Задача 1
Вирішити систему лінійних рівнянь двома способами: за формулами Крамера та методом Гауса
Рішення:
1) вирішимо неоднорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь Ах = В методом Крамера
Визначник системи D не дорівнює нулю. Знайдемо допоміжні визначники D 1, D 2, D 3, якщо вони не дорівнюють нулю, то рішень немає, якщо рівні, то рішень нескінченна безліч
Система 3 лінійних рівнянь з 3 невідомими, визначник якої відмінний від нуля, завжди сумісна і має єдине рішення, яке обчислюється за формулами:
Відповідь: отримали рішення:
2) вирішимо неоднорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь Ах = В методом Гауса
Складемо розширену матрицю системи
Приймемо перший рядок за напрямну, а елемент а 11 = 1 - за направляючий. За допомогою напрямної рядка отримаємо нулі в першому стовпчику.
Матриці відповідає безліч рішень системи лінійних рівнянь
Відповідь: отримали рішення:
Задача 2
Дано координати вершин трикутника АВС
Знайти:
1) довжину сторони АВ;
2) рівняння сторін АВ і ВС і їх кутові коефіцієнти;
3) внутрішній кут при вершині В у радіанах з точністю до 0,01
4) рівняння медіани АЕ;
5) рівняння і довжину висоти CD;
6) рівняння прямої, що проходить через точку Е паралельно стороні АВ і точку М її перетину з висотою CD;
7) рівняння кола з центром у точці Е, що проходить через вершину У
Побудувати заданий трикутник і всі лінії в системі координат.
А (1; -1), В (4, 3). С (5; 1).
Рішення
1) Відстань між точками А (х 1; у 1) і В (х 2; у 2) визначається за формулою
скориставшись якою знаходимо довжину сторони АВ;
2) рівняння сторін АВ і ВС і їх кутові коефіцієнти;
Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки площині А (х 1; у 1) і В (х 2; у 2) має вигляд
Підставляючи в (2) координати точок А і В, отримуємо рівняння сторони АВ:
Кутовий коефіцієнт k АВ прямий АВ знайдемо, перетворивши отримане рівняння до вигляду рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом у = kx - b.
У нас , Тобто звідки
Аналогічно одержимо рівняння прямої ВС і знайдемо її кутовий коефіцієнт.
Підставляючи в (2) координати точок В і С, отримуємо рівняння сторони ВС:
Кутовий коефіцієнт k НД прямий ЗС знайдемо, перетворивши отримане рівняння до вигляду рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом у = kx - b.
У нас , Тобто
3) внутрішній кут при вершині В у радіанах з точністю до 0,01
Для знаходження внутрішнього кута нашого трикутника скористаємося формулою:
Зазначимо, що порядок обчислення різниці кутових коефіцієнтів, що стоять в чисельнику цього дробу, залежить від взаємного розташування прямих АВ і ВС.
Підставивши раніше обчислені значення k ВС і k АВ в (3), знаходимо:
Тепер, скориставшись таблицями інженерним мікрокалькулятором, отримуємо В »1,11 радий.
4) рівняння медіани АЕ;
Для складання рівняння медіани АЕ знайдемо спочатку координати точки Е, яка лежить на середині відрізка ЗС
Підставивши в рівняння (2) координати точок А і Е, отримуємо рівняння медіани:
5) рівняння і довжину висоти CD;
Для складання рівняння висоти CD скористаємося рівнянням прямої, що проходить через задану точку М (х 0; у 0) із заданим кутовим коефіцієнтом k, яке має вигляд
і умовою перпендикулярності прямих АВ і CD, яке виражається співвідношенням k AB k CD = -1, звідки k CD = -1 / k AB = - 3 / 4
Підставивши в (4) замість k значення k С D = -3 / 4, а замість x 0, y 0 відні координати точки С, отримаємо рівняння висоти CD
Для обчислення довжини висоти СD скористаємося формулою відшукання відстані d від заданої точки М (х 0; у 0) до заданої прямої з рівнянням Ax + By + С = 0, яка має вигляд:
Підставивши в (5) замість х 0; у 0 координати точки С, а замість А, В, С коефіцієнти рівняння прямої АВ, отримуємо
6) рівняння прямої, що проходить через точку Е паралельно стороні АВ і точку М її перетину з висотою CD;
Так як шукана пряма EF паралельна прямій АВ, то k EF = k AB = 4 / 3. Підставивши в рівняння (4) замість х 0; у 0 координати точки Е, а замість k значення k EF отримуємо рівняння прямої EF '.
