Рішення матричних рівнянь Базисний мінор Ранг Дії над матрицями

Дисципліна: "Вища математика"
Тема: "Рішення матричних рівнянь: Базисний мінор. Ранг. Дії над матрицями"

1. Базові дії над матрицями

Визначення 1. Дві матриця називаються рівними, якщо вони мають однакові порядки і всі їх відповідні елементи збігаються.
Визначення 2. Сумою двох матриць ( ) І ( ) Однакових порядків називається матриця ( ) Того ж порядку, елементи якої дорівнюють .
На листі ця дія може бути записано так: . Операція складання володіє, очевидно, звичайними властивостями: переставних ; Сполучним .
Визначення 3. Твором матриці на число називається матриця , Елементи якої дорівнюють .
Множення матриці на число може бути записано: або .
Ця операція має такі властивості: сполучним щодо числового множника ; Розподільчим щодо суми матриць ; Розподільчим щодо суми чисел .
Після перших двох дій необхідно відзначити, що віднімання матриць проводиться аналогічно складанню, а розподіл матриці на число може бути визначене як множення на зворотне число.
Визначення 4. Твором матриці ( ), Що має порядок , На матрицю ( ), Що має порядок , Називається матриця ( ), Що має порядок , Елементи якої дорівнюють , Де .
Записується цю дію так . Зі сказаного вище випливає, що для знаходження елемента , У творі необхідно попарно перемножити всі відповідні елементи -Го рядка матриці на елементи -Го стовпця матриці , А потім все це скласти. З визначення також випливає, що для множення двох матриць необхідно, щоб число стовпців матриці було рівне числу рядків матриці . Звідси випливає, що одночасно твір і існує лише в тому випадку, коли число стовпців дорівнює числу рядків , А число стовпців дорівнює числу рядків . У цьому випадку і будуть квадратними матрицями, але різних порядків. Щоб обидва твори були однакового порядку, необхідно, щоб і були квадратними матрицями однакового порядку.
Твір матриць має властивості: сочетательное ; Розподільне . Переставних властивістю в загальному випадку твір матриць не володіє. Воно виконується лише в деяких випадках.
Серед квадратних матриць необхідно виділити важливий клас діагональних матриць.
Визначення 5. Діагональної називається квадратна матриця, всі елементи якої, розташовані поза головної діагоналі, дорівнюють 0:
.

У тому випадку, якщо , То для будь-квадратної матриці порядку справедливо . Дійсно, для отримуємо . Для - . Звідси, .
Серед діагональних матриць з рівними один одному елементами особливе місце займають дві матриці: одинична і нульова. У одиничної матриці , Позначається вона - , Біля нульової , Позначається вона - .
Як було показано , . Перемноживши ці матриці, можна переконатися, що ; . Таким чином, матриці і виконують ту ж роль, що й 1 і 0 серед чисел. Взагалі нульової називають будь-яку матрицю, елементи якої дорівнюють нулю.

2. Зворотній матриця

Крім дій над матрицями як додавання, віднімання, множення матриці на число, множення матриці на матрицю є також операція ділення на матрицю. Вона еквівалентна множенню на зворотну матрицю. Розглянемо, що ж це таке.
Визначення 1. Матриця , Що задовольняє разом з матрицею равенствам , Де - Одинична матриця, називається оберненою до і позначається .
Оскільки і мають у творі переставних властивістю, то обидві матриці повинні бути квадратними і одного порядку.
Перш ніж розглядати питання про існування оберненої матриці, введемо деякі поняття.
Визначення 2. Якщо визначник квадратної матриці відмінний від нуля, то матриця називається невиродженої. В іншому випадку вона називається виродженою.
Визначення 3. Нехай дана квадратна матриця

.
Матрицею союзної чи приєднаної до матриці називається матриця
,
де алгебраїчні доповнення елементів даної матриці.
Необхідно звернути увагу на те, що в матриці алгебраїчні доповнення до елементів -Го рядка розташовані в -Му стовпці.
Теорема 1. Визначник твори матриць дорівнює добутку визначників цих матриць, тобто .
Теорема 2. Матриця має зворотну тільки в тому випадку, якщо вона невироджена.
Доказ. Нехай для матриці існує зворотна , Тоді . Звідси випливає, що
,
інакше одиниці праворуч бути не може.
Теорема 3. У кожної невиродженої матриці існує єдина зворотна .
Доказ. Нехай має дві зворотні матриці і . Тоді
і .
Теорема 4. У кожної невиродженої квадратної матриці існує зворотна, рівна .
Доведемо цю теорему, обчислюючи . Очевидно, що ми повинні отримати при цьому матрицю , Елементи якої знаходяться за формулою
.
В отриманому виразі, якщо , То . Дійсно, схоже на вираз для обчислення величини визначника. При цьому елементи -Го рядка множаться на алгебраїчні доповнення -Го стовпця. Але так як ці доповнення містять в собі -Й рядок, то виходить, що ми обчислюємо визначник з двома однаковими рядками. Значить, він дорівнює нулю.
Отже, якщо , То . Якщо ж , То отримане вираження в точності відповідає формулі для обчислення визначника. Значить,


Але визначає діагональні елементи. Значить, в отриманій матриці по головній діагоналі стоять одиниці, а інші елементи - нулі. Це одинична матриця . Отже, і .
Звідси випливає правило обчислення оберненої матриці:
1. знаходимо (Він повинен бути не дорівнює нулю);
2. Транспонуємо матрицю ;
3. замінюємо кожен елемент транспонованої матриці його алгебраїчним доповненням;
4. ділимо кожен отриманий елемент на .

