Симетрія молекул і кристалів
1 - поворот тіла на певний кут навколо деякої осі;
2 - дзеркальне відображення в деякій площині;
3 - паралельний перенос тіла на деяку відстань.
Останнім типом перетворень може володіти лише нескінченна середовище (кристалічна решітка). Тіло ж кінцевих розмірів (молекула) може бути симетрична тільки по відношенню до поворотів і відображенням.
2. Якщо тіло поєднується саме з собою при повороті навколо деякої осі на кут j = 2 p / n, то така вісь називається віссю симетрії n-го порядку і позначається C n. Число n може мати різні цілі значення n = 2,3.4 ... Значення n = 1 відповідає повороту на кут 2 p / 1, або 0, тобто відповідає тотожному перетворенню. Повторюючи операцію C n два, три і т.д. раз отримуємо поворот на кут 2 × 2 p / n, 3 × 2 p / n, ... і т.д. Ці повороти також поєднують тіло саме з собою і позначаються C n 2, C n 3 і т.д. Очевидно, що якщо n кратно p, то C n p = C n / p. Зробивши перетворення n разів, ми повернемося в початкове положення, тобто зробимо тотожне перетворення, яке прийнято позначати символом Е.
3. Якщо тіло поєднується саме з собою при дзеркальному відображенні в деякій площині s, то така площину називається площиною симетрії. Операцію відображення зазвичай позначають також символом s. Очевидно, що дворазове відображення в одній площині є тотожне перетворення ss -1 = Е.
4. Одночасне застосування обох перетворень повороту та відображення приводимо до так званої дзеркально-поворотної осі S n. Тіло має дзеркально-поворотною віссю n-го порядку, якщо воно поєднується з самим собою при повороті навколо цієї осі на кут 2 p / n і наступному відображення в площині s h, перпендикулярної до цієї осі. Це новий вид симетрії, якщо n парне. Якщо n-непарне, то застосування цієї операції n раз дасть поворот на кут 2 p / n, а непарне відображення в площині дасть просте відображення. Тільки при парному n застосування n раз цієї операції дасть тотожне перетворення, тобто sS 2p 2p = E. Дзеркально-поворотний перетворення позначається S n. Оскільки при відображенні в площині s, перпендикулярної осі C n прийнято ставити індекс h при s площину позначається s h. Важливим випадком є дзеркально-поворотна вісь другого порядку S 2. Легко збагнути, що поворот на кут j з наступним відображенням в площині s h, являє собою перетворення інверсії I, при якому відбувається відображення тіла в точці перетину осі C 2 і площини s h. I = S 2 = C 2 × s h; I × s h = C 2; I × C 2 = s h, тобто C 2, s h і I взаємно залежні: наявність будь-яких двох елементів призводить до існування третього.
5. Твір двох поворотів навколо осей, що перетинають в точці А є також деяке обертання навколо осі, що проходить через точку А. Вісь обертання і кут результуючого руху визначаються осями і кутами вихідних поворотів. Твір двох відображень s 1 і s 2 у пересічних під кутом j площинах, еквівалентно повороту навколо осі, що збігається з лінією перетину цих площин на кут 2 j, тобто s 2 s 1 = C (2j). Дійсно, множачи останнє рівність на s 2, отримаємо s 1 = s 2 × C (2 j), тобто твір повороту на кут 2 j і відображення в площині, що проходить через цю вісь, еквівалентно відображенню в іншій площині, пересічної з першою під кутом j.
Інший важливий результат полягає в тому, що твори двох обертань на кут p навколо перетинаються під кутом j осей U і V еквівалентно обертанню навколо осі ММ, перпендикулярної площини, в якій знаходяться осі U і V, на кут 2 j = 2 (V, U ). Дійсно, при двох кратному обертанні навколо U і V лінія ММ залишається в колишньому положенні, тобто це обертання навколо осі ММ. Для визначення кута обертання розглянемо саму вісь U. Обертання навколо U залишає її без змін, а обертання навколо V переводить її в нове положення U `, так що кут між старим і новим U U` становищем дорівнює (U U `) = 2 j.
Результат двох послідовних перетворень, взагалі кажучи, залежить від порядку, в якому ці операції проводяться, так що операції не комутують. Під час запису спочатку записується операція, яка проводиться другий. Однак, такі операції є коммутирующими:
1. Два обертання навколо однієї і тієї ж осі C n k C n l = C n l C n k.
2. Два відображення у взаємно перпендикулярних площинах - вони еквівалентні обертанню на кут p: s x × s y = C 2 z = s y × s x, 3. Обертання та відображення в площині перпендикулярній цієї осі C n s h = S n = s h C n (тобто обертальний відбиття). Цю операцію можна розглядати як фундаментальную.4. Обертання на кут p навколо двох перпендикулярних осей: C 2 x × C 2 y = C 2 z.
5. Будь-який поворот C n, відображення s h та інверсія I (наслідок 1 і 3).
Ясно, що для кожної операції симетрії R, яку можна застосувати до нього, є операція, що відрізняється від першої або ідентична їй, яка переводить тіло в початкове положення. Це зворотна операція R -1 R = Е
1. Перетин двох площин симетрії є вісь симетрії. Якщо кут між площинами p / n, то вісь є n-кратної, тобто поворот навколо цієї осі на кут 2 p / n поєднати тіло з самим собою.
2. Якщо площину симетрії містить n-кратно вісь, то існує ще n-1 площин симетрії, що проходять через ту ж вісь, причому кут між площинами p / n. Окремий випадок: вісь З 2 і дві проходять через неї ортогональні площини завжди існують вместе.3. Вісь четвертого порядку, площина перпендикулярна до неї та інверсія завжди існують разом, т.к C 4 лютого s h = S 2 º I.
4. Дві дворазові осі, утворюють кут p / n викликають появу перпендикулярної до їх площині n-кратної осі.5. Дворазова вісь і перпендикулярна до неї n-кратна вісь генерує ще n-1 дворазових осей. Кут між ними p / n.
1. Існує правило множення, таке, що множення двох будь-яких елементів групи А і В дасть третій елемент цієї ж групи С, тобто А * В = С;
2. Має місце асоціативний закон (АВ) С = А (ВС);
3. Кожна група містить ідентичний елемент, для якого АЕ = ЕА = А;
4. Кожен елемент групи має зворотний Х = А -1, такий, що А -1 А = = АА -1 = Е. Зворотний елемент може збігатися зі своїм прямим, наприклад E -1 = E.
