймовірність появи події складає p. При цьому ймовірність появи події рівно k разів визначається

(3.15)

де - Біноміальний коефіцієнт, званий "числом сполучень за k з n" (тобто скількома різними способами можна реалізувати ситуацію "k з n"):

(3.16)

Значення біноміальних коефіцієнтів наведені в додатку.

Оскільки для відмови системи "m з n" достатньо, щоб кількість справних елементів було менше m, ймовірність відмови може бути знайдена по теоремі складання ймовірностей для k = 0, 1, ... (M-1):

(3.17)

Аналогічним чином можна знайти ймовірність безвідмовної роботи як суму (3.15) для k = m, m +1, ... , N:

(3.18)

Таблиця 3.1

Таблиця станів системи "2 з 5"

Очевидно, що Q + P = 1, тому в розрахунках слід вибирати ту з формул (3.17), (3.18), яка в даному конкретному випадку містить менше число доданків.

Для системи "2 з 5" (рис. 3.1) за формулою (3.18) отримаємо:

(3.19)

Імовірність відмови тієї ж системи по (3.17):

(3.20)

що, як видно, дає той же результат для ймовірності безвідмовної роботи.

У табл. 3.2 наведені формули для розрахунку ймовірності безвідмовної роботи систем типу "m з n" при m <= n <= 5. Очевидно, при m = 1 система перетворюється на звичайну систему з паралельним з'єднанням елементів, а при m = n - з послідовним з'єднанням.

Таблиця 3.2

3.4. Мостіковие схеми

Місткових структура (рис. 3.2, а, б) не зводиться до паралельного або послідовного типу з'єднання елементів, а являє собою паралельне з'єднання послідовних ланцюжків елементів з діагональними елементами, включеними між вузлами різних паралельних гілок (елемент 3 на рис. 3.2, а, елементи 3 та 6 на рис. 3.2, б). Працездатність такої системи визначається не тільки кількістю відмовили елементів, але і їх становищем у структурній схемі. Наприклад, працездатність ТЗ, схема якої наведена на рис. 3.2, а, буде втрачена при одночасному відмову елементів 1 і 2, або 4 та 5, або 2, 3 і 4 і т.д.. У той же час відмова елементів 1 і 5, або 2 і 4, або 1, 3 і 4, або 2, 3 і 5 до відмови системи не приводить.

Таблиця 3.3

Таблиця станів мостиковой системи

Для розрахунку надійності місткових систем можна скористатися методом прямого перебору, як це було зроблено для систем "m з n" (п. 3.3), але при аналізі працездатності кожного стану системи необхідно враховувати не тільки число відмовили елементів, але і їх положення в схемі ( табл. 3.3). Імовірність безвідмовної роботи системи визначається як сума ймовірностей всіх працездатних станів:

(3.21)

У разі равнонадежних елементів

(3.22)

Метод прямого перебору ефективний тільки при малій кількості елементів n, про що говорилося на початку розд. 3, оскільки число станів системи становить . Наприклад, для схеми на рис. 3.2, б їх кількість становитиме вже 256. Деяке спрощення досягається, якщо в таблицю станів включати тільки поєднання, що відповідають працездатного (або тільки непрацездатному) станом системи в цілому.

Для аналізу надійності ТЗ, структурні схеми яких не зводяться до паралельного або послідовного типу, можна скористатися також методом логічних схем з застосуванням алгебри логіки (булевої алгебри). Застосування цього методу зводиться до складання для ТЗ формули алгебри логіки, яка визначає умову працездатності системи. При цьому для кожного елемента і системи в цілому розглядаються два протилежних події - відмову і збереження працездатності.

Для складання логічної схеми можна скористатися двома методами - мінімальних шляхів і мінімальних перерізів.

Розглянемо метод мінімальних шляхів для розрахунку ймовірності безвідмовної роботи на прикладі мостиковой схеми (рис. 3.2, а).

Мінімальним шляхом називається послідовний набір работоспо-можних елементів системи, який забезпечує її працездатність, а відмова будь-якого з них призводить до її відмови.

Мінімальних шляхів у системі може бути один або декілька. Очевидно, система з послідовним з'єднанням елементів (рис. 2.1) має тільки один мінімальний шлях, що включає всі елементи. У системі з паралельним з'єднанням (рис. 2.2) число мінімальних шляхів збігається з числом елементів і кожен шлях включає один з них.

Для мостиковой системи з п'яти елементів (рис. 3.2, а) мінімальних шляхів чотири: (елементи 1 і 4), (2 і 5), (1, 3 і 5), (2, 3 і 5). Логічна схема такої системи (рис. 3.3) складається таким чином, щоб всі елементи кожного мінімального шляху були сполучені один з одним послідовно, а всі мінімальні шляху паралельно.

