Рішення математичних многочленів

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

РЕФЕРАТ
ТЕМА: Многочлен
Підготувала:
учениця 7 У класу школи № 58
Черняєва Ірина

Поліноми

"Люди, не знайомі з алгеброю, не можуть уявити собі тих дивних речей, яких можна досягти за допомогою названої науки" Готфрід Лейбніц (вчений, математик).
Праці ал - Хорезмі (VIII - IX століття), Абу Каміла (IX - X століття), ал - Караджі (X - XI століття), ал-Беруні (X - XI століття), Омар Хайяма (XI - XII століття), ал -Каші (XIV - XV століття) та інших вчених країн ісламу значно сприяли розвитку алгебри, зокрема теорії рівнянь. Однак у цих працях були відсутні символи і знаки. Як зміст завдання і назва величин, так і всі дії, рішення і відповідь записувалися повністю словами.
Омар Хайям - (повне ім'я) Гіяс ад-дін Фатх ібн Ібрахім Омар Хайям Нішапурі - Ghiyath al-Din Abu'l-Fath Umar ibn Ibrahim Al-Nisaburi al-Khayyami (англійський переклад)
Батьківщиною Омара Хайяма був Хорасан (м. Нішапур) - область, розташована на схід і південний схід від Каспійського моря. На багатому історичному матеріалі дослідники довели заслуги Омара Хайяма як вченого, який зробив ряд найважливіших відкриттів в області астрономії, математики і фізики.
Список математичних трактатів Омара Хайяма:
Труднощі арифметики (Мушкілат ал-хісаб) - Місцезнаходження рукописи не знайдено;
Алгебраїчний трактат без назви - Тегеран;
Трактат про докази задач алгебри та алмукабали (рису фі-л-барахін 'ала маса'іл алджабр ва-л-мукабала) - Париж, Лейден, Лондон, Нью-Йорк, Рим;
Коментарі до труднощів у вступах книги Евкліда (Шархі ма ашкала хв мусадарат китаб Уклідіс) - Лейден.
Відомі нам математичні результати Хайяма відносяться до трьох напрямків: до алгебри, до теорії паралельних, до теорії відносин і вченню про число. В усіх цих напрямках Хайям мав в країнах ісламу видатних попередників і наступників. Багато в чому він відправлявся від класиків грецької та елліністичної науки - Арістотеля, Евкліда, і інших, але разом з тим він виступає як яскравий представник нової математики з її потужною і визначальною обчислювально-алгоритмічної компонентою.
Тут ми дамо коротку характеристику математичного творчості Хайяма, відсилаючи за подробицями до наших коментарям до перекладів його трактатів.
Алгебраїчний трактат Хайяма можна розбити по порядку на п'ять розділів:
1) вступ;
2) рішення рівнянь 1-й і 2-го ступеня;
3) рішення рівнянь 3-го ступеня;
4) зведення до попередніх видів рівнянь, що містять величину, зворотну невідомою;
5) додаток (у тексті трактату такого поділу на розділи не є).
Хайям говорить: "Алгебраїчні рішення проводиться за допомогою рівняння, тобто як це добре відомо, прирівнювання одних ступенів іншим". Словом, алгебра визначається як наука про рівняннях і саме про тих рівняннях, які в даний час називаються алгебраїчними. Ми вперше тут знаходимо і термін "алгебраїсти" - ал-джабріййуна.
Такий же, риторичної алгебра залишалася довгий час і в Європі.
Ще в XVI столітті рівняння, яке нині записується у вигляді:
х3 + ах = Ь9

записувалося так: "Куб р деяку кількість речей дорівнює числу".
Тут буква р варто замість нашого знаку +;
"Деяку кількість" - замість а;
"Річ" - замість х,
"Число" - замість Ь.
У 1572 році видатний італійський математик Р. Бомбеллі записував алгебраїчні вираження так, як показано нижче:
i I Р 2 X "P 2
21 P 41 P 4 g1P 41 P 4
4lp 8 з p 24 лютого p 32 I p 16
I "P 2 W
5 I p io 4 p 40 3 p 80 2 p 80 ip 32, Що означає (X + 2) 2 = X2 + 4 X 4 - 4, (x2 + 4x + 4) 2 = x4 - b8x3 + 24x2 + 32x + i6 .
Такі громіздкі запісі утруднювали алгебраїчні дії, гальмували розвиток науки. Тим часом не тільки необхідність, а й можливість введення і вживання коротких записів і буквеної символіки стали особливо очевидними після винаходу книгодрукування в XV столітті.
Алгебру Діофанта, індійських і західноєвропейських математиків до XV - XVI століть, у якій вживалися окремі букви, позначення та скорочення слів, іноді називають сінкопірующей (від грецького "синкопе" - скорочення).
У кінці XVI століття Вієт, грунтуючись на частково розробленою до нього символіці, став позначати буквами не тільки невідомі, але і коефіцієнти при них, ввів спільну буквену символіку. Однак записи рівнянь Вієта містили ще пари слів замість символів. Наприклад, замість знака рівності він писав слово "дорівнює" і т.п.
Алгебраїчна символіка удосконалювалася і продовжувала розвиватися в працях Рене Декарта, Ісаака Ньютона, Леонарда Ейлера і інших учених XVII - XVIII століть.
Алгебраїчна символіка значно полегшила вивчення математики і сприяла її повного розквіту.
Математичні дослідження Декарта тісно пов'язані з його роботами з філософії та фізики. У "Геометрії" (1637) Декарт вперше ввів поняття змінної величини і функції.
Змінна величина у Декарта виступала в подвійній формі: як відрізок змінної довжини і постійного напряму - поточна координата точки, що описує своїм рухом криву, і як безперервна числова змінна, що пробігає сукупність чисел, що виражають цей відрізок. Двоякий образ змінної зумовив взаємопроникнення геометрії і алгебри. У Декарта дійсне число трактувалося як відношення будь-якого відрізка до одиничного, хоча сформулював таке визначення лише І. Ньютон; негативні числа одержали у Декарта реальне тлумачення у вигляді негативних ординат. Декарт значно поліпшив систему позначень, ввівши загальноприйняті знаки для змінних величин (x, у, z) і коефіцієнтів (a, b, c), а також позначення ступенів 4, a 5). Запис формул у Декарта майже нічим не відрізняється від сучасної.
До середини XIX століття центральним завданням алгебри було знаходження формули для коренів рівняння P (x) = 0, де P - многочлен довільного ступеня. Це завдання було повністю вирішена в роботах молодих математиків першої третини XIX століття - Е. Галуа (1811-1832), Н. Абеля (1802-1829) і П. Руффини (1765-1822).

