Рішення ірраціональних рівнянь

Міністерство освіти і науки РФ.
МОУ "Ульканская середня загальноосвітня школа № 2".
ТЕМА:
Рішення ірраціональних рівнянь.
Реферат виконано:
Верхошанським Світланою Олександрівною,
учениця 9 "Г" класу.
Керівник:
Висоцька Лідія Степанівна,
вчитель математики.
Улькан
2005
ЗМІСТ:
Глава I. Історична довідка ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ... ... ... ... .. 2
Глава II § 1. Рішення ірраціональних рівнянь ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... .. 3
§ 2. Перетворення ірраціональних виразів ... ... ... ... ... ... .... ... .5
§ 3. Рівняння з радикалом третього ступеня ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 6
§ 4. Введення нового невідомого ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 7
Література ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 9

Історична довідка
про ірраціональні рівняннях.
"Джерелом алгебраїчних іррациональностей є двозначність або багатозначність завдання, бо було б неможливо виразити одним і тим же обчисленням багато значення, що задовольняють однієї і тієї ж задачі, інакше, ніж за допомогою коренів ...; вони ж хіба тільки в окремих випадках можуть бути зведені до раціональності ".
(Лейбніц Г.)
Однією з конкретних причин появи математичних теорій було відкриття іррациональностей. Спочатку це сталося в межах геометричних вишукувань у вигляді встановлення факту несумірності двох відрізків прямої. Значення цього відкриття в математиці важко переоцінити. У математику, чи не вперше, увійшла складна теоретична абстракція, яка не має аналога в донаучной загальнолюдському досвіді. Ймовірно, найпершою ірраціональністю, відкритої давньогрецькими математиками, було число . Можна з певною впевненістю вважати, що вихідним пунктом цього відкриття були спроби знайти загальну міру за допомогою алгоритму поперемінного віднімання, відомого зараз як алгоритм Евкліда. Можливо також, що деяку роль зіграла завдання математичної теорії музики: розподіл октава, що приводить до пропорції 1: п = п: 2. Не останню роль зіграв і характерний для піфагорійської школи загальний інтерес до теоретико-числовим проблем.
Стародавні математики знайшли досить швидко логічно строге доведення ірраціональності числа шляхом зведення цього докази до формального суперечності. Нехай , Де m і n - Взаємно прості числа. Тоді m ² = ² n ^2, звідки випливає, що т ² парне і, отже, п ² парне. Парне, отже і п. Получающееся протиріччя (п не може бути одночасно і парних і непарних) вказує на невірність посилки, що число раціонально.
Для дослідження знову відкритих квадратичних іррациональностей відразу ж виявилося необхідним розробляти теорію подільності чисел. Справді, нехай , Де p і g - Взаємно прості, а п є твором тільки перших ступенів співмножників звідси р ² = п g ^2. Якщо t - простий дільник п, то р ² (а значить, і р) ділиться на t. Отже, р ² ділиться на t ^2. Але в п міститься тільки перша ступінь t. Значить g ² (так само як і g) ділиться на t. Але цей результат формально суперечить припущенню, що р і g взаємно прості.
Слідом за ірраціональністю числа були відкриті багато інших ірраціональності. Так, Архіт (близько 428-365 до н.е.) довів ірраціональність чисел виду . Теодор з Кірени (V ст. До н.е.) встановив ірраціональність квадратного кореня з чисел 3,5,6, ..., 17, які не є повним квадратом. Теетет (410-369 до н.е.) дав одну з перших класифікацій іррациональностей.
З появою іррациональностей у давньогрецькій математиці виникли серйозні труднощі як у теоретико-числовому, так і в геометричному плані.
Рішення ірраціональних рівнянь.
Рівняння, в яких під знаком кореня міститься змінна, називають ірраціональними. Таке, наприклад, рівняння .
При вирішенні ірраціональних рівнянь отримані рішення вимагають перевірки, тому, наприклад, що невірне рівність при зведенні в квадрат може дати вірне рівність. У самому справі, невірне рівність при зведенні в квадрат дає вірне рівність 1 ² = (-1) ^2, 1 = 1.
Іноді зручніше вирішувати ірраціональні рівняння, використовуючи рівносильні переходи.
Приклад 1. Вирішимо рівняння .
Зведемо обидві частини цього рівняння в квадрат і отримаємо , Звідки випливає, що , Тобто .
Перевіримо, що отримані числа є рішеннями рівняння. Дійсно, при підстановці їх в дане рівняння виходять вірні рівності:
і
Отже, x = 3 або x = -3 - рішення даного рівняння.
Приклад 2. Вирішимо рівняння .
Звівши в квадрат обидві частини рівняння, отримаємо . Після перетворень приходимо до квадратного рівняння , Коріння якого і .
Перевіримо, чи є знайдені числа рішеннями даного рівняння. При підстановці в нього числа 4 отримаємо правильне рівність , Тобто 4 - рішення даного рівняння. При підстановці ж числа 1 отримуємо в правій частині -1, а в лівій частині число 1. Отже, 1 не є рішенням рівняння; кажуть, що це сторонній корінь, отриманий в результаті прийнятого способу розв'язання.
Відповідь: .
Приклад 3. Вирішимо рівняння .
Зведемо обидві частини цього рівняння в квадрат: , Звідки одержуємо рівняння , Коріння якого і . Відразу ясно, що число -1 не є коренем даного рівняння, тому що обидві частини його не визначені при . При підстановці в рівняння числа 2 отримуємо вірне рівність , Отже, рішенням даного рівняння є тільки число 2.
Приклад 4. Вирішимо рівняння .
Звівши в квадрат обидві частини цього рівняння, отримуємо , , . Підстановкою переконуємося, що число 5 не є коренем даного рівняння. Тому рівняння не має рішень.
Приклад 5. Вирішимо рівняння .
За визначенням - Це таке невід'ємне число, квадрат якого дорівнює подкоренное висловом. Іншими словами, рівняння рівносильно системі:


