Системи з постійною парному частиною

Дипломна робота

"Системи з постійною парному частиною"

Зміст

Введення

1. Парні і непарні вектор-функції

2. Основні відомості з теорії відображають функцій

3. Системи чет-непар

4. Побудова прикладів систем, парна частина загального рішення яких постійна

5. Прості і прості системи

6. Побудова безлічі систем, парна частина загального рішення яких постійна

6.1 Системи, що мають постійну парну частину

6.2 Побудова систем із заданою парному частиною

Висновок

Список використаних джерел ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 25

Введення

Основним інструментом нашого дослідження є поняття відображає функції. Дослідження за допомогою відображає функції дозволяє отримати нові результати навіть для вже добре вивчених лінійних систем.

При вивченні питань існування періодичних розв'язків диференціальних систем і рівнянь використовуються властивості симетричності (парність, непарність тощо) як функцій, які задають досліджувану систему, так і самих рішень.

У даній роботі ми будемо розглядати сімейства рішень з постійною парному частиною, тобто коли парна частина буде представлена у вигляді константи.

Розберемо приклади систем, сімейства рішень яких мають постаянно парну частину. Будемо вивчати побудова систем із заданою парному частиною.

1. Парні і непарні вектор-функції

За аналогією з речовими функціями однієї змінної, вектор-функцію , будемо називати парному (непарному), якщо для всіх , є парною (непарною) функцією, тобто область визначення симетрична відносно нуля і ( ).

Будь-яку функцію із симетричною областю визначення, можна представити як суму парному і непарному функцій. Дійсно, якщо

то

і є парною функцією, а - Нечетной.

будемо називати парному частиною функції , - Нечетной.

Відзначимо наступні властивості парних і непарних функцій.

Властивість 19 Похідна дифференцируемой парному (непарному) функції є функція непарна (парний).

Доказ. a) - Парна функція.

Т.к. і існують або не існують одночасно, то , і . Таким чином, похідна парному функції є функція непарна.

б) - Непарна функція.

Т.к. і існують або не існують одночасно, то , і . Таким чином, похідна непарної функції є функція парна.

Властивість 19 Якщо - Непарна функція, то .

Доказ. Оскільки - Непарна функція, то

Підставивши замість отримуємо

Звідки випливає

2. Основні відомості з теорії відображають функцій

Розглянемо систему

вважаючи, що її права частина безперервна і має безперервні приватні похідні по . Загальне рішення цієї системи у формі Коші позначимо через . Через позначимо інтервал існування рішення

Нехай

Визначення: відбиває функції системи назвемо дифференцируемую функцію

визначається формулою

або формулами

Для відображає функції справедливі властивості:

1) Для будь-якого рішення

системи вірно тотожність

2) Для відображає функції будь-якої системи виконані тотожності:

3) дифференцируемая функція

буде відбиває функцією системи тоді і тільки тоді, коли вона задовольняє рівнянням в приватних похідних

та початкової умові

Рівняння будемо називати основним рівнянням (основним співвідношенням) для відображає функції.

Доказ. Властивість 1) випливає безпосередньо з визначення. Для доказу властивості 2) зауважимо, що відповідно до властивості 1) для будь-якого рішення системи вірні тотожності

З цих тотожностей в силу того, що через кожну точку проходить деякий рішення системи, і слідують тотожності.

Приступимо до доведення властивості 3). Нехай - Відображає функція системи. Тоді для неї вірно тотожність. Продифференцируем це тотожність по і скористаємося тим, що - Рішення системи, і самим тотожністю. Отримаємо тотожність

з якого в силу довільності рішення випливає, що - Рішення системи. Початкове умова відповідно до властивості 2) так само виконується.

Нехай деяка функція задовольняє системі і умові. Так як цій системі і цій умові задовольняє так само і відображає функція, то з єдиності рішення задачі - функція повинна збігатися з відображає функцією. Властивість 3) доведено.

Лемма Основна лема 19 порожніх права частина системи -Періодична по , Безперервна і має безперервні приватні похідні за змінними . Тоді відображення за період для системи можна знайти за формулою

і тому рішення

системи буде -Періодичним тоді і тільки тоді, коли є рішення недіфференціальной системи

Як наслідки цієї леми доведемо наступне припущення.

Затвердження 19 порожніх безперервно диференціюється функція -Періодична і непарна по , Тобто

і . Тоді всяке продовження на відрізок рішення системи буде -Періодичним і парних по .

Доказ. Для доказу достатньо зауважити, що функція задовольняє рівнянню і умові. Тому вона відповідно до властивості 3) є відбиває функцією даної системи. Рівняння в нашому випадку вироджується в тотожність, і йому задовольняє будь , Для якого визначено значення

Згідно з основною лемі будь продолжімое на рішення системи буде -Періодичним. Парність довільного рішення системи випливає з тотожностей

справедливих в силу властивості 1) відбиває функції.

Справедливі наступні твердження.

