Рішення систем нелінійних алгебраїчних рівнянь методом Ньютона
РЕФЕРАТ
Пояснювальна записка: 44 с., 14 рис, 2 таблиці, 3 джерела, 4 дод.
Даний продукт являє собою програму, що дозволяє вирішувати СНАУ:
F1 (X 1, X 2, X 3) = 0,5 arctg (X 1 + X 2) +0,2 ln (1 + X 2 1 + X 2 2 + X 2 3) -0,05 (X 1 X 2 -X 1 X 3-X 2 X 3) +85 X 1-20X два +35 X 3 -99;
F2 (X 1, X 2, X 3) = 5arctg (X 1 + X 2 + X 3) -25,5 X 1 +19,5 X 2 -15,5 X 3 +15;
F3 (X 1, X 2, X 3) =- 0,3 cos (X 1-2X 2 + X 3) +0,5 exp (-0,25 (X 2 1 + X 2 2 + X 2 Березня -3) ) -44,75 X 1 +20,25 X 2 +5,25 X 3 +18.
Модифікованим методом Ньютона при заданих початкових умовах, де задається похибка обчислення. Крім обчислення кореня рівняння, існує можливість побудови графіка залежності наближень двох координат рішення. При побудові графіка задаються проміжки і константи. Програма може використовуватися як наочний посібник для студентів вищих навчальних закладів.
У програмі реалізуються:
1) робота з BGI графікою;
2) робота з файлами.
ЗМІСТ
Введення
1. Постановка завдання
1.1. Мета створення програмного продукту
1.2. Постановка завдання
2. Математична модель
3. Опис і обгрунтування вибору методу розв'язання
4. Обгрунтування вибору мови програмування
5. Опис програмної реалізації
1 ПОСТАНОВКА ЗАВДАННЯ
1.1 Мета створення програмного продукту
Головною метою роботи є розробка програми здатною вирішувати СНАУ трьох змінних модифікованим методом Ньютона, що повинно бути посібником для студентів вищих навчальних закладів у зниженні непотрібного навантаження, пов'язаної з численними масивами обчислень.
1.2 Постановка завдання
У даному програмному продукті необхідно реалізувати рішення СНАУ:
0,5 arctg (X 1 + X 2) +0,2 ln (1 + X 2 1 + X 2 2 + X 2 3) -0,05 (X 1 X 2-X 1 X 3-X 2 X 3) + 85X 1 -
-20X два +35 X 3 -99;
5arctg (X 1 + X 2 + X 3) -25,5 X 1 +19,5 X 2 -15,5 X 3 +15;
-0,3 Cos (X 1-2X 2 + X 3) +0,5 exp (-0,25 (X 2 1 + X 2 2 + X 2 3 -3)) -44,75 X 1 +20,25 X 2 +
+5,25 X 3 +18.
Початковим наближенням (X 0) повинні служити X 1,0 = 0, X 2,0 = 0, X 3,0 = 0. Необхідно запровадити точність (ξ) обчислення кореня системи рівнянь, обмежену розміром (не менше 0,00001). Після обчислень із заданою похибкою виникає безліч наближень до кореня, останнє з яких буде вважатися коренем. Після знаходження кореня СНАУ і наближень до нього, необхідно побудувати графік залежності двох будь-яких компонент рішення (наприклад, X 1 і X 3). Для цього третій компонент рішення (X 3) приймає значення константи. Необхідно вказати яка функція буде брати участь у побудові графіка (наприклад, F 1), а також визначити проміжки зміни обох компонент рішення (наприклад, [X 1 min; X 1 max] і [X 3 min; X 3 max]).
2 МАТЕМЕТІЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Загальний вигляд розв'язку системи нелінійних арифметичних рівнянь має вигляд:
F 1 (X 1, ..., X n) = 0
...
Fn (X 1, ..., X n) = 0
У порівнянні з методом Ньютона модифікований метод Ньютона сходиться довше, але має більш простий алгоритм реалізації, отже, простіше реалізуємо програмно на мові програмування.
4 ОБГРУНТУВАННЯ ВИБОРУ МОВИ ПРОГРАМУВАННЯ
Реалізація поставленої задачі здійснюється на мові програмування Borland C + + version 3.1.
Система програмування Borland C + +, розроблена американською корпорацією Borland, залишається однією з найпопулярніших систем програмування в світі. Цьому сприяє простота що лежить в основі мови програмування C, а також підтримка графічного і текстового режимів, що робить Borland C вдалим вибором для реалізації практично будь-якого програмного продукту.
РЕФЕРАТ
Пояснювальна записка: 44 с., 14 рис, 2 таблиці, 3 джерела, 4 дод.
