Специфіка проведення вимірювань і обробки результатів

Розрахунково-графічна робота

З ДИСЦИПЛІНИ

Метрологія, стандартизація та технічні вимірювання

Завдання 1. Одноразове вимірювання

Умова завдання

При одноразовому вимірюванні фізичної величини отримано показник засобу вимірювання X = 10. Визначити, чому одно значення вимірюваної величини, якщо експериментатор має апріорної інформацією про засіб вимірювань та умови виконання вимірювань згідно з даними таблиці 1.

Експериментальні дані:

Інформація про засіб виміру:

Вид закону розподілу нормальний

Значення оцінки середнього квадратичного відхилення

Довірча ймовірність

Мультиплікативна поправка

Розрахунок

Межа, в якому знаходиться значення вимірюваної величини без урахування поправки визначається як:

; ,

де Е - довірчий інтервал. Значення Е визначається в залежності від закону розподілу ймовірності результату вимірювання. Для нормального закону

де t - квантиль розподілу для заданої довірчої ймовірності. Його вибирають з таблиці інтегральної функції нормованого нормального розподілу , При цьому слід враховувати, що . T = 1,64 при P = 0,9

Використовуючи правила округлення, отримаємо:

З урахуванням поправки значення вимірюваної величини визначається як:

; .

Вносимо мультипликативную поправку:

, , .

Записуємо результат:

<Q < ; P = 0,9

Завдання 2. Багаторазове вимірювання

Умова завдання

При багаторазовому вимірі однієї і тієї ж фізичної величини отримана серія з 24 результатів вимірювань . Ці результати після внесення поправок представлені в таблиці. Визначити результат вимірювання.

1	2	3	4	5	6	7	8
48 5	48 4	48 6	48 2	48 3	484	48 4	48 1
9	10	11	12	13	14	15	16
48 5	48 5	Квітень 1985	Квітень 1992	484	481	480	481
17	18	19	20	21	22	23	24
484	485	485	484	483	483	485	492

Для обробки результатів вимірювань необхідно виключити помилки. Число вимірювань лежить в діапазоні 10 ... 15 <n <40 ... 50. Тому виключення помилок проводиться на основі критерію.

Визначаємо середнє арифметичне і середньоквадратичне відхилення результатів вимірювань.

Далі визначаємо значення критерію для кожного значення результату вимірювань за формулою:

Відповідно до довірчою ймовірністю з урахуванням знаходимо з відповідної таблиці значення , Яке залежить від кількості вимірювань і .

При , Отже значення 492 виключаємо як помилку.

Виключення помилок продовжується до тих пір, поки не буде виконуватися умова .

1	2	3	4	5	6	7	8
48 5	48 4	48 6	48 2	48 3	484	48 4	48 1
9	10	11	12	13	14	15	16
48 5	48 5	Квітень 1985	484	481	480	481	484
17	18	19	20	21	22
485	485	484	483	483	485

Заново визначаємо значення критерію для кожного значення результату вимірювань за формулою:

Умова виконується для всіх результатів вимірювань.

Наступним кроком аналізу є перевірка гіпотези про нормальність розподілу залишилися результатів вимірювань. Перевірка виконується за складеним критерієм, так як кількість результатів вимірювань лежить в діапазоні 10 ... 15 <n <40 ... 50.

Застосовуючи перший критерій, слід обчислити відношення:

і порівняти з і .

Задаємося рекомендованої довірчою ймовірністю і для рівня значущості визначаємо з відповідної таблиці квантами розподілу і .

Значення відповідає умові . Перший критерій виконується.

Застосовуючи другий критерій, задаємося рекомендованої довірчою ймовірністю і для рівня значущості з урахуванням за відповідними таблицями визначаємо значення і .

Для з таблиці для інтегральної функції нормованого нормального розподілу визначаємо значення і розраховуємо E:

Використовуючи правила округлення, отримаємо:

Далі порівнюємо значення і .

1	2	3	4	5	6	7	8
1,41	0,41	2,41	1,59	1,59	0,41	0,41	1,59
9

10	11	12	13	14	15	16
1,41	1,41	1,41	0,41	2,59	3,59	2,59	0,41
17	18	19	20	21	22
1,41	1,41	0,41	0,59	0,59	1,41

Ми бачимо, що не більше m різниць перевершують , Отже другий критерій, а разом з тим і складовою критерій виконується повністю. Закон розподілу можна визнати нормальним з імовірністю .