Очевидно, що система всіх операції тіла, включаючи і урочисті операцію Е, задовольняє перерахованим вище вимогам, і складає таким чином групу. Однак поняття групи ширше. Члени групи можуть розглядатися як окремі абстрактні елементи, можуть бути ідентифіковані з речовими або комплексними числами, з матрицями, з рухом геометричною фігурою в просторі. Правило множення (композиція) елементів - це звичайне множення або матричне множення. У випадку звичайного множення чотири числа +1, - 1, + i, - i утворюють групу, що неважко перевірити:
1.1 * (+1) = 1; 1 * (-1) =- 1; 1 * (+ ¤ i) = i; 1 * (-i) =- i;
1 * (-1) = 1; - 1 * (+ i) =- i; - 1 * (-i) = i; i * (i) =- 1; i * (-i) = 1
2. [1 * (-1)] * i = 1 [(-1 * i)] =- i;
3. Е = 1
4. I -1 =- i (-i) - 1 =- 1 (-i) - 1 = i.
Якщо група містить кінцеве число елементів, вона називається кінцевою групою, а число елементів n називається порядком групи. Якщо має місце комутативними закон АВ = ВА група називається абелевої, але взагалі кажучи АВ ¹ ВА. Нехай елементи групи Е, А, B, C, D, F розташовані по рядках і стовпцях. Твір АВ нехай стоїть на перетині рядка А та стовпця В, тоді можна скласти таблиця множення елементів:
Таблиця 1. Таблиця множення групи
Ці шість елементів складають групу. Кожен твір міститься в групі. Кожен елемент має зворотний. Група не абелева, т.к, наприклад, АС ¹ СА.
{А} = {У} = E, A, B
{С} = Е, З {D} = Е, D
{F} = E, F
Можна показати, що порядок підгрупи є дільник порядку групи. Нехай існує група G, в якій є підгрупа H. Нехай елемент g належить G, але не належить підгрупі H. Помножимо всі елементи h 1, h 2, ... з підгрупи H на елемент g. Елементи комплексу (суміжного класу) належать G, але не H, тому що в противному випадку h i × g = h k і g = h k × h i -1, що не так. Продовжуючи цей процес отримаємо, що всі елементи групи G можна представити наступним чином (H - сукупність елементів підгрупи H):
H, Hg 1, Hg 2, ... Hg
у кожному комплексі h елементів (h - порядок H) тому g = hm, бо елементи комплексу Hg 1 не належать ні Hg n ні Hg m.
1. Кожен елемент пов'язаний сам з собою;
2. Якщо A пов'язане з В, то В пов'язане з A;
3. Якщо A пов'язане з В, і В пов'язане з С, то A і В пов'язані між собою. Елементи зв'язані один з одним, утворюють класс.Т.о. вся група розпадається на класи
Для групи E, A, B, C, D, F клас A є A і В, т.к
ЕАЕ -1 = А; ААА -1 = A; ВАВ -1 = А
САС -1 = В; DAD -1 = В; FAF -1 = B
Подібним же чином можна показати, що клас елементу З (а також D і F) є C, D, F. Одиничний елемент утворює клас сам з собою. Тому в групі G міститься три класи E; A, B; C, D, F. Кількість елементів у кожному класі є дільником порядку групи.
Всі елементи класу мають один і той же порядок.
Дійсно, якщо n порядок A то для B = CAC -1 має місце співвідношення У n = (CAC -1) n = (CAC -1) × (CAC -1) ... (CAC -1) = CA n C -1 = Е.
Ізоморфізм. Дві групи G і G `однакового порядку називаються ізоморфними якщо між їх елементами можна встановити взаємно однозначну відповідність таке, що якщо AB = C, то A` B `= C`.
У p = (GA n G -1) p = GA n G -1 GA n G -1 ... GA n G -1 = GA n A n A n. A n G -1 = GA n p G -1
Це вираз дорівнює E при p = n і не є операцією ідентичності при всіх інших значеннях p. Таким чином, два повороти а однаковий кут відносяться до одного класу, якщо в числі елементів групи є перетворення, за допомогою якого можна поєднати одну вісь повороту з іншого. Точно також дві операції в площині відносяться до одного класу, якщо є операція переводить одну вісь в іншу. Якщо ж обидва повороту виробляються навколо однієї і тієї ж осі, то операції повороту будуть відноситься до одного і того ж класу, якщо вісь двостороння. Елемент, зворотний З n k (k = 1,2,. N-1) навколо осі порядку n, буде З n-k = С n nk, тобто представляє собою поворот на кут (nk) 2 p / n в тому ж напрямку або на кут k2 p / n у зворотному напрямку. Якщо в числі перетворення групи є поворот на кут p навколо осі, перпендикулярної даної З n (змінює напрямок осі), то згідно доведеному загальним правилом З n k і С n-k відносяться до одного класу. Відображення в площині s h теж міняє напрямок осі, але змінює також і напрямок обертання. Таким чином наявність s h не робить З n k і С n-k сполученими. Відображення в s v не змінює напрямок осі, але змінює напрямок обертання і тому C n-k = s v C n k s v /
Отже, різні типи елементів симетрії можуть входити в різні класи. Кількість елементів у кожному класі визначається шляхом розгляду числа сполучених елементів симетрії, відповідних кожної операції. З цієї геометричної інтерпретацією легко визначити і класифікувати всі можливі точкові групи. Ми розглянемо спочатку проблему знаходження груп більш високої симетрії шляхом додавання деяких елементів до груп більш низькою симетрії. За аналогією з {A}, що позначає період А, ми позначимо через {А, В} всі величини типу А m У n, де порядок А і В не змінюється. Розглянемо групу G з системою елементів G 1, G 2 ... G n-1. Ми хочемо додати до неї систему елементів А 1, А 2 ... A m з операцією А, що відповідає одному з елементів. Яким умовам повинні задовольняти група G і операція A, щоб {G, A} теж становила групу? У будь-якій групі система елементів симетрії перетворюється сама в себе за будь операції групи. Набір, що складається з Е, G 1, G 2, ... G n-1 і A 1, А 2,. A m, очевидно в тому випадку буде задовольняти цій вимозі, якщо будь-яка ступінь А перетворює операції з G в саму себе, і будь-яка операція з G наведемо до збігу А з собою. Якщо G складається з Е, G 1, ... G n-1, то це означає, що для будь-якого G k і будь-якого ступеня А m існує інша операція G p, така, що повинні бути виконані дві умови:
1. A m G k А-m = G p або A m G k = G p A m
2. G k A (G k) - 1 = А j
Можна перевірити, що за цих умов {G, A} - група, тобто всі величини типу G k A m дійсно представляють собою групу. Оскільки G - група і A-операція симетрії, то ми повинні показати тільки, що твір двох операції наприклад, G p A m і G j А r міститься в {G, A}. Дійсно,
G p A m G j A r = A m G P G j A r = A m G s A r = A m G s A - m A r + m = G t A r + m = G t A q
що за визначенням міститься в {G, A}. Операція А і її ступеня можуть перетворювати такі елементи G один в іншій, які не еквівалентні по відношенню до операцій з G. Тому не слід очікувати, що класи групи обертання будуть ідентичні з класами групи другого роду, отриманими з неї. Це, однак буде мати місце, якщо A = I, т.к операція інверсії I може лише перетворювати кожен окремий елемент групи G сам у себе. Оскільки інверсія комутує з будь-якої іншої операцією, клас групи {G, I} виходить з класу групи G множенням кожного (сполученого) елемента на I, т.к G k G j (G k) - 1 = G n передбачає G k IG j (Gk) - 1 = IG n.
