Рішення рівнянь з параметрами

Міська відкрита науково - практична конференція

1. Введення
2. Рішення рівнянь з параметрами
3. Рішення рівнянь з параметрами, пов'язаних із властивостями показовою, логарифмічної і тригонометричної функціями
4. Висновок

Введення
Актуальність даної теми визначається необхідністю вміти вирішувати такі рівняння з параметрами при здачі Єдиного Державного іспиту і на вступних іспитах до вищих навчальних закладів.
Мета даної роботи розповісти про рішення рівнянь з параметрами, пов'язаних із властивостями показовою, логарифмічної і тригонометричної функціями.
Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити такі завдання:
1) дати визначення поняттям рівняння з параметрами;
2) показати принцип рішення даних рівнянь на загальних випадках;
3) показати рішення рівнянь з параметрами, пов'язаних із властивостями показовою, логарифмічної і тригонометричної функціями.
Для виконання поставленої мети були використані наступні методи: використання літератури різного типу, робота в групах на уроках алгебри і заняттях елективного курсу з математики, участь проектної групи в міській конференції на цю тему у 2006 році.
Об'єктом дослідницької роботи було рішення рівнянь з параметрами, пов'язаних із властивостями вище представлених функцій.
Структура даної роботи включає в себе теорію, практичну частину, висновок, бібліографічний список.