Потім для логічної схеми складається функція алгебри логіки А за загальними правилами розрахунку ймовірності безвідмовної роботи, але замість символів ймовірностей безвідмовної роботи елементів і системи Р використовуються символи події (збереження працездатності елемента ai і системи А). Так, "відмова" логічної схеми рис. 3.3 полягає в одночасному відмову всіх чотирьох паралельних гілок, а "безвідмовна робота" кожної гілки - в одночасній безвідмовної роботі її елементів. Послідовне з'єднання елементів логічної схеми відповідає логічному множенню ("І"), паралельне - логічного складання ("АБО"). Отже, схема рис. 3.3 відповідає твердженням: система працездатна, якщо працездатні елементи 1 і 4, або 2 і 5, або 1,3 та 5, або 2,3 і 4. Функція алгебри логіки запишеться:

(3.23)

У виразі (3.23) змінні а розглядаються як булеві, тобто можуть прийматися тільки два значення: 0 або 1. Тоді при зведенні в будь-який ступінь k будь-яка змінна a зберігає своє значення: . На основі цієї властивості функція алгебри логіки (3.23) може бути перетворена до виду

(3.24)

Замінивши у виразі (3.24) символи подій їх ймовірностями , Отримаємо рівняння для визначення ймовірності безвідмовної роботи системи

(3.25)

Для системи равнонадежних елементів ( ) Вираз (3.25) легко перетворюється у формулу (3.22).

Метод мінімальних шляхів дає точне значення тільки для порівняно простих систем з невеликим числом елементів. Для більш складних систем результат розрахунку є нижньою межею ймовірності безвідмовної роботи.

Для розрахунку верхньої межі ймовірності безвідмовної роботи системи служить метод мінімальних перерізів.

Мінімальним перетином називається набір непрацездатних елементів, відмова яких призводить до відмови системи, а відновлення працездатності будь-якого з них - до відновлення працездатності системи. Як і мінімальних шляхів, мінімальних перерізів може бути декілька. Очевидно, система з паралельним з'єднанням елементів має тільки одне мінімальний переріз, що включає всі її елементи (відновлення будь-якого відновить працездатність системи). У системі з послідовним з'єднанням елементів число мінімальних шляхів збігається з числом елементів, і кожне перетин включає один з них.

У мостиковой системі (рис. 3.2, а) мінімальних перерізів чотири (елементи 1 і 2), (4 і 5), (1, 3 і 5), (2, 3 та 4). Логічна схема системи (рис.3.4) складається таким чином, щоб всі елементи кожного міні-мального перетину були сполучені один з одним паралельно, а всі міні-формальні перерізу - послідовно. Аналогічно методом мінімальних шляхів, складається функція алгебри логіки. "Безвідмовна робота" логічної системи рис. 3.4 полягає в "безвідмовної роботи" всіх послідовних ділянок, а "відмова" кожного з них - в одночасному "відмову" всіх парал-лельно включених елементів. Як видно, оскільки схема методу мінімальних перерізів формулює умови відмови системи, в ній послідовних з'єднання відповідає логічному "АБО", а паралельне - логічного "І". Схема рис. 3.4 відповідає формулюванню: система отка-жет, якщо відмовлять елементи 1 і 2, або 4 та 5, або 1, 3 і 5, або 2, 3 і 4. Функція алгебри логіки запишеться

(3.26)

Після перетворень з використанням властивостей булевих змінних (3.26) набуває форми (3.24), після заміни подій їх ймовірностями переходить у вираз (3.25).

Таким чином, для мостиковой системи з п'яти елементів верхня і нижня межі ймовірності безвідмовної роботи, отримані методами мінімальних перерізів і мінімальних шляхів, збіглися з точними значеннями (3.22), отриманими методом прямого перебору. Для складних систем це може не відбутися, тому методи мінімальних шляхів і мінімальних перерізів необхідно застосовувати спільно.

У ряді випадків аналізу надійності ТЗ вдається скористатися методом розкладання щодо особливого елемента, заснованими на відомій в математичній логіці теоремі про розкладання функції логіки з будь-якого аргументу. Відповідно до неї, можна записати:

(3.27)

де і - Ймовірності безвідмовної роботи і відмови i - го елемента, і -Ймовірності працездатного стану системи за умови, що i - й елемент абсолютно надійний і що i - й елемент відмовив.