Теорема 19 порожніх всі рішення системи -Періодичні і однозначно визначаються своїми початковими даними. Тоді відображає функція цієї системи -Періодична по

Теорема 19 порожніх система -Періодична по а її рішення однозначно визначаються своїми початковими даними й існують при всіх Якщо, крім того, що відображає функція цієї системи -Періодична по то всі рішення системи періодичні з періодом

Аналогічна теорема має місце в тому випадку, коли не всі рішення системи продолжіми на відрізок При цьому висновок про -Періодичності можна зробити лише для тих рішень, які існують при всіх

З -Періодичності відображає функції слід -Періодичність всіх продолжімих на рішень періодичної системи. З -Періодичності відображає функції не випливає, взагалі кажучи, -Періодичність рішень -Періодичної системи, хоча слід їх -Періодичність.

Не слід думати, що якщо всі рішення -Періодичної системи -Періодичні, то її відображає функція повинна бути -Періодичною. Цьому суперечить приклад рівняння

У випадку, коли , Тобто коли система вироджується в рівняння, вірна

Теорема 19 порожніх рівняння -Періодично по а його рішення однозначно визначаються своїми початковими даними й існують при всіх Тоді для того, щоб всі рішення рівняння були -Періодичні, необхідна і достатня -Періодичність за відбиває функції цього рівняння.

3. Системи чет-непар

Розглянемо систему

Будемо вважати, що всюди в подальшому ця система задовольняє умовам:

а) Функція безперервно дифференцируема, і тому, задача Коші для системи має єдине рішення;

б) Права частина системи -Періодична по .

Лемма 19 порожніх система задовольняє умовам а) і б). Тоді продолжімое на відрізок рішення цієї системи буде -Періодичним тоді і тільки тоді, коли

де

- Є непарна частина рішення .

Доказ. Нехай - -Періодичне рішення системи. Тоді

Необхідність доведена.

Нехай - Рішення системи, для якого . Тоді

і тому

Таким чином, точка є нерухома точка відображення за період, а рішення - -Періодичне.

Доведена лема, питання про періодичність рішення

зводить до обчислення одного із значень непарної частини . Іноді щодо можна сказати більше, ніж про саме рішення . Це дозволяє в таких випадках робити різні висновки щодо існування періодичних рішень у систем виду. Диференціюються функції

задовольняють деякій системі диференціальних рівнянь. Перш, ніж виписати цю систему, зауважимо:

так як

рішення системи. Замінюючи в тотожність на і враховуючи, що похідна парному функції - функція непарна, а похідна непарної функції - функція парна, отримуємо тотожність -

З тотожностей і знайдемо похідні:

Таким чином вектор-функція

задовольняє наступній системі диференціальних рівнянь порядку :

При цьому

Систему будемо називати системою чет-непарне, відповідної системи. рішення системи чет-непарне, як випливає з умови а), однозначно визначається своїми початковими умовами.

4. Побудова прикладів систем, парна частина загального рішення яких постійна

Приклад

Знайдемо рішення: будемо використовувати метод виключення, візьмемо перше рівняння системи і висловимо з нього :

тепер продифференцируем його

Ми можемо прирівняти ліву частину отриманого рівняння з лівою частиною другого рівняння вихідної системи

Зробимо перетворення і наведемо подібні

Таким чином:

Зробимо перевірку, для цього у вихідну систему підставимо отримане рішення:

Отримали вірні рівності. Значить було знайдено правильне рішення вихідної системи.

Парна частина загального рішення:

Приклад

тепер продифференцируем його

Ми можемо прирівняти ліву частину отриманого рівняння з лівою частиною другого рівняння вихідної системи

Зробимо перетворення і наведемо подібні

Таким чином:

Зробимо перевірку:

Парна частина загального рішення

Приклад

тепер продифференцируем його

Ми можемо прирівняти ліву частину отриманого рівняння з лівою частиною другого рівняння вихідної системи

Отримали два рішення і .

1) ;

2) ;

Зробимо перевірку для :

Отримали вірні рівності. Значить було знайдено правильне рішення вихідної системи.

Зробимо перевірку для :

Звідси видно, що не є рішенням для вихідної системи.

Таким чином:

Парна частина загального рішення

З даних прикладів можемо помітити, що рішення систем записується у вигляді:

де і - Непарні функції, а парна частина представлена константою.

; ;

Системи виду матимуть сімейства рішень з постійною парному частиною. У цьому легко переконатися, проробивши обчислення, аналогічні попереднім прикладів.

5. Прості і прості системи

Лемма 19 Для будь-якої безперервно диференціюється

для якої виконані тотожності, мають місце співвідношення

Теорема 19 Для будь-якої двічі безперервно диференціюється визначеної в симетричною області , Яка містить гіперплоскость для якої виконані тотожності, існує диференціальна система

c безперервно диференціюється правою частиною, що відображає функція якої співпадає з .

Теорема 19 Для будь-якої двічі безперервно диференціюється

визначеної в області містить гіперплоскость , Для якої виконані тотожності, при всіх і досить малих існує диференціальна система

відображає функція якої співпадає з а загальний інтеграл задається формулою

Слідство 19 Двічі безперервно диференціюється функція

є відбиває функцією хоча б однієї диференціальної системи тоді і тільки тоді, коли для неї виконані тотожності.