Рішення рівнянь з параметрами
Завдання з параметрами відіграють важливу роль у формуванні логічного мислення та математичної культури у школярів, але їх рішення викликає у них значні труднощі. Це пов'язано з тим, що кожне рівняння з параметрами представляє собою цілий клас звичайних рівнянь, для кожного з яких має бути отримано рішення. Такі завдання пропонуються на єдиному державному іспиті і на вступних іспитах до вузів.
Більшість посібників адресовано абітурієнтам, однак починати знайомитися з подібними завданнями потрібно набагато раніше - паралельно з відповідними розділами шкільної програми з математики.
Якщо в рівнянні деякі коефіцієнти задані не конкретними числовими значеннями, а позначені літерами, то вони називаються параметрами, а рівняння параметричним.
Природно, такий невеликий клас завдань багатьом не дозволяє засвоїти головне: параметр, будучи фіксованим, але невідомим числом, має як би подвійну природу. По-перше, передбачувана популярність дозволяє «спілкуватися» з параметром як з числом, а по-друге, - ступінь свободи спілкування обмежується його невідомістю. Так, розподіл на вираз, що містить параметр, добування кореня парному ступеня з подібних виразів вимагають попередніх досліджень. Як правило, результати цих досліджень впливають і на рішення, і на відповідь.
Основне, що потрібно засвоїти при першому знайомстві з параметром, - це необхідність обережного, навіть, якщо хочете, делікатного поводження з фіксованим, але невідомим числом. Цьому, на нашу думку, багато в чому будуть сприяти наші приклади.
Необхідність обережного поводження з параметром добре видно на тих прикладах, де заміна параметра числом робить завдання банальною. До таких завдань, наприклад, відносяться: порівняти два числа, вирішити лінійне або квадратне рівняння, нерівність і т.д.
Зазвичай в рівняння літерами позначають невідомі.
Розв'язати рівняння - означає:
знайти безліч значень невідомих, що задовольняють цьому рівнянню. Іноді рівняння, крім літер, що позначають невідоме (X, Y, Z), містять інші літери, звані параметрами (a, b, c). Тоді ми маємо справу не з одним, а з нескінченним безліччю рівнянь.
При одних значеннях параметрів рівняння не має коренів, при інших - має тільки один корінь, при третіх - два кореня.
При вирішенні таких рівнянь треба:
1) знайти безліч всіх доступних значень параметрів;
2) перенести всі члени, що містять невідоме, в ліву частину рівняння, а всі члени, що не містять невідомого в праву;
3) привести подібні доданки;
4) вирішувати рівняння ax = b.
Можливо три випадки.
1. а 0, b - будь-яке дійсне число. Рівняння має єдине рішення x = .
2. а = 0, b = 0. Рівняння набуває вигляду: 0х = 0, рішеннями є всі х R.
3. а = 0, b 0. Рівняння 0х = b
рішень не має.
Зробимо одне зауваження. Істотним етапом вирішення рівнянь з параметрами є запис відповіді. Особливо це відноситься до тих прикладів, де рішення як би «гілкується» залежно від значень параметра. У подібних випадках складання відповіді - це збір раніше отриманих результатів. І тут дуже важливо не забути відобразити у відповіді всі етапи рішення.
У щойно розібраному прикладі запис відповіді практично повторює рішення. Тим не менш, я вважаю за доцільне навести відповідь.
Відповідь:
х = при а 0, b - будь-яке дійсне число;
х - будь-яке число при а = 0, b = 0;
рішень немає при а = 0, b ≠ 0.
Рішення рівнянь з параметрами, пов'язаних із властивостями показовою, тригонометричної і логарифмічною функціями
1. Знайдемо значення параметра n, при яких рівняння 15.10 ^х - 20 = n - n · 10 ^{х + 1} не має коренів?
Рішення: перетворимо заданий рівняння: 15.10 ^х - 20 = n - n · 10 ^{х + 1;} 15.10 ^х + n · 10 ^{х + 1} = n + 20; 10 ^х · (15 + 10n) = n + 20 ; 10 ^х = .
Рівняння не буде мати рішень при ≤ 0, оскільки 10 ^х завжди позитивно.
Вирішуючи вказане нерівність методом інтервалів, маємо: ≤ 0; (n + 20) · (15 + 10n) ≤ 0; - 20 ≤ n ≤ - 1,5.
Відповідь: .
2. Знайдемо всі значення параметра а, при яких рівняння lg ² (1 + х ²⁾ + (3а - 2) · lg (1 + х ²⁾ + а ² = 0 не має рішень.
Рішення: позначимо lg (1 + х ²⁾ = z, z> 0, тоді вихідне рівняння прийме вигляд: z ² + (3а - 2) · z + а ² = 0. Це рівняння - квадратне з дискримінант, рівним (3а - ²⁾ 2 - 4а ² = 5а ² - 12а + 4. При дискримінант менше 0, тобто при 5а ² - 12а + 4 <0 виконується при 0,4 <а <2.
Відповідь: (0,4; 2).
3. Знайдемо найбільше ціле значення параметра а, при якому рівняння cos2x + asinx = 2 a - 7 має рішення.
Рішення: перетворимо заданий рівняння:
cos2x + a sinx = 2 a - 7; 1 - 2sin ² х - asinx = 2 a - 7; sin ² х - a sinx + a - 4 = 0;
(Sinх - 2) · = 0.
Рішення рівняння (sinх - 2) · = 0 дає:
(Sinх - 2) = 0; х належить порожньому безлічі.
sinх - = 0; х = (-1) ⁿ arcsin + Πn, n Z при ≤ 1. Нерівність ≤ 1 має рішення 2 ≤ а ≤ 6, звідки випливає, що найбільше ціле значення параметра а дорівнює 6.
Відповідь: 6.
4. Вказати найбільше ціле значення параметра а, при якому корені рівняння 4х ² - 2х + а = 0 належить інтервалу (- 1; 1).
Рішення: коріння заданого рівняння рівні: х ₁ =   (1 + )
х ₂ = , При цьому а ≤ .
За умовою -1 < (1 + ) <1 < <3,
- 1 < <1 > > - 3.
Рішенням, що задовольняє зазначеним подвійним нерівностей, буде рішення подвійного нерівності: - 3 < <3.
Нерівність - 3 < виконується при всіх а ≤ , Нерівність <3 - при - 2 <а ≤ . Таким чином, допустимі значення параметра а лежать в інтервалі (-2; .
Найбільше ціле значення параметра а з цього інтервалу, яке одночасно належить і інтервалу (-1; 1), дорівнює 0.
Відповідь: 0.
5. При яких значеннях параметра а число коренів рівняння
² - х = 0 одно а?
Рішення: побудуємо ескіз графіка функції, у = ² - х при цьому врахуємо, що функція у - парна і її графік - симетричний щодо осі ординат, в силу чого можна обмежитися побудовою тільки його правій частині (х ≥ 0). Також врахуємо, що тричлен х ² - 8х + 7 має коріння х = 1 і х = 7, при х = 0 у = 7, а при х = 4 - мінімум, рівний - 9. На малюнку: пунктирними прямими зображена парабола
у = х ² - 8х + 7 з мінімумом у _хв ​​рівним - 9 при х _хв = 4, і корінням х ₁ = ₁ і х ₂ = 7;

суцільними лініями зображено частину параболи у = ² - 8х + (1 <х <7), отримана дзеркальним відображенням відносно осі 0х частини параболи
х ² - 8х + 7 при 1 <х <7.
(Ескіз лівій частині графіка функції при х <0 можна отримати, відбивши ескіз правій частині графіка симетрично щодо осі 0у).
Проводячи горизонталі у = а, а N, отримуємо k точок її перетин з лініями ескізу графіка. Маємо:

а	0	[1, 6]	7	8	9
до	4	8	7	6	4	2

Таким чином, а = k при а = 7.
Відповідь: 7.
6. Вказати значення параметра а, при якому рівняння
х ⁴ + (1 - 2а) х ² + а ² - 4 = 0 має три різних кореня.
Рішення: кожне біквадратні рівняння в загальному випадку має дві пари коренів, причому коріння однієї пари розрізняються лише знаком. Три кореня можливі у випадку, якщо рівняння має одну пару у вигляді нуля.
Коріння заданого рівняння рівні:
х =
Одна з пар коренів буде дорівнює 0, якщо (2а-1) = . Вирішуючи це рівняння за умови 2а-1> 0 > , Маємо: (2а - 1) = (2а - 1) ² = 17 - 4а
4а ² - 4а +1 = 17 - 4а а = 2.
Відповідь: 2.
7. Вказати ціле значення параметра p, при якому рівняння
cosx - 2sinx = + має рішення.
Рішення: р ≥ 0; 2 - р ≥ 0 р ≤ 2; об'єднуючи допустимі значення параметра р, маємо:
0 ≤ р ≤ 2.
При р = 0 вихідне рівняння приймає вигляд - 2sinх = 2 х належить порожньому безлічі (в силу обмеженості синуса).
При р = 1 вихідне рівняння приймає вигляд:
cosx-2sinx = +1.
Максимальне значення різниці (cosx-2sinx) становить
  = (- Sinx - 2cosx) = 0 tgx = -2, при цьому sinx =
sin (arctg (-2)) = , Cosx - 2sinx = , Що менше +1.
Отже, при р = 1 рівняння рішень не має.
При р = 2 вихідне рівняння набуває вигляду
.
Максимальне значення різниці складає при х = arctg (- ) (При цьому sinx = , Cosx = ). Оскільки > +1, То рівняння = матиме рішення.
Відповідь: 2.
8. Визначити число натуральних n, при яких рівняння не має рішення.
Рішення: х ≠ 0, n ≠ 10.

Рівняння х ² - 8х - n (n - 10) = 0 не має рішення, якщо його дискримінант менше 0, тобто 16 + n (n-10) <0 n ^2-10n +16 <0 (N-2) (n-8) <0 2 <n <8.
У знайденому інтервалі 5 натуральних чисел: 3, 4, 5, 6 і 7. Враховуючи умова n ≠ 10, знаходимо, що загальне число натуральних n, при яких рівняння не має рішень, дорівнює 6.
Відповідь: 6.
9. Знайти найменше ціле значення параметра а, при якому рівняння (0 <х < ) Має рішення.
Рішення: за умовою 1> sinx> 0 1 < <+ ,
1> cosx> 0 1 < <+ ,
Отже, 2 <а <+ .
Зводячи обидві частини заданого рівняння в квадрат, маємо:
= А ²   = А ²
= А ^2.
Введемо змінну z = . Тоді вихідне рівняння прийме вигляд:
z ² + 2z - а ² = 0. Воно має рішення при будь-якому а, оскільки його дискримінант
D = 1 + а ² позитивний при будь-якому а.
Враховуючи, що 2 <а <+ , Укладаємо, що найменше ціле значення параметра а, при якому заданий рівняння має рішення дорівнює 3.
Відповідь: 3.

Висновок
Під час створення даного проекту ми вдосконалили свої старі знання з теми «Рівняння з параметрами, пов'язаних із властивостями показовою, логарифмічної і тригонометричної функціями» і в якійсь мірі отримали нові.
По завершенню роботи ми прийшли до висновку, що ця тема повинна вивчатися не тільки на елективних курсах і додаткових заняттях, але і в шкільній програмі, так як вона формує логічне мислення і математичну культуру у школярів. Учням (студентам) знання з цієї теми допоможуть здати Єдиний Державний Іспит і вступні іспити до ВНЗ.

Використана література.
1. П. І. Горнштейн, В. Б. Полонський, М. С. Якір «Завдання з параметрами», 2002р.
2. Н. Ю. Глаголєва «Завдання з математики для вступників до вузів», 1994р.
3. В. В. Локоть «Завдання з параметрами», 2003р.
4. В. В. Ткачук «Математика - абітурієнту», 1994р.
5. Г. А. Ястребінецкій «Рівняння і нерівності, що містять параметри», 1972р.
6. А. Г. Мордкович «Алгебра і початки аналізу», 1987р.
7. В. С. Крамов «Повторюємо і систематизуємо шкільний курс алгебри і початки аналізу», 1994р.
8. «Математика. Рішення задач підвищеної складності », 2004р.
9. М.І. Шабунін, М.В. Ткачова, Н.Є. Федорова, Р.Г. Газарян «Алгебра і початки аналізу», 2000р.
10. А.П. Карпо «Даю уроки математики ...», 1992 р .
11. В.В. Ткачук «Математика - абітурієнту», 1996 р .