Для мостиковой схеми (рис. 3.2, а) як особливого елементу доцільно вибрати діагональний елемент 3. При місткових схема перетворюється на паралельно - послідовне з'єднання (рис. 3.5, а), а при - У послідовно - паралельна (рис. 3.5, б).

Для перетворених схем можна записати:

(3.28)

(3.29)

Тоді на підставі формули (3.27) отримаємо:

(3.30)

Легко переконатися, що для равнонадежних елементів формула (3.30) про-ращается в (3.22).

Цим методом можна скористатися і при розкладанні щодо декількох "особливих" елементів. Наприклад, для двох елементів (i, j) вираз (3.27) прийме вигляд:

(3.31)

Імовірність безвідмовної роботи мостиковой схеми (рис. 3.2, б) при розкладанні щодо діагональних елементів 3 та 6 по (3.31) визначиться:

(3.32)

Ймовірності легко ставити, виконавши попередньо перетворені схеми, подібно рис. 3.5, а, б.

3.5. Комбіновані системи

Більшість реальних МС має складну комбіновану структуру, частина елементів якої утворює послідовне з'єднання, інша частина - паралельне, окремі гілки елементи або гілки структури утворюють мостіковие схеми або типу "m з n".

Метод прямого перебору для таких систем виявляється практично не реалізуємо. Більш доцільно в цих випадках попередньо зробити декомпозицію системи, розбивши її на прості підсистеми - групи елементів, методика розрахунку надійності яких відома. Потім ці підсистеми в структурній схемі надійності замінюються квазіелементамі з ймовірностями безвідмовної роботи, рівними обчисленими ймовірностями безвідмовної роботи цих підсистем. При необхідності таку процедуру можна виконати кілька разів, до тих пір, доки усі ще квазіелементи не утворюють структуру, методика розрахунку надійності якого також відома.

В якості прикладу розглянемо комбіновану систему, представлену на рис. 3.6. Тут елементи 2 і 5, 4 і 7, 9 і 12, 11 і 14 попарно утворюють один з одним послідовні з'єднання. Замінимо їх відповідно квазіелементамі А, В, С, Д, для яких розрахунок надійності елементарно виконується за формулами п. 3.1. Елементи 15, 16, 17 і 18 утворюють паралельне з'єднання (п. 3.2), а елементи 3, 6, 8, 10 і 13 - систему "3 з 5" (п. 3.2). Відповідні квазіелементи позначимо E і F. У результаті перетворена схема набуде вигляду, показаний на рис. 3.7, а. У ній у свою чергу елементи А, В, С, Д, F утворюють мостикову схему (п. 3.4), яку заміняємо квазіелементом 6. Схема, отримана після таких перетворень (рис.3.7, б), утворює послідовне з'єднання елементів 1, G, E, 19, для яких справедливі співвідношення п. 3.1. Зазначимо, що метод прямого перебору для вихідної системи зажадав б розглянути можливих станів.

4. ПІДВИЩЕННЯ НАДІЙНОСТІ ТЕХНІЧНИХ СИСТЕМ

4.1. Методи підвищення надійності

es New Roman ">

Розрахункові залежності для визначення основних характеристик надійності ТЗ показують, що надійність системи залежить від її структури (структурно - логічної схеми) та надійності елементів. Тому для складних систем можливі два шляхи підвищення надійності: підвищення надійності елементів і зміна структурної схеми.

Підвищення надійності елементів на перший погляд видається найбільш простим прийомом підвищення надійності системи. Дійсно, теоретично завжди можна вказати такі характеристики надійності елементом тов, щоб ймовірність безвідмовної роботи системи задовольняла заданим вимогам. Проте практична реалізація такої високої надійності елементів може виявитися неможливою. Розгляд методів забезпечення надійності елементів ТС є предметом спеціальних технологічних і фізико-хімічних дисциплін і виходить за рамки теорії надійності. Проте, в будь-якому випадку, високонадійні елементи, як правило, мають великі габарити, масу і вартість. Виняток становить використання більш досконалої елементної бази, яка реалізується на принципово нових фізичних і технологічних принципах (наприклад, в РЕЗ - перехід від дискретних елементів на інтегральні схеми).

Зміна структури системи з метою підвищення надійності передбачає два аспекти.

З одного боку, це означає перебудову конструктивної чи функціональної схеми ТЗ (структури зв'язків між складовими елементами), зміна принципів функціонування окремих частин системи (наприклад, перехід від аналогової обробки сигналів до цифровий). Такого роду перетворення ТЗ можливі виключно рідко, так що цей прийом, загалом, не вирішує проблеми надійності.

З іншого боку, зміна структури розуміється як введення в ТЗ додаткових, надлишкових елементів, що включаються в роботу при відмові основних. Застосування додаткових коштів і можливостей з метою збереження працездатного стану об'єкта при відмові одного або кількох його елементів називається резервуванням.