Системи, існування яких гарантується теоремами 19 і 19 , Називаються відповідно простий і найпростішою.

Теорема 19 порожніх

найпростіша система, тоді

де - Відображає функція системи.

Доказ. Якщо система найпростіша,

Теорема 19 порожніх

є відображає функція деякою диференціальної системи, рішення якої однозначно визначаються своїми початковими даними, а для безперервно диференціюється

виконані тотожності. Тоді для того, щоб в області функція збігалася з необхідно і достатньо, щоб дана система мала вигляд

або вид

де

є деяка безперервна вектор-функція.

Будемо говорити, що безліч систем виду утворює клас еквівалентності, якщо існує дифференцируемая функція

з властивостями:

1) Oтражающая функція

будь-якої системи з розглянутого безлічі збігається у своїй області визначення з функцією

2) Будь-яка система виду, що відображає функція

якої збігається в області з функцією міститься в розглянутому множині.

Дві системи виду, що належать одному класу еквівалентності, будемо називати еквівалентними. Допускаючи певну вільність мови, будемо говорити також, що вони мають одну і ту ж відображає функцію. Функцію при цьому будемо називати відбиває функцією класу, а клас - відповідним відображає функції .

З третього властивості відображає функції випливає, що система і система

належать одному класу еквівалентності тоді і тільки тоді, коли система рівнянь

совместна.

Необхідною умовою спільності цієї системи є тотожність .

6. Побудова безлічі систем, парна частина загального рішення яких постійна

6.1 Системи, що мають постійну парну частину

Нехай нам дана система

Перед нами стоїть наступне питання про те, коли сімейство рішень цієї системи будуть мати постійну парну частину.

Тобто, коли не залежатиме від часу .

Візьмемо відображає функцію системи і використовуючи

отримаємо парну частину таким чином:

Теорема 19 Якщо виконано тотожність

де - Відображає функція, для лінійної системи вигляду, то будь-яке рішення цієї системи має постійну парну частину.

Доказ. Візьмемо будь-яке рішення системи. Його похідна

Тому можемо записати

З умови теореми маємо

Таким чином маємо, що - Парна вектор-функція. Тоді

6.2 Побудова систем із заданою парному частиною

Розглянемо систему. Будемо будувати систему із заданою парному частиною.

Нехай нам відома парна частина . Скористаємося формулою і перетворимо її

Отже, можемо записати

Звідси знаючи, одержимо

де - Відображає функція системи. Виключаючи з попереднього співвідношення, з довільною відбиває функцією , Що задовольняє умові

отримаємо необхідну систему.

Приклад 19 Нехай

де - Задана парна частина, . Продифференцируем обидві частини рівності

Перетворимо праву частину

Перепишемо отримане у вигляді:

Висловимо :

Для всіх систем виду повинна бути виконана умова

Візьмемо

Знайдемо , . ;

Підставимо значення , в систему:

Отримуємо необхідну систему:

Приклад 19 Нехай

де - Задана парна частина, . Продифференцируем обидві частини рівності

і перетворимо праву частину

Перепишемо отримане у вигляді:

Висловимо :

Для всіх таких систем має бути виконана умова .

Візьмемо . Знайдемо , . ,

Підставимо знайдені значення в систему і зробивши перетворення аналогічні приклад 19 , Отримуємо:

Розглянемо тепер загальний випадок, коли нам задана парна частина спільного рішення системи з відображає функцією . У цьому випадку

Тому, якщо нам задана, то зі співвідношення

при заданій ми знайдемо спільне рішення шуканої системи. Саму систему ми побудуємо виключаючи з співвідношень

Таким чином, ми прийшли до

Теорема 19 Усяке система

де знаходяться з системи

при будь-якої заданої диференціюється , Що задовольняє співвідношенням

має спільне рішення з парної частиною .

Якщо

то система має вигляд:

Таким чином, ми прийшли до висновку:

Слідство 19 Загальне рішення диференціальної системи має постійну парну частину тоді і тільки тоді, коли ця система найпростіша.

Висновок

Основним результатом даної роботи є побудова диференціальних систем, сімейство рішень яких має задану парну частину. А так же теорема про зв'язок найпростішої системи і системи, сімейство рішень якої має постійну парну частину.

Теорема. Загальне рішення диференціальної системи має постійну парну частину тоді і тільки тоді, коли ця система найпростіша.

Список використаних джерел

5 Арнольд В.І., Звичайні диференціальні рівняння, М.: Наука, 1971 - 240 с.

5 Бібіков Ю.М., Загальний курс диференціальних рівнянь, вид. Ленінградського університету, 1981 - 232 с.

5 Еругін Н.П., Книга для читання по загальному курсу диференціальних рівнянь. 3-е видання, М. изд. Наука і Техніка, 1979 - 744 с.

5 Мироненко В.І., Відбивна функція і періодичні рішення диференціальних рівнянь, м. Мінськ: вид. Університетське, 1986 - 76 с.

5 Понтрягин Л.С., Звичайні диференціальні рівняння, М.: Наука, 1970 - 331 с.