Тому група {G, I} має вдвічі більше класів, ніж G. Може бути показано, що представлений метод побудови дійсно приводить по всіх можливих груп симетрії. Далі можна довести, що якщо група має більш, ніж одну вісь симетрії порядку вище другого, то її система осей ідентична з системою осей правильного багатогранника. Єдині правильні багатогранники суть тетраедр, куб, октаедр, додекаедр і ікосаедр. З них куб і октаедр, а також додекаедр і ікосаедр мають по однаковому набору осей симетрії.
A. ГРУПИ ОБЕРТАННЯ
1. ЦИКЛІЧНІ ГРУПИ З n. Це найпростіший можливий вид симетрії, який містить одну вісь n-го порядку. Група циклічна. Кожен з n елементів складає клас, оскільки операції комутативними.
2. ДІЕДРАЛЬНИЕ ГРУПИ D n = {C n, C 2}. Додамо до n-кратної осі перпендикулярну вісь З 2. Це, природно, викликає (генерує) поява ще n-1 осей З 2 в площині, перпендикулярної осі З n, причому кут між осями дорівнює p / n. Група D n містить 2n елементів: n поворотів навколо C n і n поворотів навколо n горизонтальних осей С 2. Вісь З n є двостороннім.
Горизонтальні ж осі всі еквівалентні, якщо n-непарне, і становлять 2 нееквівалентний набору, якщо n парне. Дійсно, при послідовному застосуванні операції вісь C 2 переходить послідовно в осі
C 2 Þ C 2 (2) Þ C 2 (4) Þ ... Þ C 2 (2 p) Þ-C 2 (-1) Г Þ ... Þ-C 2 (2 p-1) Þ-C 2,
тобто всі вони еквівалентні і 2p +1 обертання навколо них на p входить в один клас. Отже група має p +2 класів: Е, 2p +1 поворотів навколо C 2 і p класів по два повороту (C 2p +1 k, C 2p +1-k) навколо вертикальної осі З n. Для групи з парними n тобто для D 2p можна показати, що ніяка вісь з парним номером не перейде у вісь з номером непарних.
C 2 Þ C 2 (2) Þ C 2 (4) Þ ... Þ C 2 (2 p-2) Þ C 2 (2 p) =- C 2 Þ-C 2 (2) Þ ... Þ-C 2
Є два типи нееквівалентний осей С 2. Число класів тому одно p +3: Е; 2 класи по p поворотів на p в кожному, які відповідають нееквівалентним осях З 2, p класів по 2 повороту (C 2p k, C 2p-k) навколо осі З n.
Окремий випадок D 2 = V - три взаємно перпендикулярних осі З 2, ідентичних з декартовій системою координат.
3. Тетраедрично ГРУПА T = {V, C 3}. Це група симетрії осей правильного тетраедра. Має осі 3 C 2 і 4C 3; класи: E; 3C 2; 4C 1 березня; 4C 3 2.
4. ГРУПА осей октаедра (КУБА) O = {Т, C 2}. Елементи симетрії 3 C 4, 4C 3, 6C 2. Всі осі однаковою кратності (тобто одного порядку) - еквівалентні, тобто операції З n k і C n-k пов'язані. Класи групи В: Е; 8C 3 1, 6C 4 1, 3C 4 2, 6C 2.
5. ГРУПА Ікосаедр Р (стандартного символу немає). Група має наступні елементи симетрії: 6C 5, 10C 3, 15C 2 і включає в себе 60 перетворень (операцій симетрії).
В. ГРУПИ ДРУГОГО РОДУ.
Якщо до обертальної групі G додасть підходяще відображення, отримаємо нову групу {G, s}. Оскільки s 2 = E, ці групи другого роду мають однакове число обертань простих і обертань з відображенням. При додаванні наступних площин в необхідно, щоб перетин двох площин, яке є віссю З n, обов'язково входив би до групи G. Хоча інверсія не є самостійною основною операцією і входить до групи {G, s}, проте часто зручно вказувати має група центр інверсії чи ні, бо тоді дуже просто отримувати класи. Таким чином можна отримати всі інші групи. Будемо вважати, що головна n-кратна вісь йде вертикально. Як завжди значок v - вертикальних площин, h - горизонтальних.
6. ЦИКЛІЧНІ ГРУПИ З nh = {C n, s v}. Всі операції в групі коммутіруют. Групи мають стільки ж класів, скільки і елементів. Якщо n-парне, то є центр інверсії, т.к C 2n n s v = I. Елементи З n k і С n k s v.
Окремі випадки:
a) C 1 h: s v = C s;
b) C 2h: E, C 2, s v, C 2 s v = I;
c) C 3h: E, C 3 1, C 3 2, s v, C 3 січня s v = S 3 1, C 2 березня s v = S 3 2.
5. ЦИКЛІЧНІ ГРУПИ З nv = {C n, s v}. Якщо до осі З n приєднати площину s v, з'являються ще (n-1) вертикальних площин з кутом між ними p / n. Група містить 2n елементів: n поворотів навколо осі З n і n відображень у n різних площинах s v. Вісь Сn двостороння, тобто З n k пов'язане з C n-k. Якщо n - непарне (n = 2p +1) число класів одно p +2, оскільки площині еквівалентні. Класи цієї групи: Е, p класів поворотів навколо осі З n по 2 елементи в кожному, і 1 клас відображень у еквівалентних площинах s v. Якщо n - парне (n = 2p), то є 2 типу нееквівалентний площин s v. Число класів p +3: Е, p класів поворотів навколо осі З n по два елементи в кожному, 2 класу відображень у площинах s v.
6. ГРУПИ S n = {S n}. Групи операції, єдиним елементом симетрії яких є дзеркально-поворотна вісь n-го порядку S n = C n s v. Оскільки дзеркально-поворотна вісь може бути тільки парного порядку, то легко видно, що групи S n тільки парного порядку, бо для непарних n дзеркально-поворотна вісь еквівалентна більш простих операцій.
S 2p +1 = {C 2p +1, s v} = C 2p +1, h
S 4p +2 = {C 2p +1, I} = C 2p +1, i
Зокрема група S 2 має 2 елементи Е і I.
7. ДІЕДРАЛЬНИЕ ГРУПИ D nh = {D nh, s h} Якщо до діедральной групі D n додати горизонтальну площину s h, то її присутність вимагає n вертикальних площин, що проходять через осі З 2 (вісь другого порядку і дві взаємно перпендикулярні площині завжди присутні разом). Оскільки s комутативне з усіма елементами D nh можна записати як
D nh = {D n, s h} = D n * C s.