Для відшукання координат точки М вирішуємо спільно рівняння прямих EF і CD.
Таким чином, М (5,48; 0,64).
7) рівняння кола з центром у точці Е, що проходить через вершину У
Оскільки окружність має центр в точці Е (4,5; 2) і проходить через вершину В (4, 3), то її радіус
Канонічне рівняння кола радіуса R з центром в точці М 0 (х 0; у 0) має вигляд
Маємо
Трикутник АВС, висота СD, медіана AE, пряма EF, точка M і окружність побудована в системі координат x0у на рис.1.
\ S
Рис. 1
Задача 3
Скласти рівняння лінії, для кожної точки якої її відстань до точки А (2; 5) дорівнює відстані до прямої у = 1. Отриману криву побудувати в системі координат
Pіc. 2
Отримане рівняння визначає параболу з вершиною в точці С (5; -1,5) і гілками, спрямованими вгору (див. рис 2).
Задача 4
Знайти вказані межі:
а)
Відповідь:
б)
Відповідь:
Задача 5
Знайти похідні dy / dx, користуючись правилами і формулами диференціювання
Рішення:
а)
Відповідь:
б)
Відповідь:
в)
Відповідь:
а) ; Б)
1) Областю визначення цієї функції є всі дійсні значення аргументу х, тобто D (y) = {х: хÎ (- ¥, +¥)}, а це означає, що функція неперервна на всій числовій прямій і її графік не має вертикальних асимптот.
2) Досліджуємо функцію на екстремуми та інтервали монотонності. З цією метою знайдемо її похідну і прирівняємо до нуля:
Вирішуючи отримане квадратне рівняння, робимо висновок про те, що функція має дві критичні точки першого роду х 1 = 1, х 2 = 2.
Розбиваємо область визначення цими точками на частини і по зміні в них знаку похідної функції виявляємо проміжки її монотонності і наявність екстремумів:
3) Визначимо точки перегину графіка функції та інтервали його опуклості і увігнутості. Для цього знайдемо другу похідну заданої функції і прирівняємо її до нуля:
Отже, функція має одну критичну точку другого роду х = -1,5. Розіб'ємо область визначення отриманої точкою на частини, в кожній з яких встановимо знак другої похідної:
Значення х = 1,5 є абсцисою точки перегину графіка функції, а ордината цієї точки:
4) З'ясуємо наявність у графіка заданої функції асимптот. Для визначення параметрів рівняння асимптоти y = kx - b скористаємося формулами
Таким чином, у графіка заданої функції похилих асимптот немає.
5) побудуємо графік функції
б)
1) Областю визначення цієї функції є значення аргументу х
D (y) = хÎ (- ¥, 0) È (0, + ¥).
2) Дослідження на безперервність і класифікація точок розриву
Задана функція неперервна всюди, крім точки х = 0. Обчислимо її односторонні межі в цій точці:
Отже точка х = 0 - точка розриву другого роду, а пряма х = 0 - вертикальна асимптота.
3) Досліджуємо функцію на екстремуми та інтервали монотонності. З цією метою знайдемо її похідну і прирівняємо до нуля:
Отже, функція не має критичних точок першого роду.
Так як y '<0 для всіх х, то функція спадає у всій області визначення
4) Визначимо точки перегину графіка функції та інтервали його опуклості і увігнутості. Для цього знайдемо другу похідну заданої функції і прирівняємо її до нуля:
Отже функція не має точок перегину. Розіб'ємо область визначення точкою х = 1 у кожній з яких встановимо знак другої похідної:
5) З'ясуємо наявність у графіка заданої функції асимптот. Для визначення параметрів рівняння асимптоти y = kx + b скористаємося формулами
Таким чином, у графіка заданої функції є похила асимптота
y = 0 * x + 1 = 1.
