Рішення лінійної системи рівнянь з трьома невідомими

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Задача 1
Вирішити систему лінійних рівнянь двома способами: за формулами Крамера та методом Гауса

Рішення:
1) вирішимо неоднорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь Ах = В методом Крамера

Визначник системи D не дорівнює нулю. Знайдемо допоміжні визначники D 1, D 2, D 3, якщо вони не дорівнюють нулю, то рішень немає, якщо рівні, то рішень нескінченна безліч




Система 3 лінійних рівнянь з 3 невідомими, визначник якої відмінний від нуля, завжди сумісна і має єдине рішення, яке обчислюється за формулами:

Відповідь: отримали рішення:
2) вирішимо неоднорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь Ах = В методом Гауса
Складемо розширену матрицю системи

Приймемо перший рядок за напрямну, а елемент а 11 = 1 - за направляючий. За допомогою напрямної рядка отримаємо нулі в першому стовпчику.

Матриці відповідає безліч рішень системи лінійних рівнянь
Відповідь: отримали рішення:
Задача 2
Дано координати вершин трикутника АВС
Знайти:
1) довжину сторони АВ;
2) рівняння сторін АВ і ВС і їх кутові коефіцієнти;
3) внутрішній кут при вершині В у радіанах з точністю до 0,01
4) рівняння медіани АЕ;
5) рівняння і довжину висоти CD;
6) рівняння прямої, що проходить через точку Е паралельно стороні АВ і точку М її перетину з висотою CD;
7) рівняння кола з центром у точці Е, що проходить через вершину У
Побудувати заданий трикутник і всі лінії в системі координат.
А (1; -1), В (4, 3). С (5; 1).
Рішення
1) Відстань між точками А 1; у 1) і В 2; у 2) визначається за формулою

скориставшись якою знаходимо довжину сторони АВ;

2) рівняння сторін АВ і ВС і їх кутові коефіцієнти;
Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки площині А 1; у 1) і В 2; у 2) має вигляд

Підставляючи в (2) координати точок А і В, отримуємо рівняння сторони АВ:

Кутовий коефіцієнт k АВ прямий АВ знайдемо, перетворивши отримане рівняння до вигляду рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом у = kx - b.
У нас , Тобто звідки
Аналогічно одержимо рівняння прямої ВС і знайдемо її кутовий коефіцієнт.
Підставляючи в (2) координати точок В і С, отримуємо рівняння сторони ВС:

Кутовий коефіцієнт k НД прямий ЗС знайдемо, перетворивши отримане рівняння до вигляду рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом у = kx - b.
У нас , Тобто
3) внутрішній кут при вершині В у радіанах з точністю до 0,01
Для знаходження внутрішнього кута нашого трикутника скористаємося формулою:

Зазначимо, що порядок обчислення різниці кутових коефіцієнтів, що стоять в чисельнику цього дробу, залежить від взаємного розташування прямих АВ і ВС.
Підставивши раніше обчислені значення k ВС і k АВ в (3), знаходимо:

Тепер, скориставшись таблицями інженерним мікрокалькулятором, отримуємо В »1,11 радий.
4) рівняння медіани АЕ;
Для складання рівняння медіани АЕ знайдемо спочатку координати точки Е, яка лежить на середині відрізка ЗС

Підставивши в рівняння (2) координати точок А і Е, отримуємо рівняння медіани:


5) рівняння і довжину висоти CD;
Для складання рівняння висоти CD скористаємося рівнянням прямої, що проходить через задану точку М 0; у 0) із заданим кутовим коефіцієнтом k, яке має вигляд

і умовою перпендикулярності прямих АВ і CD, яке виражається співвідношенням k AB k CD = -1, звідки k CD = -1 / k AB = - 3 / 4
Підставивши в (4) замість k значення k С D = -3 / 4, а замість x 0, y 0 відні координати точки С, отримаємо рівняння висоти CD

Для обчислення довжини висоти СD скористаємося формулою відшукання відстані d від заданої точки М 0; у 0) до заданої прямої з рівнянням Ax + By + С = 0, яка має вигляд:

Підставивши в (5) замість х 0; у 0 координати точки С, а замість А, В, С коефіцієнти рівняння прямої АВ, отримуємо

6) рівняння прямої, що проходить через точку Е паралельно стороні АВ і точку М її перетину з висотою CD;
Так як шукана пряма EF паралельна прямій АВ, то k EF = k AB = 4 / 3. Підставивши в рівняння (4) замість х 0; у 0 координати точки Е, а замість k значення k EF отримуємо рівняння прямої EF '.

Для відшукання координат точки М вирішуємо спільно рівняння прямих EF і CD.