При парному n в числі елементів D nh є інверсія, тобто
D 2nh = {D 2n, s h} = D nh * C i.
Звідси випливає, що кількість класів у D nh дорівнює подвоєному числу класів у D n. Половина з них збігається з D n, а інша половина виходить з перших множенням на s h. Відбитки в s v всі ставляться до одного класу (якщо n - непарне) і до 2 класами (якщо n парне). Наприклад, у групі D 3h елементи симетрії: C 3, s h, 3 s v, 3C 2; Перетворення (елементи групи): E, C 3 1, C 3 2; 3C 2; s h; S 3 1, S 3 2, 3 s v.
10. ДІЕДРАЛЬНИЕ ГРУПИ D nh = {D n, s d}. Оскільки D nh вже містить вертикальні площини, що проходять через осі C 2, то єдино можливий інший шлях додавання іншій площині до D n, при якому система перетвориться сама в себе, - це помістити цю площину по бісектрисі кута між двома сусідніми осями. Ця площина діагональної - d. Ця площина вимагає присутності ще n-1 таких же площин. Такі діагональні площині відбивають дві сусідніх дворазових осі одну в іншу, тобто всі дворазові осі стають еквівалентними як для парного, так і для непарного n. Подібним же чином і всі площини виявляються еквівалентними. Оскільки кут між площиною і віссю завжди є непарним числом p/2n, у разі n непарного одна з площин перпендикулярна до однієї з дворазовий осей. Значить при n = 2p +1 система має центр симетрії. Для D nd з парних n маємо наступні класи:
1. Е;
2. Обертання на кут p навколо 2p кратною осі;
3. P-1 класів спряжених обертань навколо З 2 p;
4. один клас 2p обертань на кут p;
5. один клас 2p відображень у s d;
6. P класів спряжених обертальних віддзеркалень. Разом всього: 1 +1 + [p-1] +1 +1 + p = 2p +3.
Приклад - молекула C 2 H 6. Симетрія D 3d. Елементи симетрії: C 3, 3C 2, S 6, I, 3 s d. Операції: E; C 3 1, C 3 2; 3C 2; I; S 6 1, S 6 3; 3 s d.
Група D 2p +1, d має центр інверсії, а тому має в класів в два рази більше, ніж D 2p +1 т.е.2 p +4.
11. ГРУПА Тетраедри Т d = {V d, C 3}. Група містить всі перетворення симетрії тетраедра. Шість площин, проходять через ребра і медіани протилежних граней і містять вісь C 3. Тому C 3 1 і C 3 -1 º C 2 березня пов'язані. Дворазові осі групи Т теж стають еквівалентними чотириразовим дзеркально-поворотним осям, оскільки утворює група V d. Всього 24 елемента розбиті по наступним 5 класів: E; 8C 3, 6 s, 6S 4, 3C 2.
12. ГРУПА Тетраедри Т h = {V h, C 3}. Оскільки V h має центр інверсії, T h = {T, I}. Класів в цій групі тому в два рази більше ніж у групі T: E, 4C 3 1, 4C 3 2, 3C 2, I, 4S 6 1, 4S 3 червня, 3S 4. У результаті інверсії з'являються 3 взаємно-перпендикулярних площині симетрії , що проходять через кожні дві осі другого порядку, а осі третього порядку стають дзеркально-поворотними 6-го порядку.
13. ГРУПА Октаедр O h = {O, I}. Це є група всіх перетворенні куба. Вона виходить з O додаванням центру інверсії. Тому її можна представити як O h = O * C i. Осі третього порядку перетворюються в дзеркально-поворотні осі 6-го порядку. З'являється ще 6 площин, що проходять через пару протилежних ребер, і три, паралельні гранях. Група містить 48 елементів, 10 класів, які безпосередньо можуть бути отримані з групи O.
14. ГРУПА Ікосаедр P = {P, I}. P h = PC i. (Правильний 20-гранник c трикутними гранями)
C - БЕЗПЕРЕРВНІ ГРУПИ
Крім кінцевих точкових груп слід розглянути безперервні точкові групи з нескінченним числом елементів. Це групи аксіальної або сферичної симетрії. Простою групою є група C, що містить повороти C (j) на довільний кут j. Це граничний випадок З n при n ® ¥ нескінченності. Аналогічно, в якості граничних груп C nh, C nv, D n, D nh виходять відповідні безперервні групи. Молекула, що володіє аксіальної симетрією, повинна складатися з атомів, розташованих на лінії. При цьому, якщо вона не симетрична щодо своєї середини, її точкова група буде C ¥ v, оскільки крім поворотів існують відображення в площинах s v. Якщо ж молекула симетрична щодо свого центру, то її точкова група D ¥ h = C ¥ v * C i. Тому групи D ¥ h, C ¥ h, D ¥, не можуть здійснюватися в якості груп симетрії молекул. Електричне поле E (полярний вектор) має симетрію C ¥ v. Магнітне поле H (аксіальний вектор) має симетрію C ¥ h.
Перетворення симетрії
1. Симетрія тіла визначається сукупністю тих переміщень, які поєднують тіло з самим собою; про цих переміщеннях говорять як про перетворення симетрії. Кожне з можливих перетворень симетрії можна представить у вигляді комбінації одного або декількох з трьох основних типів перетворення. Цими трьома істотно різними видами перетворення є:1 - поворот тіла на певний кут навколо деякої осі;
2 - дзеркальне відображення в деякій площині;
3 - паралельний перенос тіла на деяку відстань.
Останнім типом перетворень може володіти лише нескінченна середовище (кристалічна решітка). Тіло ж кінцевих розмірів (молекула) може бути симетрична тільки по відношенню до поворотів і відображенням.
2. Якщо тіло поєднується саме з собою при повороті навколо деякої осі на кут j = 2 p / n, то така вісь називається віссю симетрії n-го порядку і позначається C n. Число n може мати різні цілі значення n = 2,3.4 ... Значення n = 1 відповідає повороту на кут 2 p / 1, або 0, тобто відповідає тотожному перетворенню. Повторюючи операцію C n два, три і т.д. раз отримуємо поворот на кут 2 × 2 p / n, 3 × 2 p / n, ... і т.д. Ці повороти також поєднують тіло саме з собою і позначаються C n 2, C n 3 і т.д. Очевидно, що якщо n кратно p, то C n p = C n / p. Зробивши перетворення n разів, ми повернемося в початкове положення, тобто зробимо тотожне перетворення, яке прийнято позначати символом Е.
3. Якщо тіло поєднується саме з собою при дзеркальному відображенні в деякій площині s, то така площину називається площиною симетрії. Операцію відображення зазвичай позначають також символом s. Очевидно, що дворазове відображення в одній площині є тотожне перетворення ss -1 = Е.
