Зміст
Введення
1. Історія розвитку теорії ймовірностей та математичної статистики
2. Теоретичні основи статистичної обробки експериментальних даних
3. Статистичний аналіз вибіркової сукупності
Висновок
Список літератури
Додаток
Введення
Математична статистика - це розділ математики, в якому вивчаються математичні методи планування експериментів, систематизації, обробки та використання статистичних даних для наукових і практичних цілей. У математичній статистиці передбачається, що результати дослідних даних і спостережень є реалізацією випадкових величин або процесів, що мають ті чи інші закони розподілу.
Методи математичної статистики обгрунтовують способи угрупування та аналізу статистичних відомостей про якісні та кількісні ознаки об'єктів різної природи. Проведення обстеження кожного об'єкта великої сукупності щодо цікавить ознаки чи фізично неможливо або економічно недоцільно. Для встановлення статистичних закономірностей випадково відбирають з усієї сукупності обмежене число об'єктів і піддають їх вивчення.
Мета даної курсової роботи - дослідження 3-х вибіркових сукупностей об'ємом по сто спостережень кожна, яке включає наступні етапи:
1) складання статистичних розподілів вибіркових сукупностей;
2) знаходження параметрів статистичних розподілів;
3) встановлення законів розподілу вибіркових сукупностей.
1. Історія розвитку теорії ймовірностей та математичної статистики
Математична статистика як наука починається з робіт знаменитого німецького математика Карла Фрідріха Гауса (1777-1855), який на основі теорії ймовірностей дослідив і обгрунтував метод найменших квадратів, створений ним у 1795 р . і застосований для обробки астрономічних даних (з метою уточнення орбіти малої планети Церера). Його ім'ям часто називають одне з найбільш популярних розподілів ймовірностей - нормальне, а в теорії випадкових процесів основний об'єкт вивчення - гаусові процеси.
В кінці XIX ст. - На початку ХХ ст. великий внесок у математичну статистику внесли англійські дослідники, насамперед К. Пірсон (1857-1936) і Р.А. Фішер (1890-1962). Зокрема, Пірсон розробив критерій «хі-квадрат» перевірки статистичних гіпотез, а Фішер - дисперсійний аналіз, теорію планування експерименту, метод максимальної правдоподібності оцінки параметрів.
У 30-ті роки ХХ ст. поляк Єжи Нейман (1894-1977) і англієць Е. Пірсон розвинули загальну теорію перевірки статистичних гіпотез, а радянські математики академік О.М. Колмогоров (1903-1987) і член-кореспондент АН СРСР Н.В. Смирнов (1900-1966) заклали основи непараметричної статистики. У сорокові роки ХХ ст. румунів А. Вальд (1902-1950) побудував теорію послідовного статистичного аналізу.
Поняття випадкового процесу введено в XX столітті і пов'язане з іменами О.М. Колмогорова (1903-1987), А.Я. Хинчина (1894-1959), О.Є. Слуцького (1880-1948), Н. Вінера (1894-1965). Це поняття в наші дні є одним з центральних не тільки в теорії ймовірностей, але також у природознавстві, інженерній справі, економіці, організації виробництва, теорії зв'язку. Теорія випадкових процесів належить до категорії найбільш швидко розвиваються математичних дисциплін. Безсумнівно, що ця обставина значною мірою визначається її глибокими зв'язками з практикою. XX століття не міг задовольнитися тим ідейним спадщиною, яке було отримано від минулого. Для дослідження зміни в часі теорія ймовірностей кінця XIX - початку XX століття не мала ні розроблених приватних схем, ні тим більш загальних прийомів. А необхідність їх створення буквально стукала у вікна та двері математичної науки. Вивчення броунівського руху в фізиці підвело математику до порога створення теорії випадкових процесів. У дослідженнях датського вченого А.К. Ерланга (1878-1929) була відкрита нова важлива область, пов'язана з вивченням завантаження телефонних мереж.
У другому десятилітті XX століття почалися дослідження динаміки біологічних популяцій. Італійський математик Віто Вольтерра (1860-1940) розробив математичну теорію цього процесу на базі чисто детерміністських міркувань. Пізніше ряд біологів та математиків розвивали його ідеї вже на основі стохастичних уявлень. Багато фізичні явища для свого вивчення вимагають вміння обчислювати ймовірність того, що певна частка молекул встигне за заданий проміжок часу перейти з однієї області простору в іншу.