Таким чином, М (5,48; 0,64).
7) рівняння кола з центром у точці Е, що проходить через вершину У
Оскільки окружність має центр в точці Е (4,5; 2) і проходить через вершину В (4, 3), то її радіус

Канонічне рівняння кола радіуса R з центром в точці М 0 0; у 0) має вигляд

Маємо
Трикутник АВС, висота СD, медіана AE, пряма EF, точка M і окружність побудована в системі координат x0у на   рис.1.
\ S
Рис. 1
Задача 3
Скласти рівняння лінії, для кожної точки якої її відстань до точки А (2; 5) дорівнює відстані до прямої у = 1. Отриману криву побудувати в системі координат

Рішення

Нехай М (x, у) - поточна точка шуканої кривої. Опустимо з точки М перпендикуляр MB на пряму у = 1 (рис.2). Тоді В (х; 1). Так як МА = MB, то

Pіc. 2





Отримане рівняння визначає параболу з вершиною в точці С (5; -1,5) і гілками, спрямованими вгору (див. рис 2).
Задача 4
Знайти вказані межі:
а)

Відповідь:
б)

Відповідь:
Задача 5
Знайти похідні dy / dx, користуючись правилами і формулами диференціювання
Рішення:
а)


Відповідь:
б)




Відповідь:
в)



Відповідь:

Задача 6

Дослідити задані функції методами диференціального числення, накреслити їх графіки.
а) ; Б)

Рішення

а)
1) Областю визначення цієї функції є всі дійсні значення аргументу х, тобто D (y) = {х: хÎ (- ¥, +¥)}, а це означає, що функція неперервна на всій числовій прямій і її графік не має вертикальних асимптот.
2) Досліджуємо функцію на екстремуми та інтервали монотонності. З цією метою знайдемо її похідну і прирівняємо до нуля:



Вирішуючи отримане квадратне рівняння, робимо висновок про те, що функція має дві критичні точки першого роду х 1 = 1, х 2 = 2.
Розбиваємо область визначення цими точками на частини і по зміні в них знаку похідної функції виявляємо проміжки її монотонності і наявність екстремумів:
х
(- ¥; 1)
1
(1, 2)
2
(2; ¥)
f '(x)
+
0
-
0
+
f (x)

max

min



3) Визначимо точки перегину графіка функції та інтервали його опуклості і увігнутості. Для цього знайдемо другу похідну заданої функції і прирівняємо її до нуля:

Отже, функція має одну критичну точку другого роду х = -1,5. Розіб'ємо область визначення отриманої точкою на частини, в кожній з яких встановимо знак другої похідної:
х
(- ¥; 1,5)
1,5
(1,5; ¥)
f''(x)
-
0
+
f (x)
Ç
т. п.
È
Значення х = 1,5 є абсцисою точки перегину графіка функції, а ордината цієї точки:

4) З'ясуємо наявність у графіка заданої функції асимптот. Для визначення параметрів рівняння асимптоти y = kx - b скористаємося формулами


Таким чином, у графіка заданої функції похилих асимптот немає.
5) побудуємо графік функції

б)
1) Областю визначення цієї функції є значення аргументу х

D (y) = хÎ (- ¥, 0) È (0, + ¥).
2) Дослідження на безперервність і класифікація точок розриву
Задана функція неперервна всюди, крім точки х = 0. Обчислимо її односторонні межі в цій точці:


Отже точка х = 0 - точка розриву другого роду, а пряма х = 0 - вертикальна асимптота.
3) Досліджуємо функцію на екстремуми та інтервали монотонності. З цією метою знайдемо її похідну і прирівняємо до нуля:

Отже, функція не має критичних точок першого роду.
Так як y '<0 для всіх х, то функція спадає у всій області визначення
4) Визначимо точки перегину графіка функції та інтервали його опуклості і увігнутості. Для цього знайдемо другу похідну заданої функції і прирівняємо її до нуля:

Отже функція не має точок перегину. Розіб'ємо область визначення точкою х = 1 у кожній з яких встановимо знак другої похідної:
х
(- ¥; 0)
0
(0; ¥)
f''(x)
-
не існує
+
f (x)
Ç
не існує
È
5) З'ясуємо наявність у графіка заданої функції асимптот. Для визначення параметрів рівняння асимптоти y = kx + b скористаємося формулами


Таким чином, у графіка заданої функції є похила асимптота
y = 0 * x + 1 = 1.
6) побудуємо графік функції

Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Контрольна робота
47кб. | скачати


Схожі роботи:
Рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом Крамера
Знаходження кореня нелінійного рівняння Методи рішення системи нелінійних рівнянь
Розробка програми пошуку рішення системи диференціальних рівнянь двома методами Рунге Кутта
Розробка програми пошуку рішення системи диференціальних рівнянь двома методами Рунге-Кутта
Чисельне рішення системи лінійних рівнянь за допомогою методу виключення Гауса з вибором головного
Завдання лінійної алгебри Поняття матриці Види матриць Операції з матрицями Рішення задач на перетворення
Побудова двофакторної моделі моделей парної лінійної прогресії і множинної лінійної регресії
Рішення диференціальних рівнянь 2
Рішення диференціальних рівнянь 2
© Усі права захищені
написати до нас