4. Одночасне застосування обох перетворень повороту та відображення приводимо до так званої дзеркально-поворотної осі S n. Тіло має дзеркально-поворотною віссю n-го порядку, якщо воно поєднується з самим собою при повороті навколо цієї осі на кут 2 p / n і наступному відображення в площині s h, перпендикулярної до цієї осі. Це новий вид симетрії, якщо n парне. Якщо n-непарне, то застосування цієї операції n раз дасть поворот на кут 2 p / n, а непарне відображення в площині дасть просте відображення. Тільки при парному n застосування n раз цієї операції дасть тотожне перетворення, тобто sS 2p 2p = E. Дзеркально-поворотний перетворення позначається S n. Оскільки при відображенні в площині s, перпендикулярної осі C n прийнято ставити індекс h при s площину позначається s h. Важливим випадком є дзеркально-поворотна вісь другого порядку S 2. Легко збагнути, що поворот на кут j з наступним відображенням в площині s h, являє собою перетворення інверсії I, при якому відбувається відображення тіла в точці перетину осі C 2 і площини s h. I = S 2 = C 2 × s h; I × s h = C 2; I × C 2 = s h, тобто C 2, s h і I взаємно залежні: наявність будь-яких двох елементів призводить до існування третього.
5. Твір двох поворотів навколо осей, що перетинають в точці А є також деяке обертання навколо осі, що проходить через точку А. Вісь обертання і кут результуючого руху визначаються осями і кутами вихідних поворотів. Твір двох відображень s 1 і s 2 у пересічних під кутом j площинах, еквівалентно повороту навколо осі, що збігається з лінією перетину цих площин на кут 2 j, тобто s 2 s 1 = C (2j). Дійсно, множачи останнє рівність на s 2, отримаємо s 1 = s 2 × C (2 j), тобто твір повороту на кут 2 j і відображення в площині, що проходить через цю вісь, еквівалентно відображенню в іншій площині, пересічної з першою під кутом j.
Інший важливий результат полягає в тому, що твори двох обертань на кут p навколо перетинаються під кутом j осей U і V еквівалентно обертанню навколо осі ММ, перпендикулярної площини, в якій знаходяться осі U і V, на кут 2 j = 2 (V, U ). Дійсно, при двох кратному обертанні навколо U і V лінія ММ залишається в колишньому положенні, тобто це обертання навколо осі ММ. Для визначення кута обертання розглянемо саму вісь U. Обертання навколо U залишає її без змін, а обертання навколо V переводить її в нове положення U `, так що кут між старим і новим U U` становищем дорівнює (U U `) = 2 j.
Результат двох послідовних перетворень, взагалі кажучи, залежить від порядку, в якому ці операції проводяться, так що операції не комутують. Під час запису спочатку записується операція, яка проводиться другий. Однак, такі операції є коммутирующими:
1. Два обертання навколо однієї і тієї ж осі C n k C n l = C n l C n k.
2. Два відображення у взаємно перпендикулярних площинах - вони еквівалентні обертанню на кут p: s x × s y = C 2 z = s y × s x, 3. Обертання та відображення в площині перпендикулярній цієї осі C n s h = S n = s h C n (тобто обертальний відбиття). Цю операцію можна розглядати як фундаментальную.4. Обертання на кут p навколо двох перпендикулярних осей: C 2 x × C 2 y = C 2 z.
5. Будь-який поворот C n, відображення s h та інверсія I (наслідок 1 і 3).
Ясно, що для кожної операції симетрії R, яку можна застосувати до нього, є операція, що відрізняється від першої або ідентична їй, яка переводить тіло в початкове положення. Це зворотна операція R -1 R = Е
Операції симетрії
Розглядаючи симетрію будь-якої фігури, ми повинні серед всіх можливих обертанні та відбиванні вибрати ті, які призводять фігуру до суміщення з собою. Ці рухи називаються операціями симетрії. Операції симетрії треба відрізняти від елементів симетрії. Осі обертання типу С n називаються n кратними. Дзеркально-поворотні осі називаються також осями другого роду. У силу попередніх співвідношення мають місце такі твердження:1. Перетин двох площин симетрії є вісь симетрії. Якщо кут між площинами p / n, то вісь є n-кратної, тобто поворот навколо цієї осі на кут 2 p / n поєднати тіло з самим собою.
2. Якщо площину симетрії містить n-кратно вісь, то існує ще n-1 площин симетрії, що проходять через ту ж вісь, причому кут між площинами p / n. Окремий випадок: вісь З 2 і дві проходять через неї ортогональні площини завжди існують вместе.3. Вісь четвертого порядку, площина перпендикулярна до неї та інверсія завжди існують разом, т.к C 4 лютого s h = S 2 º I.
4. Дві дворазові осі, утворюють кут p / n викликають появу перпендикулярної до їх площині n-кратної осі.5. Дворазова вісь і перпендикулярна до неї n-кратна вісь генерує ще n-1 дворазових осей. Кут між ними p / n.
Групи операцій симетрії
Система операцій симетрії, характерна для даного тіла, являє собою окремий випадок сукупності, яка в математиці називається групою. Набір елементів E, A, B, C ... утворюють групу, якщо виконуються наступні чотири постулату:1. Існує правило множення, таке, що множення двох будь-яких елементів групи А і В дасть третій елемент цієї ж групи С, тобто А * В = С;
2. Має місце асоціативний закон (АВ) С = А (ВС);
3. Кожна група містить ідентичний елемент, для якого АЕ = ЕА = А;
4. Кожен елемент групи має зворотний Х = А -1, такий, що А -1 А = = АА -1 = Е. Зворотний елемент може збігатися зі своїм прямим, наприклад E -1 = E.
Очевидно, що система всіх операції тіла, включаючи і урочисті операцію Е, задовольняє перерахованим вище вимогам, і складає таким чином групу. Однак поняття групи ширше. Члени групи можуть розглядатися як окремі абстрактні елементи, можуть бути ідентифіковані з речовими або комплексними числами, з матрицями, з рухом геометричною фігурою в просторі. Правило множення (композиція) елементів - це звичайне множення або матричне множення. У випадку звичайного множення чотири числа +1, - 1, + i, - i утворюють групу, що неважко перевірити:
1.1 * (+1) = 1; 1 * (-1) =- 1; 1 * (+ ¤ i) = i; 1 * (-i) =- i;
1 * (-1) = 1; - 1 * (+ i) =- i; - 1 * (-i) = i; i * (i) =- 1; i * (-i) = 1
2. [1 * (-1)] * i = 1 [(-1 * i)] =- i;