6) побудуємо графік функції
Вирішити систему лінійних рівнянь двома способами: за формулами Крамера та методом Гауса
Рішення:
1) вирішимо неоднорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь Ах = В методом Крамера
Визначник системи D не дорівнює нулю. Знайдемо допоміжні визначники D 1, D 2, D 3, якщо вони не дорівнюють нулю, то рішень немає, якщо рівні, то рішень нескінченна безліч
Система 3 лінійних рівнянь з 3 невідомими, визначник якої відмінний від нуля, завжди сумісна і має єдине рішення, яке обчислюється за формулами:
Відповідь: отримали рішення:
2) вирішимо неоднорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь Ах = В методом Гауса
Складемо розширену матрицю системи
Приймемо перший рядок за напрямну, а елемент а 11 = 1 - за направляючий. За допомогою напрямної рядка отримаємо нулі в першому стовпчику.
Матриці
Відповідь: отримали рішення:
Задача 2
Дано координати вершин трикутника АВС
Знайти:
1) довжину сторони АВ;
2) рівняння сторін АВ і ВС і їх кутові коефіцієнти;
3) внутрішній кут при вершині В у радіанах з точністю до 0,01
4) рівняння медіани АЕ;
5) рівняння і довжину висоти CD;
6) рівняння прямої, що проходить через точку Е паралельно стороні АВ і точку М її перетину з висотою CD;
7) рівняння кола з центром у точці Е, що проходить через вершину У
Побудувати заданий трикутник і всі лінії в системі координат.
А (1; -1), В (4, 3). С (5; 1).
Рішення
1) Відстань між точками А (х 1; у 1) і В (х 2; у 2) визначається за формулою
скориставшись якою знаходимо довжину сторони АВ;
2) рівняння сторін АВ і ВС і їх кутові коефіцієнти;
Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки площині А (х 1; у 1) і В (х 2; у 2) має вигляд
Підставляючи в (2) координати точок А і В, отримуємо рівняння сторони АВ:
Кутовий коефіцієнт k АВ прямий АВ знайдемо, перетворивши отримане рівняння до вигляду рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом у = kx - b.
У нас
Аналогічно одержимо рівняння прямої ВС і знайдемо її кутовий коефіцієнт.
Підставляючи в (2) координати точок В і С, отримуємо рівняння сторони ВС:
Кутовий коефіцієнт k НД прямий ЗС знайдемо, перетворивши отримане рівняння до вигляду рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом у = kx - b.
У нас
3) внутрішній кут при вершині В у радіанах з точністю до 0,01
Для знаходження внутрішнього кута нашого трикутника скористаємося формулою:
Зазначимо, що порядок обчислення різниці кутових коефіцієнтів, що стоять в чисельнику цього дробу, залежить від взаємного розташування прямих АВ і ВС.
Підставивши раніше обчислені значення k ВС і k АВ в (3), знаходимо:
Тепер, скориставшись таблицями інженерним мікрокалькулятором, отримуємо В »1,11 радий.
4) рівняння медіани АЕ;
Для складання рівняння медіани АЕ знайдемо спочатку координати точки Е, яка лежить на середині відрізка ЗС
Підставивши в рівняння (2) координати точок А і Е, отримуємо рівняння медіани:
5) рівняння і довжину висоти CD;
Для складання рівняння висоти CD скористаємося рівнянням прямої, що проходить через задану точку М (х 0; у 0) із заданим кутовим коефіцієнтом k, яке має вигляд
і умовою перпендикулярності прямих АВ і CD, яке виражається співвідношенням k AB k CD = -1, звідки k CD = -1 / k AB = - 3 / 4
Підставивши в (4) замість k значення k С D = -3 / 4, а замість x 0, y 0 відні координати точки С, отримаємо рівняння висоти CD
Для обчислення довжини висоти СD скористаємося формулою відшукання відстані d від заданої точки М (х 0; у 0) до заданої прямої з рівнянням Ax + By + С = 0, яка має вигляд:
Підставивши в (5) замість х 0; у 0 координати точки С, а замість А, В, С коефіцієнти рівняння прямої АВ, отримуємо
6) рівняння прямої, що проходить через точку Е паралельно стороні АВ і точку М її перетину з висотою CD;
Так як шукана пряма EF паралельна прямій АВ, то k EF = k AB = 4 / 3. Підставивши в рівняння (4) замість х 0; у 0 координати точки Е, а замість k значення k EF отримуємо рівняння прямої EF '.