Принцип резервування подібний розглянутому раніше паралельному з'єднанню елементів (п. 3.2) і з'єднання типу "n з m" (п. 3.3), де за рахунок надмірності можливе забезпечення більш високої надійності системи, ніж її елементів.

Виділяють кілька видів резервування (тимчасове, інформаційні ное, функціональне та ін.) Для аналізу структурної надійності ТЗ інтерес представляє структурний резервування - введення в структуру об'єкта додаткових елементів, що виконують функції основних елементів у разі їх відмови.

Класифікація різних способів структурного резервування здійснюється за такими ознаками:

1) за схемою включення резерву:

- Загальне резервування, при якому резервується об'єкт в цілому;

- Роздільне резервування, при якому резервуються окремі елементи або їх групи;

- Змішане резервування, при якому різні види резервування поєднуються в одному об'єкті;

2) за способом включення резерву:

- Постійне резервування, без перебудови структури об'єкту при виникненні відмови його елементу;

- Динамічне резервування, при якому при відмові елемента відбувається перебудова структури схеми. У свою чергу підрозділяється на:

а) резервування заміщенням, при якому функції основного елемента передаються резервному тільки після відмови основного;

б) ковзне резервування, при якому кілька основних елементів резервується одним або декількома резервними, кожен з яких може замінити будь-який основний (тобто групи основних і резервних елементів ідентичні).

3) за станом резерву:

- Навантажене резервування, при якому резервні елементи (або один з них) знаходяться в режимі основного елемента;

- Полегшене резервування, при якому резервні елементи (принаймні один із них) знаходяться в менш навантаженому режимі в порівнянні з основними;

- Ненавантаженому резервування, при якому резервні елементи до початку виконання ними функцій знаходяться в ненавантаженому режимі.

Основною характеристикою структурного резервування є кратність резервування - відношення числа резервних елементів до числа зарезервованих ними основних елементів, виражене несокращаемой дробом (типу 2:3; 4:2 і т.д.). Резервування одного основного елемента одним резервним (тобто з кратністю 1:1) називається дублюванням.

Кількісно підвищення надійності системи в результаті резервування або застосування високонадійних елементів можна оцінити за коефіцієнтом виграшу надійності, що визначається як відношення показника надійності до і після перетворення системи. Наприклад, для системи з n послідовно з'єднаних елементів після резервування одного з елементів (k-го) аналогічним по надійності елементом коефіцієнт виграшу надійності за ймовірністю безвідмовної роботи складе

(4.1)

З формули (4.1) випливає, що ефективність резервування (або іншого прийому підвищення надійності) тим більше, чим менше надійність зарезервованого елемента (при , При ). Слідові-тельно, при структурному резервування максимального ефекту можна до-битися при резервуванні найбільш ненадійних елементів (або груп елементом тов).

У загальному випадку при виборі елемента (або групи елементів) для підвищення надійності або резервування необхідно виходити з умови забезпечення при цьому максимального ефекту. Наприклад, для мостиковой схеми (рис. 3.2, а) з формули (3.21) можна отримати вираз для приватних похідних ймовірності безвідмовної роботи системи за ймовірністю безвідмовної роботи кожного з елементів, які для ідентичних по надійності елементів приймають такий вигляд:

(4.2)

(4.3)

Очевидно, максимальне збільшення надійності системи забезпечить збільшення надійності або резервування того елемента, приватна похідна для якого за даних умов приймає максимально позитивне значення. Порівняння виразів (4.2) і (4.3) показує, що при будь-яких позитивних значеннях p і q вираз (4.2) більше вираження (4.3) і, отже, в мостиковой схемою з ідентичними елементами ефективність підвищення надійності або резервування "периферійних" елементів 1, 2 , 4 і 5 (див. рис. 3.2, а) вище, ніж діагонального елемента 3, якщо в якості критерію ефективності взяти ймовірність безвідмовної роботи.

Таким чином, найбільший вплив на надійність системи надають елементи, що володіють високим значенням похідної , А при послідовно-вальному сполученні - найменш надійні.

У більш складних випадках для вибору елементів, що підлягають зміні, використовуються як аналітичні, так і чисельні методи оптимізації надійності.