Даний продукт являє собою програму, що дозволяє вирішувати СНАУ:
F2 (X 1, X 2, X 3) = 5arctg (X 1 + X 2 + X 3) -25,5 X 1 +19,5 X 2 -15,5 X 3 +15;
F3 (X 1, X 2, X 3) =- 0,3 cos (X 1-2X 2 + X 3) +0,5 exp (-0,25 (X 2 1 + X 2 2 + X 2 Березня -3) ) -44,75 X 1 +20,25 X 2 +5,25 X 3 +18.
Модифікованим методом Ньютона при заданих початкових умовах, де задається похибка обчислення. Крім обчислення кореня рівняння, існує можливість побудови графіка залежності наближень двох координат рішення. При побудові графіка задаються проміжки і константи. Програма може використовуватися як наочний посібник для студентів вищих навчальних закладів.
У програмі реалізуються:
1) робота з BGI графікою;
2) робота з файлами.
ЗМІСТ
Введення
1. Постановка завдання
1.1. Мета створення програмного продукту
1.2. Постановка завдання
2. Математична модель
3. Опис і обгрунтування вибору методу розв'язання
4. Обгрунтування вибору мови програмування
5. Опис програмної реалізації
1 ПОСТАНОВКА ЗАВДАННЯ
1.1 Мета створення програмного продукту
Головною метою роботи є розробка програми здатною вирішувати СНАУ трьох змінних модифікованим методом Ньютона, що повинно бути посібником для студентів вищих навчальних закладів у зниженні непотрібного навантаження, пов'язаної з численними масивами обчислень.
1.2 Постановка завдання
У даному програмному продукті необхідно реалізувати рішення СНАУ:
-20X два +35 X 3 -99;
5arctg (X 1 + X 2 + X 3) -25,5 X 1 +19,5 X 2 -15,5 X 3 +15;
-0,3 Cos (X 1-2X 2 + X 3) +0,5 exp (-0,25 (X 2 1 + X 2 2 + X 2 3 -3)) -44,75 X 1 +20,25 X 2 +
+5,25 X 3 +18.
Початковим наближенням (X 0) повинні служити X 1,0 = 0, X 2,0 = 0, X 3,0 = 0. Необхідно запровадити точність (ξ) обчислення кореня системи рівнянь, обмежену розміром (не менше 0,00001). Після обчислень із заданою похибкою виникає безліч наближень до кореня, останнє з яких буде вважатися коренем. Після знаходження кореня СНАУ і наближень до нього, необхідно побудувати графік залежності двох будь-яких компонент рішення (наприклад, X 1 і X 3). Для цього третій компонент рішення (X 3) приймає значення константи. Необхідно вказати яка функція буде брати участь у побудові графіка (наприклад, F 1), а також визначити проміжки зміни обох компонент рішення (наприклад, [X 1 min; X 1 max] і [X 3 min; X 3 max]).
2 МАТЕМЕТІЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Загальний вигляд розв'язку системи нелінійних арифметичних рівнянь має вигляд:
...
Fn (X 1, ..., X n) = 0
, Де F i - функція n змінних.
Рішенням СНАУ є вектор X = (X 1, ..., X n), при підстановці компонент якого в систему кожне її рівняння звертається у вірне рівність.
При n = 3 - точка перетину трьох поверхонь.
Модифікований метод Ньютона - один з методів, що застосовуються для знаходження кореня СНАУ. Модифікований метод Ньютона припускає наявність початкового наближення X 0. Суть методу полягає в побудові послідовності точок X 0, ..., X n, що сходяться до вирішення.
Рекурентна формула має вигляд:
X k +1 = X k + W (X 0) -1 F (X k), де W (X 0) -1 - обернена матриця приватних похідних рівнянь системи рівнянь (якобіан I -1) від початкового наближення X 0, а F (X k) - вектор значень функцій СНАУ вектора наближення до кореня X, вирахувати, на попередньому кроці.
Умовою закінчення виконання наближень є крок, на якому k-норма (в даному випадку), тобто √ F 2 лютого (X n +1) + F 2 2 (X n +1) + F 2 2 (X n +1 ), менше певної похибки (ξ):
√ F 2 лютого (X n +1) + F 2 2 (X n +1) + F 2 2 (X n +1) <ξ.
3 ОПИС І ОБГРУНТУВАННЯ ВИБОРУ МЕТОДУ РІШЕННЯ
Для вирішення СНАУ був вибраний один з чисельних методів, який називається модифікованим методом Ньютона.У порівнянні з методом Ньютона модифікований метод Ньютона сходиться довше, але має більш простий алгоритм реалізації, отже, простіше реалізуємо програмно на мові програмування.
4 ОБГРУНТУВАННЯ ВИБОРУ МОВИ ПРОГРАМУВАННЯ
Реалізація поставленої задачі здійснюється на мові програмування Borland C + + version 3.1.
Система програмування Borland C + +, розроблена американською корпорацією Borland, залишається однією з найпопулярніших систем програмування в світі. Цьому сприяє простота що лежить в основі мови програмування C, а також підтримка графічного і текстового режимів, що робить Borland C вдалим вибором для реалізації практично будь-якого програмного продукту.