Еваріст Галуа

Ще в XVI столітті італійськими математиками були знайдені формули для вирішення рівнянь третього і четвертого ступеня. Абель і Руффини довели, що, починаючи з п'ятого ступеня, загальної формули, що використовує, крім додавання і множення, лише витяг коренів, не існує, а Галуа відкрив закономірності поведінки коренів, застосовні до кожного конкретного рівняння.
Паралельно з цим К. Гаусс довів основну теорему алгебри, яка стверджує, що всякий багаточлен (коефіцієнти многочлена можуть бути не тільки речовими, але і комплексними числами) має хоча б один корінь (можливо, є не речовим, а комплексним числом). Після цього питання про обчислення коренів многочлена перемістився з алгебри у теорію функцій та наближених обчислень.
У XX столітті роль многочленів почала змінюватися. Літери, що входять до многочлен, все більше стали грати роль символів, не пов'язану з їх конкретними значеннями. Найрізноманітніші галузі математики та її застосувань стали використовувати символьне обчислення многочленів, не залежне від теорії функцій (математична логіка, топологія, теорія інформації, дискретна і комп'ютерна математика і т.д.).
Наведемо приклад. У XX столітті найважливішим завданням людства стала задача передачі інформації (радіо, телефон, передача відеосигналів тощо).
Математично повідомлення може бути записано у вигляді послідовності символів (крапки і тире в старовинній абетці Морзе, нулі і одиниці, і т.п.), який передається по так званому каналу зв'язку (наприклад, у вигляді радіосигналів).

Визначення многочлена

Одночленним від деякої літери x називається алгебраїчне вираз a. x n
де
a - деяке число,
x - літера,
n - ціле невід'ємне число.
Одночлен називаються подібними, якщо показники ступеня у літери однакові. Подібні Одночлен можна складати за правилом:
a. x n + b n. x n = (a + b). x n
Ця дія називається приведенням подібних членів.
Многочленом називається алгебраїчна сума одночленним.
Будь-який многочлен від однієї літери x (її часто називають змінної) після приведення подібних членів може бути записаний за убутним ступенями цієї букви у вигляді
F (x) = a n. x n + a n-1. x n-1 + ... + a 1. x + a o
або по зростаючим ступенями
F (x) = a o + a 1. x + ... + a n-1. x n-1 + a n. x n
Такий запис многочлена називається канонічною.
Іншими словами, многочлен - це сума цілочисельних ступенів деякої величини, узятих із заданими коефіцієнтами.
Загальноприйнятий зараз спосіб обчислення многочленів сходить до Ньютона і називається схемою Горнера. Ця універсальна (тобто застосовна до будь-якого многочлену) схема гранично проста і витончена. Вона виходить з формули зазначеної вище винесенням за дужки x всюди, де це можливо:
F (x) = (... (((x + a1). X + a2). X + a3) ...). x + an

Порядок дії при обчисленні f (x) визначається дужками в цій формулі. Спочатку складання усередині самої внутрішньої пари дужок (його результат позначимо через p1, потім множення додавання всередині наступній пари дужок (результат p2) і т.д.
p1 = x + a1;
p2 = p1x + a2;
p3 = p2x + a3;
... ... ... ... ... .... .
pn = pn - 1x + an, f (x) = pn
всього n-1 множень і n складань.
Схема Горнера настільки досконала, що питання про можливість її поліпшення не виникало два з половиною століття і був заданий "вголос" вперше лише в 1954 році!
Можна зробити висновок, що застосування алгебраїчних правил настільки універсальні, що можуть застосовуватися не тільки в точних науках, а й у повсякденному нашому житті. Як у зазначених вище прикладах:
передачі інформації (радіо, телефон, передача відеосигналів тощо).
Тому розвиток науки, такий як алгебра, дає нам величезну допомогу в нашому житті і просуванні вперед разом науково-технічним прогресом. І хочеться висловити величезну подяку всім ученим, математикам, чий внесок був внесений у розвиток цієї науки.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Реферат
20.2кб. | скачати


Схожі роботи:
Рішення математичних рівнянь і функцій
Рішення математичних завдань засобами Excel
Рішення математичних задач за допомогою алгоритмічної мови Turbo Pascal Microsoft Excel
Види многочленів
Програма Множення многочленів
Мінімальні форми булевих многочленів
Мінімальні форми булевих многочленів 2
Коріння многочленів від однієї змінної
Деякі властивості многочленів та їх використання в задачах зв`язку
© Усі права захищені
написати до нас