4.2. Розрахунок надійності систем з резервуванням

Розрахунок кількісних характеристик надійності систем з резервуванням окремих елементів або груп елементів багато в чому визначається видом резервування. Нижче розглядаються схеми розрахунків для найбільш поширених випадків простого резервування, до яких шляхом перетворень може бути наведена і структура смешенного резервування. При цьому розрахункові залежності отримані без урахування надійності перемикаючих пристроїв, що забезпечують перерозподіл навантаження між основними та резервними елементами (тобто для "ідеальних" перемикачів). У реальних умовах введення перемикачів в структурну схему необхідно враховувати і в розрахунку надійності систем.

Розрахунок систем з навантаженим резервуванням здійснюється за формулами послідовного і паралельного з'єднання елементів аналогічно розрахунку комбінованих систем (п. 3.5). При цьому вважається, що резервні елементи працюють у режимі основних як до, так і після їх відмови, тому надійність резервних елементів не залежить від моменту їх переходу з резервного стану в основний і дорівнює надійності основних елементів.

Для системи з послідовним з'єднанням n елементів (рис. 2.1) при загальному резервуванні з кратністю l (рис. 4.1, а)

(4.4)

Зокрема, при дублюванні (l = 1)

(4.5)

При роздільному резервування (рис. 4.1, б)

(4.6)

а при роздільному дублювання (l = 1)

(4.7)

Тоді коефіцієнти виграшу надійності за ймовірністю безвідмовної роботи при дублюванні

(4.8)

звідки випливає, що роздільне резервування ефективніше загального (наприклад, для системи з трьох однакових елементів при , .

При ненавантаженому резервування резервні елементи послідовно включаються в роботу при відмові основного, після першого резервного і т.д. (Рис. 4.2), тому надійність резервних елементів залежить від моменту їх переходу в основний стан. Таке резервування в різних ТЗ зустрічається найбільш часто, тому що воно по суті аналогічно заміні відмовили елементів та вузлів на запасні.

Якщо резервні елементи до їх включення абсолютно надійні, то для системи з ненавантаженим резервуванням кратності l (всього елементів l +1)

(4.9)

тобто ймовірність відмови в (l +1)! разів менше, ніж при навантаженому (паралельному з'єднанні, див. формулу (3.7)).

Для ідентичних по надійності основного і резервного елементів

(4.10)

При експоненційному розподіл напрацювання (найпростішому потоці відмов, див. 1.7) у разі можна скористатися наближеною формулою

(4.11)

При ненавантаженому резервування середнє напрацювання на відмову

(4.12)

а для ідентичних елементів

Полегшене резервування використовується при великій інерційності перехідних процесів, що відбуваються в елементі при його переході з резервного в основний режим, і недоцільності застосування навантаженого резервування з - за недостатнього виграшу в надійності (в РЕЗ це характерно для пристроїв на електровакуумних приладах). Очевидно, полегшений резерв займає проміжне положення між навантаженим і ненавантаженим.

Точні вирази для розрахунку надійності систем при полегшеному резервування дуже громіздкі і неоднозначні, однак при експонен-соціальне розподіл напрацювання справедлива наближена формула

(4.13)

де - Інтенсивність відмов елементів в полегшеному режимі, l - кратність резервування.

Ковзаюче резервування використовується для резервування кількох однакових елементів системи одним або декількома однаковими резервними (рис. 4.3, тут всі елементи ідентичні, а елемент 4 - надлишковий). Очевидно, відмова системи відбудеться, якщо із загальної кількості ідентичних елементів (основних і резервних) число відмовили перевищує число резервних. Розрахунок ймовірності безвідмовної роботи систем з ковзаючим резервуванням аналогічний розрахунку систем типу "m з n", див. п. 3.3.

5. МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

Завдання на курсову роботу (КР) містить в якості вихідних даних структурну схему надійності технічної системи (ТС) та інтенсивність відмов її елементів (див. п. 7). Тобто студент опиняється в ситуації, коли виконані п. 1 - 6 аналізу структурної надійності ТЗ (див. розд. 2), і йому належить в першу чергу виконати п. 7 - скласти розрахункові залежності для визначення показників надійності системи для різних значень напрацювання t , щоб графічно зобразити ймовірність безвідмовної роботи P (t) як функцію напрацювання.

Оскільки задана схема надійності є комбінованою, її слід піддати декомпозиції, як це описано в п. 3.5. Далі, вводячи відповідні квазіелементи, перетворити вихідну схему до найпростішого вигляду і, використовуючи відповідні формули п. 3.1 - 3.4, для ряду значень напрацювання t у припущенні найпростішого потоку відмов формули (1.7) обчислити значення вірогідності безвідмовної роботи елементів, квазіелементов і всієї системи. У пояснювальній записці слід привести всі проміжні перетворення вихідної схеми, конкретні робочі розрахункові формули з їх обгрунтуванням, а результати розрахунку представити у вигляді таблиці, в якій по стовпцях змінюється значення напрацювання t, а по рядках в стовпцях наводяться обчислені значення вірогідності безвідмовної роботи елементів, квазіелементов і всієї системи, отримані за робочим формулами. При цьому діапазон вимірювання напрацювання t повинен забезпечити зниження ймовірності безвідмовної роботи системи до рівня 0.1 - 0.2 і містити не менше 8-10 значень аргументу.

