Гайсин М. А.
Математична проблема континууму
Проблему континууму математики відносять до числа головних проблем. Отже, проблемою континууму є питання існування проміжної потужності між лічильної потужністю і потужністю континууму. Континуум-гіпотеза стверджує, що такої потужності немає. Математики довели, що як існування такого безлічі, так і її відсутність не суперечать іншим аксіомам теорії множин. Тим самим прийшли до висновку, що ні довести, ні спростувати континуум-гіпотезу неможливо. Автор ж цієї статті, при вирішенні проблеми, виходив з того, що якщо б рішення проблеми було в аксіоматиці теорії множин, то вона давно була б вирішена. Тому автор направив свої зусилля на аналіз вихідних принципів.
Аналіз проблеми.
При аналізі вихідних принципів, автор прийшов до висновку, що в дійсності, проблемою континууму є саме розумінні континууму в математиці.
Отже, перша концепція континууму була представлена у вигляді неподільних моментів - Мигово часу і неподільних точок простору. Проблема континууму була поставлена Зеноном, який виявив парадокси в цій концепції. Розглянемо один із цих парадоксів, наприклад третій. Зенон в парадоксі "Стріла" доводить, що летить стріла спочиває. Тут він виходить з розуміння часу як суми неподільних моментів "тепер", а простору як суми неподільних точок. Зенон вважав, що в кожний момент часу стріла займає місце, рівне своїм обсягом, а значить, рух можна мислити лише як суму "просунуті" - станів спокою, так як при дійсному русі предмет повинен займати місце більше, ніж він сам. Таким чином Зенон довів, що атомістичний континуум не дозволяє руху ні існувати, ні бути мислимим.
Аристотель, створюючи свою фізику, був змушений довести можливість мислити рух без протиріч, тобто вирішити парадокси Зенона. Аристотель зробив це, поглибивши розуміння природи континууму, введенням поняття безперервності. За Аристотелем, безперервність - це коли у дотичних один до одного елементів, межа зіткнення належить як одному, так і другому дотичному елементу. Суміжність ж, це коли стикаються один до одного елементи зберігають свої кордони. За Аристотелем, безперервними можуть бути частини простору, часу і руху. І безперервне це те, що ділиться на частини, завжди ділені. Тобто, безперервне не може складатися з неподільних частин. Аристотель дозволив парадокси, які виникли у фізиці, при допущенні атомарності простору і часу, показавши можливість мислити рух як безперервний процес, а не як суму "продвинуті". Автора даної статті, захопила глибина думки Арістотеля, яка до цих пір повністю не усвідомлена, і вважає, що теорія континууму Арістотеля, є фундаментом не тільки фізики, а й математики, тому що принцип безперервності дана Аристотелем з дотриманням суворої математичної логіки.
Рішення проблеми.
А як же йдуть справи з розумінням природи континууму в сучасній математиці? Подивимося це на прикладі розв'язання математичної проблеми континууму. Математична проблема континууму задана в категорії актуальної нескінченності. Натуральний ряд у сучасної математики визначається як множина всіх натуральних чисел. Це визначення суперечить природі натурального ряду. Натуральний ряд є прикладом потенційно нескінченної кількості за визначенням. Безмежно зростаючий ряд натуральних чисел, який, скільки б його не збільшували, залишається кінцевою величиною. А в категорії потенційної нескінченності ми не маємо права говорити про натуральному ряді як про сукупність всіх натуральних чисел, або як про нескінченному рахунковому множині.
Розберемо тепер, що таке потужність всіх дійсних чисел так звана континуальна потужність. Континуум в категорії актуальної нескінченності визначається як нескінченну безліч всіх дійсних чисел представленої у вигляді числової прямої. Розглянемо цю числову пряму з урахуванням принципу безперервності. Згідно з принципом безперервності - числова пряма не може бути представлена у вигляді актуального нескінченної кількості. Тому аналогом безлічі потужності континууму буде поняття можливості необмеженого поділу числової прямої у вибраній системі числення. А це поняття визначено в категорії потенційної нескінченності.
Отже, поняття натурального ряду і поняття необмеженого поділу числової прямої в категорії потенційної нескінченності перетворюються в одне поняття - в поняття числа. Можливість необмеженого рахунку з можливістю необмеженого поділу в обраній системі числення для визначення чисельних значень об'єктів математики як завгодно великих зі як бажаної точністю - є визначення числа в категорії потенційної нескінченності.
Звідси бачимо, що питання про існування проміжного безлічі визначеного в актуальної нескінченності в категорії потенційної нескінченності втрачає сенс. Але виникає питання, чому трансцендентні та ірраціональні числа, визначені в категорії актуальної нескінченності в категорії потенційної нескінченності не мають місця? Вони, і дійсно, в категорії потенційної нескінченності не є числами, а є об'єктами математики, які можуть бути обчислені з будь-якою точністю. Так як у категорії потенційної нескінченності числа по визначенню конструктивні. І кількість, поза числової конструкції, з'явитися не може.
А негативні числа? Індійці ввели поняття негативного числа. Від'ємне число трактувалося ними, як комерційний борг. Мовою логіки це відкладене на час віднімання грошей у боржника. В Індії був введений особливий знак для нуля. Словесне позначення нуля в індійців "шунья" перекладається як "порожня".
Сучасне поняття негативного числа і нуля входить в суперечності з їх первинним розумінням. Нуль, з точки зору початкового розуміння, це порожньо. Тоді незрозуміло який рахунок може йти після "порожньо". У первинному розумінні негативного числа, його і немає, так як негативне число було звичайним числом зі знаком вирахування. Тому в сучасну математику треба ввести уточнення, що операції додавання і віднімання записується не тільки в бінарному вигляді, а й у унарним. Це явно видно на елементарному прикладі: 0-1 =- 1. Нереалізована бінарна операція віднімання переходить в унарний вид запису, тобто в вид запису очікування. І при подальшому використання цього числа в розрахунках реалізується як звичайна операція віднімання.
Автор робить висновок: що немає негативних чисел у сучасному розумінні, а є математика, в яку закладено, що числа при розрахунках визначені щодо операцій додавання і віднімання.
Висновок: Рішення математичної проблеми континууму акцентувала увагу на більш глобальної проблеми - необхідності введення в числову математику принципу безперервності, яка вже більше ніж давно визначена у філософії (фізики). Тим більше, що природа єдина, і не можуть принципи філософії та принципи математики по одній і тій же проблемі суперечити один одному.
Список літератури
П. П. Гайденко. "Поняття часу і проблема континууму"