3. Е = 1
4. I -1 =- i (-i) - 1 =- 1 (-i) - 1 = i.
Якщо група містить кінцеве число елементів, вона називається кінцевою групою, а число елементів n називається порядком групи. Якщо має місце комутативними закон АВ = ВА група називається абелевої, але взагалі кажучи АВ ¹ ВА. Нехай елементи групи Е, А, B, C, D, F розташовані по рядках і стовпцях. Твір АВ нехай стоїть на перетині рядка А та стовпця В, тоді можна скласти таблиця множення елементів:
Таблиця 1. Таблиця множення групи
| E | A | B | C | D | F | |
| E | E | A | B | C | D | F |
| A | A | B | E | D | F | C |
| B | B | E | A | F | C | D |
| C | C | F | D | E | B | A |
| D | D | C | F | A | E | B |
| F | F | D | C | B | A | E |
Підгрупи
Розглянемо послідовність X 1, X 2 ... Обраний елемент X і всі його мірі є членами групи і група кінцева, тому послідовність повинна повторити себе. Нехай X n = Е, тоді X 1, X 2. X n = Е називається періодом і позначається {X}, а n - порядок елемента X. Період елемента А у зазначеній групі A 1, A 2 = В, A 3 = Е, тобто n = 3. Період елемента В: В 1, В 2 = А, В 3 = Е; n = 3. Період З: З 1, З 2 = Е, тобто n = 2. Період будь-якого елемента утворює групу, т.к всі постулати для такої сукупності елементів виконані. Її називають підгрупою групи G.{А} = {У} = E, A, B
{С} = Е, З {D} = Е, D
{F} = E, F
Можна показати, що порядок підгрупи є дільник порядку групи. Нехай існує група G, в якій є підгрупа H. Нехай елемент g належить G, але не належить підгрупі H. Помножимо всі елементи h 1, h 2, ... з підгрупи H на елемент g. Елементи комплексу (суміжного класу) належать G, але не H, тому що в противному випадку h i × g = h k і g = h k × h i -1, що не так. Продовжуючи цей процес отримаємо, що всі елементи групи G можна представити наступним чином (H - сукупність елементів підгрупи H):
H, Hg 1, Hg 2, ... Hg
у кожному комплексі h елементів (h - порядок H) тому g = hm, бо елементи комплексу Hg 1 не належать ні Hg n ні Hg m.
Парні елементи
Якщо A, B і X - елементи групи і В = XAX -1, то A і В називають сполученими елементами. Наступні закони пов'язані до зв'язаних елементів є майже очевидними і можуть бути перевірені за допомогою таблиці множення групи:1. Кожен елемент пов'язаний сам з собою;
2. Якщо A пов'язане з В, то В пов'язане з A;
3. Якщо A пов'язане з В, і В пов'язане з С, то A і В пов'язані між собою. Елементи зв'язані один з одним, утворюють класс.Т.о. вся група розпадається на класи
Для групи E, A, B, C, D, F клас A є A і В, т.к
ЕАЕ -1 = А; ААА -1 = A; ВАВ -1 = А
САС -1 = В; DAD -1 = В; FAF -1 = B
Подібним же чином можна показати, що клас елементу З (а також D і F) є C, D, F. Одиничний елемент утворює клас сам з собою. Тому в групі G міститься три класи E; A, B; C, D, F. Кількість елементів у кожному класі є дільником порядку групи.
Всі елементи класу мають один і той же порядок.
Дійсно, якщо n порядок A то для B = CAC -1 має місце співвідношення У n = (CAC -1) n = (CAC -1) × (CAC -1) ... (CAC -1) = CA n C -1 = Е.
Ізоморфізм. Дві групи G і G `однакового порядку називаються ізоморфними якщо між їх елементами можна встановити взаємно однозначну відповідність таке, що якщо AB = C, то A` B `= C`.
Загальні властивості груп симетрії
З самого визначення операції симетрії видно, що вони задовольняють постулатам, сформульованим для групи. Отже, повний набір операцій симетрії деякої фігури утворює групу. Будь-яка операція групи перетворює систему елементів симетрії в саму себе, так як фігура, до якої належить ця система елементів, згідно з визначенням операції симетрії, наводиться до збігу з собою. Елементи симетрії, які таким чином можуть бути перетворені один руху. Іншими словами всі осі і площини симетрії молекули повинні перетинатися в одній точці. Перед тим як перейти до побудови можливих типів точкових груп, розглянемо простий геометричний спосіб, що дозволяє легко зробити поділ елементів груп по класах. Нехай Oa деяка вісь і елемент A є поворот навколо цієї осі на деякий кут. Нехай далі G елемент з тієї ж групи (поворот або віддзеркалення) який будучи застосований до тієї ж осі Оa переводить її в положення Оb. Можна показати, що тоді елемент W = GAG -1 відповідає повороту навколо осі Оb на такий же кут, на який елемент А повертає простір навколо Оa. Дійсно, розглянемо вплив GAG -1 на вісь Оb. Перетворення G -1 переводить Оa в Оb; перетворення A (поворот) залишає вісь на місці; наступна операція G переводить Oa в Ob. Оскільки результуюча операція GAG -1 залишає вісь Оb на місці, то Оb є вісь обертання. Оскільки А та В поєднані, вони відносяться до одного класу і мають однаковий порядок, тобто виробляють поворот на один і той самий кут. Покажемо математично, що В n = ЕУ p = (GA n G -1) p = GA n G -1 GA n G -1 ... GA n G -1 = GA n A n A n. A n G -1 = GA n p G -1
Це вираз дорівнює E при p = n і не є операцією ідентичності при всіх інших значеннях p. Таким чином, два повороти а однаковий кут відносяться до одного класу, якщо в числі елементів групи є перетворення, за допомогою якого можна поєднати одну вісь повороту з іншого. Точно також дві операції в площині відносяться до одного класу, якщо є операція переводить одну вісь в іншу. Якщо ж обидва повороту виробляються навколо однієї і тієї ж осі, то операції повороту будуть відноситься до одного і того ж класу, якщо вісь двостороння. Елемент, зворотний З n k (k = 1,2,. N-1) навколо осі порядку n, буде З n-k = С n nk, тобто представляє собою поворот на кут (nk) 2 p / n в тому ж напрямку або на кут k2 p / n у зворотному напрямку. Якщо в числі перетворення групи є поворот на кут p навколо осі, перпендикулярної даної З n (змінює напрямок осі), то згідно доведеному загальним правилом З n k і С n-k відносяться до одного класу. Відображення в площині s h теж міняє напрямок осі, але змінює також і напрямок обертання. Таким чином наявність s h не робить З n k і С n-k сполученими. Відображення в s v не змінює напрямок осі, але змінює напрямок обертання і тому C n-k = s v C n k s v /