Вирішуючи перше рівняння системи, рівносильну рівнянню , Отримаємо коріння 11 і 6, але умова виконується тільки для . Тому дане рівняння має один корінь .
Приклад 6. Вирішимо рівняння .
На відміну від розглянутих раніше прикладів дане ірраціональне рівняння містить не квадратний корінь, а корінь третього ступеня. Тому для того, щоб "позбутися від радикала", треба звести обидві частини рівняння не в квадрат, а в куб: . Після перетворень одержуємо:

Отже, , .
Приклад 7. Вирішимо систему рівнянь:

Поклавши і , Приходимо до системи

Розкладемо ліву частину другого рівняння на множники: - І підставимо в нього з першого рівняння . Тоді отримаємо систему, рівносильну другий:

Підставляючи в друге рівняння значення v, знайдене з першого , Приходимо до рівняння , Тобто .
Отримане квадратне рівняння має два корені: і .
Відповідні значення v такі: і . Переходячи до змінних х і у, отримуємо: , Тобто , , , .
Перетворення ірраціональних виразів.
Якщо знаменник дробу містить ірраціональне вираз, то часто доцільно позбутися останнього.
Розглянемо деякі типові випадки:

Приклад:

При безпосередньому зведенні в квадрат обох частин рівняння рівняння має бути спочатку перетворено так, щоб в одній частині стояли лише радикали, а в іншій - інші члени вихідного рівняння. Так роблять, якщо радикалів у рівнянні два. Якщо ж їх три, то два з них залишають в одній частині рівняння, а третій переносять в іншу. Потім обидві частини рівняння зводять у квадрат і проводяться необхідні перетворення (приведення подібних і т.п.). Далі всі члени рівняння, що не містять радикалів, знову переносяться в одну сторону рівняння, а залишився радикал (тепер він буде тільки один!) - В іншу. Отримане рівняння знову зводять квадрат, і в результаті виходить рівняння, що не містить радикалів.
Приклад. Введення нової змінної:
.
Рішення: Позначимо , Тоді

Рівняння прийме вигляд:

Зведемо його в квадрат:

Це рівняння так само будуємо в квадрат:

Перевірка: отримані значення t ми повинні перевірити в рівнянні (1), так як саме воно зводилося в квадрат. Перевірка показує, що - Сторонній корінь, а - Дійсно корінь рівняння (1). Звідси отримаємо:

Відповідь: 0; -1.
Рівняння з радикалом третього ступеня.
При вирішенні рівнянь, що містять радикали 3-го ступеня, буває корисно користуватися складанням тотожністю:

Приклад 1.
.
Зведемо обидві частини цього рівняння в 3-ю ступінь і скористаємося вище наведеним тотожністю:

Зауважимо, що вираз що стоїть у дужках дорівнює 1, що випливає з початкового рівняння. З огляду на це і приводячи подібні члени, отримаємо:

Розкриємо дужки, наведемо подібні члени і вирішимо квадратне рівняння. Його коріння і . Якщо вважати (за визначенням), що корінь непарної мірою можна витягати і з негативних чисел, то обидва отриманих числа є рішеннями вихідного рівняння.
Відповідь: .
Рішення 2
Зведемо дві нові змінні і , Тоді ,
.
Зауважимо, що .
У результаті отримаємо систему рівнянь:

Використовуючи початкові рівняння системи, перетворимо другі, замінивши першу дужку одиницею, а другу підставимо замість невідомого у вираз , Також отримане з першого .
Наведемо подібні члени, розкривши попередньо дужки і вирішивши отримане квадратне рівняння. Його коріння і . Повернемося тепер до початкової підстановці і отримаємо шукані розв'язки:

Введення нового невідомого.
Вирішивши ці рівняння, знайдемо радикали більш високих ступенів, але найбільш часто використовувався спосіб їх розв'язання - введення нового (нових) невідомого.
Приклад 2.

Позначимо , Тоді
а)
Рівняння прийме вигляд:

Корінь не задовольняє умові
Відповідь: 76.
Методи рішення ірраціональних рівнянь.
Методи рішення ірраціональних рівнянь, як правило засновані на можливості заміни (за допомогою деяких перетворень) ірраціонального рівняння раціональним рівнянням, яке або рівносильно вихідного, або є його наслідком. Тому існують два шляхи при вирішенні ірраціональних рівнянь:
1) перехід до вивідним рівнянням (наслідків) з подальшою перевіркою коріння;
2) перехід до рівносильним системам.
Другий підхід позбавляє від підстановки отриманих коренів у вихідне рівняння (інколи таку перевірку здійснити нелегко) і, взагалі кажучи, є кращим. Проте якщо в ході рішення виявилося, що перевірка отриманих коренів не становить труднощів, то можна не з'ясовувати джерела появи сторонніх коренів і не переходити до рівносильним системам.
Приклад 1.

Зведемо в 6 ступінь:

Перевірка:
, Тобто - Правильне рівність.
Відповідь: 67.
Приклад 2.

Перетворимо рівняння до вигляду:
і зведемо обидві частини в квадрат:

, Тобто

Ще раз зведемо обидві частини в квадрат:
, Тобто , .
Перевірка:
1) При

2)
Відповідь: .
Приклад 3.

Покладемо . Тоді і ми отримуємо рівняння , Звідки , .
Тепер завдання звелася до вирішення двох рівнянь:
; . Зводячи обидві частини рівняння в 5-у ступінь, отримаємо , Звідки .
Рівняння - Не має коренів, оскільки під знаком зведення в дробову ступінь може міститися невід'ємне число, а будь-яка ступінь невід'ємного числа неотрицательна.
Відповідь: 34.
Список використовуваної літератури:
1) Довідник з математики.
В.А. Гусєв, А.Г. Мордкович.: 1986р.
2) Поглиблене вивчення курсу алгебри і математичного аналізу.
М.Л. Галицький, М.М. Мошкович, С.І. Шварцабурд.: 1992р.
3) Виникнення і розвиток математичної науки.
К.А. Рибніков.: 1987р.
4) Учням про математику.
М.К. Гриненко.: 1993р.