3. Рішення матричних рівнянь

Поняття оберненої матриці дає можливість вирішувати матричні рівняння. Нехай є рівняння виду , Де , , , - Деякі матриці, причому - Невідома. Для знаходження , Перш за все, необхідно перенести вправо: . Потім, користуючись тим, що , Помножимо рівність на :
.
При вирішенні подібних рівнянь необхідно враховувати, з якого боку стоїть множник при . Якщо рівняння має вигляд , То
.
Якщо ж рівняння має множники при з обох сторін
( ), То .

4. Базисний мінор і ранг матриці

Ввівши поняття лінійної комбінації рядків і стовпців матриці, як це було зроблено у векторів, можна ввести поняття їх лінійної залежності і незалежності.
Визначення 1. Рядки , ,..., називаються лінійно залежними, якщо існують числа , Не всі рівні нулю, такі що справедливо рівність .
Тут 0 - нульова рядок.
Визначення 2. Рядки називаються лінійно незалежними, якщо їх лінійна комбінація звертається в нуль лише за умови, що .
У цьому випадку лінійна комбінація називається тривіальною.
Так само як і в векторів є відповідна теорема.
Теорема 1. Для того щоб рядки були лінійно залежні, необхідно і достатньо, щоб одна з них була лінійною комбінацією інших.
Доведення проводиться так само, як і в 4 (там це розбито на дві теореми).
Теорема 2. Якщо в систему рядків матриці входить нульова рядок, то ці рядки лінійно залежні.
Доказ. Дійсно, нульова рядок являє собою тривіальну лінійну комбінацію будь-яких рядків. Але тоді ми відразу переходимо до теореми 1.
Розглянемо тепер поняття базисного мінору. Нехай є довільна матриця порядку :

.
Визначення 3. Мінором -Го порядку матриці називається визначник -Го порядку з елементами, що лежать на перетині будь-яких рядків і стовпців матриці .
Визначення 4. У матриці , Порядку , Мінор порядку називається базисним, якщо він не дорівнює нулю, а всі інші мінори порядку дорівнюють нулю або мінорів порядку взагалі немає, тобто збігається з меншим з чисел або .
Очевидно, що в матриці може бути кілька базисних мінорів, але всі вони повинні бути одного порядку.
Визначення 5. Рангом матриці називається порядок базисного мінору. Позначається ранг матриці - . Рядки і стовпці, на перетині яких стоїть базисний мінор, називаються базисними.
Теорема 3. (Теорема про базисний мінорі). Базисні рядки і стовпці лінійно незалежні. Будь-яка інша рядок або стовпець матриці є лінійною комбінацією базисних рядків або стовпців.
Доказ проведемо для рядків. Покажемо спочатку, що базисні рядки лінійно незалежні. Якщо б вони були лінійно залежні, то одна з цих рядків була б лінійної комбінацією інших. Тоді на підставі властивостей визначника цю комбінацію можна відняти з зазначеного рядка і отримати на її місці нулі. Але якщо вся рядок складається з нулів, то мінор дорівнює нулю, що суперечить теоремі.
Доведемо другу частину цієї теореми. Розглянемо будь-мінор -Го порядку, що включає в себе базисний. Розташуємо базисний мінор у лівому верхньому кутку:

.
За визначенням даний мінор дорівнює нулю. Розкриємо його за останнім стовпцем:
.
Тут , Розділимо на нього все рівність:


З отриманого виразу випливає, що -Ий рядок є лінійною комбінацією базисних рядків.
Звідси можна зробити висновок, що число лінійно незалежних рядків чи стовпців одно рангом матриці. Ця властивість використовується для практичного обчислення .

Література

1. Александров В.В., Потапов М.К., Пасіченко П.І., Потапов М.К. Александров В.В., Потапов М. К та ін Алгебра, тригонометрія та елементарні функції. Підручник. М: Вища школа, 2001. - 736с.
2. Тоом А., Гельфанд І., Львівський С. Тригонометрія. МЦМНО, 2003. - 200с.
3. Баврін І.І. Вища математика - 1980 р.
4. Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун Матричні обчислення. - М.: Світ, 1999.
5. Беллмана Р. Введення в теорію матриць. - М.: Світ, 1969.
6. Гантмахер Ф.Р. Теорія матриць (2-е видання). - М.: Наука, 1966.
7. Ланкастер П. Теорія матриць. - М.: Наука, 1973.