Визначаємо стандартне відхилення середнього арифметичного.

Так як закон розподілу нормальний, то стандартне відхилення середнього арифметичного визначається наступним чином:

Визначаємо довірчий інтервал

Закон розподілу нормальний, отже довірчий інтервал для заданої довірчої ймовірності визначається з розподілу Стьюдента , Де визначається з відповідної таблиці.

Використовуючи правила округлення, отримаємо:

Результат вимірювань запишеться у вигляді:

Завдання 3. Обробка результатів декількох серій вимірювань

Умова завдання

При багаторазових вимірюваннях однієї і тієї ж величини отримані дві серії по 12 ( ) Результатів вимірювань у кожній. Ці результати після внесення поправок представлені в таблиці. Обчислити результат багаторазових вимірювань.

Серія вимірювань 1.

1	2	3	4	5	6
485	484	486	482	483	484
7	8	9	10	11	12
484	481	485	485	485	492

Серія вимірювань 2.

1	2	3	4	5	6
484	481	480	481	484	485
7	8	9	10	11	12
485	484	483	483	485	492

Обробка результатів проводиться для кожної серії окремо.

Для обробки результатів серій вимірювань необхідно виключити помилки. Число вимірювань лежить в діапазоні 10 ... 15 <n <40 ... 50. Тому виключення помилок проводиться на основі критерію.

Серія вимірювань 1.

Визначаємо середнє арифметичне і середньоквадратичне відхилення результатів серії вимірювань 1.

Далі визначаємо значення критерію для кожного значення результату серії вимірювань за формулою:

При , Отже, значення 492 виключаємо як помилку.

Виключення помилок продовжується до тих пір, поки не буде виконуватися умова .

1	2	3	4	5	6
485	484	486	482	483	484
7	8	9	10	11
484	481	485	485	485

Заново визначаємо значення критерію для кожного значення результату серії вимірювань за формулою:

Умова виконується для всіх результатів серії вимірювань.

Наступним кроком аналізу є перевірка гіпотези про нормальність розподілу залишилися результатів серії вимірювань. Перевірка виконується за складеним критерієм, так як кількість результатів серії вимірювань лежить в діапазоні 10 ... 15 <n <40 ... 50.

Застосовуючи перший критерій, слід обчислити відношення:

і порівняти з і .

Значення відповідає умові . Перший критерій виконується.

, .

Використовуючи правила округлення, отримаємо:

Далі порівнюємо значення і .

1	2	3	4	5	6
1	0	2	2	1	0
7	8	9	10	11
0	3	1	1	1

Ми бачимо, що не більше різниць перевершують значення . Отже, другий критерій, а разом з тим і складовою критерій виконуються повністю. Закон розподілу можна визнати нормальним з імовірністю

Серія вимірювань 2.

Визначаємо середнє арифметичне і середньоквадратичне відхилення результатів серії вимірювань 2.

1	2	3	4	5	6
484	481	480	481	484	485
7	8	9	10	11	12
485	484	483	483	485	492

Далі визначаємо значення критерію для кожного значення результату серії вимірювань за формулою:

При , Отже значення 492 виключаємо як помилку.

Виключення помилок продовжується до тих пір, коли не буде виконуватися умова .

1	2	3	4	5	6
484	481	480	481	484	485
7	8	9	10	11
485	484	483	483	485

Заново визначаємо значення критерію для кожного значення результату серії вимірювань за формулою:

Умова виконується для всіх результатів серії вимірювань.

Застосовуючи перший критерій, слід обчислити відношення:

і порівняти з і .

Значення відповідає умові . Перший критерій виконується.

, .

Використовуючи правила округлення, отримаємо:

Далі порівнюємо значення і .

1	2	3	4	5	6
0,82	2,18	3,18	2,18	0,82	1,82
7	8	9	10	11
1,82	0,82	0,18	0,18	1,82

Ми бачимо, що не більше різниць перевершують значення . Отже другий критерій, а разом з тим і складовою критерій виконується повністю. Закон розподілу можна визнати нормальним з імовірністю .

Далі необхідно перевірити значущість відмінності середніх арифметичних серій.