Теорія броунівського руху, яка виходить із теоретико-імовірнісних передумов, була розроблена в 1905 р . двома відомими фізиками М. Смолуховським (1872-1917) і А. Ейнтейном (1879-1955). Зокрема, саме з цих робіт, як, втім, і з робіт Ерланга, проявився широкий інтерес до процесу Пуассона. Втім, сам Пуассон ввів в розгляд тільки розподіл Пуассона, але він заслужив, щоб його ім'я вимовлялося і при розгляді випадкових процесів, пов'язаних з його розподілом. Це не єдиний випадок, коли на честь того чи іншого дослідника новим поняттям присвоюються їх імена, хоча до цих понять вони і не доходили. Тепер широко поширені гаусові випадкові процеси, хоча сам Гаус про них не мав жодного уявлення, та й саме початкове розподіл задовго до його народження було отримано Муавром, Лапласом та ін
У теорії ж помилок вимірювань одночасно з Гауссом до нього прийшов також Лежандр. Спроба вивчення засобами теорії ймовірностей явища дифузії була зроблена в 1914 р . двома відомими фізиками - М. Планком (1858-1847) і А. Фоккер (1887-1972). М. Вінер в середині двадцятих років при вивченні броунівського руху ввів в розгляд процес, який отримав назву винеровского процесу (процесу броунівського руху). Ми повинні згадати ще про дві важливі групах досліджень, розпочатих в різний час і з різних приводів. По-перше, ця роботи А.А. Маркова (1856-1922) з вивчення ланцюгових залежностей. По-друге, роботи Є.Є. Слуцького (1880-1948) з теорії випадкових функцій. У 1931 р . була опублікована велика стаття О.М. Колмогорова - Про аналітичних методах в теорії ймовірностей, а через три роки - робота А.Я. Хинчина - Теорія кореляції стаціонарних стохастичних процесів, які слід вважати початком побудови загальної теорії випадкових процесів. У першій з цих були закладені основи марковських процесів, а в другій - основи стаціонарних процесів. Вони були джерелом величезного числа наступних досліджень, серед яких слід відзначити статтю В. Феллера - До теорії стохастичних процесів (1936), яка дала інтегро-диференціальні рівняння для стрибкоподібних марковських процесів. Обидві щойно згадані основоположні роботи містять не тільки математичні результати, але й глибокий філософський аналіз причин, які послужили вихідним пунктом для побудови основ теорії випадкових процесів.
Математична статистика бурхливо розвивається і в даний час. Так, за останні 40 років можна виділити чотири принципово нові напрями досліджень:
- Розробка та впровадження математичних методів планування експериментів;
- Розвиток статистики об'єктів нечислової природи як самостійного напряму в прикладній математичній статистиці;
- Розвиток статистичних методів, стійких по відношенню до малих відхилень від використовуваної ймовірнісної моделі;
- Широке розгортання робіт зі створення комп'ютерних пакетів програм, призначених для проведення статистичного аналізу даних.
2. Теоретичні основи статистичної обробки експериментальних даних
Функція розподілу ймовірностей випадкової величини
Функцією розподілу називають функцію F (х), що визначає ймовірність того, що неперервна випадкова величина Х в результаті випробування прийме значення, менше числа х:
Властивості функції розподілу:
1) значення функції розподілу належать відрізку [0,1]:
2) F (x) - неспадними функція, тобто
3) ймовірність того, що випадкова величина прийме значення, укладену в інтервалі (a, b), дорівнює приросту функції розподілу на цьому інтервалі:
4) якщо всі можливі значення випадкової величини належать інтервалу (a, b), то
Щільністю розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини Х називають функцію f (x) - першу похідну від функції розподілу F (x):
Властивості щільності розподілу:
1) щільність розподілу - невід'ємна функція: f (x) ≥ 0;
2) невласний інтеграл від щільності розподілу в межах від - ∞ до + ∞ дорівнює одиниці:
3) ймовірність того, що неперервна випадкова величина Х прийме значення, що належить інтервалу (х 1; х 2), дорівнює певному інтегралу від щільності розподілу, взятому від a до b:
Отриманий результат геометрично відображає той факт, що ймовірність попадання неперервної випадкової величини в заданий інтервал (х 1; х 2) дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої віссю Ох, графіком щільності розподілу f (x) і прямими
1.2. Числові характеристики випадкових величин
Математичне сподівання М (Х) неперервної випадкової величини, розподіленої на інтервалі (х 1; х 2), характеризує її середнє значення і визначається за формулою
Дисперсія D (X) неперервної випадкової величини, розподіленої на інтервалі (х 1; х 2), характеризує її розсіювання щодо математичного очікування і визначається за формулою
Якщо можливі значення неперервної випадкової величини належать всій числовій осі Ох, то математичне сподівання і дисперсія визначаються за формулами
Середнє квадратичне відхилення σ (Х) випадкової безперервної величини визначається за формулою
Початковим моментом
Початковий момент першого порядку випадкової величини Х відповідає її математичного сподівання.
Центральним моментом
Центральні та початкові моменти випадкової величини Х пов'язані такими співвідношеннями:
1)
2)
3)
Центральний момент третього порядку
Асиметрія позитивна, якщо «довга частина» кривої щільності розподілу розташована праворуч від математичного очікування. Асиметрія негативна, якщо «довга частина» кривої розподілу розташована зліва від математичного сподівання.
Центральний момент четвертого порядку
Ексцес позитивний, якщо крива розподілу має гостру вершину. Ексцес негативний, якщо крива розподілу має пологу вершину.
Рівномірний розподіл ймовірностей
Розподіл ймовірностей називають рівномірним, якщо на інтервалі (a; b), якому належать усі можливі значення випадкової величини, щільність розподілу зберігає постійне значення:
Функція рівномірного розподілу на інтервалі (a; b) має вигляд:
Характеристики рівномірного розподілу визначаються за формулами (2) - (4), (7), (8):
1) математичне сподівання
2) дисперсія
3) середнє квадратичне відхилення
4) асиметрія
5) ексцес
Ймовірність влучення випадкової величини Х, розподіленої по рівномірному закону, в заданий інтервал (х 1; х 2) визначається за формулою (1)
Показовий розподіл
Показовим (експоненціальним) називають розподіл неперервної випадкової величини Х, яке описується щільністю
де λ - постійна позитивна величина.