Для відшукання координат точки М вирішуємо спільно рівняння прямих EF і CD.
Таким чином, М (5,48; 0,64).
7) рівняння кола з центром у точці Е, що проходить через вершину У
Оскільки окружність має центр в точці Е (4,5; 2) і проходить через вершину В (4, 3), то її радіус
Канонічне рівняння кола радіуса R з центром в точці М 0 (х 0; у 0) має вигляд
Маємо
Трикутник АВС, висота СD, медіана AE, пряма EF, точка M і окружність побудована в системі координат x0у на рис.1.
Рис. 1
Задача 3
Скласти рівняння лінії, для кожної точки якої її відстань до точки А (2; 5) дорівнює відстані до прямої у = 1. Отриману криву побудувати в системі координат
Рішення
Нехай М (x, у) - поточна точка шуканої кривої. Опустимо з точки М перпендикуляр MB на пряму у = 1 (рис.2). Тоді В (х; 1). Так як МА = MB, тоPіc. 2
Отримане рівняння визначає параболу з вершиною в точці С (5; -1,5) і гілками, спрямованими вгору (див. рис 2).
Задача 4
Знайти вказані межі:
а)
Відповідь:
б)
Відповідь:
Задача 5
Знайти похідні dy / dx, користуючись правилами і формулами диференціювання
Рішення:
а)
Відповідь:
б)
Відповідь:
в)
Відповідь:
Задача 6
Дослідити задані функції методами диференціального числення, накреслити їх графіки.а)
Рішення
а)1) Областю визначення цієї функції є всі дійсні значення аргументу х, тобто D (y) = {х: хÎ (- ¥, +¥)}, а це означає, що функція неперервна на всій числовій прямій і її графік не має вертикальних асимптот.
2) Досліджуємо функцію на екстремуми та інтервали монотонності. З цією метою знайдемо її похідну і прирівняємо до нуля:
Вирішуючи отримане квадратне рівняння, робимо висновок про те, що функція має дві критичні точки першого роду х 1 = 1, х 2 = 2.
Розбиваємо область визначення цими точками на частини і по зміні в них знаку похідної функції виявляємо проміжки її монотонності і наявність екстремумів:
х | (- ¥; 1) | 1 | (1, 2) | 2 | (2; ¥) |
f '(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f (x) | max | min |
3) Визначимо точки перегину графіка функції та інтервали його опуклості і увігнутості. Для цього знайдемо другу похідну заданої функції і прирівняємо її до нуля:
Отже, функція має одну критичну точку другого роду х = -1,5. Розіб'ємо область визначення отриманої точкою на частини, в кожній з яких встановимо знак другої похідної:
х | (- ¥; 1,5) | 1,5 | (1,5; ¥) |
f''(x) | - | 0 | + |
f (x) | Ç | т. п. | È |
4) З'ясуємо наявність у графіка заданої функції асимптот. Для визначення параметрів рівняння асимптоти y = kx - b скористаємося формулами
Таким чином, у графіка заданої функції похилих асимптот немає.
5) побудуємо графік функції
б)
1) Областю визначення цієї функції є значення аргументу х
D (y) = хÎ (- ¥, 0) È (0, + ¥).
2) Дослідження на безперервність і класифікація точок розриву
Задана функція неперервна всюди, крім точки х = 0. Обчислимо її односторонні межі в цій точці:
Отже точка х = 0 - точка розриву другого роду, а пряма х = 0 - вертикальна асимптота.
3) Досліджуємо функцію на екстремуми та інтервали монотонності. З цією метою знайдемо її похідну і прирівняємо до нуля:
Отже, функція не має критичних точок першого роду.
Так як y '<0 для всіх х, то функція спадає у всій області визначення
4) Визначимо точки перегину графіка функції та інтервали його опуклості і увігнутості. Для цього знайдемо другу похідну заданої функції і прирівняємо її до нуля:
Отже функція не має точок перегину. Розіб'ємо область визначення точкою х = 1 у кожній з яких встановимо знак другої похідної:
х | (- ¥; 0) | 0 | (0; ¥) |
f''(x) | - | не існує | + |
f (x) | Ç | не існує | È |
Таким чином, у графіка заданої функції є похила асимптота
y = 0 * x + 1 = 1.
6) побудуємо графік функції