Після цього будується графік залежності P (t) за результатами розрахунку. І нього графічно за заданим значенням визначається - Процентна напрацювання системи (див. (1.9)), .

За завданням потрібно запропонувати способи збільшення - Процентної напрацювання в 1.5 рази за рахунок підвищення надійності елементів і за рахунок структурного резервування.

Попередньо слід визначити елемент або квазіелемент остаточно перетвореної схеми, підвищення надійності якого дасть максимальний ефект щодо надійності всієї системи. Критерії вибору наведені в п. 4.1. Оскільки аналітично визначити похідні виду (4.2), (4.3) зазвичай не вдається, вибір елемента може бути здійснено за величиною ймовірності безвідмовної роботи.

Для подальших дій необхідно обчислити необхідну покращене значення - Процентної напрацювання елементарним множенням на 1.5. Отже, щоб задовольнити завданням щодо підвищення надійності системи, необхідно забезпечити ймовірність безвідмовної роботи за час . Тепер слід повторити розрахунок надійності елементів, квазіелементов і всієї системи за час і доповнити цим стовпцем попередню таблицю. Знаючи ймовірності безвідмовної роботи всіх елементів перетвореної схеми і потрібне значення , Легко визначити, яку ймовірність безвідмовної роботи за час повинен мати квазіелемент, обраний для модернізації.

За першим варіантом модернізації необхідно визначити інтенсивності відмов елементів, які входять у даний квазіелемент, за яких при незмінній структурі квазіелемента забезпечувалося б необхідне значення . Простіше це здійснити графоаналітичним методом, задаючи ряд пропорційно зменшених (у порівнянні з вихідною) інтенсивностей відмов для складових квазіелемента і прораховуючи кожний раз величину . З побудованого за цими даними графіка можна визначити необхідну кратність зниження інтенсивності відмов елементів і самі значення інтенсивності. Для знайденого рішення слід виконати перевірочний розрахунок ймовірності безвідмовної роботи системи за час .

За другим методом надійність обраного квазіелемента можна підвищити за рахунок резервування без зміни надійності складових елементів. При цьому, грунтуючись на рекомендаціях і міркування, викладених у п. 4.1, 4.2, враховуючи структуру модернізованого квазіелемента, потрібно вибрати, які його складові елементи і як слід резервувати для досягнення найбільшого ефекту. Далі залишається визначити необхідну кратність резервування . Оскільки є величина дискретна, аналітично її визначити неможливо. Для вирішення завдання потрібно послідовно збільшувати кратність резервування, починаючи з одиниці, щоразу по відповідних формулах з п. 4.2 визначати величину ймовірності безвідмовної роботи квазіелемента в плині часу . Як тільки необхідне значення буде забезпечено, виявиться реалізованим другий метод підвищення надійності системи. Для знайденого рішення також необхідно провести перевірку вірогідності безвідмовної роботи системи за час . Модернізовану структуру з резервуванням слід привести в пояснювальній записці.

Для побудови залежностей ймовірностей безвідмовної роботи від часу для модернізованої системи по першому і другому методу зручно доповнити раніше складену таблицю відповідними рядками. Графіки цих залежностей слід зобразити спільно з кривою P (t) вихідної системи.

Отримане сімейство кривих дозволяє провести порівняння двох варіантів модернізації, яке слід привести у якості висновку до роботи.

Пояснювальна записка повинна бути оформлена відповідно до СТП КрПІ 3.1 - 92 "Текстові документи. Вимоги до оформлення ". Всі дії та використання розрахункових Співвідношення повинні бути пояснені і обгрунтовані. Для заімствуемий інформації (формули, чисельні значення констант) необхідно вказати джерело запозичення.

Завдання на курсову роботу наведені у розд. 6, а в розд. 7 - приклад розрахунку надійності.

6. ВИХІДНІ ДАНІ ДО РОБОТИ

За структурною схемою надійності технічної системи відповідно до варіанта завдання, як потрібне ймовірності безвідмовної роботи системи і значенням інтенсивностей відмов її елементів (Табл. 6.1) потрібно:

1. Побудувати графік зміни ймовірності безвідмовної роботи системи від часу напрацювання в діапазоні зниження ймовірності до рівня 0.1 - 0.2.