Отже, різні типи елементів симетрії можуть входити в різні класи. Кількість елементів у кожному класі визначається шляхом розгляду числа сполучених елементів симетрії, відповідних кожної операції. З цієї геометричної інтерпретацією легко визначити і класифікувати всі можливі точкові групи. Ми розглянемо спочатку проблему знаходження груп більш високої симетрії шляхом додавання деяких елементів до груп більш низькою симетрії. За аналогією з {A}, що позначає період А, ми позначимо через {А, В} всі величини типу А m У n, де порядок А і В не змінюється. Розглянемо групу G з системою елементів G 1, G 2 ... G n-1. Ми хочемо додати до неї систему елементів А 1, А 2 ... A m з операцією А, що відповідає одному з елементів. Яким умовам повинні задовольняти група G і операція A, щоб {G, A} теж становила групу? У будь-якій групі система елементів симетрії перетворюється сама в себе за будь операції групи. Набір, що складається з Е, G 1, G 2, ... G n-1 і A 1, А 2,. A m, очевидно в тому випадку буде задовольняти цій вимозі, якщо будь-яка ступінь А перетворює операції з G в саму себе, і будь-яка операція з G наведемо до збігу А з собою. Якщо G складається з Е, G 1, ... G n-1, то це означає, що для будь-якого G k і будь-якого ступеня А m існує інша операція G p, така, що повинні бути виконані дві умови:
1. A m G k А-m = G p або A m G k = G p A m
2. G k A (G k) - 1 = А j
Можна перевірити, що за цих умов {G, A} - група, тобто всі величини типу G k A m дійсно представляють собою групу. Оскільки G - група і A-операція симетрії, то ми повинні показати тільки, що твір двох операції наприклад, G p A m і G j А r міститься в {G, A}. Дійсно,
G p A m G j A r = A m G P G j A r = A m G s A r = A m G s A - m A r + m = G t A r + m = G t A q
що за визначенням міститься в {G, A}. Операція А і її ступеня можуть перетворювати такі елементи G один в іншій, які не еквівалентні по відношенню до операцій з G. Тому не слід очікувати, що класи групи обертання будуть ідентичні з класами групи другого роду, отриманими з неї. Це, однак буде мати місце, якщо A = I, т.к операція інверсії I може лише перетворювати кожен окремий елемент групи G сам у себе. Оскільки інверсія комутує з будь-якої іншої операцією, клас групи {G, I} виходить з класу групи G множенням кожного (сполученого) елемента на I, т.к G k G j (G k) - 1 = G n передбачає G k IG j (Gk) - 1 = IG n.
Тому група {G, I} має вдвічі більше класів, ніж G. Може бути показано, що представлений метод побудови дійсно приводить по всіх можливих груп симетрії. Далі можна довести, що якщо група має більш, ніж одну вісь симетрії порядку вище другого, то її система осей ідентична з системою осей правильного багатогранника. Єдині правильні багатогранники суть тетраедр, куб, октаедр, додекаедр і ікосаедр. З них куб і октаедр, а також додекаедр і ікосаедр мають по однаковому набору осей симетрії.
Класифікація груп симетрії
Ми почнемо з розгляду груп обертання, а потім додамо до них елементи симетрії другого роду.A. ГРУПИ ОБЕРТАННЯ
1. ЦИКЛІЧНІ ГРУПИ З n. Це найпростіший можливий вид симетрії, який містить одну вісь n-го порядку. Група циклічна. Кожен з n елементів складає клас, оскільки операції комутативними.
2. ДІЕДРАЛЬНИЕ ГРУПИ D n = {C n, C 2}. Додамо до n-кратної осі перпендикулярну вісь З 2. Це, природно, викликає (генерує) поява ще n-1 осей З 2 в площині, перпендикулярної осі З n, причому кут між осями дорівнює p / n. Група D n містить 2n елементів: n поворотів навколо C n і n поворотів навколо n горизонтальних осей С 2. Вісь З n є двостороннім.
Горизонтальні ж осі всі еквівалентні, якщо n-непарне, і становлять 2 нееквівалентний набору, якщо n парне. Дійсно, при послідовному застосуванні операції вісь C 2 переходить послідовно в осі
C 2 Þ C 2 (2) Þ C 2 (4) Þ ... Þ C 2 (2 p) Þ-C 2 (-1) Г Þ ... Þ-C 2 (2 p-1) Þ-C 2,
тобто всі вони еквівалентні і 2p +1 обертання навколо них на p входить в один клас. Отже група має p +2 класів: Е, 2p +1 поворотів навколо C 2 і p класів по два повороту (C 2p +1 k, C 2p +1-k) навколо вертикальної осі З n. Для групи з парними n тобто для D 2p можна показати, що ніяка вісь з парним номером не перейде у вісь з номером непарних.
C 2 Þ C 2 (2) Þ C 2 (4) Þ ... Þ C 2 (2 p-2) Þ C 2 (2 p) =- C 2 Þ-C 2 (2) Þ ... Þ-C 2
Є два типи нееквівалентний осей С 2. Число класів тому одно p +3: Е; 2 класи по p поворотів на p в кожному, які відповідають нееквівалентним осях З 2, p класів по 2 повороту (C 2p k, C 2p-k) навколо осі З n.
Окремий випадок D 2 = V - три взаємно перпендикулярних осі З 2, ідентичних з декартовій системою координат.
3. Тетраедрично ГРУПА T = {V, C 3}. Це група симетрії осей правильного тетраедра. Має осі 3 C 2 і 4C 3; класи: E; 3C 2; 4C 1 березня; 4C 3 2.
4. ГРУПА осей октаедра (КУБА) O = {Т, C 2}. Елементи симетрії 3 C 4, 4C 3, 6C 2. Всі осі однаковою кратності (тобто одного порядку) - еквівалентні, тобто операції З n k і C n-k пов'язані. Класи групи В: Е; 8C 3 1, 6C 4 1, 3C 4 2, 6C 2.
5. ГРУПА Ікосаедр Р (стандартного символу немає). Група має наступні елементи симетрії: 6C 5, 10C 3, 15C 2 і включає в себе 60 перетворень (операцій симетрії).
В. ГРУПИ ДРУГОГО РОДУ.
Якщо до обертальної групі G додасть підходяще відображення, отримаємо нову групу {G, s}. Оскільки s 2 = E, ці групи другого роду мають однакове число обертань простих і обертань з відображенням. При додаванні наступних площин в необхідно, щоб перетин двох площин, яке є віссю З n, обов'язково входив би до групи G. Хоча інверсія не є самостійною основною операцією і входить до групи {G, s}, проте часто зручно вказувати має група центр інверсії чи ні, бо тоді дуже просто отримувати класи. Таким чином можна отримати всі інші групи. Будемо вважати, що головна n-кратна вісь йде вертикально. Як завжди значок v - вертикальних площин, h - горизонтальних.
6. ЦИКЛІЧНІ ГРУПИ З nh = {C n, s v}. Всі операції в групі коммутіруют. Групи мають стільки ж класів, скільки і елементів. Якщо n-парне, то є центр інверсії, т.к C 2n n s v = I. Елементи З n k і С n k s v.
Окремі випадки:
a) C 1 h: s v = C s;
b) C 2h: E, C 2, s v, C 2 s v = I;
c) C 3h: E, C 3 1, C 3 2, s v, C 3 січня s v = S 3 1, C 2 березня s v = S 3 2.