Для цього необхідно обчислити моменти закону розподілу різниці:

Поставивши собі за довірчою ймовірністю , Визначаємо з відповідних таблиць інтегральної функції нормованого нормального розподілу значення і порівнюємо з .

Умова виконується. Різниця між середніми арифметичними в серіях з довірчою ймовірністю можна визнати незначним.

Далі необхідно перевірити равнорассеянность результатів вимірювань у серіях.

Для цього визначаємо значення:

І, поставивши довірчою ймовірністю , Визначаємо з відповідних таблиць значення аргументу інтегральної функції розподілу ймовірності Фішера .

Умова виконується. Серії з довірчою ймовірністю вважаємо розсіяними.

Вище було показано, що серії равнорассеяни і з незначним розходженням середніх арифметичних. Виходячи з цього всі результати вимірювань об'єднуються в єдиний масив і потім для нього виконується обробка за алгоритмом, відповідно до якого необхідно визначити оцінку результату вимірювання і середньоквадратичного відхилення .

Поставивши собі за довірчою ймовірністю , Визначаємо з таблиць розподілу Стьюдента значення для числа ступенів свободи

Потім визначаємо довірчий інтервал :

Використовуючи правила округлення, отримаємо:

Результат вимірювань запишеться у вигляді:

Завдання 4. Функціональні перетворення результатів вимірювань (непрямі виміри)

Умова завдання

При багаторазових вимірюваннях незалежних величин і отримано по 12 (n) результатів вимірювань. Ці результати після внесення поправок представлені в таблиці 2. Визначити результат обчислення , (Вид функції і характер величин представлені в таблиці 3).

Вид функціональної залежності .

Характер та одиниці величин:

- ЕРС, мВ;

- Опір, Ом;

- Сила струму, А.

Обробка результатів вимірювань величин і проведена в завданні 3 першої розрахунково-графічної роботи.

Середні значення та середньоквадратичне відхилення для величин і мають вигляд

Гіпотеза про нормальність розподілу величин і підтверджується.

Визначимо оцінку середнього значення функції:

Визначимо поправку

Визначимо оцінку стандартного відхилення функції

Визначаємо довірчий інтервал для функції

Закони розподілу ймовірності результатів вимірювання і визнані нормальними, можна визначити для прийнятої довірчої ймовірності з таблиць для розподілу Стьюдента. При цьому число ступенів свободи визначається з виразу

Використовуючи правила округлення, отримаємо:

Результат запишеться у вигляді:

Завдання 5. Обробка експериментальних даних при вивченні залежностей

Умова завдання

При багаторазових спільних вимірах величин і отримано по 20 (n) пар результатів вимірювань. Ці результати після внесення поправок представлені в таблиці 4. Визначити рівняння регресії по : .

1	2	3	4	5	6	7
61; червня 2002	2 червня; 613	3 червень; 620	6 квітня; 631	5 червня; 639	6 червня; 648	67; 656
8	9	10	11	12	13	14
68; 662	69; 667	70; 682	9; 87	19; 188	29; 286	39; 386
15	16	17	18	19	20
9 квітень; 485	59; 575	69; 667	79; 770	89; 868	99; 966

У якості прямої регресії будемо використовувати пряму виду

Параметри прямої визначимо за методом найменших квадратів.

Далі перевіряємо правильність вибору виду рівняння регресії. Для цього слід застосувати критерії серій і інверсій.

Розраховуємо відхилення експериментальних значень від відповідних розрахункових значень, розрахованих для того ж аргументу:

3	4	5	6	7
-4,67	-0,67	0,33	3,33	5,33	-1,67	5,93
8	9	10	11	12	13	14
7,23	4,53	5,83	4,13	3,43	1,73	-1,97
15	16	17	18	19	20
-6,67	-6,67	-1,37	-0,67	0,33	1,33

послідовність Δ Yi записана в міру зростання Х

Критерій серій:

Розраховуємо кількість серій в отриманій послідовності: N = 6

Поставивши собі за довірчою ймовірністю , Для n = 20 визначаємо за таблицею допустимі межі і :

Критерій інверсій:

Розраховуємо кількість інверсій А в отриманій послідовності : А = 106.

Поставивши собі за довірчою ймовірністю для n = 20 визначаємо за таблицею допустимі межі і :

Обидва нерівності виконуються і . Тому можна вважати, що розраховане рівняння регресії достовірно описує експериментально досліджувану залежність.