2. Визначити - Процентну напрацювання технічної системи.

3. Забезпечити збільшення - Процентної напрацювання не менше, ніж у 1.5 рази за рахунок:

а) підвищення надійності елементів;

б) структурного резервування елементів системи.

Всі елементи системи працюють у режимі нормальної експлуатації (простий потік відмов). Резервування окремих елементів або груп елементів здійснюється ідентичними по надійності резервними елементами або групами елементів. Перемикачі при резервуванні вважаються ідеальними.

На схемах обведені пунктиром m елементів є функціонально необхідними з n паралельних гілок.

7. ПРИКЛАД РОЗРАХУНКУ НАДІЙНОСТІ

Структурна схема надійності наведена на рис 7.1. Значення інтенсивності відмов елементів дані в 1 / ч.

1. У вихідній схемі елементи 2 і 3 утворюють паралельне з'єднання. Замінюємо їх квазіелементом А. Враховуючи, що , Отримаємо

. (7.1)

2. Елементи 4 і 5 також утворюють паралельне з'єднання, замінивши яке елементом В і враховуючи, що , Отримаємо

. (7.2)

3. Елементи 6 і 7 у вихідній схемі з'єднані послідовно. Замінюємо їх елементом С, для якого при

. (7.3)

4. Елементи 8 і 9 утворюють паралельне з'єднання. Замінюємо їх елементом D, для якого при , Отримаємо

. (7.4)

5. Елементи 10 і 11 з паралельним з'єднанням замінюємо елементом Е, причому, так як , То

(7.5)

6. Елементи 12, 13, 14 і 15 утворюють сполуку "2 з 4", яке замінюємо елементом F. Так як , То для визначення ймовірності безвідмовної роботи елемента F можна скористатися комбінаторним методом (див. розділ 3.3):

(7.6)

7. Змінена схема зображена на рис. 7.2.

8. Елементи A, B, C, D і Е утворюють (рис. 7.2) мостикову систему, яку можна замінити квазіелементом G. Для розрахунку ймовірності безвідмовної роботи скористаємося методом розкладання щодо особливого елементу (див. розділ 3.4), в якості якого виберемо елемент С. Тоді

(7.7)

де - Імовірність безвідмовної роботи мостиковой схеми при абсолютно надійному елементі С (рис. 7.3, а), - Імовірність безвідмовної роботи мостиковой схеми при відмовив елементі С (рис. 7.3, б).

Враховуючи, що , Отримаємо

(7.8)

9. Після перетворень схема зображена на рис. 7.4.

10. У реформованій схемою (рис. 7.4) елементи 1, G і F утворюють послідовне з'єднання. Тоді ймовірність безвідмовної роботи всієї системи

(7.9)

11. Оскільки за умовою всі елементи системи працюють у періоді нормальної експлуатації, то ймовірність безвідмовної роботи елементів з 1 по 15 (рис. 7.1) підпорядковуються експоненціальним законом:

(7.10)

12. Результати розрахунків ймовірностей безвідмовної роботи елементів 1 - 15 вихідної схеми за формулою (7.10) для напрацювання до годин представлені в таблиці 7.1.

13. Результати розрахунків ймовірностей безвідмовної роботи квазіеле-ментів A, B, C, D, E, F і G за формулами (7.1) - (7.6) і (7.8) також представлені в таблиці 7.1.

14. На рис. 7.5 представлений графік залежності ймовірності безвідмовної роботи системи P від ​​часу (напрацювання) t.

15. За графіком (рис. 7.5, крива P) знаходимо для - Процентну напрацювання системи ч.

16. Перевірочний розрахунок при год показує (таблиця 7.1), що .

17. За умовами завдання підвищена - Процентна напрацювання сис-теми ч.

Таблиця 7.1

Розрахунок ймовірності безвідмовної роботи системи

Рис 7.5. Зміна ймовірності безвідмовної роботи вихідної системи (Р), системи з підвищеною надійністю (Р `) і системи зі структурним резервуванням елементів (Р ``).

18. Розрахунок показує (таблиця 7.1), що при год для елементів перетвореної схеми (рис. 7.4) , і . Отже, з трьох послідовно з'єднаних елементів мінімальне значення ймовірності безвідмовної роботи має елемент F (система "2 з 4" у вихідній схемі (рис. 7.1)) і саме збільшення його надійності дасть максимальне збільшення надійності системи в цілому.

19. Для того, щоб при ч система в цілому мала ймовірність безвідмовної роботи , Необхідно, щоб елемент F мав ймовірність безвідмовної роботи (див. формулу (7.9))

(7.11)

При цьому значенні елемент F залишиться самим ненадійним у схемі (рис. 7.4) і міркування в п.18 залишаться вірними.