5. ЦИКЛІЧНІ ГРУПИ З nv = {C n, s v}. Якщо до осі З n приєднати площину s v, з'являються ще (n-1) вертикальних площин з кутом між ними p / n. Група містить 2n елементів: n поворотів навколо осі З n і n відображень у n різних площинах s v. Вісь Сn двостороння, тобто З n k пов'язане з C n-k. Якщо n - непарне (n = 2p +1) число класів одно p +2, оскільки площині еквівалентні. Класи цієї групи: Е, p класів поворотів навколо осі З n по 2 елементи в кожному, і 1 клас відображень у еквівалентних площинах s v. Якщо n - парне (n = 2p), то є 2 типу нееквівалентний площин s v. Число класів p +3: Е, p класів поворотів навколо осі З n по два елементи в кожному, 2 класу відображень у площинах s v.
6. ГРУПИ S n = {S n}. Групи операції, єдиним елементом симетрії яких є дзеркально-поворотна вісь n-го порядку S n = C n s v. Оскільки дзеркально-поворотна вісь може бути тільки парного порядку, то легко видно, що групи S n тільки парного порядку, бо для непарних n дзеркально-поворотна вісь еквівалентна більш простих операцій.
S 2p +1 = {C 2p +1, s v} = C 2p +1, h
S 4p +2 = {C 2p +1, I} = C 2p +1, i
Зокрема група S 2 має 2 елементи Е і I.
7. ДІЕДРАЛЬНИЕ ГРУПИ D nh = {D nh, s h} Якщо до діедральной групі D n додати горизонтальну площину s h, то її присутність вимагає n вертикальних площин, що проходять через осі З 2 (вісь другого порядку і дві взаємно перпендикулярні площині завжди присутні разом). Оскільки s комутативне з усіма елементами D nh можна записати як
D nh = {D n, s h} = D n * C s.
При парному n в числі елементів D nh є інверсія, тобто
D 2nh = {D 2n, s h} = D nh * C i.
Звідси випливає, що кількість класів у D nh дорівнює подвоєному числу класів у D n. Половина з них збігається з D n, а інша половина виходить з перших множенням на s h. Відбитки в s v всі ставляться до одного класу (якщо n - непарне) і до 2 класами (якщо n парне). Наприклад, у групі D 3h елементи симетрії: C 3, s h, 3 s v, 3C 2; Перетворення (елементи групи): E, C 3 1, C 3 2; 3C 2; s h; S 3 1, S 3 2, 3 s v.
10. ДІЕДРАЛЬНИЕ ГРУПИ D nh = {D n, s d}. Оскільки D nh вже містить вертикальні площини, що проходять через осі C 2, то єдино можливий інший шлях додавання іншій площині до D n, при якому система перетвориться сама в себе, - це помістити цю площину по бісектрисі кута між двома сусідніми осями. Ця площина діагональної - d. Ця площина вимагає присутності ще n-1 таких же площин. Такі діагональні площині відбивають дві сусідніх дворазових осі одну в іншу, тобто всі дворазові осі стають еквівалентними як для парного, так і для непарного n. Подібним же чином і всі площини виявляються еквівалентними. Оскільки кут між площиною і віссю завжди є непарним числом p/2n, у разі n непарного одна з площин перпендикулярна до однієї з дворазовий осей. Значить при n = 2p +1 система має центр симетрії. Для D nd з парних n маємо наступні класи:
1. Е;
2. Обертання на кут p навколо 2p кратною осі;
3. P-1 класів спряжених обертань навколо З 2 p;
4. один клас 2p обертань на кут p;
5. один клас 2p відображень у s d;
6. P класів спряжених обертальних віддзеркалень. Разом всього: 1 +1 + [p-1] +1 +1 + p = 2p +3.
Приклад - молекула C 2 H 6. Симетрія D 3d. Елементи симетрії: C 3, 3C 2, S 6, I, 3 s d. Операції: E; C 3 1, C 3 2; 3C 2; I; S 6 1, S 6 3; 3 s d.
Група D 2p +1, d має центр інверсії, а тому має в класів в два рази більше, ніж D 2p +1 т.е.2 p +4.
11. ГРУПА Тетраедри Т d = {V d, C 3}. Група містить всі перетворення симетрії тетраедра. Шість площин, проходять через ребра і медіани протилежних граней і містять вісь C 3. Тому C 3 1 і C 3 -1 º C 2 березня пов'язані. Дворазові осі групи Т теж стають еквівалентними чотириразовим дзеркально-поворотним осям, оскільки утворює група V d. Всього 24 елемента розбиті по наступним 5 класів: E; 8C 3, 6 s, 6S 4, 3C 2.
12. ГРУПА Тетраедри Т h = {V h, C 3}. Оскільки V h має центр інверсії, T h = {T, I}. Класів в цій групі тому в два рази більше ніж у групі T: E, 4C 3 1, 4C 3 2, 3C 2, I, 4S 6 1, 4S 3 червня, 3S 4. У результаті інверсії з'являються 3 взаємно-перпендикулярних площині симетрії , що проходять через кожні дві осі другого порядку, а осі третього порядку стають дзеркально-поворотними 6-го порядку.
13. ГРУПА Октаедр O h = {O, I}. Це є група всіх перетворенні куба. Вона виходить з O додаванням центру інверсії. Тому її можна представити як O h = O * C i. Осі третього порядку перетворюються в дзеркально-поворотні осі 6-го порядку. З'являється ще 6 площин, що проходять через пару протилежних ребер, і три, паралельні гранях. Група містить 48 елементів, 10 класів, які безпосередньо можуть бути отримані з групи O.
14. ГРУПА Ікосаедр P = {P, I}. P h = PC i. (Правильний 20-гранник c трикутними гранями)
C - БЕЗПЕРЕРВНІ ГРУПИ
Крім кінцевих точкових груп слід розглянути безперервні точкові групи з нескінченним числом елементів. Це групи аксіальної або сферичної симетрії. Простою групою є група C, що містить повороти C (j) на довільний кут j. Це граничний випадок З n при n ® ¥ нескінченності. Аналогічно, в якості граничних груп C nh, C nv, D n, D nh виходять відповідні безперервні групи. Молекула, що володіє аксіальної симетрією, повинна складатися з атомів, розташованих на лінії. При цьому, якщо вона не симетрична щодо своєї середини, її точкова група буде C ¥ v, оскільки крім поворотів існують відображення в площинах s v. Якщо ж молекула симетрична щодо свого центру, то її точкова група D ¥ h = C ¥ v * C i. Тому групи D ¥ h, C ¥ h, D ¥, не можуть здійснюватися в якості груп симетрії молекул. Електричне поле E (полярний вектор) має симетрію C ¥ v. Магнітне поле H (аксіальний вектор) має симетрію C ¥ h.