Функція показового розподілу має вигляд:
Характеристики показового розподілу визначаються за формулами (2) - (4):
1) математичне сподівання
2) дисперсія
3) середнє квадратичне відхилення
Ймовірність влучення випадкової величини Х, розподіленої по показовому закону, в заданий інтервал (х 1; х 2) визначається за формулою (1)
Нормальний розподіл
Нормальним називають розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини, яке описується щільністю
Математичне сподівання нормального розподілу одно параметру а. Середнє квадратичне відхилення нормального розподілу одно параметру σ. Коефіцієнт асиметрії
Ймовірність влучення нормально розподіленої випадкової величини Х в заданий інтервал (х 1; х 2) визначається за формулою (1):
де Ф (х) - функція Лапласа,
4. Статистичний аналіз вибіркової сукупності
Вибірковою сукупністю, або просто вибіркою, називають сукупність випадково відібраних об'єктів. Обсягом n вибіркової сукупності називають число об'єктів цієї сукупності.
Інтервальним статистичним розподілом вибірки називають перелік інтервалів та відповідних їм частот n i чи відносних частот
Гістограмою частот називають ступінчасту фігуру, що складається з прямокутників, підставами яких служать часткові інтервали довжиною h, а висоти дорівнюють відношенню
Гістограмою відносних частот називають ступінчасту фігуру, що складається з прямокутників, підставами яких служать часткові інтервали довжиною h, а висоти дорівнюють відношенню
Для розподілу спостережень за інтервалами необхідно знайти довжину інтервалу h, яка визначається як відношення різниці між максимальним X ma х і мінімальним X min елементами вибірки до кількості інтервалів k
Кількість інтервалів k (ціле число) доцільно вибрати не менше 7, але й не більше 15 або визначити за формулою Старджесса
де n - обсяг вибірки.
Якщо k, яке обчислюється за формулою Старджесса, неціле число, то в якості числа інтервалів можна найближчим до k ціле число, не менше k.
Статистичні оцінки параметрів розподілу
Вибіркової середньої
Якщо значення ознаки х 1, х 2, ...., Х k мають відповідно частоти n 1, n 2, ... .. n k, причому n 1 + n 2 + ... ... + n k = n, то
Для характеристики розсіювання значень кількісної ознаки Х вибірки навколо свого середнього значення вводять такий параметр як вибіркова дисперсія.
Вибірковою дисперсією D в називають середнє арифметичне квадратів відхилення спостережуваних значень ознаки від їх середнього значення
Якщо значення ознаки х 1, х 2, ...., Х k мають відповідно частоти n 1, n 2, ... .. n k, причому n 1 + n 2 + ... ... + n k = n, то
Вибірковим середнім квадратичним відхиленням називають квадратний корінь з вибіркової дисперсії:
Введення
1. Історія розвитку теорії ймовірностей та математичної статистики
2. Теоретичні основи статистичної обробки експериментальних даних
3. Статистичний аналіз вибіркової сукупності
Висновок
Список літератури
Додаток
Введення
Математична статистика - це розділ математики, в якому вивчаються математичні методи планування експериментів, систематизації, обробки та використання статистичних даних для наукових і практичних цілей. У математичній статистиці передбачається, що результати дослідних даних і спостережень є реалізацією випадкових величин або процесів, що мають ті чи інші закони розподілу.
Методи математичної статистики обгрунтовують способи угрупування та аналізу статистичних відомостей про якісні та кількісні ознаки об'єктів різної природи. Проведення обстеження кожного об'єкта великої сукупності щодо цікавить ознаки чи фізично неможливо або економічно недоцільно. Для встановлення статистичних закономірностей випадково відбирають з усієї сукупності обмежене число об'єктів і піддають їх вивчення.
Мета даної курсової роботи - дослідження 3-х вибіркових сукупностей об'ємом по сто спостережень кожна, яке включає наступні етапи:
1) складання статистичних розподілів вибіркових сукупностей;
2) знаходження параметрів статистичних розподілів;
3) встановлення законів розподілу вибіркових сукупностей.
1. Історія розвитку теорії ймовірностей та математичної статистики
Математична статистика як наука починається з робіт знаменитого німецького математика Карла Фрідріха Гауса (1777-1855), який на основі теорії ймовірностей дослідив і обгрунтував метод найменших квадратів, створений ним у
В кінці XIX ст. - На початку ХХ ст. великий внесок у математичну статистику внесли англійські дослідники, насамперед К. Пірсон (1857-1936) і Р.А. Фішер (1890-1962). Зокрема, Пірсон розробив критерій «хі-квадрат» перевірки статистичних гіпотез, а Фішер - дисперсійний аналіз, теорію планування експерименту, метод максимальної правдоподібності оцінки параметрів.
У 30-ті роки ХХ ст. поляк Єжи Нейман (1894-1977) і англієць Е. Пірсон розвинули загальну теорію перевірки статистичних гіпотез, а радянські математики академік О.М. Колмогоров (1903-1987) і член-кореспондент АН СРСР Н.В. Смирнов (1900-1966) заклали основи непараметричної статистики. У сорокові роки ХХ ст. румунів А. Вальд (1902-1950) побудував теорію послідовного статистичного аналізу.
Поняття випадкового процесу введено в XX столітті і пов'язане з іменами О.М. Колмогорова (1903-1987), А.Я. Хинчина (1894-1959), О.Є. Слуцького (1880-1948), Н. Вінера (1894-1965). Це поняття в наші дні є одним з центральних не тільки в теорії ймовірностей, але також у природознавстві, інженерній справі, економіці, організації виробництва, теорії зв'язку. Теорія випадкових процесів належить до категорії найбільш швидко розвиваються математичних дисциплін. Безсумнівно, що ця обставина значною мірою визначається її глибокими зв'язками з практикою. XX століття не міг задовольнитися тим ідейним спадщиною, яке було отримано від минулого. Для дослідження зміни в часі теорія ймовірностей кінця XIX - початку XX століття не мала ні розроблених приватних схем, ні тим більш загальних прийомів. А необхідність їх створення буквально стукала у вікна та двері математичної науки. Вивчення броунівського руху в фізиці підвело математику до порога створення теорії випадкових процесів. У дослідженнях датського вченого А.К. Ерланга (1878-1929) була відкрита нова важлива область, пов'язана з вивченням завантаження телефонних мереж.
У другому десятилітті XX століття почалися дослідження динаміки біологічних популяцій. Італійський математик Віто Вольтерра (1860-1940) розробив математичну теорію цього процесу на базі чисто детерміністських міркувань. Пізніше ряд біологів та математиків розвивали його ідеї вже на основі стохастичних уявлень. Багато фізичні явища для свого вивчення вимагають вміння обчислювати ймовірність того, що певна частка молекул встигне за заданий проміжок часу перейти з однієї області простору в іншу.
Теорія броунівського руху, яка виходить із теоретико-імовірнісних передумов, була розроблена в
У теорії ж помилок вимірювань одночасно з Гауссом до нього прийшов також Лежандр. Спроба вивчення засобами теорії ймовірностей явища дифузії була зроблена в
Математична статистика бурхливо розвивається і в даний час. Так, за останні 40 років можна виділити чотири принципово нові напрями досліджень:
- Розробка та впровадження математичних методів планування експериментів;
- Розвиток статистики об'єктів нечислової природи як самостійного напряму в прикладній математичній статистиці;
- Розвиток статистичних методів, стійких по відношенню до малих відхилень від використовуваної ймовірнісної моделі;
- Широке розгортання робіт зі створення комп'ютерних пакетів програм, призначених для проведення статистичного аналізу даних.
2. Теоретичні основи статистичної обробки експериментальних даних
Функція розподілу ймовірностей випадкової величини
Функцією розподілу називають функцію F (х), що визначає ймовірність того, що неперервна випадкова величина Х в результаті випробування прийме значення, менше числа х:
Властивості функції розподілу:
1) значення функції розподілу належать відрізку [0,1]:
2) F (x) - неспадними функція, тобто
3) ймовірність того, що випадкова величина прийме значення, укладену в інтервалі (a, b), дорівнює приросту функції розподілу на цьому інтервалі:
4) якщо всі можливі значення випадкової величини належать інтервалу (a, b), то
Щільністю розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини Х називають функцію f (x) - першу похідну від функції розподілу F (x):
Властивості щільності розподілу:
1) щільність розподілу - невід'ємна функція: f (x) ≥ 0;
2) невласний інтеграл від щільності розподілу в межах від - ∞ до + ∞ дорівнює одиниці:
3) ймовірність того, що неперервна випадкова величина Х прийме значення, що належить інтервалу (х 1; х 2), дорівнює певному інтегралу від щільності розподілу, взятому від a до b:
Отриманий результат геометрично відображає той факт, що ймовірність попадання неперервної випадкової величини в заданий інтервал (х 1; х 2) дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої віссю Ох, графіком щільності розподілу f (x) і прямими
1.2. Числові характеристики випадкових величин
Математичне сподівання М (Х) неперервної випадкової величини, розподіленої на інтервалі (х 1; х 2), характеризує її середнє значення і визначається за формулою
Дисперсія D (X) неперервної випадкової величини, розподіленої на інтервалі (х 1; х 2), характеризує її розсіювання щодо математичного очікування і визначається за формулою
Якщо можливі значення неперервної випадкової величини належать всій числовій осі Ох, то математичне сподівання і дисперсія визначаються за формулами
Середнє квадратичне відхилення σ (Х) випадкової безперервної величини визначається за формулою
Початковим моментом
Початковий момент першого порядку випадкової величини Х відповідає її математичного сподівання.
Центральним моментом
Центральні та початкові моменти випадкової величини Х пов'язані такими співвідношеннями:
1)
2)
3)
Центральний момент третього порядку
Асиметрія позитивна, якщо «довга частина» кривої щільності розподілу розташована праворуч від математичного очікування. Асиметрія негативна, якщо «довга частина» кривої розподілу розташована зліва від математичного сподівання.
Центральний момент четвертого порядку
Ексцес позитивний, якщо крива розподілу має гостру вершину. Ексцес негативний, якщо крива розподілу має пологу вершину.
Рівномірний розподіл ймовірностей
Розподіл ймовірностей називають рівномірним, якщо на інтервалі (a; b), якому належать усі можливі значення випадкової величини, щільність розподілу зберігає постійне значення:
Функція рівномірного розподілу на інтервалі (a; b) має вигляд:
Характеристики рівномірного розподілу визначаються за формулами (2) - (4), (7), (8):
1) математичне сподівання
2) дисперсія
3) середнє квадратичне відхилення
4) асиметрія
5) ексцес
Ймовірність влучення випадкової величини Х, розподіленої по рівномірному закону, в заданий інтервал (х 1; х 2) визначається за формулою (1)
Показовий розподіл
Показовим (експоненціальним) називають розподіл неперервної випадкової величини Х, яке описується щільністю
де λ - постійна позитивна величина.
Функція показового розподілу має вигляд:
Характеристики показового розподілу визначаються за формулами (2) - (4):
1) математичне сподівання
2) дисперсія
3) середнє квадратичне відхилення
Ймовірність влучення випадкової величини Х, розподіленої по показовому закону, в заданий інтервал (х 1; х 2) визначається за формулою (1)
Нормальний розподіл
Нормальним називають розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини, яке описується щільністю
Математичне сподівання нормального розподілу одно параметру а. Середнє квадратичне відхилення нормального розподілу одно параметру σ. Коефіцієнт асиметрії
Ймовірність влучення нормально розподіленої випадкової величини Х в заданий інтервал (х 1; х 2) визначається за формулою (1):
де Ф (х) - функція Лапласа,
4. Статистичний аналіз вибіркової сукупності
Вибірковою сукупністю, або просто вибіркою, називають сукупність випадково відібраних об'єктів. Обсягом n вибіркової сукупності називають число об'єктів цієї сукупності.
Інтервальним статистичним розподілом вибірки називають перелік інтервалів та відповідних їм частот n i чи відносних частот
Гістограмою частот називають ступінчасту фігуру, що складається з прямокутників, підставами яких служать часткові інтервали довжиною h, а висоти дорівнюють відношенню
Гістограмою відносних частот називають ступінчасту фігуру, що складається з прямокутників, підставами яких служать часткові інтервали довжиною h, а висоти дорівнюють відношенню 
Для розподілу спостережень за інтервалами необхідно знайти довжину інтервалу h, яка визначається як відношення різниці між максимальним X ma х і мінімальним X min елементами вибірки до кількості інтервалів k Кількість інтервалів k (ціле число) доцільно вибрати не менше 7, але й не більше 15 або визначити за формулою Старджесса
де n - обсяг вибірки.
Якщо k, яке обчислюється за формулою Старджесса, неціле число, то в якості числа інтервалів можна найближчим до k ціле число, не менше k.
Статистичні оцінки параметрів розподілу
Вибіркової середньої
Якщо значення ознаки х 1, х 2, ...., Х k мають відповідно частоти n 1, n 2, ... .. n k, причому n 1 + n 2 + ... ... + n k = n, то
Для характеристики розсіювання значень кількісної ознаки Х вибірки навколо свого середнього значення вводять такий параметр як вибіркова дисперсія.
Вибірковою дисперсією D в називають середнє арифметичне квадратів відхилення спостережуваних значень ознаки від їх середнього значення
Якщо значення ознаки х 1, х 2, ...., Х k мають відповідно частоти n 1, n 2, ... .. n k, причому n 1 + n 2 + ... ... + n k = n, то
Вибірковим середнім квадратичним відхиленням називають квадратний корінь з вибіркової дисперсії:
Початковий емпіричний момент 
де x i - спостережуване значення ознаки, n i - частота спостережуваного значення ознаки, n - обсяг вибірки.
Початковий емпіричний момент першого порядку дорівнює вибіркової середньої
Центральний емпіричний момент
Центральний емпіричний момент другого порядку дорівнює вибіркової дисперсії
Коефіцієнт асиметрії
Ексцес
Відносною характеристикою розсіювання випадкової величини виступає коефіцієнт варіації V, який обчислюється як відношення середнього квадратичного відхилення і вибіркової середньої за формулою
Метод моментів
Метод моментів - це визначення невідомих параметрів статистичного розподілу шляхом прирівнювання теоретичних моментів розглянутого розподілу відповідним емпіричним моментів того ж порядку.
Для знаходження параметра λ показового розподілу необхідно прирівняти початковий момент першого порядку показового розподілу початкового моменту першого порядку емпіричного розподілу:
Для знаходження параметрів чи σ нормального розподілу необхідно:
1) прирівняти початковий момент першого порядку нормального розподілу до початкового моменту першого порядку емпіричного розподілу:
2) центральний момент другого порядку нормального розподілу до центрального моменту другого порядку емпіричного розподілу:
Для знаходження параметрів a і b рівномірного розподілу необхідно:
1) прирівняти початковий момент першого порядку рівномірного розподілу до початкового моменту першого порядку емпіричного розподілу:
2) центральний момент другого порядку рівномірного розподілу до центрального моменту другого порядку емпіричного розподілу:
Параметри рівномірного розподілу a і b можна визначити за формулами
Початкові емпіричні моменти третього
Центральні емпіричні моменти третього
Перевірка статистичних гіпотез
Встановлення закону розподілу вибіркової сукупності проводиться через перевірку статистичних гіпотез.
Статистичної називають гіпотезу про вид невідомого розподілу. Статистичні гіпотези бувають двох видів: нульова (висувний) гіпотеза Н 0 і конкуруюча (суперечить нульовий) Н 1.
Проведення перевірки статистичними методами приводить до появи помилок двох родів: 1) помилка першого роду - відкидання правильної гіпотези, 2) помилка другого роду - прийняття неправильної гіпотези.
Імовірність зробити помилку першого роду називають рівнем значущості і позначають через α. Найбільш часто рівень значимості беруть 0,05, що означає наявність ризику відкинути правильну гіпотезу в п'яти випадках зі ста.
Для перевірки нульової гіпотези використовується спеціально підібрана випадкова величина, яка називається статистичним критерієм.
Піднаглядним значенням критерію називають його значення, обчислене за вибіркою.
Після вибору певного критерію безліч всіх його можливих значень розбивають на два непересічних підмножини: одне з них містить значення критерію, за яких нульова гіпотеза відкидається, а інше - при яких вона приймається.
Критичною областю називають сукупність значень критерію, за яких нульову гіпотезу відкидають.
Областю прийняття гіпотези називають сукупність значень критерію, за яких нульову гіпотезу приймають.
Критичною точкою називають точку, яка відокремлює критичну область від області прийняття гіпотези. Для кожного критерію є відповідні таблиці, по яких і знаходять критичну точку.
Основний принцип перевірки статистичних гіпотез формулюється таким чином: якщо бачимо значення критерію належить критичній області - гіпотезу відкидають, якщо бачимо значення критерію належить області прийняття гіпотези - гіпотезу приймають. Для перевірки гіпотези про закономірності розподілу вибіркової сукупності застосовується критерій Пірсона
Нульову гіпотезу слід приймати, якщо бачимо значення критерію Пірсона менше значення критичної точки
Для обчислення спостережуваного значення критерію Пірсона
де k - кількість інтервалів.
Емпірична частота
де Р i - ймовірність попадання випадкової величини Х теоретичного розподілу в частковий інтервал
Вибір теоретичного розподілу визначається зразковим збігом виду гістограми відносних частот статистичного розподілу з графіком щільності відповідного розподілу випадкової величини Х (рис. 1, 2, 3). Результатом проведеного порівняльного аналізу виступає висунення гіпотези про вид розподілу вибіркової сукупності та її подальша перевірка.
Для підтвердження гіпотези, що висувається порівнюються:
1) коефіцієнт асиметрії
2) ексцес
3) коефіцієнт варіації V статистичного розподілу з коефіцієнтами варіації показового (
- Вибіркова сукупність 1 має рівномірний розподіл з параметрами a = 5,15 і b = 19,22;
- Вибіркова сукупність 2 має нормальний розподіл з параметрами a = 12,54 і s = 4,43;
- Вибіркова сукупність 3 має показове розподіл з параметром l = 0,14.
Результати порівняння коефіцієнтів асиметрії, ексцесів і коефіцієнтів варіації вибіркових сукупностей не суперечать висунутим гіпотезам:
- Коефіцієнт асиметрії і коефіцієнт варіації V = 0,33 вибіркової сукупності 1 порівнянні з відповідними параметрами рівномірного розподілу (
- Коефіцієнт асиметрії A * s =- 0,04, ексцес E * s =- 0,26, вибіркової сукупності 2 порівнянні з відповідними параметрами нормального розподілу (
- Коефіцієнт варіації V = 0,57 вибіркової сукупності 3 порівняємо з відповідним параметром показового розподілу (
Перевірка гіпотези про нормальний розподіл вибірки 2
Перевірка гіпотези про показовому розподілі вибірки 3
- Вибіркова сукупність 1 має рівномірний розподіл з параметрами a = 5,15 і b = 19,22;
- Вибіркова сукупність 1 має нормальний розподіл з параметрами a = 12,54 і s = 4,43;
- Вибіркова сукупність 3 має показове розподіл з параметром l = 0,14.
2. Гмурман В.Є. Теорія ймовірностей і математична статистика: навч. посібник для вузів. 9-е изд., Стер. М.: Вищ. шк., 2003. - 479 с.
3. Гмурман В.Є. Керівництво вирішення задач з теорії ймовірностей та математичної статистики: навч. посібник для студентів вузів. Вид. 4-е, стер. - М.: Вищ. шк., 1997. - 400 с.
4. Горєлова Г.В., Кацко І.А. Теорія ймовірностей і математична статистика в прикладах і задачах з застосуванням Excel. Навчальний посібник для вузів. Видання 2-е виправлене і доповнене. Ростов на Дону: Фенікс, 2002. - 400 с.
5. Єлісєєва М.М. та ін Теорія статистики з основами теорії ймовірностей. - М.: ЮНИТИ, 2001. - 446 с.
6. Куликова О.В., Тимофєєва Г.О., Чуєв Н.П. Дослідження вибіркових сукупностей із застосуванням програми Excel - Єкатеринбург.: УрГУПС, 2003. - 76 с.
7. Макарова Н.В., Трофимець В.Я. Статистика в Excel: Учеб. посібник. - М.: Фінанси і статистика, 2002. - 368 с.
8. Гнеденко Б.В. Нариси з історії математики в Росії. - М.; Л.: Держ. вид-во техн.-теорет. лит., 1946. - 245 с.
де x i - спостережуване значення ознаки, n i - частота спостережуваного значення ознаки, n - обсяг вибірки.
Початковий емпіричний момент першого порядку дорівнює вибіркової середньої
Центральний емпіричний момент
Центральний емпіричний момент другого порядку дорівнює вибіркової дисперсії
Коефіцієнт асиметрії
Ексцес
Відносною характеристикою розсіювання випадкової величини виступає коефіцієнт варіації V, який обчислюється як відношення середнього квадратичного відхилення і вибіркової середньої за формулою
Метод моментів
Метод моментів - це визначення невідомих параметрів статистичного розподілу шляхом прирівнювання теоретичних моментів розглянутого розподілу відповідним емпіричним моментів того ж порядку.
Для знаходження параметра λ показового розподілу необхідно прирівняти початковий момент першого порядку показового розподілу початкового моменту першого порядку емпіричного розподілу:
Для знаходження параметрів чи σ нормального розподілу необхідно:
1) прирівняти початковий момент першого порядку нормального розподілу до початкового моменту першого порядку емпіричного розподілу:
2) центральний момент другого порядку нормального розподілу до центрального моменту другого порядку емпіричного розподілу:
Для знаходження параметрів a і b рівномірного розподілу необхідно:
1) прирівняти початковий момент першого порядку рівномірного розподілу до початкового моменту першого порядку емпіричного розподілу:
2) центральний момент другого порядку рівномірного розподілу до центрального моменту другого порядку емпіричного розподілу:
Параметри рівномірного розподілу a і b можна визначити за формулами
Початкові емпіричні моменти третього
Центральні емпіричні моменти третього
Перевірка статистичних гіпотез
Встановлення закону розподілу вибіркової сукупності проводиться через перевірку статистичних гіпотез.
Статистичної називають гіпотезу про вид невідомого розподілу. Статистичні гіпотези бувають двох видів: нульова (висувний) гіпотеза Н 0 і конкуруюча (суперечить нульовий) Н 1.
Проведення перевірки статистичними методами приводить до появи помилок двох родів: 1) помилка першого роду - відкидання правильної гіпотези, 2) помилка другого роду - прийняття неправильної гіпотези.
Імовірність зробити помилку першого роду називають рівнем значущості і позначають через α. Найбільш часто рівень значимості беруть 0,05, що означає наявність ризику відкинути правильну гіпотезу в п'яти випадках зі ста.
Для перевірки нульової гіпотези використовується спеціально підібрана випадкова величина, яка називається статистичним критерієм.
Піднаглядним значенням критерію називають його значення, обчислене за вибіркою.
Після вибору певного критерію безліч всіх його можливих значень розбивають на два непересічних підмножини: одне з них містить значення критерію, за яких нульова гіпотеза відкидається, а інше - при яких вона приймається.
Критичною областю називають сукупність значень критерію, за яких нульову гіпотезу відкидають.
Областю прийняття гіпотези називають сукупність значень критерію, за яких нульову гіпотезу приймають.
Критичною точкою називають точку, яка відокремлює критичну область від області прийняття гіпотези. Для кожного критерію є відповідні таблиці, по яких і знаходять критичну точку.
Основний принцип перевірки статистичних гіпотез формулюється таким чином: якщо бачимо значення критерію належить критичній області - гіпотезу відкидають, якщо бачимо значення критерію належить області прийняття гіпотези - гіпотезу приймають. Для перевірки гіпотези про закономірності розподілу вибіркової сукупності застосовується критерій Пірсона
Нульову гіпотезу слід приймати, якщо бачимо значення критерію Пірсона менше значення критичної точки
Для обчислення спостережуваного значення критерію Пірсона
де k - кількість інтервалів.
Емпірична частота
де Р i - ймовірність попадання випадкової величини Х теоретичного розподілу в частковий інтервал
Вибір теоретичного розподілу визначається зразковим збігом виду гістограми відносних частот статистичного розподілу з графіком щільності відповідного розподілу випадкової величини Х (рис. 1, 2, 3). Результатом проведеного порівняльного аналізу виступає висунення гіпотези про вид розподілу вибіркової сукупності та її подальша перевірка.
Для підтвердження гіпотези, що висувається порівнюються:
1) коефіцієнт асиметрії
2) ексцес
3) коефіцієнт варіації V статистичного розподілу з коефіцієнтами варіації показового (
Характеристики вибіркових сукупностей
| Вибірка | Характеристики | |||
| X min | X max | | ||
| 1 | 5,1 ≈ 5 | 18,76 ≈ 20 | 6 | 2,5 |
| 2 | 0,18 ≈ 0 | 22,06 ≈ 25 | 5 | 5 |
| 3 | 0,03 ≈ 0 | 30,76 ≈ 35 | 7 | 5 |
Центральні емпіричні моменти вибірок
| Параметри | Вибірка | ||
| 1 | 2 | 3 | |
| m 2 | 16,48 | 19,62 | 48,58 |
| m 3 | 1,19 | -3,79 | 513,41 |
| m 4 | 488,96 | 1053,94 | 11404,22 |
Параметри статистичних розподілів вибірок
| Параметри | Вибірка | ||
| 1 | 2 | 3 | |
| 12,19 | 12,54 | 12,19 | |
| 4,06 | 4,43 | 6,97 | |
| 0,02 | -0,04 | 1,5 | |
| -1,20 | -0,26 | 1,83 | |
| 0,33 | 0,35 | 0,57 | |
- Вибіркова сукупність 2 має нормальний розподіл з параметрами a = 12,54 і s = 4,43;
- Вибіркова сукупність 3 має показове розподіл з параметром l = 0,14.
Результати порівняння коефіцієнтів асиметрії, ексцесів і коефіцієнтів варіації вибіркових сукупностей не суперечать висунутим гіпотезам:
- Коефіцієнт асиметрії і коефіцієнт варіації V = 0,33 вибіркової сукупності 1 порівнянні з відповідними параметрами рівномірного розподілу (
- Коефіцієнт асиметрії A * s =- 0,04, ексцес E * s =- 0,26, вибіркової сукупності 2 порівнянні з відповідними параметрами нормального розподілу (
- Коефіцієнт варіації V = 0,57 вибіркової сукупності 3 порівняємо з відповідним параметром показового розподілу (
Перевірка гіпотези про рівномірний розподіл вибірки 1
| Нульова гіпотеза Н 0: вибіркова сукупність 1 має рівномірний розподіл з параметрами a = 5,15 і b = 19,22. |
| Число ступенів свободи: r = 3. |
| Рівень значимості α = 0,05. |
| Критична точка |
| Спостережуване значення критерію Пірсона |
| Критична область |
| Область прийняття гіпотези |
| Умова прийняття Н 0 |
| Умова неприйняття Н 0 |
| Результат перевірки гіпотези: вибіркова сукупність 1 має рівномірний розподіл з параметрами a = 5,15 і b = 19,22. |
Перевірка гіпотези про нормальний розподіл вибірки 2
| Нульова гіпотеза Н 0: вибіркова сукупність 2 має нормальний розподіл з параметрами a = 12,54 і s = 4,43. |
| Число ступенів свободи: r = 2. |
| Рівень значимості α = 0,05 |
| Критична точка |
| Спостережуване значення критерію Пірсона |
| Критична область |
| Область прийняття гіпотези |
| Умова прийняття Н 0 |
| Умова неприйняття Н 0 |
| Результат перевірки гіпотези: вибіркова сукупність 2 має нормальний розподіл з параметрами a = 12,54 і s = 4,43. |
| Нульова гіпотеза Н 0: Вибіркова сукупність 3 має показове розподіл з параметром l = 0,14. |
| Число ступенів свободи: r = 5 |
| Рівень значимості α = 0,05 |
| Критична точка |
| Спостережуване значення критерію Пірсона |
| Умова прийняття Н 0 |
| Результат перевірки гіпотези: вибіркова сукупність 3 має показове розподіл з параметром l = 0,14. |
Висновок
За допомогою програми Excel був проведений статистичний аналіз 3-х вибіркових сукупностей і було встановлено, що:- Вибіркова сукупність 1 має рівномірний розподіл з параметрами a = 5,15 і b = 19,22;
- Вибіркова сукупність 1 має нормальний розподіл з параметрами a = 12,54 і s = 4,43;
- Вибіркова сукупність 3 має показове розподіл з параметром l = 0,14.
Список літератури
1. Вентцель Є.С., Овчаров Л.А. Завдання і вправи з теорії ймовірностей: навч. посібник для вузів. 4-е вид., Перераб. і доп. М.: Вищ. шк., 2002. - 448 с.2. Гмурман В.Є. Теорія ймовірностей і математична статистика: навч. посібник для вузів. 9-е изд., Стер. М.: Вищ. шк., 2003. - 479 с.
3. Гмурман В.Є. Керівництво вирішення задач з теорії ймовірностей та математичної статистики: навч. посібник для студентів вузів. Вид. 4-е, стер. - М.: Вищ. шк., 1997. - 400 с.
4. Горєлова Г.В., Кацко І.А. Теорія ймовірностей і математична статистика в прикладах і задачах з застосуванням Excel. Навчальний посібник для вузів. Видання 2-е виправлене і доповнене. Ростов на Дону: Фенікс, 2002. - 400 с.
5. Єлісєєва М.М. та ін Теорія статистики з основами теорії ймовірностей. - М.: ЮНИТИ, 2001. - 446 с.
6. Куликова О.В., Тимофєєва Г.О., Чуєв Н.П. Дослідження вибіркових сукупностей із застосуванням програми Excel - Єкатеринбург.: УрГУПС, 2003. - 76 с.
7. Макарова Н.В., Трофимець В.Я. Статистика в Excel: Учеб. посібник. - М.: Фінанси і статистика, 2002. - 368 с.
8. Гнеденко Б.В. Нариси з історії математики в Росії. - М.; Л.: Держ. вид-во техн.-теорет. лит., 1946. - 245 с.