Очевидно, значення , Отримане за формулою (7.11), є міні-ною для виконання умови збільшення напрацювання не менше, ніж у 1.5 рази, при більш високих значеннях збільшення надійності системи буде великим.

20. Для визначення мінімально необхідної ймовірності безвідмовної роботи елементів 12 - 15 (рис. 7.1) необхідно вирішити рівняння (7.6) щодо при . Однак, оскільки аналітичний вираз цього рівняння пов'язано з певними труднощами, більш доцільно використовувати графо-аналітичний метод. Для цього за даними табл. 7.1 будуємо графік залежності . Графік представлений на рис. 7.6.

Рис. 7.6. Залежність ймовірності безвідмовної роботи системи "2 з 4" від ймовірності безвідмовної роботи її елементів.

21. За графіком при знаходимо .

22. Так як за умовами завдання всі елементи працюють у періоді нормальної експлуатації і підкоряються експоненціальним законом (7.10), то для елементів 12 - 15 при знаходимо

ч . (7.12)

23. Таким чином, для збільшення - Процентної напрацювання ситеми необхідно збільшити надійність елементів 12, 13, 14 і 15 і знизити інтенсивність їх відмов з до ч , Тобто о 1.55 рази.

24. Результати розрахунків для системи зі збільшеною надійністю елементів 12, 13, 14 і 15 наведені в таблиці 7.1. Там же наведені розрахункові значення ймовірності безвідмовної роботи системи "2 з 4" F `і системи в цілому P`. При ч ймовірність безвідмовної роботи системи , Що відповідає умовам завдання. Графік наведено на рис 7.5.

25. Для другого способу збільшення ймовірності безвідмовної роботи системи - структурного резервування - з тих же міркувань (див. п. 18) також вибираємо елемент F, ймовірність безвідмовної роботи якого після резервування повинна бути не нижче (Див. формулу (7.11)).

26. Для елемента F - системи "2 з 4" - резервування означає збільшення загальної кількості елементів. Аналітично визначити мінімально необхідну кількість елементів неможливо, тому що число елементів має бути цілим і функція дискретна.

27. Для підвищення надійності системи "2 з 4" додаємо до неї елементи, ідентичні по надійності вихідним елементам 12 - 15, до тих пір, поки ймовірність безвідмовної роботи квазіелемента F не досягне заданого значення.

Для розрахунку скористаємося комбінаторним методом (див. розділ 3.3):

- Додаємо елемент 16, отримуємо систему "2 з 5":

(7.13)

(7.14)

- Додаємо елемент 17, отримуємо систему "2 з 6":

(7.15)

(7.16)

- Додаємо елемент 18, отримуємо систему "2 з 7":

(7.17)

(7.18)

28. Таким чином, для підвищення надійності до необхідного рівня необхідно у вихідній схемі (рис. 7.1) систему "2 з 4" добудувати елементами 16, 17 і 18 до системи "2 з 7" (рис. 7.7).

29. Результати розрахунків ймовірностей безвідмовної роботи системи "2 з 7" F `` і системи в цілому P `` представлені в таблиці 7.1.

30. Розрахунки показують, що при ч , Що відповід-ний в умові завдання.

31. На рис. 7.5 нанесені криві залежностей ймовірності безвідмовної роботи системи після підвищення надійності елементів 12 - 15 (крива ) І після структурного резервування (крива ).

Висновки:

1. На рис. 7.5 представлена ​​залежність ймовірності безвідмовної роботи системи (крива ). З графіка видно, що 50% - напрацювання вихідної системи становить годин.

2. Для підвищення надійності та збільшення 50% - напрацювання системи в 1.5 рази (до годин) запропоновані два способи:

а) підвищення надійності елементів 12, 13, 14 і 15 і зменшення їх відмов з до ч ;

б) навантажене резервування основних елементів 12, 13, 14 і 15 ідентичними по надійності резервними елементами 16, 17 і 18 (рис. 7.7).

3. Аналіз залежностей ймовірності безвідмовної роботи системи від часу (напрацювання) (рис. 7.5) показує, що другий спосіб підвищення надійності системи (структурний резервування) краще першого, тому що в період часу до годин ймовірність безвідмовної роботи системи при структурному резервування (крива ) Вище, ніж при збільшен-ня надійності елементів (крива ).

Таблиця 6.1

Чисельні значення параметрів до завдання

ДОДАТОК

Біноміальні коефіцієнти

Примітка: Для m> 10 можна скористатися властивістю симетрії: