Рішення задач на побудову в курсі геометрії основної школи як засіб розвитку логічного мислення

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Федеральне агентство з освіти
Державна освітня установа вищої професійної освіти
«Вятський державний гуманітарний університет»
Фізико-математичний факультет
Кафедра дидактики фізики і математики
Випускна кваліфікаційна робота
Рішення задач на побудову в курсі геометрії основної школи як засіб розвитку логічного мислення школярів
Виконала студентка V курсу
фізико-математичного факультету Коновалова Віра Сергіївна
Науковий керівник: к. пед. н.,
доцент кафедри дидактики фізики і математики Шилова З.В.
Рецензент: к. пед. н., ст. преп.
кафедри дидактики фізики і математики Зеленіна Н.А.
Робота допущена до захисту в ГАК
«___» _________2008 Р. Зам. зав. кафедрою __________ М.В. Крутіхін
«___» _________2008 Р. Декан факультету ____________ Є.В. Кантор
Кіров 2008

Зміст
Введення
1. Аналіз навчальної та навчально-методичної літератури з геометрії
1.1. Аналіз підручників з геометрії основної школи
1.2. Аналіз навчально-методичної літератури
2. Логічне мислення: основні понятія.Аналіз психолого-педагогічної літератури
2.1. Природа і види мислення
2.2. Розвиток мислення дитини
2.3. Поняття логічного мислення
2.4. Розвиток логічного мислення школярів у процесі навчання математики
3. Методика розв'язування задач на побудову
3.1. Аналіз
3.2. Побудова
3.3. Доказ
3.4. Дослідження
3.5. Методичні рекомендації з навчання розв'язання задач на побудову
4. Методи рішення завдань на побудову
4.1. Метод геометричних місць
4.2. Методи геометричних перетворень
4.2.1. Метод центральної симетрії
4.2.2. Метод осьової симетрії
4.2.3. Метод паралельного переносу
4.2.4. Метод повороту
4.2.5. Метод подібності
4.3. Алгебраїчний метод
5. Дослідне викладання
Висновок
Бібліографічний список
Додаток 1
Додаток 2
Додаток 3
Додаток 4
Додаток 5
Додаток 6


Введення

Геометричні задачі на побудову, можливо, найдавніші математичні завдання. Комусь вони зараз можуть здатися не дуже цікавими і потрібними, якимись надуманими. І справді, де і навіщо може знадобитися вміння за допомогою циркуля та лінійки побудувати правильний сімнадцятикутник або трикутник за трьома висот, або навіть просто зробити побудова паралельної прямої. Сучасні технічні пристрої зроблять всі ці побудови і швидше, і точніше, ніж будь-яка людина, а заодно зможуть виконати і такі побудови, які просто неможливо виконати за допомогою циркуля і лінійки.
І все ж без завдань на побудову геометрія перестала б бути геометрією. Геометричні побудови є досить істотним елементом вивчення геометрії. Однак, аналіз змісту шкільної математичної освіти дозволив виявити ряд недоліків у навчанні школярів:
1. Намітилася чітка тенденція до скорочення кількості задач на побудову в шкільному курсі математики. Це пояснюється тим, що значно звужена роль задач на побудову, яка відповідає цілям навчання, таким як розвиток мислення і виховання учнів, і виявляється у вигляді впливу на мислення учнів, в першу чергу на логічне. У більшості випадків, вважається, що головна і єдина мета навчання вирішенню таких завдань - це формування практичних умінь і навичок побудови основних геометричних фігур: трикутників, перпендикулярів, бісектрис і т. п., тобто основна увага приділяється практичному значенню завдань, при цьому зовсім не розглядається питання розвитку логічного мислення учнів та можливості використання задач на побудову при вивченні геометрії.
2. Знання учнів з даної теми нерідко носять формальний характер, спостерігається відсутність структурності. Так, при вивченні задач на побудову єдине, що вимагає вчитель - це знання відповідних алгоритмів побудов. При цьому не пояснюється, як отриманий даний алгоритм. Тому учень змушений запам'ятовувати матеріал без розуміння.
3. На даний момент в школі недостатньо приділяється уваги розгляду таких основних методів розв'язування задач на побудову як метод перетворень, алгебраїчний метод, метод геометричного місця точок.
4. В учнів немає чіткого уявлення про етапи розв'язування задач на побудову: аналізі, побудові, доказах та дослідженні, які точно відповідають етапам будь-якого логічного міркування. Практично не приділяється увага одному з важливих етапів - дослідження, в якому учні часто не бачать сенсу, незважаючи на те, що він, у свою чергу, є хорошим засобом розвитку логічного мислення.
Перераховані вище недоліки і визначили проблему дослідження.
Проблема дослідження полягає у розгляді на основі психології, педагогіки і методики викладання математики можливості розвитку логічного мислення учнів під час вирішення задач на побудову в курсі основної школи.
Мета дослідження: розробити методичні рекомендації при вирішенні задач на побудову, що сприяють розвитку логічного мислення учнів.
Об'єкт дослідження: процес навчання геометрії учнів в курсі основної школи.
Предмет дослідження: процес навчання рішенню задач на побудову.
Гіпотеза: застосування розроблених методичних рекомендацій при вирішенні задач на побудову будуть сприяти найбільш ефективному розвитку логічного мислення учнів під час навчання геометрії в курсі основної школи.
Завдання:
1) провести аналіз навчальних програм, навчальної та навчально-методичної літератури;
2) розглянути поняття логічного мислення;
3) розглянути основні етапи рішення задач на побудову;
4) розробити методичні рекомендації з навчання розв'язання задач на побудову;
5) розглянути методи розв'язання задач на побудову;
6) здійснити дослідне викладання.
Методи дослідження:
1) аналіз навчальної, навчально-методичної, психолого-педагогічної літератури;
2) спостереження;
3) анкетування;
4) проведення психологічних методик;
5) проведення досвідченого викладання.

1. Аналіз навчальної та навчально-методичної літератури з геометрії

Нами був попередньо проведений і аналіз програми з математики (див. Додаток 1).
А також аналіз підручників з математики для 5-6 класів.
1) Н.Я. Віленкін "Математика 5 " [12]: у підручнику два розділи "Натуральні числа" і "Дробові числа", кожна містить чотири параграфа. У ньому першим з побудов за допомогою лінійки (Розділ 1, § 1) є побудова відрізка (далі вже багатокутника). А також вивчається порівняння відрізків за допомогою циркуля. Далі йде вивчення прямий і променя. Наступні побудови розглядаються на початку другого розділу в пункті коло і коло. А саме побудова кола за допомогою циркуля. В кінці курсу школярі вчаться поводитися з креслярським трикутником (побудови прямого кута).
Н.Я. Віленкін "Математика 6 " [13]: у цьому підручнику також два розділи "Звичайні дроби" і "Раціональні числа", кожна містить чотири параграфа. Наприкінці курсу учні знайомляться з перпендикулярними і паралельними прямими і будують їх за допомогою креслярського трикутника і лінійки.
2) Г.В. Дорофєєв "Математика 5 " [14]: в даному підручнику першим з побудов за допомогою лінійки є побудова прямої, що проходить через дві дані точки, а також побудова кола за допомогою циркуля. Далі слід вивчення променя і порівняння відрізків за допомогою циркуля. У наступному розділі розглядається поняття кута і його побудова, в тому числі за допомогою кутника. Третя глава присвячена вивченню багатокутників, зокрема прямокутників і трикутників.
Г.В. Дорофєєв "Математика 6 " [15]: у розділі 2 'Прямі та кола' знайомить учнів з перпендикулярними і паралельними прямими, і їх побудовою за допомогою косинця і лінійки. Далі визначаються дотична до кола, концентричні кола, і розглядаються варіанти взаємного розташування прямої та кола, двох прямих на площині. Пропонуються різні завдання на побудову дотичної до кола; окружності, що стосується двох паралельних прямих; двох кіл. Одна з глав підручника присвячена вивченню симетрії: осьової і центральної. Пропонуються задачі на побудову симетричних фігур, а також на знаходження найкоротшого шляху. Також є глава, присвячена фігур на площині, зокрема трикутниками і паралелограма. У ній розглядається побудова трикутника за трьома сторонами і пропонуються завдання на побудову різних трикутників (прямокутних, рівнобедрених, гострокутних, тупоугольние).

1.1 Аналіз підручників з геометрії основної школи

1) Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов [7]
а) 7 клас: містить чотири розділи. Тема "Завдання на побудову" вивчається в кінці розділу 2 "Трикутники". У цьому параграфі містяться пункти "Коло", "Побудови циркулем і лінійкою" і "Приклади завдань на побудову". Грунтуючись на тому, що учні вміють з 5 і 6 класу виконувати основні побудови за допомогою циркуля і лінійки, в темі розглядаються завдання на побудову такі як: побудова відрізка, рівного даному; побудова кута, рівного даному; побудова бісектриси кута, перпендикулярних прямих і середини відрізка. Схема, за якою вирішуються завдання на побудову, не вводиться. Основна мета глави 2 - відпрацювати навички вирішення найпростіших завдань на побудову за допомогою циркуля і лінійки (див. Додаток 1).
У розділі 3 "Паралельні прямі" розглядається побудова паралельних прямих за допомогою креслярського трикутника і лінійки, а також за допомогою циркуля і лінійки з заданої прямої і точці (у формі завдання).
У розділі 4 "Співвідношення між сторонами і кутами трикутника" розглядається задача про побудову трикутника за двома сторонами та кутом між ними, по стороні і двом прилеглих до неї кутах і по трьом сторонам. Дана глава містить цілий блок завдань на побудову для самостійного рішення, що складається в основному із завдань на побудову різних трикутників по різним елементам.
В кінці 7 класу також є блок завдань на побудову, перед яким описується схема, за якої вирішують завдання на побудову: аналіз, побудова, доказ, дослідження. Наводиться приклад.
б) 8 клас: містить п'ять голів. У розділі 5 "Чотирикутники" після вивчення багатокутника, паралелограма і трапеції вводиться блок завдань на побудову паралелограма і трапеції з різних елементів. Перед цим ще раз іде повторення схеми рішення задач на побудову. У цій же главі після вивчення прямокутника, ромба і квадрата пропонується вирішити завдання на їх побудову.
У розділі 7 "Подібні трикутники" розглядаються завдання на побудову трикутника, при вирішенні якої застосовується метод подібності (в даному випадку трикутників), в якості практичного застосування подібності трикутників. Також приводиться ряд завдань на побудову трикутників за даними відносин для самостійного рішення. Основна мета глави 7 - сформувати поняття подібних трикутників, виробити вміння застосовувати ознаки подібності трикутників, сформувати апарат рішення прямокутних трикутників (див. Додаток 1).
На початку глави 8 "Коло" у пункті "Дотична до кола" вирішується завдання про проведення дотичної до кола через дану точку. Говориться про те, що рішення подібних завдань засноване на теоремі (ознаці дотичній). Також в розділі вивчаються чотири чудові точки трикутника. Завдання на побудову (дотичної до кола, серединного перпендикуляра до відрізка) містить кожен пункт глави. Основна мета глави 8 - дати учням систематизовані відомості про коло і її властивості, вписаною і описаної кіл (див. Додаток 1).
В кінці 8 класу в розділі задач підвищеної труднощі зустрічається задача на побудову рівнобедреної трапеції на підставах та діагоналях. А також побудови зустрічаються в задачах на повторення.
в) 9 клас: містить чотири розділи. У главі 12 "Довжина кола і площа круга" в § 1 "Правильні багатокутники" розглядається побудова правильних багатокутників. Пропонується з допомогою циркуля і лінійки вписати в коло різні правильні багатокутники. Також побудови зустрічаються в задачах не повторення. Основна мета глави 12 - розширити і систематизувати знання учнів про колах і багатокутниках (див. Додаток 1).
У розділі 13 "Руху" вивчаються симетрії, поворот і паралельний перенос. Наприкінці глави містяться завдання на побудову, рішення яких заснована на вивченому матеріалі. Основна мета глави 13 - знайомство з поняттям руху на площині: симетріями, паралельним перенесенням, поворотом (див. Додаток 1).
2) А.В. Погорєлов [5]
а) 7 клас: містить п'ять параграфів. У § 1 "Основні властивості найпростіших геометричних фігур" розглядається, як побудувати паралельні прямі за допомогою косинця і лінійки. У § 2 "Суміжні та вертикальні кути" розглядається, як побудувати перпендикулярні прямі за допомогою косинця і лінійки. § 5 "Геометричні побудови" містить пункт "Що таке завдання на побудову", де розповідається про креслярських інструментах і про те, що означає вирішити задачу на побудову. Схема рішення не вводиться. У наступних пунктах розглядаються завдання на побудову трикутника з даними сторонами; кута, рівного даному; бісектриси кута; розподіл відрізка навпіл; побудова перпендикуляра до прямої. Далі йдуть пункти "Геометричне місце точок", в якому вводиться визначення ГМТ і Теорема про ГМТ, рівновіддалених від двох даних точок, а також "Метод геометричних місць", який розкриває сутність даного методу. У кінці пункту наводиться ряд завдань на побудову для самостійного рішення. В основному це завдання на побудову трикутника і кола по даними елементів і завдання на ГМТ. Основна мета § 5 - вирішувати найпростіші задачі на побудову за допомогою циркуля і лінійки (див. Додаток 1).
б) 8 клас: містить п'ять параграфів. В кінці § 6 "Чотирикутники" міститься завдання на побудові четвертого пропорційного відрізка. Також міститься ряд завдань на побудову паралелограма, ромба і трапеції за даними елементам. Основна мета § 6 - дати учням систематизовані відомості про чотирикутники та їх властивості (див. Додаток 1). У § 9 "Рух" вивчаються геометричні перетворення: центральне і осьова симетрії, поворот, паралельний перенос. У кінці пункту наведені задачі на побудову, вирішення яких засновано на методах даних перетворень. Основна мета § 9 - познайомити учнів з прикладами геометричних перетворень (див. Додаток 1).
в) 9 клас: у § 11 "Подоба фігур" вивчаються геометричні перетворення: подібність і гомотетія. У кінці пункту наведені задачі на побудову, вирішення яких засновано на методах даних перетворень. Основна мета § 11 - засвоїти ознаки подібності трикутників і відпрацювати навички їх застосування (див. Додаток 1). У § 13 "Многокутники" розглядаються побудови деяких правильних багатокутників. У кінці є пара завдань: вписати в коло n-кутник і описати близько окружності правильний n-кутник. Основна мета § 13 - розширити і систематизувати відомості про багатокутниках і колах (див. Додаток 1).
3) А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.І. Рижик [6]
а) 7 клас: містить три розділи. У розділі 1 "Початки геометрії" в § 5 "Коло і круг" міститься пункт "Побудови циркулем і лінійкою", в якому розповідається про креслярських інструменти, за допомогою яких виконуються завдання на побудову. Тут же наводиться завдання на побудову трикутника, сторони якого рівні сторонам даного трикутника. Наводиться побудова, доказ і дослідження, але на загальній схемі увагу не загострюється. § 6 "Кути" містить пункт "Побудова кута, рівного даному, циркулем і лінійкою". Для самостійного вирішення завдань немає. У § 7 "Дії над кутами" розглядається задача на побудову бісектриси кута, яка вирішує ще два завдання: в даній точці прямої провести перпендикуляр до неї, побудувати прямий кут. Також параграф містить пункт "Завдання про поділ кута на рівні частини циркулем і лінійкою", в якому розповідається про нерозв'язність завдання про трисекції кута. Основна мета глави 1 - розповісти про завдання систематичного курсу геометрії і закласти основу для його побудови (див. Додаток 1).
У розділі 2 "Трикутники" у § 10 "Ознаки рівності трикутників" розглядається задача про побудову трикутника за двома сторонами та кутом між ними. У § 11 "Серединний перпендикуляр" першими пунктами йдуть завдання про поділ відрізка навпіл і про побудову перпендикуляра до даної прямої через дану точку, не лежить на даній прямій. У кінці пункту міститься кілька завдань на побудову. Основна мета глави 2 - розвинути навички розв'язання задач на побудову за допомогою циркуля і лінійки, почати знайомство з симетріями фігур (див. Додаток 1).
У розділі 3 "Паралельність" у § 13 "Паралельні прямі" вивчається, як будувати паралельні прямі за допомогою косинця і лінійки. У § 14 "Аксіома паралельності" розглядається задача про побудову трикутника по стороні і двом прилежащем до неї кутах.
б) 8 клас: містить три розділи. У розділі 5 "Метричні співвідношення в трикутнику" в § "Застосування теореми Піфагора" міститься пункт "Геометричне місце точок", де пояснюється, що означає, коли про фігуру кажуть, що вона є ГМТ, що володіють даними властивістю. Також наводяться приклади, яким ГМТ є бісектриса і серединний перпендикуляр. Параграф містить такі завдання як, наприклад, знайти ГМТ, рівновіддалених від прямої на даний відстань; знайти ГМТ, рівновіддалених від двох даних пересічних прямих.
в) 9 клас: містить два розділи. У розділі 7 "Многокутники та кола" в задачах для самостійного рішення до § 31 "Хорди і дотичні" містяться завдання на знаходження ГМТ, з яких даний відрізок видно під даним кутом; завдання на побудову дотичної до кола з даної точки, загальною дотичній до двох колами. § 33 "Правильні багатокутники" містить пункт "Побудова правильних багатокутників" за допомогою циркуля і лінійки. Також у ньому розповідається про те, що циркулем і лінійкою можуть бути побудовані не всі правильні n-косинці, а тільки ті, у яких n має певне розкладання. Пропонується вирішити завдання: вписати в коло різні правильні n-косинці. У § 35 "Площа круга" розповідається про нерозв'язною задачі про квадратуру кола.
У розділі 8 "Інші методи геометрії" в § 36 "Метод координат" міститься пункт "Коло Аполлонія", де рішення задачі про ГМТ, ставлення відстаней від яких до двох даних точок є стала величина. У § 40 "Види рухів" розглядаються "Метод паралельного переносу", "Метод симетрії" та "Метод повороту". Наводяться приклади задач на побудову, рішення яких заснована на даних методах. У завданнях для самостійного рішення до § 40 містяться завдання на відпрацювання вивчених методів, в тому числі завдання на побудову трапеції і трикутника за даними елементів. У § 42 "Подоба" розглядається "Метод подібності". Як приклад наводиться завдання на побудову четвертого пропорційного відрізка. У завданнях для самостійного рішення до § 42 містяться завдання на відпрацювання вивченого методу, в тому числі завдання на побудову прямокутного трикутника по відношенню катетів до гіпотенузі і по відношенню катетів до периметра. А також завдання: побудувати квадрат, вписаний у трикутник, ромб, сегмент; побудувати сегмент, вписаний в рівносторонній трикутник, квадрат, коло. Основна мета глави 8 - познайомити учнів з методами, відсутніми в класичній елементарної геометрії, але що грають в сучасній геометрії провідну роль: методом координат, векторним методом, методом перетворень (див. Додаток 1).
4) А.П. Кисельов, Н.А. Рибкін [8]
Підручник містить п'ять розділів і збірник задач з геометрії.
У розділі 1 "Пряма лінія" в § 1 "Кути" розглядається побудова перпендикулярних прямих за допомогою косинця і лінійки. § 3 "Трикутники" містить пункт "Геометричне місце", де дається визначення ГМТ, і наводяться приклади: що є ГМТ серединного перпендикуляра і бісектриси. Далі слід § 4 "Основні завдання на побудову", де розглядаються завдання на побудову трикутника за трьома його сторонам; кута, рівного даному; бісектриси кута; перпендикуляра до прямої з даної точки, що лежить і не лежить на прямій; серединного перпендикуляра; завдання про поділ відрізка навпіл; побудова трикутника по підставі, куті, прилеглої до основи, і сумою двох бічних сторін. Після розглянутих завдань наводиться схема розв'язання задач на побудову: аналіз, побудова, доказ, дослідження. В кінці § 4 є блок завдань на побудову для самостійного рішення, який містить завдання на побудову суми, різниці кутів; поділ кута на n частин; побудова різних трикутників по різним елементам, поділ даного відрізка на n рівних частин; завдання на знаходження ГМТ, рівновіддалених від двох даних точок, від трьох вершин трикутника, від трьох сторін трикутника і т.д. У § 5 "Паралельні прямі" розглядається побудова паралельних прямих за допомогою косинця і лінійки. § 6 "паралелограма і трапеції" містить пункт "Завдання на побудову", в якому розглядаються методи паралельного переносу, симетрії і приклади завдань. Також учням пропонується самостійно розв'язати задачі на побудову трапецій, чотирикутників і трикутників за різними даними елементів, грунтуючись на вивчених методах. Наприкінці глави 1 є ряд завдань на знаходження ГМТ і блок завдань на побудову.
У розділі 3 "Подібні фігури" в § 4 "Подоба фігур довільного виду" є пункт "Завдання на побудову", в якому розглядається метод подібності, але завдань на застосування методу даний пункт не містить. У § 5 "Деякі теореми про пропорційні відрізках" розглядається задача про побудову четвертого пропорційного відрізка. У § 6 "Метричні співвідношення між елементами трикутника і деяких інших фігур" розглядається задача про побудову відрізка, середнього пропорційного між двома даними відрізками. § 8 "Тригонометричні функції гострого кута" містить пункт "Побудова кута за заданою величиною однієї з його тригонометричних функцій". У § 9 "Поняття про додатку алгебри до геометрії" розглядається задача про поділ відрізка в середньому і крайньому відношенні, а потім йде пункт "Алгебраїчний спосіб вирішення геометричних завдань", який розкриває алгебраїчний метод розв'язання задач на побудову. Наступним пунктом іде "Побудова найпростіших формул" за допомогою циркуля і лінійки. Наприкінці глави 3 міститься ряд завдань на знаходження ГМТ і блок завдань на побудову.
У розділі 4 "Правильні багатокутники" в § 1 "Правильні багатокутники" розглядається завдання: вписати в даний коло правильний десятіугольнік і визначити його сторону в залежності від радіусу. Також надалі в пункті "На скільки рівних частин можна ділити коло з допомогою циркуля і лінійки?", В якому дається вказівка, як розділити коло на певний рівну кількість частин (і вписати в коло правильні багатокутники з таким числом сторін).
У розділі 5 "Вимірювання площ" в § 1 "Площі многокутників" розглядаються завдання на побудову трикутника (квадрата), рівновеликого даному; квадрата, площа якого дорівнює сумі (різниці) площ двох даних квадратів; площа якого відноситься до площі даного квадрата, як m : n; розділити даний трикутник на m рівновеликих частин прямими, паралельними його боці. У § 2 "Площа круга та його частин" наводиться пункт, в якому розповідається про нерозв'язною задачі про квадратуру кола. Наприкінці глави 5 міститься блок завдань на побудову.
У збірнику завдань також є завдання на побудову.
Висновок: У підручниках для 5-6 класів завдання на побудову практично не розглядаються як самостійні. Найчастіше це завдання на побудову фігур по заданих розмірах. Відсоток завдань на побудову з усіх геометричних завдань: 5 клас - 39%, 6 клас - 34%. У цілому картина здається досить втішною. Однак якщо врахувати, що сам по собі геометричний матеріал у підручниках не перевищує 13-16% від усього змісту підручника, то зазначений відсоток завдань на побудову падає до 4-6% [3].
У всіх підручниках з геометрії для 7-9 класу завдання на побудову розглядаються як самостійні в кінці 7 класу. Здійснюються такі елементарні побудови: поділ відрізка навпіл; відкладання кута, рівного даному; побудова бісектриси кута; побудова перпендикуляра до прямої з даної точки, не лежить на цій прямій. В якості методу розв'язання задач на побудову в підручниках (крім підручника [7]) розглядається метод геометричного місця точок. Схема рішення наводиться у підручниках [7], [8]. У підручнику [6] схема наводиться без аналізу. У підручнику [5] її немає.
У 8-9 класах зустрічаються завдання на побудову фігур по деяким заданим елементам. Довільні трикутники і чотирикутники будуються по сторонах і кутах. Чотирикутники особливих видів (ромби, квадрати, прямокутники) - по сторонах і діагоналях. Розглядаються прийоми описування і вписування кіл в трикутники і чотирикутники.
Алгебраїчний метод розв'язання задач на побудову наводиться тільки в підручнику [8]. У підручнику [6] розповідається про трисекції кута, квадратуру кола, кола Аполлонія.
У таблиці наведено кількісний аналіз (відсоток завдань на побудову) у підручниках:
Підручники
Клас
Усього завдань у підручнику
З них на побудову
Відсоток від загальної кількості завдань
Александров А.Д. та ін "Геометрія 7 - 9 "
7
33
8
24
8
643
95
15
9
556
89
16
Атанасян Л.С. та ін "Геометрія 7 - 9 "
7
362
90
25
8
448
64
14
9
321
36
11
Погорєлов А.В. "Геометрія 7 - 9 "
7
218
42
20
8
298
35
12
9
206
10
5
Розглядаючи підручники, можна відзначити, що в них досить високий відсоток завдань на побудову в 7 класі, причому розглядаються стандартні та елементарні завдання на побудову. Однак до 9 класу відсоток геометричних завдань на побудову різко падає. Бути може ситуація обумовлена ​​тим, що до 9 класу у всіх школярів вже розвинене логічне та просторове мислення, сформовані графічні уміння і навички, вони легко і вірно читають будь креслення, не вагаються з його інтерпретацією, легко будують будь-який потрібний креслення по тексту завдання? На жаль, ситуація зовсім не така. Так як завдання на побудову складають базу для роботи, що розвиває навички побудови фігур, що сприяє формуванню вміння читати і розуміти креслення, встановлювати зв'язки між його частинами, то недостатність цієї системи зумовлює погане розвиток просторового та логічного мислення учня, низький рівень його графічної культури. Ці недоліки не дозволяють учневі ефективно вивчати ті розділи математики, де самостійно зроблена і добре зрозуміла графічна інтерпретація є тим самим "променем світла в темному царстві", якого так іноді не вистачає школяреві при вивченні математики.

1.2 Аналіз навчально-методичної літератури

1) І.Ф. Шаригін "Задачі з геометрії (Планіметрія)" [28]
Книга, що складається з двох частин, включає понад 600 задач з планіметрії. Друга частина містить параграф, присвячений темі геометричних місць точок. Завдань пропонується небагато, вони досить складні, призначені по більшій мірі для спеціалізованих класів, для студентів. Завдання супроводжуються вказівками і докладними рішеннями. У деяких інших параграфах другій частині, таких як, наприклад, "Трикутник" і "Окружності і дотичні", також зустрічаються завдання на знаходження геометричного місця точок.
2) В.В. Прасолов "Завдання з планіметрії (у двох частинах)" [22] [23]
У цей збірник включені нестандартні геометричні завдання дещо підвищеного в порівнянні зі шкільними знаннями рівня. Для всіх завдань додаються рішення. Книга складається з двох частин. Перша містить класичні теми планіметрії, друга - геометричні перетворення і завдання на олімпіадну і гурткову тематику.
Всього 29 глав. За основу класифікації завдань прийняті методи розв'язання геометричних задач. Одна з глав присвячена методу ГМТ, яка містить достатню кількість завдань на побудову різного рівня складності, в яких застосовується даний метод. Застосовуються як основні ГМТ, так і більш складні.
Є голова, присвячена геометричним побудовам трикутників, чотирикутників, кіл за допомогою різних методів, включає в себе різноманітний набір завдань на побудову. Крім того, в цій главі розглядаються побудови за допомогою однієї лінійки, однієї двосторонньої лінійки, за допомогою одного прямого кута. Також тут наводяться незвичайні побудови (наприклад, поділ кута на n рівних частин).
Є окремі глави, присвячені методам паралельного переносу, центральної симетрії, осьової симетрії, повороту, гомотетии, в яких також добре відображена суть методів і міститься хороший набір завдань різного рівня на застосування кожного методу. Даються основні поняття до кожної чолі.
3) Я.П. Понарін "Елементарна геометрія (у двох томах)" [20] [21]
Книга призначена для більш поглибленого вивчення елементарної геометрії. Для учнів шкіл, ліцеїв, гімназій з математичної спеціалізацією і студентів. Перший том присвячено планіметрії і перетворенням площині, другий - стереометрії та перетворенням простору.
У даному посібнику приділено багато уваги методом геометричних перетворень, у зв'язку з тим, що суто геометричні методи останнім часом відходять на другий план і даний метод до цих пір не знайшов свого місця в шкільному курсі геометрії. Як пише автор, його намагалися вивчати з самого початку, розтягнувши на всю восьмирічну школу. Тепер передбачається зайнятися ним наприкінці вивчення планіметрії. Але як і раніше учні не володіють нею навіть на початковому рівні. У книзі розширено матеріал шкільних підручників, додані багато геометричні факти. Теорія геометричних побудов винесена за рамки допомоги. У систематичному вигляді викладено теоретичний і задачний матеріал за методом геометричних перетворень площини. Він дозволяє оригінально і красиво вирішувати багато геометричні задачі. Велику частину допомоги становлять завдання різного ступеня складності, до більшості з них надано відповіді або стислі вказівки.
Перший том містить дві частини. Друга частина присвячена перетворенням площині. Зокрема дві перші її голови описують руху площині і методи розв'язання задач на побудову (центральна симетрія, осьова симетрія, паралельний перенос, поворот, подоба).
Другий том також містить дві частини. У першій частині четверта глава присвячена ГМТ. Тут розглядаються різні ГМТ площині, а також ГМТ простору: різниця квадратів відстаней, сума квадратів відстаней, сфера Аполлонія. Застосування методу ГМТ для вирішення стереометричних задач. Друга частина присвячена перетворенням простору аналогічно другій частині першого тому. Дві перші її голови описують руху простору і методи розв'язання задач на побудову (центральна симетрія, осьова симетрія, паралельний перенос, поворот, подоба).
У книзі окремо не виділяється застосування методу ГМТ для планіметричних задач, а також не розглянутий алгебраїчний метод.
4) І.І. Александров "Збірник геометричних задач на побудову за рішеннями" [1]
Книга налічує понад 600 задач на побудову, що представляє учням і викладачам величезний вибір. В основному книга присвячена вирішенню завдань на побудову за допомогою циркуля і лінійки, але останній розділ присвячений вирішенню завдань одним циркулем, двосторонньої лінійкою, прямого чи гострого кута, односторонньої лінійкою з застосуванням допоміжної окружності Штейнера.
Збірник можна розділити на три частини, що включають: 1) основні побудови; 2) завдання, привчають до побудов; 3) завдання на різні методи рішення (метод ГМТ, метод геометричних перетворень, алгебраїчний метод). Представлений дуже хороший набір завдань різного ступеня складності, на застосування різних методів, і наведені рішення. Кожен метод докладно описаний, наведено приклади. Також у книзі розглянута тема: "Застосування тригонометрії до вирішення геометричних задач на побудову".

Висновок: У всіх книгах досить добре розглянуті ті чи інші методи рішення задач на побудову, наведені вирішення завдань. У книзі [28] представлені завдання тільки на метод ГМТ. Збірники [22], [23] містять окремі розділи, присвячені різним методам (крім алгебраїчного). Включені до них завдання мають кілька підвищений у порівнянні зі шкільними знаннями рівень. Найбільш оптимальним з розглянутих книг, на нашу думку, є збірка [1], він містить багато завдань на застосування різних методів. Причому тільки в ньому розглядається алгебраїчний метод. Крім того, досить добрими книжками є посібники [20], [21]. У них найкращим чином представлена ​​тема геометричних перетворень і тільки тут розглядається ГМТ простору.


2. Логічне мислення: основні поняття. Аналіз психолого-педагогічної літератури

2.1 Природа і види мислення

Існують різні підходи до поняття "мислення". Наведемо деякі з них.
Мислення - вища форма активного відображення об'єктивної реальності, яка полягає в цілеспрямованому, опосередкованому і узагальненому пізнанні суб'єктом існуючих зв'язків і відносин предметів і явищ у творчому творенні нових ідей, у прогнозуванні подій і явищ [27].
Мислення - соціально обумовлений, нерозривно пов'язаний з промовою психічний процес пошуків і відкриття істотно нового, процес опосередкованого і узагальненого відображення дійсності в ході її аналізу і синтезу. Мислення виникає на основі практичної діяльності з чуттєвого пізнання і далеко виходить за його межі [16].
Мислення відображає буття в його зв'язках та відносинах, в його різноманітних опосредованиях.
Мислення - це узагальнене відображення об'єктивної дійсності в її закономірних, найбільш істотних зв'язках і відносинах. Воно характеризується спільністю і єдністю з промовою. Іншими словами, мислення є психічний процес пізнання, пов'язані з відкриттям суб'єктивно нового знання, з вирішенням завдань, з творчим перетворенням дійсності.
Мислення - психічний процес узагальненого та опосередкованого відображення стійких, закономірних властивостей і відносин дійсності, істотних для вирішення пізнавальних проблем, схематичне орієнтації в конкретній ситуації.
Виділяють такі види мислення [26]:
1) Наочно-діюче мислення. Основна характеристика цього мислення: вирішення завдання здійснюється за допомогою реального перетворення ситуації, за допомогою спостережуваного рухового акту.
2) Про бразное (чи наочно-образне) мислення. Функції образного мислення пов'язані з наданням ситуацій і змін до них, які людина хоче отримати в результаті своєї діяльності, перетворюючої ситуацію; з конкретизацією загальних положень. За допомогою образного мислення більш повно відтворюється все різноманіття різних фактичних характеристик предмета. В образі може бути зафіксовано одночасне бачення предмета з кількох точок зору. Дуже важлива особливість образного мислення - встановлення незвичних, "неймовірних" поєднань предметів та їх властивостей. На відміну від наочно-дієвого мислення при наочно-образному мисленні ситуація перетвориться лише в плані образу.
3) Теоретичне (або словесно-логічне) мислення. Це мислення характеризується використанням понять, логічних конструкцій, що існують, що функціонують на базі мови, мовних засобів. Теоретичне мислення виявляє загальне ставлення, досліджує об'єкт пізнання в системі його необхідних зв'язків. Його результат - побудова теоретичних моделей, створення теорій, узагальнення досвіду, розкриття закономірності розвитку різних явищ, знання яких забезпечує перетворювальну діяльність людини. Теоретичне мислення нерозривно пов'язане з практикою, але у своїх кінцевих результатах має відносну самостійність.
Описана класифікація (трійка) не є єдиною. У психологічній літературі використовується декілька "парних" класифікацій [26]:
1) Теоретичне і практичне мислення за типом розв'язуваних задач і що випливають звідси структурних і динамічних особливостей. Теоретичне мислення - це пізнання законів, правил. Основне завдання практичного мислення - підготовка фізичного перетворення дійсності: постановка мети, створення плану, проекту, схеми. Одна з важливих особливостей практичного мислення полягає в тому, що воно розгортається в умовах жорсткого дефіциту часу. У практичному мисленні дуже обмежені можливості для перевірки гіпотез. Все це робить практичне мислення часом ще більш складним, ніж мислення теоретичне. Теоретичне мислення іноді порівнюють з мисленням емпіричним. Тут в якості критерію використовується характер узагальнень, з якими має справу мислення: в одному випадку це наукові поняття, а в іншому - житейські, ситуативні узагальнення.
2) Інтуїтивне та аналітичне (логічне) мислення. Зазвичай використовуються три ознаки: тимчасової (час протікання процесу), структурний (членування на етапи), рівень протікання (усвідомленість або неусвідомленість). Аналітичне (логічне) мислення розгорнене в часі, має чітко виражені етапи, значною мірою представлене у свідомості самої мислячої людини. Інтуїтивне мислення характеризується швидкістю протікання, відсутністю чітко виражених етапів, є мінімально усвідомленим.
3) Реалістичне і артистичне мислення. Реалістичне мислення спрямоване в основному на зовнішній світ, регулюється логічними законами. Артистичне мислення пов'язане з реалізацією бажань людини. Іноді використовується термін егоцентричне мислення, воно характеризується, перш за все, неможливістю прийняти точку зору іншої людини.
4) Продуктивне і репродуктивне мислення. Різниця грунтується на ступені новизни одержуваного в процесі розумової діяльності продукту по відношенню до знань суб'єкта.
Порівняльна таблиця основних видів мислення (див. Додаток 2).

2.2 Розвиток мислення дитини

У преддошкольном віці (до трьох років включно) мислення в основному наочно-дієве.
У віці чотирьох - семи років виникає наочно-образне мислення в простій формі переважно у дошкільнят. Дошкільнята мислять лише наочними образами і ще не володіють поняттями (у строгому сенсі) [17].
У шкільному віці в процесі систематичного мислення дитини починає перебудовуватися і розвивається теоретичне мислення.
У міру формування теоретичного мислення дитина, підліток дедалі більше вчиться усвідомлювати узагальнені закономірності явищ. Дитина не стільки все глибше пізнає дійсність, у міру того як розвивається його мислення, скільки його мислення все більше розвивається, у міру того як поглиблюється його пізнавальне проникнення в дійсність.
З 11 до 14 років різко зростає значимість причинних зв'язків в мисленні дитини, причому спочатку сильно переважає інтерес до причин явищ. Потім співвідношення змінюється: підлітка починає більше цікавити майбутнє, його мислення починає подаватися на розкриття наслідків. Разом з тим від встановлення одиничних причинно-наслідкових залежностей у приватних наочних ситуаціях воно піднімається до розуміння загальних закономірностей.
Новий рівень абстрактній теоретичної думки позначається також у взаєминах мислення й мови, а також мислення і наочно-образного змісту сприйняття, уявлення.
У відношенні між мисленням і мовою новий рівень мислення знаходить собі вираження в тому, що: а) значну роль у мові починають грати терміни, б) іншим виразом того ж зрушення в мисленні є розвивається в цей період розуміння метафоричного переносного значення слів; в) особливо загострено позначаються особливості мовної форми абстрактного мислення в умінні оперувати формулами з літерними позначеннями (алгебра, логіка).
Розвиток мислення дитини відбувається поетапно, являє собою деякі щаблі розвитку. При цьому вищі щаблі, розвиваючись, не витісняють нижчих, а перетворюють їх. Коли розвивається теоретичне мислення, то ні наочно-дієве, ні наочно-образне мислення, звичайно, не зникають, а перетворюються, удосконалюються, самі піднімаються на вищий щабель. Між ними створюються найрізноманітніші, складні, від випадку до випадку індивідуально варіюються взаємини.
На різних етапах розвитку мислення різні області знання є тією базою, на яких формуються більш високі форми мислення, на яких воно раніше всього переходить на вищий щабель. У ранньому віці такою областю є арифметика. При переході з початкової до середньої школи таку ж роль у розвитку абстрактного мислення може грати алгебра. У різні періоди різні науки вносять кожна свій специфічний внесок у розвиток мислення і можуть з'явитися тим плацдармом, на якому раніше формуються ті чи інші сторони більш високих ступенів мислення [24].

2.3 Поняття логічного мислення

Логічне мислення як феномен вивчається різними науками: філософією, психологією, логікою. Кожна з них по-своєму, що цілком справедливо, визначає його сутність.
Так, наприклад, в одних джерелах логічним мисленням називають процес мислення, в якому умовиводи суворо грунтуються на правильних судженнях. При такому мисленні явище отримує переконливе пояснення, безпомилково встановлюються причини і слідства, виявляються зв'язки і відносини між поняттями, які виражаються у судженнях, вірність яких не можна спростувати.
В інших - визначають словесно-логічне мислення як один з видів мислення, що характеризується використанням понять, логічних конструкцій.
У свою чергу, в словнику психологічних понять К.К. Платонова логічне мислення визначається як "вид мислення, суть якого в орієнтуванні поняттями, судженнями і умовиводами з використанням законів логіки" [19].
Відзначимо, що у психолого-педагогічній літературі "логічне мислення" практично ототожнюється з поняттям "абстрактне", "теоретичне", "понятійний", "категоріальне", "словесно-логічне (дискурсивне)" мислення, іноді вони розглядаються як синоніми.
Але при цьому всі сходяться в тому, що логічне мислення - є абстрактне, аналітичне, синтетичне мислення, яке функціонує на базі мовних засобів, активно розвивається в людини, починаючи з певного віку - з початком його навчання.
Мета розвитку логічного мислення (визначеність, послідовність, доказовість думки) досягається вирішенням наступних завдань: оволодіння основними розумовими операціями, структурою логічних форм мислення, перенесенням прийомів розумової діяльності з однієї галузі знань в іншу. Організація логічної підготовки базується на принципах спадкоємності, врахування вікових особливостей, розкриття общезначимости логічних форм і відносин і ін; а зміст її включає основні логічні вміння та відповідні їм розумові операції. Розвиток логічного мислення здійснюється за допомогою вивчення процесу мислення, активного використання мовлення, з'єднання і взаємозбагачення всіх видів мислення.

2.4 Розвиток логічного мислення школярів у процесі навчання математики

Відзначимо, що розвиток логічного мислення безпосередньо пов'язане з процесом навчання математики. При цьому багато дослідників зазначають, що однією з найважливіших завдань навчання, в тому числі і математики, у школі є формування в учнів навичок здійснення логічних операцій, навчання їх різним прийомам логічного мислення, озброєння знаннями логіки і вироблення у школярів умінь і навичок використання цих знань у навчальній і практичній діяльності.
У результаті правильно організованого навчання математики школярі досить швидко набувають навички логічного мислення, зокрема, вміння узагальнювати, класифікувати і аргументовано обгрунтовувати свої висновки.
Разом з тим немає єдиного підходу до вирішення питання, як організувати таке навчання математики. Одні вважають, що логічні прийоми є невід'ємною частиною математики як науки, основи якої включені у зміст освіти, тому в учнів при вивченні математики автоматично розвивається логічне мислення на основі заданих образів (В. Г. Бейлінсон, М. М. Поспєлов, М.М . Скаткін).
Інший підхід виражається в думці частини дослідників про те, що розвиток логічного мислення тільки через вивчення навчальних предметів, у тому числі і математики, є малоефективним, такий підхід не забезпечує повноцінного засвоєння прийомів логічного мислення і тому необхідні спеціальні навчальні курси з логіки (Ю.І . Веринг, Н. І. Ліфінцева, В. С. Нургалієв, В. Ф. Паламарчук).
Ще одна група вчених (Д. Д. Зуєв, В. В. Краєвський) вважають, що розвиток логічного мислення учнів повинно здійснюватися на конкретному предметному змісті навчальних дисциплін через акцентуацію, виявлення та роз'яснення зустрічаються у них логічних операцій.
Але яким би не був підхід до вирішення цього питання, більшість дослідників сходяться в тому, що розвивати логічне мислення в процесі навчання математиці це значить: розвивати в учнів уміння порівнювати спостережувані предмети, знаходити в них спільні властивості та відмінності; виробляти вміння виділяти суттєві властивості предметів і відволікати (абстрагувати) їх від другорядних, несуттєвих; вчити дітей розчленовувати (аналізувати) предмет на складові частини з метою пізнання кожної складової частини і з'єднувати (синтезувати) розчленовані подумки предмети в одне ціле, пізнаючи при цьому взаємодія частин і предмет як єдине ціле; вчити школярів робити правильні висновки зі спостережень або фактів, уміти перевіряти ці висновки; прищеплювати вміння узагальнювати факти; розвивати в учнів уміння переконливо доводити істинність своїх суджень і спростовувати хибні умовиводи; стежити за тим, щоб думки учнів викладалися виразно, послідовно, несуперечливо, обгрунтовано.
Рішення задач на побудову, безсумнівно, розвиває логічне і активне мислення учнів. Ні одні завдання не сприяють так розвитку в учнях спостережливості та правильності мислення, представляючи в той же час для них і найбільшу привабливість, як геометричні (завдання) на побудову.
Велике значення для розвитку логічного мислення учнів мають і задачі на побудову. Наявність аналізу, докази і дослідження при вирішенні більшості таких завдань показує, що вони являють собою багатий матеріал для вироблення в учнів навичок правильно мислити і логічно міркувати. При вирішенні задач на побудову вони мають справу не з конкретною, визначеної фігурою, а повинні створити необхідну фігуру, подвергающуюся різних змін в процесі вирішення. Розкриваючи взаємозв'язки між даними елементами, бачимо, як зі зміною одних змінюються інші і навіть уся фігура. Цим ми привчаємо учнів до діалектичного методу мислення і по можливості усуваємо формалізм у знаннях.
Важко переоцінити роль задач на побудову в математичному розвитку школярів. Вони по своїй постановці і методам рішення не тільки найкращим чином стимулюють накопичення конкретних геометричних уявлень, а й розвивають здатність чітко уявляти собі ту чи іншу геометричну фігуру і, більше того, вміти подумки оперувати елементами цієї фігури. Завдання на побудову можуть сприяти розумінню учнями походження різних геометричних фігур, можливості їх перетворення - все це є важливою передумовою розвитку просторового мислення школярів. Вони сильно розвивають логічне мислення, геометричну інтуїцію.
Тим часом зауважимо, що процес формування логічного мислення, загальнологічних умінь, як компонента загальної освіти, повинен бути цілеспрямованим, безперервним і пов'язаним з процесом навчання математики на всіх її щаблях.
Висновок: Логічне мислення - є абстрактне, аналітичне, синтетичне мислення, яке функціонує на базі мовних засобів, активно розвивається в людини, починаючи з певного віку - з початком його навчання. Розвиток логічного мислення - це формування в учнів навичок здійснення логічних операцій, навчання їх різним прийомам логічного мислення, озброєння знаннями логіки і вироблення умінь і навичок використання цих знань у навчальній і практичній діяльності. Цей процес безпосередньо пов'язаний з процесом навчання математики, правильна організація якого забезпечує найбільш ефективний розвиток логічного мислення, в тому числі і при рішенні геометричних задач. При цьому ні одні завдання не сприяють так розвитку в учнях спостережливості та логічного мислення, представляючи в той же час для них і найбільшу привабливість, як задачі на побудову.

3. Методика розв'язування задач на побудову

Суть рішення задачі на побудову полягає в тому, що потрібно побудувати наперед зазначеними інструментами деяку фігуру, якщо дана деяка фігура і зазначені деякі співвідношення між елементами шуканої фігури і елементами даної фігури.
Кожна фігура, що задовольняє умовам задачі, називається вирішенням цього завдання.
Знайти рішення задачі на побудову - значить звести її до кінцевого числа основних побудов, тобто вказати кінцеву послідовність основних побудов, після виконання яких, шукана фігура буде вже вважатися побудованої в силу прийнятих аксіом конструктивної геометрії.
Однією з основних проблем методики навчання рішенню задач на побудову є методика введення та вивчення етапів вирішення конструктивних завдань. Ще в IV ст. до н. е.. давньогрецькі геометри розробили загальну схему вирішення задач на побудову, якою ми користуємося і тепер. Процес рішення задачі розбивають на 4 етапи: аналіз, побудова, доказ і дослідження. Розглянемо кожен етап більш докладно.

3.1 Аналіз

Аналіз - це важливий етап вирішення завдання, який ми розуміємо як пошук способу розв'язання задачі на побудову. На цьому етапі повинні бути помічені такі залежності між даними фігурами і шуканої фігурою, які дозволили б в подальшому побудувати цю шукану фігуру (якщо ми знаємо, як будувати шукану фігуру, то ніякої аналіз вже не потрібний).
Аналіз - підготовчий, попередній етап рішення задачі на побудову.
Щоб полегшити собі пошук зв'язків між шуканої фігурою і даними фігурами, зазвичай виявляється вигідним мати перед очима допоміжний креслення, креслення-нарис, зображає дані і шукані фігури приблизно в тому розташуванні, яке передбачено умовою задачі. Креслення можна виконати від руки, на око - це проект креслення, який повинен утворитися, коли завдання вже вирішена.
На допоміжному кресленні слід виділити дані елементи і найважливіші шукані елементи. Практично часто зручніше починати побудову допоміжного креслення не з даної фігури, а з зразкового зображення вихідної фігури, пристроюючи до неї дані так, щоб вони перебували у відносинах, вказані в умові завдання.
Якщо допоміжний креслення не підказує способу побудови шуканої фігури, то намагаються виявити будь-яку частину шуканої фігури або взагалі деяку фігуру, яка може бути побудована, і якою потім можна скористатися для побудови шуканої фігури.
Також треба враховувати наступні моменти [2]:
1) якщо на допоміжному кресленні не вдається безпосередньо помітити необхідні для вирішення зв'язку між даними і шуканими елементами, то доцільно ввести в креслення допоміжні фігури: з'єднати вже наявні точки прямими, відзначити точки перетину наявних ліній, продовжити деякі відрізки і т. д. Іноді буває корисно проводити паралелі або перпендикуляри до вже наявних прямим;
2) якщо за умовами задачі дана сума або різниця відрізків або кутів, то ці величини слід ввести в креслення, тобто слід зобразити їх на кресленні-начерку, якщо їх ще немає на ньому;
3) у процесі проведення аналізу буває корисно згадати теореми і раніше розв'язані задачі, в яких зустрічаються залежності між елементами, про які йдеться в умові розглянутої задачі.
У Додатку 3 наведено аналіз задачі на побудову: "Побудувати трикутник, знаючи підставу, менший кут при основі і різниця двох інших сторін".
З цього прикладу видно, що при знаходженні розв'язку задачі на побудову, як і для арифметичних завдань, застосовується аналітико-синтетичний метод. Слідуючи від питання задачі, враховуємо, які елементи нам відомі, і, навпаки, вихідні дані комбінуємо так, щоб побудувати шукану фігуру.
Назва етапу "аналіз" не означає, що для відшукання рішення застосовується тільки аналітичний метод, подібно до того, як і при доказі, яке іноді називають "синтезом", не завжди застосовується синтетичний метод міркування. При розборі завдання, при знаходженні шляхів її вирішення аналіз і синтез знаходяться у постійній взаємодії, доповнюють і перевіряють один одного.

3.2 Побудова

Другий етап розв'язання задач на побудову складається з двох частин:
1) перерахування у порядку всіх елементарних побудов, які потрібно виконати, згідно з аналізом, для вирішення завдання;
2) безпосереднє виконання цих побудов на кресленні за допомогою креслярських інструментів. Дійсно, вирішити задачу за допомогою тих чи інших інструментів - означає вказати кінцеву сукупність елементарних, допустимих для даних інструментів, побудов, виконання яких у певній послідовності дозволяє дати відповідь на питання завдання.
Даний етап вводиться при вирішенні самої першої задачі на побудову, якою зазвичай є задача про побудову відрізка, рівного даному, на даному промені за кінцем на початку цього променя. У бесіді, що супроводжує введення етапу, необхідно зазначити, в чому полягає рішення будь-якої задачі на побудову та вказати, що здійснення цього етапу як раз і полягає в перерахуванні кінцевого числа операцій побудови шуканої фігури.

Рис. 1
Розглянемо рішення задачі: "Побудувати квадрат по його діагоналі".
Аналіз. Провівши діагональ А 1 З 1 (рис. 1), ми бачимо, що побудова квадрата зводиться до побудови рівнобедреного прямокутного трикутника А 1 В 1 З 1 по його гіпотенузі A 1 C 1, який потім легко доповнити до квадрата.
Побудова. Трикутник А 1 В 1 З 1 можна будувати різними способами. Наприклад:
1) Будуємо кут B 1 A 1 C 1, що містить 45 °, і на одній його стороні відкладаємо відрізок А 1 С 1, і рівний даної діагоналі. Провівши C 1 B 1 A 1 B 1, отримаємо трикутник А 1 В 1 С 1, який доповнюємо до квадрата A 1 B 1 C 1 D 1, що можна зробити різними способами.
2) Проведемо через середину А 1 З 1 перпендикуляр В 1 О 1 А 1 З 1 і відкладемо B 1 O 1 = A 1 O 1 і з'єднаємо У 1 з А 1 і С 1; отримаємо трикутник A 1 B 1 C 1.
3) На А 1 С 1, як у діаметрі, будуємо коло і з точки О 1, підіймали перпендикуляр О 1 В 1 А 1 З 1 до перетину з колом в точці B 1. Поєднавши У 1 з А 1 і С 1, отримаємо трикутник A 1 B 1 C 1. Провівши B 1 D 1 A 1 C 1, ми відразу можемо отримати точки B 1 і D 1, як і в попередньому випадку. Очевидно, що побудова трикутника A 1 B 1 C 1 можливо і іншими способами [11].
Рішення однієї і тієї ж задачі декількома способами посилює інтерес учнів до завдань на побудову і свідоме ставлення до вирішення таких завдань. Якщо вирішувати завдання на побудову весь час по заздалегідь вказаним методам, то цим самим сковуються винахідливість та ініціатива учнів у знаходженні різних і оригінальних способів рішення і їм важко навчитися самостійно вирішувати конструктивні завдання. Вони застосовують в першу чергу знання досліджуваного матеріалу і навички, отримані при вирішенні завдань, що передують даній. Якщо вирішувалися завдання, що вимагають застосування певного методу, то і для запропонованого завдання вони оберуть той же знайомий їм шлях рішення, навіть якщо він нераціональний. Вказівка ​​вчителя на існування більш простого способу не дає належного ефекту, оскільки запропоноване вчителем рішення здається учням штучним, якого вони самі не змогли б знайти.
Звичайно, якщо це робити до того як учні придбають міцні навички в знаходженні рішень різними способами, то результати виявляться негативними. Увага учнів кожного разу буде розпорошуватися між усіма способами, і вони жодного з них не засвоять грунтовно, щоб застосовувати його досить свідомо.
Різними способами добре вирішувати завдання в кінці навчального року, при повторенні курсу геометрії, коли учні вже мають достатні навички у вирішенні задач на побудову. Завдання, що допускає різні способи рішення, краще ставити на будинок, щоб вони не тільки вирішили, а й знайшли найбільш просте рішення.

3.3 Доказ

Після того як фігура побудована, необхідно встановити, чи задовольняє вона умовами завдання, тобто показати, що фігура, отримана з даних елементів певним побудовою, задовольняє всім умовам завдання. Значить, доказ істотно залежить від способу побудови. Одну й ту ж задачу можна вирішувати різними способами, в залежності від наміченого при аналізі плану побудови, а тому, і доведення у кожному випадку буде своє. Доказ являє собою частину рішення задачі, на свого логічного змісту зворотний аналізу. Якщо в аналізі встановлюється, що будь-яка фігура, яка задовольнить поставленим умовам, може бути знайдена таким-то і таким-то шляхом, то в цій, третій частині рішення доводиться зворотне положення. Це зворотне положення в загальному вигляді може бути сформульоване так: якщо деяка фігура отримана з даних елементів таким-то побудовою, то вона дійсно задовольняє поставленим умовам. У Додатку 3 наведено рішення завдання: "Побудувати трапецію, з чотирьох сторін".
При вирішенні простих завдань, коли всі умови задачі знаходять безпосереднє відображення в плані побудови, немає необхідності доводити, що фігура, отримана з даних елементів такою побудовою, є шуканої. Наприклад: "Побудувати трикутник за двома сторонами та кутом між ними". Тут доказ зводиться до простої перевірки, чи такі взяли сторони, як дані, і чи буде побудований кут дорівнює даному. У подібних завданнях доказ є зайвим, бо правильність рішення забезпечується відповідністю побудови аналізу і даними умови задачі.
Доказ не просто залежить від аналізу та побудови, між ними існує взаємозв'язок і взаємозумовленість. Побудова проводиться за планом, складеним при аналізі. Таких планів можна вказати кілька. Побудова і доказ є своєрідним критерієм правильності та раціональності складеного плану. Якщо план не здійснимо наявними інструментами або ж побудова виявляється нераціональним, ми змушені шукати новий план рішення. Аналогічним чином і доказ, і дослідження впливають на аналіз, зумовлюючи нерідко вибір плану рішення.
Хоча доказ при вирішенні задач на побудову проводиться аналогічно доказу теорем, з використанням аксіом, теорем і властивостей геометричних фігур, між ними є і деякі відмінності. При доведенні теорем в більшості випадків без праці виділяють умова і висновок. При вирішенні задач на побудову вже важче знайти дані, на підставі яких можна довести, що побудована фігура є шуканої. Тому при вирішенні конструктивних завдань у класі доцільно іноді спеціально виділяти, що дано, і що потрібно довести. Наприклад, при вирішенні завдання: "Побудувати ромб по двох його діагоналях" пропонуємо учневі записати, що дано (діагоналі взаємно перпендикулярні і, перетинаючись, діляться навпіл) і що потрібно довести (сторони рівні). У свою чергу при вирішенні завдань вдома і в контрольних роботах можна не вимагати оформлення доведення з виділенням окремо умови і висновку. Немає потреби вимагати проведення особливого докази в задачах, де правильність рішення очевидна [11].

3.4 Дослідження

При побудові зазвичай обмежуються відшуканням одного якого-небудь рішення, причому передбачається, що всі кроки побудови дійсно здійсненні. Для повного вирішення завдання потрібно ще з'ясувати наступні питання: 1) чи завжди (тобто при будь-якому чи виборі даних) можна виконати побудову обраним способом, 2) чи можна і як побудувати шукану фігуру, якщо обраний спосіб не можна застосувати; 3) скільки рішень має завдання при кожному можливому виборі даних? Розгляд всіх цих питань і становить зміст дослідження [2].
Таким чином, дослідження має на меті встановити умови розв'язності та визначити число рішень. Нерідко школярі і навіть вчителі проводять дослідження, довільно обираючи ті чи інші випадки, причому неясно, чому розглядаються саме такі, а не які-небудь інші випадки. Залишається неясним також, чи всі можливі випадки розглянуті. Практично в більшості випадків вдається досягти необхідної повноти дослідження, якщо проводити це дослідження по ходу побудови, що є найбільш доступним і доцільним способом. Сутність цього прийому полягає в тому, щоб перебрати послідовно всі кроки, з яких складається побудова, і щодо кожного кроку встановити, чи завжди вказане на цьому кроці побудова здійснимо, а якщо здійснимо, то однозначно чи.
Розглянемо рішення і дослідження завдання: "Побудувати коло, що стосується даної прямої PQ і даної кола (О; ОА) в заданій на ній точці А".

Рис. 2
Рішення. Вирішуємо цю задачу методом геометричних місць. Проводимо пряму ОА (рис. 2). У точці А будуємо дотичну АВ до даної кола, а потім - бісектриси кутів РВА і ABQ. Точки перетину прямої ОА з прямими ВМ і BN і будуть центрами шуканих кіл.
Проводячи дослідження з побудови, легко виявляємо, що наше рішення не застосовується, якщо OA PQ. Для такого випадку розглядаємо рішення задачі окремо. У результаті отримаємо, що якщо ОА не перпендикулярно PQ, то завдання має два рішення, за винятком випадку, коли коло (О; ОА) перетинає PQ у точці А, так як тоді прямі ВМ, У N і ОА перетнуться в точці А, і окружності не отримаємо. Якщо ж OA PQ, але А не лежить на PQ, то отримуємо одне коло з центром на ОА і радіусом, рівним половині відстані від точки А до даної прямої PQ. Якщо ж при цьому А лежить на PQ, то завдання невизначена.
Таким чином, для завдання є лише 4 характерні конфігурації вихідних даних:
1) ОА не перпендикулярно PQ і А не належить PQ - 2 рішення;
2) OA не перпендикулярно PQ і A належить PQ - немає рішень;
3) OA PQ, але A не належить PQ - 1 рішення;
4) OA PQ і А належить PQ - нескінченна безліч рішень [11].
У результаті таких міркувань вирішується питання про можливість і однозначності побудови шуканої фігури даним способом. Але залишається ще відкритим питання: чи не виникнуть нові рішення, якщо змінити як-небудь спосіб побудови? Іноді вдається довести, що всяке рішення даного завдання збігається з одним із вже отриманих рішень. Якщо ж це не вдається, то можна припустити, що завдання має інші рішення, які можуть бути знайдені іншими способами. У цих випадках треба ретельно перевірити, чи немає яких-небудь інших можливих випадків розміщення даних або шуканих фігур, які не були передбачені раніше проведеним аналізом.
3.5 Методичні рекомендації з навчання розв'язання задач на побудову
Як і в якому місці курсу геометрії слід знайомити учнів із загальною схемою рішення задач на побудову? Тут виникає два різних методичних питання [10]. Перший з них - це питання про те, з якого часу у викладанні геометрії при вирішенні завдань повинні фактично проводитися аналіз, побудова, доказ, дослідження? Друге питання, відмінний від першого, - це питання, коли учень повинен бути ознайомлений з логічною схемою рішення задачі.
Звертаючись до першого питання, зауважимо, що першим за часом вводиться елементом краще вибрати побудову в сенсі перерахування та опису тих чи інших операцій. Тут мається на увазі саме опис процесу вживання інструмента ("прикладаємо два вістря ніжок циркуля до точок М і N, а потім, не змінюючи відстані між вістрями, поміщаємо одне з них в точку О" і т. п.). На вищому ступені окремі операції просто називаються ("описуємо з точки О коло радіусом MN" або "опускаємо з точки С перпендикуляр на пряму АВ"). Нарешті, останньою сходинкою можна було б вважати ту, коли в якості елементів побудови можуть називатися і досить складні за своїм виконання, але добре відомі учням завдання ("будуємо трикутник по гіпотенузі і катету", "проводимо з точки М дотичну до кола" і т . п.).
Другим моментом за часом появи в шкільному курсі краще вибрати дослідження задачі. Перший елемент дослідження з'являється під час вирішення завдання про побудову трикутника за трьома сторонами, у вигляді питання про те, чи можна ля вибрати всі три сторони довільно. До цього має незабаром додатися знайомство з можливістю існування декількох рішень однієї задачі. Цьому моменту потрібно надавати досить велику принципову значимість. Справа в тому, що слова "знайти точку" позначають вимога "знайти всі точки, які ..." (а не просто "будь-яку точку, яка ..."). Аналогічно "вирішити рівняння" означає "знайти всі числа, які задовольняють рівняння" (а не просто "будь-яке число, яке ..."). "Побудувати коло" - це "побудувати, всі кола, які ..." (а не просто "побудувати будь-яку окружність, яка ...") і т. д.
Задачі на геометричні побудови з двома рішеннями (або більше) - перший випадок, коли учень зустрічається з такого роду висловами в математиці, і надзвичайно важливо, щоб учень звикав до них з самого початку, з 7-8 класу. Інакше зовсім неминуче виникнення в подальшому питань такого типу, як "навіщо при добуванні кореня брати обидва знака". Сам термін "дослідження" повинен з'явитися набагато раніше, ніж, скажімо, термін "аналіз".
Третім моментом, що з'являються, приблизно, в один час з елементами дослідження, є доказ правильності виконання побудови. Уже такі завдання в 7 класі як побудова кута, рівного даному, побудова перпендикулярів за допомогою циркуля і лінійки і т. д. ставлять на чергу питання про те, чи буде побудований кут дійсно дорівнює даному, чи буде побудована пряма перпендикулярна до даної? Проте і на цій стадії роботи і на подальших немає великої необхідності (тільки для дотримання формального одноманітності викладу) вимагати проведення докази в тих завданнях, де правильність побудови вбачається безпосередньо. Деякі, навіть порівняно складні, завдання на побудову, можуть, як здається, залишати без особливого докази. Наприклад, завдання, яке вирішується методом геометричних місць: побудувати трикутник за основою, протилежного кутку і медіані, проведеної до основи.
Нарешті, останнім за часом елементом вирішення, на якому фіксується увагу учнів, є аналіз. Початком цього виду роботи слід вважати звернення до учнів, "хто запропонував" те чи інше рішення задачі, з питанням: "А як ти це рішення знайшов?". Потім поступово треба підвести учнів до думки про те, щоб фіксувати свою увагу на самому процесі відшукання методу рішення, цей процес і отримує назву аналізу.
З вище сказаного випливає, що в справі введення понять аналізу, побудови, докази і дослідження слід дотримуватися з одного боку, поступовість, а з іншого боку, - наполегливість у сенсі багаторазового систематичного звернення до одних і тих самих питань.
Перейдемо тепер до другого питання - про введення в курсі геометрії схеми розподілу рішення задач на побудову на чотири частини. Безсумнівно, що вивчення цього питання на тому місці, на якому він поставлений у підручниках, слід вважати невчасним і не досягає мети. Тим не менш, схема рішення повинна бути повідомлена учням, але лише значно пізніше. Протягом навчального року, з початку систематичного курсу геометрії в 7 класі до середини курсу 8 класу, або навіть трохи довше, повинна йти та систематична, іноді навіть непомітна для учнів робота вчителя з ознайомлення учнів з елементами загальної схеми рішення, про яку говорилося вище. Лише у 8 класі вчитель на прикладі спеціально підібраною завдання повністю викладає учням всю схему вирішення. Завдання слід, звичайно, підібрати так, щоб вона допускала один найбільш природний хід рішення (при аналізі завдання думку учнів повинна легко піти за цілком певному шляху), щоб вона вимагала дослідження, і в той же час, щоб це дослідження не було занадто складним. Разом з тим завдання не повинна бути дуже простою, тому що в цьому випадку спосіб рішення може виявитися очевидним для учнів, і тоді аналіз завдання здасться їм чимось штучним. Найбільш відповідними для цієї мети є завдання, які вирішуються методом геометричних місць. Гарним прикладом для ілюстрації загальної схеми рішення задач на побудову є завдання: "Побудувати трикутник за двома сторонами і гострого кутку, який лежить проти однієї з них".
Зробивши креслення довільного трикутника, учні складають план побудови і при відповідному виборі даних отримують два рішення. Вони бачать необхідність доказу (перевірки, який з отриманих трикутників є шуканим), а також і необхідність дослідження (чи завжди отримаємо два рішення?). Тут природно виділяються всі етапи і очевидна їх доцільність. Якщо учні добре володіють основними побудовами, великих труднощів в оформленні рішень вони не відчувають.
Це завдання на побудову є гарним прикладом, який показує зв'язок між числом рішень задачі на побудову трикутника за певними даними й ознаками рівності трикутників.
При вирішенні задач на побудову паралелограмів гарним прикладом для повторення загальної схеми буде завдання: "Побудувати паралелограм по стороні і двом діагоналях".
Після того як схема рішення задачі на побудову пояснена учням, цієї схеми слід дотримуватися при вирішенні всіх подальших завдань на побудову.
Тим не менш, необов'язково всі завдання вирішувати, суворо дотримуючись схеми з докладним описом всіх етапів. Учні проводять аналіз лише тоді, коли рішення задачі не очевидно, доказ - коли в ньому є необхідність.
Засвоєння учнями загальної схеми має велике значення не тільки для вирішення задач на побудову. З методичної точки зору і при вирішенні арифметичних завдань, і при вирішенні завдань на складання рівнянь ми користуємося тими ж чотирма етапами, що і при вирішенні задач на побудову.
Зупинимося детальніше на розгляді етапу "дослідження". Кожне завдання на побудову включає в себе вимогу побудувати геометричну фігуру, що задовольняє певним умовам, які в більшості своїй задаються розмірами або положенням деяких геометричних образів. Умови задач формулюються у найзагальнішому вигляді, а тому вихідні дані є як би параметрами, які приймають всілякі допустимі значення. Необхідно вчити школярів бачити ці допустимі значення.
Вони визначаються найбільш природним чином. Наприклад, в задачі: "Побудувати трикутник за двома сторонами а і b і куті С між ними" допустимими значеннями для а і b будуть всілякі відрізки, які можна характеризувати позитивними числами, їх довжинами, а кут С може приймати всілякі значення від 0 ° до 180 °.
Розглянемо задачу: "Побудувати коло, що стосується даної окружності в даній на ній точці і даної прямої". У ній пряма може займати будь-яке положення на площині. Окружністю також може бути будь-яка окружність на площині. Але так як окружність характеризується становищем центру та величиною радіуса, то можна сказати, що центром даної кола може бути будь-яка точка площини, а радіусом - будь-який відрізок, довжина якого 0 <ℓ <∞.
Іноді розглядають і спрямовані кола, тоді вже радіус може бути і недодатні числом, але подібні випадки зазвичай обмовляються в умові завдання. Точка також може займати довільне положення, але вже не на площині, а на даній кола, тому що вона обов'язково повинна належати їй.
Рішення задачі на побудову вважається закінченим, якщо вказані необхідні і достатні умови, при яких знайдене рішення є відповіддю на завдання. Значить, ми при будь-якому виборі даних повинні встановлювати: чи має завдання рішення і якщо має, то скільки. Наприклад: "Побудувати коло, що проходить через три дані різні точки". Якщо дані точки не лежать на одній прямій, то завдання має рішення і до того ж тільки одне, якщо ж точки лежать на одній прямій, то завдання рішення не має.
Переходимо тепер до одного з найбільш істотних, в методичному відношенні, питань дослідження задачі на побудову. Як встановити і перерахувати всі ті випадки, які мають істотне значення для вирішення даного завдання? Відомо, що дуже часто учні, вирішальні те чи інше завдання, особливо на перших порах, намагаються дослідити її, виходячи із запитання: "А що буде, якщо ...", придумуючи ті чи інші "якщо" більш-менш довільно. Необхідно привчати учнів вести дослідження по самому ходу побудови. Бажаючи дослідити завдання, треба в послідовному порядку перебрати ще раз ті операції, з яких складається побудова, і для кожної з цих операцій визначити, чи завжди вона можлива, яке число точок, відрізків і т. д. ця операція може давати. Таким шляхом вдається порівняно легко навчитися дослідженню завдання.
Дослідження є складовою частиною рішення. Рішення задачі на побудову можна вважати закінченим, якщо дізнаємося, скільки шуканих фігур отримаємо при певних умовах, і, зокрема, зазначено, коли отримаємо шуканий геометричний образ. Але дослідження в задачах на побудову, як і дослідження при вирішенні інших завдань з математики, має і загальноосвітній значення.
У процесі дослідження учні вправляються в практичному застосуванні діалектичного методу мислення. Вони бачать, що зміна даних задачі викликає зміна шуканої фігури. Ми маємо справу не з "закостенілими", а до мінливих геометричними образами, зміна одних величин обумовлено зміною інших.
Для правильного проведення дослідження потрібно мати добре розвиненим логічним мисленням. Значить, з іншого боку, дослідження задач на побудову є гарним матеріалом для розвитку логічного мислення учнів.
Незважаючи на необхідність та доцільність дослідження при вирішенні задач на побудову, цього етапу і в школі, і в методичній літературі приділяється недостатньо уваги. Велика увага приділяється зазвичай вирішити його - аналізу. Аналіз - основний етап при вирішенні задач на побудову: не знайшовши вирішення, не можна провести ні побудови, ні докази, ні дослідження. Але за труднощі виконання дослідження є не менш складним етапом. Найбільша кількість помилок допускається саме при дослідженні.
Висновок. Засвоєння учнями загальної схеми рішення задач на побудову має велике значення. Аналіз, побудова, доказ та дослідження точно відповідають етапам будь-якого логічного міркування. При введенні даних понять слід дотримуватися з одного боку, поступовість, а з іншого боку, - наполегливість у сенсі багаторазового систематичного звернення до одних і тих самих питань.

4. Методи рішення завдань на побудову

До основних методів розв'язування задач на побудову, що вивчаються в середній школі, відносяться:
1) Метод геометричних місць.
2) Методи геометричних перетворень:
а) метод центральної симетрії;
б) метод осьової симетрії;
в) метод паралельного переносу;
г) метод повороту;
д) метод подібності;
3) Алгебраїчний метод.
Перераховані методи є одним з видів застосування на практиці відповідних геометричних понять, які складають основу кожного з методів. Тому без доброго знання цих понять учнями не може бути ніякої мови про успішне засвоєнні відповідних методів. Але, з іншого боку, в силах вчителя підібрати таку систему завдань на побудову і так побудувати навчання, щоб оцінити потреби поглиблювали уявлення і збільшували знання школярів про даному понятті, розкриваючи його з різних сторін. Завдання при вивченні конкретного методу повинні підбиратися так, щоб в них як можна більш яскраво проявлялася суть досліджуваного методу, особливо на початковому етапі його вивчення. При цьому якщо завдання вирішується декількома методами, то досліджуваний метод повинен дозволяти вирішити завдання найбільш економно та красиво. Розглянемо більш детально кожен метод.

4.1 Метод геометричних місць

Математична сутність методу геометричних місць досить проста. Вона полягає в тому, що шукана точка визначається як точка перетину деяких двох геометричних місць (або іноді як точка перетину деякого геометричного місця з даної прямий або колом); при цьому ті умови за дачі, які визначають положення шуканої точки, розчленовуються подумки на дві умови, і кожне з них дає деяке геометричне місце, побудова якого виявляється можливим (іноді одне з цих геометричних місць замінюється безпосередньо даної прямої або колом) [18].
Метод геометричних місць є одним з найважливіших прийомів розв'язку геометричних задач на побудову взагалі і повинен займати велике місце у вирішенні завдань на побудову, переважно у 8 класі.
При викладі цього методу в школі справа, звичайно, полягає не в тому, щоб учні вміли описати суть методу словами, а в тому, щоб учні вміли свідомо користуватися цим методом.
Основа цього методу - поняття геометричного місця точок. Геометричним місцем точок (ГМТ) простору, що володіють даними властивістю, називається безліч всіх точок простору, кожна з яких володіє цією властивістю.
Всі інші точки простору вказаною властивістю не володіють. ГМТ задається властивістю точок, яке називається характеристичним властивістю цього ГМТ (фігури).
Кожне завдання, в якій потрібно знайти ГМТ за його характеристическому властивості, передбачає вимога описати це ГМТ наочно через відомі елементарні фігури. Рішення задачі на відшукання ГМТ неминуче призводить до доказу двох тверджень - прямого і йому протилежного; необхідно довести, що: 1) кожна точка передбачуваного (шуканого) ГМТ володіє заданою властивістю, 2) будь-яка точка, яка не належить цій фігурі, заданою властивістю не володіє.
Набір досліджуваних ГМТ може бути найрізноманітнішим. Традиційний шкільний набір - це:
а) множина всіх точок площини, віддалених від даної точки на даний відстань;
б) множина всіх точок площини, рівновіддалених від двох даних точок;
в) множина всіх точок площини, віддалених від даної прямої на дане відстань;
г) множина всіх точок площини, рівновіддалених від двох даних прямих.
Крім цього до списку по можливості можуть бути додані наступні ГМТ:
а) множина всіх точок площини, з яких даний відрізок видно під даним кутом (окремий випадок - безліч усіх точок площини, з яких даний відрізок ідеен під прямим кутом);
б) множина всіх точок площини, для кожної з яких різниця квадратів відстаней до двох даних точок постійна, дорівнює квадрату даного відрізка;
в) безліч віх точок площини, для кожної з яких відношення відстаней до двох даних точок постійно (окружність Аполлонія).
Розглядати ці ГМТ доцільно тільки в класах з поглибленим вивченням математики, а також на позакласних заняттях з математики.
Суть методу геометричних місць полягає в наступному:
а) завдання зводиться до побудови деякої точки;
б) з'ясовується, якими властивостями володіє дана точка;
в) розглядається одна з властивостей, будується безліч усіх точок, що володіють цим властивістю;
г) береться таке властивість і так далі;
д) оскільки шукана точка повинна володіти всіма цими властивостями, то вона повинна належати кожному з побудованих множин, тобто належить перетину цих множин.
У Додатку 4 наведено рішення завдання: "Побудувати трикутник АВС за двома висот, проведеним з вершин В і С, і по медіані, проведеної з вершини А".
Методичні рекомендації по методу ГМТ [10]. Поняття ГМТ, що володіють деяким властивістю, краще запровадити на прикладі ГМТ, рівновіддалених від двох даних точок. А потім, коли будуть вивчені ознаки рівності прямокутних трикутників, при вирішенні задачі про знаходження точки, рівновіддаленою від двох даних точок А і В, необхідно дати визначення ГМТ, що володіють деяким властивістю, як безліч всіх точок, які мають цією властивістю.
Вже в 7 класі зустрічаються деякі завдання, рішення яких можна було б розглядати як використання методу геометричних місць (наприклад, завдання на побудову трикутника за трьома сторонами). Однак сама згадка про метод і його вивчення має бути віднесено до 8 класу.
У якому ж місці курсу 8 класу слід знайомити учнів з методом геометричних місць? Безсумнівно, що це має бути зроблено по можливості раніше. Найбільш підходящим для цього часом був би той момент, коли учні в кінці теми "Чотирикутники" ознайомилися з достатнім числом геометричних місць.
Вчитель починає з того, що показує учням, яке значення має ідея геометричного місця при вирішенні добре відомою їм завдання, скажімо при побудові трикутника за трьома сторонами. Нехай основу трикутника АВ вже побудовано; залишається визначити положення третин вершини З. З'ясовується, що для визначення положення точки С в задачі залишаються дві умови: довжина сторін АС і ВС. Проводячи дугу кола з центром в точці А і радіусом В, ми будуємо геометричне місце точок, відстань яких від точки А дорівнює В; аналогічно для другої дуги, і т. д. Слідом за цим може бути запропонований як у класі, так і для вирішення будинку, ряд інших нескладних завдань, близьких за змістом до попередньої, наприклад:
1) побудувати трикутник за основою, медіані, проведеної до основи і бічної сторони;
2) побудувати трикутник за основою, бічній стороні і висоті, опущеною на основу.
Доцільно в якості однієї з перших завдань на метод геометричних місць дати і таку задачу, де шукана фігура визначалася б не тільки за своєю формою та розмірами, а й за становищем на площині. Прикладом може служити наступне завдання:
3) побудувати рівнобедрений трикутник, у якого підставою служить даний відрізок АВ, а вершина лежить на даній окружності [10].
У подальшій роботі з геометрії у 8 класі завдання на метод геометричних місць повинні пропонуватися систематично до кінця навчального року разом із завданнями на обчислення. Поряд з цим застосування методу геометричних місць повинно бути чітко з'ясовано учням і в тих питаннях теоретичного курсу, де це доречно. Сюди відносяться такі питання, як проведення окружності через три точки, побудова дотичної до кола з даної точки, побудова вписаних і описаних кіл (при вирішенні цього завдання особливо корисним буде розгляд геометричного місця точок, рівновіддалених від двох пересічних прямих, замість геометричного місця точок, рівновіддалених від сторін даного кута).
Завдання на побудову, які вирішуються методом геометричних місць, можуть бути дуже різними. Не слід ставити собі за мету дати будь-яку формальну їх класифікацію - вона не мала б великою цінності ні з наукової, ні з методичної сторони. Точно також не слід ставити мету вказати якийсь стандартний список завдань цього роду для середньої школи. Це просто допомога викладачеві в підборі, а також і в складанні знову завдань такого роду, вказавши ті точки зору, яких при цьому необхідно було б дотримуватися.
Різні задачі на побудову, які вирішуються методом геометричних місць, відрізняються одна від одної, перш за все, характером тих геометричних місць, за допомогою яких визначається положення шуканої точки. Відбираючи завдання на побудову для вирішення з кожним класом, слід подумати про те, щоб у цих завданнях зустрічалися, по можливості, різноманітні поєднання цих основних геометричних місць. Тим самим буде забезпечено достатню різноманітність дозволених завдань по суті, по тій ідеї, яка лежить в їх основі.

4.2 Методи геометричних перетворень

Методи цієї групи мають досить багато спільного. Кожен вивчається, як правило, при розгляді відповідного перетворення, при цьому вирішуються завдання служать для закріплення і більш глибокого засвоєння досліджуваного поняття. Для підвищення ефективності навчання необхідно, щоб, крім початкових уявлень про сам перетворенні, учні вміли виконувати побудову образів фігур при цьому перетворенні, так як використання образу шуканої фігури при побудові є основа кожного з цих методів, їх основна ідея і суть.
Якщо шукану фігуру відразу побудувати важко, то її перетворюють в яку-небудь іншу фігуру, побудова якої можна зробити легше або безпосередньо.
При вивченні цих методів доцільно виділити найбільш характерні ознаки з тим, щоб у майбутньому, аналізуючи задачу, учень міг вибрати відповідний метод.
Діюча програма з геометрії не передбачає використовувати ідею геометричних перетворень як керівної ідеї шкільного курсу геометрії, хоча використання геометричних перетворень при розв'язанні задач на побудову має велике методичне значення [25].

4.2.1 Метод центральної симетрії

Симетрією відносно точки О (центральної симетрією) Z 0 простору називається перетворення простору, яке точку Про відображає на себе, а будь-яку іншу точку М відображає на таку точку М 1, що точка О є серединою відрізка ММ 1.
Даний метод можна застосовувати до тих завдань, в умові яких в тій чи іншій формі вказана точка, яка є центром симетрії шуканої або допоміжної фігури.
Розглянемо задачу: "Через цю точку А провести пряму так, щоб її відрізок з кінцями на даних прямої та кола ділився точкою навпіл".
Рішення. Нехай m і α - дані пряма і коло, CD-шуканий відрізок, З m, D а (рис. 3). Тоді Z A (C) = D. Якщо Z A (m) = m 1, то D m 1 і, отже, D а m 1. Звідси випливає така побудова: будуємо образ m 1 прямий m при симетрії Z A, точки D і Е перетину прямої m 1 з даної окружністю α визначають разом з точкою А шукані прямі DA та ЕА [20].

Рис. 3

4.2.2 Метод осьової симетрії

Симетрією простору щодо даної прямої l (осьовою симетрією) S l називається перетворення, яке кожну точку прямої l відображає на себе, а будь-яку іншу точку М простору відображає на таку точку М 1, що пряма l служить серединним перпендикуляром до відрізка ММ 1. Пряма l називається віссю симетрії.
Важко вказати загальні ознаки завдань, що вирішуються методом осьової симетрії. У більш складних завданнях метод осьової симетрії, нерідко спрямляющий ламані лінії в прямі, може бути застосований, якщо в умовах утримується сума або різниця частин деякої ламаної лінії. Можна обмежиться зазначенням, що метод осьової симетрії застосуємо для задач, в умові яких зазначене пряма, яка є віссю симетрії частини елементів фігури. Таку пряму легко встановити за властивостями фігур. Застосування осьової симетрії доцільно для завдань, які легко вирішуються, якщо частина даних розташована по один бік деякої прямої, а решта - по другий.

Рис. 4
Розглянемо задачу: "Побудувати ромб так, щоб одна з його діагоналей дорівнювала даному відтинку r і лежала на даній прямій а, а інші дві вершини ромба лежали відповідно на даних прямих b і з".
Аналіз. Нехай (рис.4) ABDC - шуканий ромб, AD = R. Зауважуємо, що задача про побудову ромба зводиться до побудови однієї будь-якої з його вершин, наприклад вершини З. За властивостями ромба точки В і С симетричні відносно прямої а. Тому при осьової симетрії відносно прямої а точка В перетвориться в точку С, а, отже, пряма b - в деяку пряму b ', що проходить через точку С. Таким чином, точка С може бути побудована як точка перетину прямих с і b ', з яких одна дана, а інша легко будується.
Побудова. Будуємо послідовно: пряму b ', симетричну з прямою b відносно прямої а; точку С, загальну для прямих с і b'; пряму ПС; точку Про НД а; точки А і D на прямій а, віддалені від точки О на відстані ; ABCD - шуканий ромб.
Доказ зважаючи на його простоти опустимо.
Дослідження. Можливі наступні випадки: 1) з | | b ', рішень немає, 2) з b ', рішень нескінченно багато, 3) прямі с і b' перетинаються поза прямою а, одне рішення; 4) прямі с і b 'перетинаються на прямій а, рішень немає [2].

4.2.3 Метод паралельного переносу

Паралельним переносом на вектор називається відображення площині на себе, при якому кожна точка М відображається в таку точку М 1, що вектор дорівнює вектору .
Методом паралельного переносу вирішують завдання, при аналізі яких важко знайти залежність між даними елементами, що дозволяє побудувати шукану фігуру (дані елементи віддалені один від одного), але якщо ми якусь частину або всю фігуру перенесемо паралельно в деякому напрямку на певну відстань, то отримаємо допоміжну фігуру, яку легко можна побудувати. Напрямок і величина переносу визначаються так, щоб в допоміжну фігуру увійшло більше число даних.
Розглянемо задачу: "Побудувати опуклий чотирикутник, знаючи три його кута і дві протилежні сторони".
Докладніше: дано два відрізки а і b і три кути α, β, δ. Потрібно побудувати чотирикутник ABCD так, щоб А = α, В = β, D = Δ, AD = A, СВ = b. Передбачається, що 0 ° <180 °, 0 ° <180 °, 0 ° <180 °.

Рис. 5
Аналіз. Припустимо, що ABCD (рис. 5) - шуканий чотирикутник. Перенесемо бік ЗС на вектор , І нехай відрізок ВС займе після перенесення положення АЕ. Тоді в AED відомі: AD = a, AE = b, DAE = BAD - BAE = = A - (180 ° - B) = α + β - 180 °. За цими даними AED може бути побудований.

Рис. 6
Побудова. 1) На довільній прямій будуємо відрізок AD = А (рис. 6), 2) Через точку А проводимо промінь AM під кутом α + β - 180 ° до променя AD; 3) Відкладаємо на промені AM відрізок АЕ = b; 4) Будуємо промінь EN, утворює з ЕА кут β і розташований з точкою D по різні сторони від прямої AM; 5) Будуємо промінь DK так, щоб ADK дорівнював δ і щоб промінь DK розташовувався по ту ж сторону прямий DE, що і промінь EN; 6) Відзначаємо точку З перетину променів EN і DK - Третю вершину чотирикутника; 7) Четверта вершина У виходить в перетині прямий AF, паралельної РЄ, з прямою CL, паралельної АЕ.
Доказ. BAD = ВАЕ + DAE = (180 ° - β) + (α + β - 180 °) = α. ABC = СЕА, як кути, сторони яких відповідно паралельні і протилежно направлені. СЕА = β з побудови. ADC = Δ з побудови. Відрізок AD = а з побудови. ЗС = АЕ, як відрізки паралельних між паралельними. Але АЕ = b, а значить, і ВС = b [2].

4.2.4 Метод повороту

Поворотом площини навколо точки О на кут називається відображення площині на себе, при якому кожна точка М відображається в таку точку М 1, що ОМ = ОМ 1 і кут МОМ 1 = .
Даний метод застосовується до тих завдань, де або частини фігур зближуються в положення, зручне для побудови, або при заданих явно або опосередковано центрі і куті повороту потрібно відшукати дві відповідні точки, що лежать на даних або шуканих фігурах.
Розглянемо задачу: "Земельна ділянка квадратної форми був обгороджений. Від огорожі збереглися два стовпи на паралельних сторонах квадрата. Крім того, залишився стовп в центрі квадрата. Потрібно відновити кордон ділянки ".
Аналіз. Нехай ABCD - шуканий квадрат, О - його центр, М і N - дані точки відповідно на сторонах АВ і CD (рис. 7). Якщо повернути квадрат на 180 ° біля його центру О, то він перетвориться сам у себе. Точка М займе деякий стан М 'на боці CD, а точка N - деяке положення N' на стороні АВ. Після цього неважко вже побудувати прямі АВ і CD і відновити шуканий квадрат.


Рис. 7
Побудова. 1) Будуємо точку М ', симетричну М щодо 0, і точку N', симетричну N щодо О. 2) Будуємо прямі MN 'і NM'. 3) Повернемо побудовані прямі близько точки О на 90 °. Чотири побудовані прямі обмежують шуканий квадрат.
Доказ опускаємо.
Дослідження. За змістом завдання неможливий випадок, коли точки М і N розташовуються з точкою О на одній прямій, але не симетричні щодо О. Якщо точки М і N симетричні щодо О, то завдання стає невизначеною. В інших випадках завдання має єдине рішення [2].

4.2.5 Метод подібності

Метод подібності полягає в тому, що спочатку будується деяка фігура, подібна шуканої, але задовольняє не всім поставленим в задачі умов. Потім побудовану допоміжну фігуру замінюємо фігурою, подібною до неї і задовольняє вже всім необхідним умовам [18].
Завдання вирішується методом подібності, якщо її умова можна розділити на дві частини, одна з яких визначає форму фігури з точністю до подібності, а друга - розміри фігури. При вирішенні завдань в класі або розборі завдань з домашнього завдання на цей метод слід задавати учням питання: Що (яка частина) в умові завдання визначає фігуру з точністю до подібності? Що визначає розміри шуканої фігури?
Методичні рекомендації за методом подібності [10]. При розробці методу подоби доцільно класифікувати розв'язувані задачі за способом завдання розмірів шуканої фігури:
1) завдання, в яких розміри шуканої фігури визначаються завданням деякого відрізка;
2) завдання, в яких розміри шуканої фігури визначаються завданням суми або різниці деяких її відрізків;
3) завдання, в яких розміри шуканої фігури визначаються положенням її відносно даних фігур.
Така класифікація зручна, головним чином, тому, що для кожної з трьох груп завдань способи вибору центру подоби різні.
У завданнях з першої групи за центр подоби краще всього вибирати один з кінців відрізка допоміжної фігури, відповідного даному відрізку, через який проходить найбільше число прямолінійних відрізків шуканої фігури, так як при гомотетии лише прямі, що проходять через центр подоби, перетворюються самі в себе. При такому виборі легко знаходити одну точку (другий кінець даного відрізка) шуканої фігури, що в більшості випадків значно полегшує виконання подальшої побудови.
І для завдань другої групи за центр подібності можна вибирати один з кінців побудованої суми або різниці відрізків, відповідної даної. Доцільно розчленувати подібне перетворення: окремо знайти один з відрізків, сума або різниця яких дана, а потім виконати побудову шуканої фігури.
При вирішенні завдань третьої групи центр подоби вже визначається, і в більшості випадків однозначно, розташуванням фігури, подібної шуканої, щодо даних фігур.
У Додатку 4 наведено рішення завдання на метод подібності: "Побудувати трапецію ABCD за кутом А і підставі ПС, якщо відомо, що AB: CD: AD = 1:2:3".

4.3 Алгебраїчний метод

Алгебраїчний метод розв'язання задач на побудові - один з найважливіших методів теорії конструктивних завдань. Саме за допомогою цього методу вирішуються питання, пов'язані з розв'язність задач тим чи іншим набором інструментів.
Крім того, це один з найбільш потужних методів, що дозволяє вирішувати багато завдань, вирішення яких звичайними способами важко. Метод чудово демонструє тісний взаємозв'язок алгебри і геометрії.
Але, на жаль, в шкільному курсі геометрії алгебраическому методові практично не приділяється уваги, хоча з методичної точки зору вивчення цього методу не представляє особливих складнощів.
Суть методу полягає в наступному:
а) завдання зводиться до побудови деякого відрізка;
б) використовуючи відомі геометричні співвідношення між шуканими і даними, складають рівняння (систему рівнянь), що зв'язує шукані і дані;
в) вирішуючи рівняння або систему рівнянь, висловлюють формулою довжину шуканого відрізка через довжини даних;
г) за формулою будується шуканий відрізок (якщо це можливо);
д) за допомогою знайденого відрізка будується шукана фігура.
Підготовчу роботу складає вивчення основних формул і способів побудови, де також відпрацьовуються деякі елементи схеми вирішення завдань алгебраїчним методом, і засвоюється сама ідея такого підходу до розв'язання задач на побудову.
У шкільному курсі геометрії зазвичай розглядають побудови циркулем і лінійкою відрізків, заданих наступними деякими найпростішими формулами [2]:
1) х = а + b (Рис. 8).
2) х = а - b (а> b) (рис. 9).


Рис. 8 Рис.9
3) х = n а, де n - натуральне число. Зводиться до побудови 1). На рис. 10 побудований відрізок х, такий, що х = 6 а.

Рис. 10 Рис. 11
4) х = .
Будуємо промінь, що виходить з якого-небудь кінця Про даного відрізка а під довільним кутом до нього. Відкладаємо на цьому промені n раз довільний відрізок b, так що OB = nb (див. рис. 11). З'єднуємо точку В з другим кінцем А відрізка а. Через точку В 1, яка визначається умовою 1 = b, проводимо пряму, паралельну АВ, і відзначаємо точку A 1, в якій вона перетне відрізок а.
5) х = а (n і m - дані натуральні числа).
Розділимо відрізок а на m рівних частин і збільшимо отриманий відрізок в п раз.
6) х = (Побудова відрізка, четвертого пропорційного трьом даними відрізкам).
Запишемо умова у вигляді пропорції з: а = b: х. Нехай (рис. 12) ОА = а, ОС = с, так що члени одного з відносин відкладені на одному промені, що виходить з точки О. На іншому промені, що виходить з тієї ж точки, відкладаємо відомий член іншого ставлення Про B = b. Через точку А проводимо пряму, паралельну ВС, і відзначаємо точку X її перетину з прямою ОВ. Відрізок ДГ шуканий, тобто ДГ = х.

Рис. 12 Рис. 13 Рис. 14
7) x = .
Можна скористатися побудовою 6), вважаючи b = а.
8) х = (Побудова середнього пропорційного двох даних відрізків).
Будуємо відрізки АС = а, ВС = b, так що АВ = а + b. На АВ як на діаметрі будуємо півколо (див. рис. 13). У точці С підійме перпендикуляр до АВ і відзначимо точку D його перетину з колом. Тоді х = CD.
9) х = Відрізок x будується як гіпотенуза прямокутного трикутника з катетами а і b (див. рис. 14).
10) х = (A> b). Відрізок x будується як катет прямокутного трикутника з гіпотенузою а і катетом b.
До розглянутих побудов можна звести побудова відрізків, заданих більш складними формулами.
Бажано поступове вивчення цих формул, коли кожна з них розбирається при розгляді теорії, необхідної для провадження відповідного побудови.
На цьому місці доцільно також введення найпростіших завдань на алгебраїчний метод (наприклад, задача про відновлення відрізків по їх сумі і різниці) з тим, щоб формули розглядалися у взаємозв'язку. Надалі, перед серйозним вивченням методу, формули слід повторити.
У Додатку 4 наведена завдання на алгебраїчний метод: "З вершин даного трикутника як з центрів описати три кола, що стосуються попарно зовнішнім образом".
Висновок. Описані методи рекомендується використовувати для розв'язку геометричних задач на побудову. При цьому необхідно звертати увагу в тому числі і на розвиток ініціативи учнів, прищеплення їм смаку і навичок до вирішення конструктивних завдань.
Було б неправильно думати, що методи вирішення задач на побудову можуть служити основою для класифікації самих завдань. Істотним, а не випадковим слід визнавати ту обставину, що цілий ряд завдань на побудову може однаково успішно вирішуватися різними методами. З іншого боку, існують завдання, які вирішуються просто комбінацією основних побудов без явного застосування будь-якого методу.
З методичної точки зору найбільш прийнятним є застосування при навчанні рішення завдань на побудову наступного принципу. Необхідно здійснювати послідовний підбір завдань відповідно до цілей курсу геометрії і поступове ознайомлення учнів з методами розв'язування задач на побудову.
У свою чергу, необхідно ознайомити учнів з самими методами і навчити визначати, яким із них можна вирішити запропоновану задачу. Для цього, перш за все, учнів необхідно навчити виділяти найбільш характерні ознаки завдань, що вирішуються тим чи іншим методом. Ці ознаки визначаються самим змістом методу.


5. Дослідне викладання

Дослідне викладання застосовується для об'єктивної і достовірної перевірки гіпотези і передбачає одночасне використання цілої низки методів, наприклад, спостереження, що діагностують контрольні роботи, розмова та інші.
Одним із завдань досвідченого викладання була перевірка ефективності розробленого факультативного курсу з рішенням задач на побудову, як передбачених шкільною програмою, так і не зустрічаються в шкільному курсі математики. Курс розрахований на учнів 8 класів.
Цілі факультативного курсу:
1. Сформувати в учнів уявлення про методи ГМТ і подібності, які використовуються при вирішенні задач на побудову, і навчити їх застосовувати.
2. Сформувати чітке уявлення про етапи розв'язування задач на побудову.
3. Сприяти розвитку логічного мислення учнів.
4. Сформувати наполегливість, цілеспрямованість, працьовитість через вирішення завдань.
5. Розвинути математичну мову з властивою їй стислістю, точністю і лаконічністю.
Знання та вміння, якими повинні володіти учні перед вивченням факультативного курсу на тему "Завдання на побудову та методи їх вирішення":
1. Володіти основними поняттями, що відносяться до теми.
2. Вміти користуватися креслярськими інструментами.
3. Вміти виконувати основні геометричні побудови.
4. Мати уявлення про етапи розв'язування задач на побудови.
Етапи курсу:
1. Розробка програми факультативних занять "Завдання на побудову та методи їх вирішення" для учнів 8 класу.
2. Проведення анкетування серед вчителів та учнів.
3. Проведення психологічних методик на визначення рівня розвитку логічного мислення № 1.
4. Проведення діагностуючої контрольної роботи № 1.
5. Проведення розробленої програми факультативних занять.
6. Проведення діагностуючої контрольної роботи № 2.
7. Проведення психологічних методик на визначення рівня розвитку логічного мислення № 2.
8. Аналіз отриманих результатів дослідної роботи.
Етап № 1
Розробка програми факультативних занять "Завдання на побудову та методи їх вирішення" для учнів 8 класу.
Факультативні заняття були розроблені на основі аналізу математичної, методичної та навчальної літератури з використанням методичних рекомендацій (див. § 2, стор 31; § 3, стор 39, стор 45).
Етап № 2
У ході дослідного викладання було проведено анкетування серед 6 вчителів м. Кірова та м. Кірово-Чепецке. Проаналізуємо результати отриманих даних.
1. Які труднощі зустрічаються при вивченні задач на побудову?
Більшість вчителів на це питання відповіли, що найчастіше учні не бачать з чого починати будувати (поетапно), звідси виникає ще одна проблема - на аналіз йде багато часу.
2. Повертаєтеся Ви до задач на побудову при вивченні інших тем?
Вчителі намагаються протягом всього курсу навчання повертатися до задач на побудову. Але найчастіше вчителі не бачать в цьому необхідності через брак часу.
3. Чи достатньо уваги приділяється завданням на побудову в шкільних підручниках?
Більшість вчителів вважають, що в шкільних підручниках мало приділяється уваги завданням на побудову.
4. Чи вважаєте ви за потрібне проводити курси або факультативні заняття, спрямовані на вирішення завдань на побудову? Якщо так, то на скільки годин вони повинні бути розраховані і для яких класів?
Більшість вчителів вважають факультативні заняття і елективні курси з даної теми необхідними або принаймні бажаними. Особливо це стосується 8-9 класів. Оптимальна кількість занять становить 17 годин.
5. На що необхідно звертати увагу (зробити упор) при навчанні рішення завдань на побудову?
Вчителі вважають, що в першу чергу необхідно звертати увагу на перший етап вирішення задач на побудову - аналіз, а також на дослідження і, звичайно, особливо в 7-8 класі потрібно звертати увагу учнів на побудову креслення за допомогою креслярських інструментів.
Дослідне викладання здійснювалось у восьмих класах гімназії № 2 м. Кірово-Чепецке. Спочатку серед учнів було проведено анкетування. Проаналізуємо результати отриманих даних.
1. Які труднощі ви відчуваєте під час вирішення завдань на побудову
У більшості учнів викликає утруднення побудова креслення, знаходження шляху розв'язання задачі.
2. Які етапи рішення задач на побудову ви використовуєте?
Учні не можуть назвати конкретні етапи рішення задач на побудову. Найчастіше вони описують такий алгоритм: 1) побудова малюнка, 2) запис умови (що дано в задачі, що потрібно знайти); 3) рішення задачі; або ж просто описують як будувати креслення (побудувати кут, потім сторони і т.д. ); деякі учні поставили прочерк у цьому пункті.
3. Які методи розв'язання задач на побудову ви знаєте (зазначити):
а) метод геометричних місць точок;
б) метод подібності;
в) метод осьової симетрії;
г) метод центральної симетрії;
д) метод повороту;
е) метод паралельного переносу;
ж) алгебраїчний метод.
В анкеті учнів вказували практично всі представлені методи, що свідчить про те, що вони не мають чіткого уявлення, чіткої системи в даній області.
За результатами даного анкетування можна сказати, що учні погано уявляють як вирішувати задачі на побудову, не знають етапів, не мають чіткого уявлення про методи, рішення подібних завдань представляє для них труднощі.
Етап № 3
Були проведені психологічні методики, які виявляють рівень розвитку логічного мислення учнів (див. Додаток 5). У першу чергу нам необхідно з'ясувати як зміниться рівень логічного мислення учнів, тому ми обмежимося лише показниками кількості правильних відповідей по кожній методиці. Потім ці результати можна порівняти з результатами, отриманими після проведення факультативних занять.
Отримано такі дані (по кожній методиці вказана кількість правильних відповідей):

Табл.1
Освіта простих аналогій (з 16)
Логічність (з 20)
Виключення понять (із 17)
1.Балибердіна
8
11
13
2.Ворсін
15
15
17
3.Вострікова
15
16
14
4.Гавріліна
14
16
14
5.Двоеглазова
8
14
15
6.Егошін
16
15
15
7.Захаров
12
13
14
8.Ладигіна
16
18
16
9.Лисенко
16
15
15
10.Медянцев
12
15
15
11.Муралева
14
18
14
12.Садаков
16
15
15
13.Сімонова
14
17
17
14.Солодянкіна
3
11
16
15.Чупракова
16
17
17
Етап № 4
Проведення діагностуючої контрольної роботи № 1.
На контрольній роботі учням було запропоновано 3 завдання, які було необхідно виконати протягом 1 години. Зміст діагностуючої контрольної роботи № 1 представлено в Додатку 6.
Результати діагностуючої контрольної роботи № 1 відображені в таблиці 2.
Табл.2
№ завдання
1
2
3
Кількість осіб, які вирішили завдання
5
3
7
Частка людей, які вирішили завдання у відсотках
33%
20%
47%
Етап № 5
Проведення розробленої програми факультативних занять.
Заняття проводилися 1 раз на тиждень по дві години. Всього було проведено 6 занять.
Основні завдання проведення факультативних занять:
1) виявити той матеріал, який викликає в учнів найбільші труднощі;
2) визначити ефективність засвоєння матеріалу за допомогою поточної перевірки;
3) виявити зацікавленість учнів у вивченні даної теми (програму факультативного курсу з докладним конспектом одного із занять див. у Додатку 6).
Етап № 6
Проведення діагностуючої контрольної роботи № 2.
Контрольна робота була проведена після проведення факультативних занять розробленої програми. Завдання: виявлення знань та умінь вирішувати задачі на побудову методом ГМТ і подоби.
Учням було запропоновано 3 завдання, які було необхідно виконати протягом 1 години. Зміст діагностуючої контрольної роботи № 2 подається в Додатку 6.
Результати діагностуючої контрольної роботи № 2 відображені в таблиці 3.
Табл.3
№ завдання
1
2
3
Кількість осіб, які вирішили завдання
11
7
13
Частка людей, які вирішили завдання у відсотках
73%
47%
87%
Етап № 7
Були проведені ті ж психологічні методики, що й перед початком експерименту.
Отримано такі дані (по кожній методиці вказана кількість правильних відповідей):

Табл.4
Освіта простих аналогій (з 16)
Логічність (з 20)
Виключення понять (із 17)
1.Балибердіна
11
14
15
2.Ворсін
15
17
17
3.Вострікова
16
18
16
4.Гавріліна
15
17
15
5.Двоеглазова
9
14
16
6.Егошін
16
16
16
7.Захаров
13
15
16
8.Ладигіна
16
18
17
9.Лисенко
16
16
17
10.Медянцев
14
16
15
11.Муралева
16
18
15
12.Садаков
16
17
16
13.Сімонова
15
19
17
14.Солодянкіна
10
15
16
15.Чупракова
16
18
17
Етап № 8
Аналіз отриманих результатів дослідної роботи.
На підставі таблиць № 2 і № 3 можна побудувати діаграму, що відображає порівняння результатів контрольних робіт, проведених перед відвідуванням учнями факультативних занять і після їх відвідування.
\ S

Як видно з діаграми, перед проведенням факультативних занять рівень знань учнів був нижчим, ніж середній, а після проведення занять він значно підвищився. Позитивна тенденція помітна: учні навчилися вирішувати задачі на побудову методом ГМТ і методом подібності, і більшість впоралися із завданнями 1,3; значно покращився вміння вирішувати більш складні завдання. Багато учні оволоділи методом ГМТ і методом подібності при вирішенні задач на побудову.
Крім того, на підставі таблиць 1,4 можна побудувати діаграму, що відображає порівняння результатів психологічних методик, проведених перед відвідуванням учнями факультативних занять і після їх відвідування.
1) Методика "Освіта простих аналогій"
\ S
2) Методика "Логічність"
\ S

3) Методика "Виключення понять"
\ S
Як видно з діаграм, рівень розвитку логічного мислення учнів після проведення факультативних занять збільшився. Таким чином, можна стверджувати, що вирішення завдань на побудову позитивно впливають на розвиток логічного мислення учнів.
Висновок. Дослідне викладання показало, що більш глибоке і об'ємне вивчення задач на побудову та методів їх вирішення дає можливість учням краще орієнтуватися в даній темі, творчо підходити до кожного завдання, застосовувати найбільш раціональний метод рішення, а також підвищити рівень свого логічного мислення.

Висновок

· Виконано аналіз навчальних програм, навчальної та навчально-методичної літератури з геометрії, в ході якого знайдені схожості та відмінності по даній темі. Розглядаючи підручники, можна відзначити, що в них досить високий відсоток завдань на побудову в 7 класі, причому розглядаються стандартні та елементарні завдання на побудову. Однак до 9 класу відсоток геометричних завдань на побудову різко падає. Так як завдання на побудову складають базу для роботи, що розвиває навички побудови фігур, що сприяє формуванню вміння читати і розуміти креслення, встановлювати зв'язки між його частинами, то недостатність цієї системи зумовлює погане розвиток просторового та логічного мислення учня, низький рівень його графічної культури. Ці недоліки не дозволяють учневі ефективно вивчати багато розділів математики.
· Розглянуто поняття логічного мислення, зроблено аналіз психолого-педагогічний літератури з теми дослідження, показано можливості розвитку логічного мислення учнів при вирішенні завдань на побудову.
· Розглянуто основні етапи рішення задач на побудову: аналіз, побудова, доказ, дослідження, які точно відповідають етапам будь-якого логічного міркування, кожен з яких є важливим і потребує належної уваги при вирішенні завдань.
· Розроблено методичні рекомендації з навчання розв'язування задач на побудову.
· Розглянуто основні методи розв'язання задач на побудову. Відзначимо, що необхідно знайомити учнів з самими методами і вчити визначати, яким із них можна вирішити запропоновану задачу.
· Проведено дослідне викладання.
Таким чином, завдання даної роботи були виконані, в ході їх виконання підтвердилася гіпотеза дослідження. Мета роботи була досягнута.
Крім того, відзначимо, що:
1) необхідно приділяти більше уваги вивченню завдань на побудову, так як при грамотному використанні вони є потужним засобом розвитку логічного мислення учнів;
2) геометричні задачі на побудову не потрібно розглядати як щось окреме, незалежне від решти курсу геометрії. Процеси навчання вирішення завдань та вивчення геометрії нерозривно пов'язані. Причому зв'язок цей має бути двосторонньою, тобто необхідно не лише навчати розв'язання задач на побудову, використовуючи раніше отримані знання, але й, навпаки, використовувати конструктивні завдання при вивченні геометрії.

Бібліографічний список

1. Александров, І.І. Збірник геометричних задач на побудову за рішеннями / І. І. Александров. - М.: Учпедгиз, 1954.
2. Аргунов, Б.І. Елементарна геометрія: навч. посібник для пед. ін-тів / Б.І. Аргунов, М.Б. Балк. - М.: Просвещение, 1966.
3. Белошістая, А.В. Задачі на побудову в шкільному курсі геометрії / А. В. Белошістая / / Математика в школі. - 2002. - № 9. - С. 47-50.
4. Геометрія: доп.глави до шк.учеб.8 кл.: Учеб.пособие для учнів шк.і класів з углубл.ізуч.математікі / Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Д. Кадомцев и др. - М.: Просвещение, 1996.
5. Геометрія: навч. для 7-9 кл. загальноосвітніх установ / О. В. Погорєлов. - М.: Просвещение, 2004.
6. Геометрія: навч. для 7-9 кл. середовищ. шк. / А. Д. Александров, О. Л. Вернер, В.І. Рижик. - М.: Просвещение, 1992.
7. Геометрія: навч. для 7-9 кл. середовищ. шк / Л. С. Атанасян. - М.: Просвещение, 1991.
8. Геометрія: Планіметрія: 7-9 кл.: Підручник і задачник / А. П. Кисельов, Н.А. Рибкін. - М.: Дрофа, 1995.
9. Вивчення особистості школяра / під. ред. Л.І. Білозерової. - Кіров, Інформаційний центр, 1991.
10. Коновалова, В.С. Рішення задач на побудову в курсі геометрії як засіб розвитку логічного мислення / В.С. Коновалова, З.В. Шилова / / Пізнання процесів навчання фізики: збірник статей. Вип.9. - К.: Вид-во ВятГГУ, 2008. - С. 59-69.
11. Мазаник, А.А. Завдання на побудову з геометрії у восьмирічній школі. Посібник для вчителів / А. А. Мазаник. - Мінськ: Народна асвета, 1967.
12. Математика: навч. для 5 кл. загальноосвітніх установ / Н.Я. Віленкін, В.І. Жохів, А.С. Чесноков, С.І. Шварцбурд. - М.: Сайтком, 2000.
13. Математика: навч. для 6 кл. загальноосвітніх установ / Н.Я. Віленкін, В.І. Жохів, А.С. Чесноков, С.І. Шварцбурд. - М.: Сайтком, 2000.
14. Математика: навч. для 5 кл. загальноосвітніх установ / Г.В. Дорофєєв, С.Б. Суворова, Е.А. Бунімович и др. - М.: Просвещение, 1994.
15. Математика: навч. для 6 кл. загальноосвітніх установ / Г.В. Дорофєєв, С.Б. Суворова, Е.А. Бунімович и др. - М.: Дрофа, 1998.
16. Місюркеев, І.В. Геометричні побудови. Посібник для вчителів / І. В. Місюркеев. - М: Учпедгиз, 1950.
17. Загальна психологія: навч. для студентів пед. ін-тів / під ред. А. В. Петровського. - М.: Просвещение, 1986.
18. Перепелкин, Д.І. Геометричні побудови в середній школі / Д.І. Перепьолкін. - М.: Видавництво академії педагогічних наук РРФСР, 1947.
19. Платонов, К.К. Короткий словник системи психологічних понять / К.К. Платонов. - М.: Вищ. шк., 1984.
20. Понарін, Я.П. Елементарна геометрія: У 2 т. - Т.1: Планіметрія, перетворення площині / Я. П. Понарін. - М.: МЦНМО, 2004.
21. Понарін, Я.П. Елементарна геометрія: У 2 т. - Т.2: Стереометрія, перетворення простору / Я. П. Понарін - М. МЦНМО, 2006.
22. Прасолов, В.В. Завдання з планіметрії. Ч.1 / В.В. Прасолов. - М.: Наука, 1991.
23. Прасолов, В.В. Завдання з планіметрії. Ч.2 / В.В. Прасолов. - М.: Наука, 1991.
24. Рубінштейн, С.Л. Основи загальної психології / С.Л. Рубінштейн. - СПб.: Пітер, 1989.
25. Саранцев, Г.І. Навчання математичним доказам і спростувань в школі / Г.І. Саранцев. - М.: ВЛАДОС, 2005.
26. Тихомиров, О.К. Психологія мислення / О.К. Тихомиров. - М.: Академія, 2002.
27. Філософський енциклопедичний словник. - М.: Радянська енциклопедія, 1983.
28. Шаригін, І.Ф. Задачі з геометрії (Планіметрія) / І.Ф. Шаригін. - М.: Наука, 1986.

Додаток 1

Аналіз програм
Підручники "Геометрія 7 - 9 "
1) Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов [7]
а) 7 клас. Глава 2 "Трикутники" (14 год): Трикутник. Ознаки рівності трикутників. Перпендикуляр до прямої. Медіани, бісектриси і висоти трикутника. Рівнобедрений трикутник і його властивості. Основні задачі на побудову за допомогою циркуля і лінійки. Основна мета - відпрацювати навички вирішення найпростіших завдань на побудову за допомогою циркуля і лінійки. На початковому етапі вивчення теми корисно більше уваги приділяти використанню засобів наочності, вирішення завдань по готових кресленнях.
Глава 4 "Співвідношення між сторонами і кутами трикутника" (16 год): Сума кутів трикутника. Співвідношення між сторонами і кутами трикутника. Нерівність трикутника. Деякі властивості прямокутних трикутників. Ознаки рівності прямокутних трикутників. Відстань від точки до прямої. Відстань між паралельними прямими. Задачі на побудову. Основна мета - розширити знання учнів про трикутниках. При вирішенні задач на побудову в 7 класі рекомендується обмежуватися тільки виконанням побудови шуканої фігури циркулем і лінійкою. В окремих випадках можна проводити усно аналіз і доказ, а елементи дослідження можуть бути присутніми лише тоді, коли це обумовлено умовою задачі.
б) 8 клас. Глава 7 "Подібні трикутники" (19 год): подібні трикутники. Ознаки подібності трикутників. Застосування подібності до доказів теорем і вирішення завдань. Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника. Основна мета - сформувати поняття подібних трикутників, виробити вміння застосовувати ознаки подібності трикутників, сформувати апарат рішення прямокутних трикутників. Рішення задач на побудову методом подібності можна розглянути з учнями, які цікавляться математикою.
У розділі 8 "Коло" (17 год): Дотична до кола та її властивості. Центральні і вписані кути. Чотири чудові точки трикутника. Вписана та описана окружності. Основна мета - дати учням систематизовані відомості про коло і її властивості, вписаною і описаної кіл. У цій же темі є ряд завдань на побудову вписаних і описаних кіл за допомогою циркуля.
в) 9 клас. Глава 12 "Довжина кола і площа круга" (16 год): Правильні багатогранники. Довжина кола і площа круга. Основна мета - розширити і систематизувати знання учнів про колах і багатокутниках. Побудова правильних багатокутників з допомогою циркуля і лінійки обмежується побудовою квадрата, правильних трикутника, шестикутника і 2 n-кутника.
Глава 13 "Рух" (12 год): Поняття руху. Паралельний перенос і поворот. Основна мета - познайомити з поняттям руху на площині: симетріями, паралельним перенесенням, поворотом. При вивченні теми основну увагу слід приділити виробленню навичок побудови образів точок, відрізків, трикутників при симетрії, паралельному перенесенні, повороті.
2) А.В. Погорєлов [5]
а) 7 клас. § 5 "Геометричні побудови". Основна мета - вирішувати найпростіші задачі на побудову за допомогою циркуля і лінійки. Рішення задач на побудову за допомогою циркуля і лінійки: трикутника за трьома сторонами; кута, рівного даному; бісектриси кута; перпендикулярної прямої; розподіл відрізка навпіл.
б) 8 клас. § 6 "Чотирикутники (20 год): Визначення чотирикутника. Паралелограм, його ознаки і властивості. Прямокутник, ромб, квадрат та їх властивості. Основна мета - дати учням систематизовані відомості про чотирикутники та їх властивості.
§ 9 "Рух" (8 год): Рух і його властивості. Симетрія відносно точки і прямої поворот. Паралельний перенос і його властивості. Поняття про рівність фігур. Основна мета - познайомити учнів з прикладами геометричних перетворень. Симетрія відносно точки і прямої, паралельний перенос учні повинні засвоїти на рівні практичних застосувань.
§ 11 "Подоба фігур" (17 год): Поняття про гомотетии і подібність фігур. Подоба трикутників. Ознаки подібності трикутників. Подоба прямокутних трикутників. Центральні і вписані кути та їх властивості. Основна мета - засвоїти ознаки подібності трикутників і відпрацювати навички їх застосування.
§ 13 "Многокутники" (12 год): Ламана. Опуклі многокутники. Сума кутів опуклого багатокутника. Правильні многокутники. Окружність, вписана в правильний багатокутник. Окружність, описана близько правильного багатокутника. Довжина кола. Довжина дуги кола. Радіанна міра кута. Основна мета - розширити і систематизувати відомості про багатокутниках і колах.
3) А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.І. Рижик [6]
а) 7 клас. Глава 1 "Почала геометрії" (15 год): Геометричні фігури. Перші завдання геометрії. Побудови. Відрізки. Луч і пряма. Дії над відрізками. Довжина відрізка. Відстань. Коло і круг. Кут. Дії над кутами. Величина кута. Основна мета - розповісти про завдання систематичного курсу геометрії і закласти основу для його побудови. Особливу роль у 7 класі грають геометричні побудови. Перші аксіоми з'являються як твердження про можливість виконання найпростіших побудов, а перші докази дають обгрунтування того, що побудовані фігури мають необхідними властивостями. Виклад як цієї теми, так і наступних повинно поєднувати наочність і логічність, а також бути пов'язане з практичними застосуваннями.
Глава 2 "Трикутники" (20 год): Трикутник і його елементи. Рівність трикутників. Два ознаки рівності трикутників. Розподіл відрізка навпіл і побудова перпендикуляра. Серединний перпендикуляр відрізка. Побудова бісектрис, висот і медіан трикутника. Властивості рівнобедреного трикутника. Поняття про осьової симетрії. Ознака рівнобедреного трикутника. Основна мета - розвинути навички розв'язання задач на побудову за допомогою циркуля і лінійки, почати знайомство з симетріями фігур.
б) 8 клас. Глава 5 "Метричні співвідношення в трикутнику" (34 год): Теорема Піфагора. Застосування теореми Піфагора: рівність прямокутних трикутників, порівняння перпендикуляра і похилої, нерівність трикутника, характерне властивість бісектриси кута. Синус. Властивості синуса і його графік. Застосування синуса: рішення прямокутних трикутників, обчислення площі трикутника, теорема синусів, рішення трикутників. Косинус, його властивості і графік. Застосування косинуса: теорем косинусів, рішення трикутників, середня лінія трикутника, порівняння сторін і кутів трикутника. Тангенс і його властивості. Основна мета - вивчити основи тригонометрії, довести три найважливіші теореми і продемонструвати багатство можливих застосувань цих теорем в теорії і в практиці, зокрема при вирішенні трикутників.
в) 9 клас. Глава 7 "Многокутники та кола" (18 год): Хорди і дотичні. Градусна міра дуги кола. Вписані кути. Вписані та описані кола. Правильні многокутники. Центр правильного багатокутника. Довжина окружності площа кола. Основна мета - вимірювання довжини кола і площі круга. Решта результатів цієї теми мають другорядний характер.
Глава 8 "Інші методи геометрії" (34 год): Метод координат: відстань між точками, поняття про рівняння фігури, рівняння кола. Вектори і координати: розкладання вектора по осях координат, координати векторів та їх зв'язок з координатами точок, рівняння прямої. Скалярний множення і його властивості. Перетворення фігур. Рух фігур і його властивості. Перетворення фігур. Рух фігур і його властивості. Види рухів: перенесення, симетрії, поворот. Симетрія фігур. Подоба. Гомотетія. Властивості подоби. Подоба трикутників. Основна мета - познайомити учнів з методами. Відсутніми в класичній елементарної геометрії, але що грають в сучасній геометрії провідну роль: методом координат, векторним методом, методом перетворень.
Основна мета всіх підручників при введенні завдань на побудову - це розвинути і відпрацювати навички вирішення найпростіших завдань на побудову за допомогою циркуля і лінійки.

Додаток 2

Порівняльна таблиця основних видів мислення
Практичне мислення
Теоретичне мислення
- Відбувається в ході практичної діяльності та спрямоване на вирішення практичних завдань;
- Починається з виникнення проблемної ситуації, яку потрібно вирішити;
- Протікає в умовах дефіциту часу, небезпеки або високої відповідальності за прийняте рішення;
- Направлено на перетворення реальної дійсності
- Спрямоване на пізнання і пояснення явищ дійсності;
- Процес мислення передбачає створення гіпотези, нової ідеї чи образу, а також перевірку гіпотези на відповідність реальності

Інтуїтивне мислення
Логічне мислення
- При інтуїтивному мисленні перехід до нового знання відбувається через осяяння;
- Процес мислення неусвідомлюваних і злитий з самою дією;
- Об'єктами мислення є об'єкти - оригінали, з якими взаємодіє людина;
- Інтуїтивне мислення виконує функцію отримання нового знання
- При логічному мисленні відбувається плавний логічний перехід від даного до нового;
- Процес мислення усвідомлений, відділений від свого продукту, а способи дії виділені і перетворені в операції, застосовні до багатьох подібних об'єктів;
- Об'єктами логічного мислення виступають знакові системи;
- Логічне мислення виконує функцію трансляції вже отриманого знання іншому

Додаток 3

Задачі до § 3 "Методика розв'язування задач на побудову"
3.1. Аналіз
Аналіз задачі на побудову: "Побудувати трикутник, знаючи підставу, менший кут при основі і різниця двох інших сторін".

Рис. 1
Щоб знайти рішення, потрібно спочатку вивчити умову задачі, подивитися, які елементи шуканого трикутника дані. Для цього накреслимо довільний трикутник A 1 B 1 C 1 (рис.1) і відзначимо елементи, відповідні даними за умовою. Нехай це буде сторона A 1 C 1 і кут C 1 A 1 B 1. Але на кресленні немає різниці двох інших сторін. А так як для вирішення завдання ми повинні врахувати всі дані, то потрібно показати і різницю. Це можна зробити чотирма способами: на меншій стороні відкласти більшу від точки C 1 або від точки B 1 або на більшій відкласти меншу і знову відкладати як від точки B 1, так і від точки A 1. Якщо різниця буде близько точки В 1, то тоді ці не пов'язані між собою, і не можна намітити план рішення. Якщо ж У 1 А 1 відкладемо від точки В 1 на В 1 С 1, то дані: підстава, кут при основі і різниця двох інших сторін - будуть пов'язані між собою, але і цей зв'язок не дає можливості намітити план рішення, вона недостатньо жорстка , щоб побудувати, відновити фігуру D 2 C 1 A 1 B 1. Краще за все ввести різницю, відкладаючи B 1 D 1 = B 1 C 1, так як в цьому випадку ми вже зможемо відновити фігуру C 1 A 1 D 1. Конкретизувавши таким чином дані завдання, приступаємо до складання плану рішення.
Побудувавши на довільній прямий відрізок, рівний підставі, отримаємо дві вершини трикутника: А 1 і С 1. Знаючи кут З 1 А 1 В 1, ми можемо знайти і положення точки D 1, де D 1 A 1 = B 1 A 1 - В 1 С 1. Залишається розглянути, як побудувати точку В 1, знаючи положення точки D 1. Так як C 1 B 1 = B 1 D 1, то точка B 1 рівновіддалена від точок C 1 і D 1, тому вона повинна лежати на перпендикуляре P 1 Q 1, проведеному до відрізка C 1 D 1 через його середину. Точка перетину прямої P 1 Q 1 і променя A 1 D 1 і буде точкою В 1. Отже, приходимо до наступного побудови. На довільній прямій відкладаємо відрізок, рівний підставі, і будуємо кут, рівний даному, одна з сторін якого містить побудований відрізок, а вершина збігається з кінцем цього відрізка. На другій стороні кута відкладаємо відрізок, рівний різниці двох інших сторін трикутника, і будуємо геометричне місце точок, рівновіддалених від відповідних решт підстави і побудованого відрізка. Точку перетину цього геометричного місця зі стороною кута, що містить різниця, з'єднуємо з кінцем підстави і отримуємо, шуканий трикутник [11].
3.3. Доказ
Завдання. Побудувати трапецію, з чотирьох сторін (рис. 2).
Рішення. Провівши CK | | BA, рішення задачі зводимо до побудови трикутника KCD за трьома сторонами: дві рівні бічних сторонах трапеції (АВ = КС), a KD = AD - BC. Побудуємо трикутник До CD, і, вважаючи бік AD побудованої, доповнимо його до трапеції різними способами:
1) Проведемо BC | | AD і, відклавши менше підставу, з'єднаємо отриману точку В з А.
Доказ зведеться до встановлення рівності: АВ = КС.
2) Якщо провести АВ | | КС і BC | | AD, то тоді вже треба довести, що АВ = КС і ВС = АК.


Рис. 2
3) Якщо провести пряму CB | | DA і на ній знайти точки В і В 1 віддалені від А на відстані, рівному бічній стороні, то в цьому випадку точка В 1 буде сторонньої і лише точка В буде шуканої, причому доказ (ВС = АК ) вже ускладнюється.
4) Якщо відшукувати точку В, як точку перетину кіл (А; АВ) і (С; СВ), то з двох точок В і В 2 (рис. 2) тільки точка В буде шуканої.
Третій і четвертий випадки підкреслюють необхідність доказу. В аналізі ми знаходимо необхідні умови, яким має підкорятися побудова, щоб отримати потрібну фігуру. Треба ще встановити, що знайдені необхідні умови є і достатніми, тобто, що побудована фігура задовольняє всім вимогам задачі [11].

Додаток 4

Задачі до § 4 "Методи рішення задач на побудову"
4.1 Метод геометричних місць точок
Завдання. Побудувати трикутник АВС за двома висот, проведеним з вершин В і С, і по медіані, проведеної з вершини А.

Рис. 3
Рішення.
Припустимо, що трикутник АВС побудований.
Опустимо з середини А 1 боку ВС перпендикуляри А 1 В 'і А 1 С' на прямі АС і АВ відповідно.
Ясно, що АА 1 = m a, А 1 В '= h b / 2 і А 1 С' = h з / 2. З цього випливає наступне побудова.
Будуємо відрізок АА 1 довжиною m a. Потім будуємо прямокутні трикутники АА 1 У 'і АА 1 З' з відомих катетів і гіпотенузі так, щоб вони лежали по різні сторони від прямої АА 1. Залишається побудувати точки В і С на сторонах АС 'і АВ' кута С'АВ 'так, щоб відрізок ВС ділився точкою А 1 навпіл.
Для цього відкладемо на промені АА 1 відрізок AD = 2Аа 1, а потім проведемо через точку D прямі, паралельні сторонам кута С'АВ '.
Точки перетину цих прямих зі сторонами кута С'АВ 'є вершинами шуканого трикутника (рис.3) [22].
4.2 Метод геометричних перетворень
4.2.5 Метод подібності
Завдання. Побудувати трапецію ABCD за кутом А і підставі ПС, якщо відомо, що AB: CD: AD = 1:2:3.

Рис. 4

Рис. 5
Рішення. Задачу треба розуміти так: дано кут hk і відрізок PQ (рис. 4). Потрібно побудувати за допомогою циркуля і лінійки трапецію ABCD, в якої A = hk, BC = PQ, а інші три сторони АВ, CD і AD ставляться як 1:2:3. Побудуємо спочатку яку-небудь трапецію AB 1 C 1 D 1, у якої А = hk і AB 1: C 1 D 1: AD 1 = 1:2:3. Це зробити зовсім не важко. Будуємо кут А, рівний даному куті, і на його сторонах відкладаємо довільний відрізок АВ 1 і відрізок AD 1 = 3 AB 1 (Рис. 5). Після цього через точку В 1, проводимо пряму l, паралельну AD 1 і будуємо коло радіуса 2 АВ 1, з центром в точці D 1,. Ця окружність перетинає пряму l у двох точках С 1 і C 1 '.
Отже, ми побудували дві трапеції AB 1 C 1 D l і АВ 1 З 1 'D 1, у яких A = hk і сторони АВ 1, НД 11 З 1 ') і C 1 D l 1 'D 1) ставляться як 1:2:3.
Візьмемо одну з цих трапецій, наприклад, AB 1 C 1 D l, проведемо пряму АС 1, і побудуємо відрізок ВС з кінцями на сторонах кута У 1 АС 1, який паралельний B 1 C 1 і дорівнює PQ. Це можна зробити так: на промені AD 1 відкладаємо відрізок AE = PQ і через точку Е проводимо пряму, паралельну AB 1. Вона перетинається з прямою АС 1 в точці С (рис. 6). Через точку С проводимо пряму, паралельну B 1 C 1, і отримуємо точку В. Очевидно, відрізок ВС дорівнює PQ. Залишається провести через точку З пряму, паралельну C 1 D l. Вона перетинає промінь AD 1, у точці D. Трапеція ABCD шукана. У самому справі, А = hk, BC = PQ і (Це випливає з подібності трикутників ABC і AB 1 C 1, ACD і A З 1 D 1). Звідси отримуємо, що AB: З D: AD = AB 1: C 1 D 1: AD 1 = 1:2:3.

Рис. 6
Побудована трапеція ABCD задовольняє всім умовам завдання. Якщо замість трапеції AB 1 C 1 D l взяти трапецію АВ 1 З 1 'D 1 і виконати такі ж побудови, то отримаємо друге рішення задачі (рис. 7). Отже, ця задача має два рішення [4].


Рис. 7
4.3. Алгебраїчний метод
Приклад. З вершин даного трикутника як з центрів описати три кола, що стосуються попарно зовнішнім образом.
Нехай ABC (рис. 8) - даний трикутник, а, b, с - його боку, х, в і z - радіуси шуканих кіл.

Рис. 8
Висловимо довжини відрізків х, у, z через довжини відомих відрізків а, b, с. Тоді х + у = с, y + z = a, z + x = b. Тому 2х +2 у +2 z = a + b + c, x + y + z = (A + b + c), звідки .
Будуємо тепер один із знайдених відрізків, наприклад х, за формулою і проводимо коло (A, х). Дві інші окружності проводимо з центрів В і С радіусами відповідно з - х і b - х.
Для доказу досить помітити тепер, що дві останні окружності стосуються між собою, так як сума їх радіусів (з - х) + (b - х) = с + b - 2х = (с + b) - (С + b - А) = а = ВС, тобто дорівнює відстані між їх центрами.
Завдання завжди однозначно розв'язна, оскільки:
1) у трикутнику ABC b + c> a, і тому відрізок x може бути побудований;
2) з> х, тому що з - x = (Так як а + с> b);
3) b> х, тому що b - x = > 0 [2].


Додаток 5

Психологічні методики
МЕТОДИКА "ОСВІТА Прості аналогії" [9]
Під № 1 ліворуч написано два слова: зверху кінь, внизу лоша. Яка між ними зв'язок? Лоша - дитинча коні. А справа під № 1 теж одне слово корова, а знизу 5 слів на вибір. З них треба вибрати тільки одне, яке буде так само ставитися до слова корова, як лоша до коня, тобто щоб воно позначало дитинчати корови. Це буде теля. Підкреслюємо слово теля. Отже, потрібно спочатку встановити, як пов'язані між собою слова, написані ліворуч, і потім встановити такий же зв'язок справа. Так само вирішуються всі задачі.
1. Кінь
Корова
Лоша
2. Школа
Пасовище, роги, молоко, теля, бик
Лікарня
Навчання
3. Яйце
Доктор, учень, установа, лікування, хворий
Картопля
Шкаралупа
4. Ложка
Курка, город, капуста, суп, лушпиння
Вилка
Каша
5. Ковзани
Масло, ніж, тарілка, м'ясо, посуд
Човен
Зима
6. Вухо
Лід, каток, весна, літо, річка
Зуби
Чути
7. Собака
Бачити, лікувати, рот, щітка, жувати
Щука
Шерсть
8. Пробка
Вівця, спритність, риба, вудки, луска
Камінь
Плавати
9. Чай
Плавець, тонути, граніт, возити, муляр
Суп
Цукор
10. Дерево
Вода, тарілка, крупа, сіль, ложка
Рука
Сук
11 Дощ
Сокира, рукавичка, нога, палець, робота
Мороз
Парасолька
12. Пісня
Бита, холод, сани, зима, шуба
Картина
Глухий
13. Ніж
Кульгавий, сліпий, художник, малюнок, хворий
Стіл
Сталь
14. Риба
Вилка, дерево, стілець, їжа, скатертина
Муха
Мережа
15. Ранок
Решето, комар кімната, дзижчати, павутина
Зима
Ніч
16. Птах
Мороз, день, січень, осінь, сани
Людина
Гніздо
Люди, пташеня, робочий, звір, будинок
КЛЮЧ ДО МЕТОДИКОЮ "ОСВІТА ПРОСТИХ АНАЛОГІЇ"
1. Теля 2. Лікування 3. Лушпиння 4. М'ясо 5. Літо 6. Жувати 7. Луска 8. Тонути 9 Сіль 10. Палець 11. Шуба 12. Сліпий 13. Дерево 14. Павутина 15. Осінь 16. Дім.
МЕТОДИКА "логічно" [9]
Ви отримали бланк з 20-ю завданнями. Кожне із завдань є умовивід, що складається з 2-х взаємопов'язаних суджень і який із них виводу. Потрібно визначити, які висновки правильні, а які помилкові.
БЛАНК ЗАВДАНЬ До МЕТОДИКОЮ "логічно"
1. Всі метали проводять електрику. Ртуть - метал. Отже, ртуть проводить електрику.
2. Всі араби смагляві. Ахмед смаглявий. Отже, Ахмед - араб.
3. Деякі капіталістичні країни - члени НАТО. Японія - капіталістична країна. Отже, Японія - член НАТО.
4. Всі Герої Росії нагороджуються Золотою зіркою Героя. Іванов нагороджений Золотою зіркою Героя. Отже, Іванов - Герой Росії.
5. Всі твори Пушкіна не можна прочитати за одну ніч. "Мідний вершник" - твір Пушкіна. Отже, "Мідний вершник" не можна прочитати за одну ніч.
6. Особи, які займаються шахрайством, притягуються до кримінальної відповідальності. Л. шахрайством не займався. Отже, Л. не притягнутий до кримінальної відповідальності.
7. Всі студенти вищої школи вивчають логіку. Смирнова вивчає логіку. Отже, Смирнова - слухач вищої школи.
8. Деякі студенти МДУ - колишні військовослужбовці. Петров - студент МДУ. Отже, Петров - колишній військовослужбовець.
9. Всі хлібопекарні р. Кірова виконали денний план виробництва. Хлібопекарня ПП Сидорова не є хлібопекарнею р. Кірова. Отже, хлібопекарня ПП Сидорова не виконала денний план виробництва.
10.Некоторие працівники 2-го управління - юристи. Фомін - юрист. Отже, він працівник 2-го управління.
11.Все громадяни Росії мають право на працю. Іванов - громадянин Росії. Отже, Іванов має право на працю.
12.Все метали куються. Золото - метал. Отже, золото кується.
13.Все корінні жителі Конго - негри. Мухаммед - негр. Отже, Мухаммед - житель Конго.
14.Все студенти Ленінградського університету вивчають історію Росії. Н. Вивчає історію Росії. Отже, Н. - студент Ленінградського університету.
15.Когда йде дощ, дахи будинків мокрі. Дахи будинків мокрі. Отже, йде дощ.
16.Некоторие капіталісти прагнуть до розв'язування війни. Рассел - капіталіст. Отже, Рассел прагне до розв'язування війни.
17.Все студенти 3-го курсу написали курсові роботи за фахом. В. написав курсову роботу за фахом. Отже, В. - студент 3-го курсу.
18.Комітет солдатських матерів виступає проти війни. Джонс виступає проти війни. Отже, Джонс входить в комітет солдатських матерів.
19.Некоторие капіталістичні країни входять до складу Спільного ринку. Австрія - капіталістична країна. Отже, Австрія входить до складу Спільного ринку.
20.Все учні 3 "б" класу відмінники. Петя Смирнов - відмінник. Отже, Петя Смирнов - учень 3 "б" класу.
КЛЮЧ ДО МЕТОДИКОЮ "логічно"
Відповіді "вірно": 1,11,12.
Відповіді "невірно": всі інші.
МЕТОДИКА "ВИКЛЮЧЕННЯ ПОНЯТЬ" [9]
Ви отримали бланк, на якому написані серії слів. Кожна серія складається з п'яти слів. Чотири з них є в деякій мірі однорідними поняттями і можуть бути об'єднані за загальним для них ознакою, а одне слово не відповідає цим вимогам і має бути виключено. Ви повинні переглянути кожну серію, знайти слово, яке підлягає виключенню і виписати його на листочку під відповідним номером. Наприклад, дані п'ять слів: "цегла, глина, вапно, камінь, будинок". Перші чотири слова можна об'єднати одному поняттям "будівельні матеріали", а останнє слово зайве. Потрібно записати "1.дом". І так по порядку потрібно вирішити всі 17 серій.
БЛАНК ЗАВДАНЬ До МЕТОДИКОЮ "ВИКЛЮЧЕННЯ ПОНЯТЬ"
1. старий, старий, зношений, маленький, ветхий
2. сміливий, хоробрий, відважний, злий, рішучий
3. Василь, Федір, Семен, Іванов, Порфирій
3. молоко, вершки, сир, сало, сметана
4. скоро, швидко, поспішно, поступово, квапливо
5. глибокий, високий, світлий, низький, дрібний
6. лист, нирка, кора, дерево, сук
7. будинок, сарай, хата, колиба, будівля
8. береза, сосна, дерево, дуб, ялина
9. ненавидіти, зневажати, обурюватися, обурюватися, карати
10. темний, світлий, блакитний, яскравий, тьмяний
11. гніздо, нора, курник, барліг, сторожка
12. невдача, крах, провал, поразка, хвилювання
13. молоток, кліщі, сокира, цвях, долото
14. хвилина, секунда, година, вечір, добу
15. грабіж, крадіжка, землетрус, підпал, напад
16. успіх, перемога, удача, спокій, виграш.
КЛЮЧ ДО МЕТОДИКОЮ "ВИКЛЮЧЕННЯ ПОНЯТЬ"
1. маленький
2. злий
3. Іванов
4. сало
5. поступово
6. світлий
7. дерево
8. сарай
9. дерево
10. карати
11. блакитний
12. сторожка
13. хвилювання
14. цвях
15. вечір
16. землетрус
17. спокій


Додаток 6

Діагностує контрольна робота № 1
1. Знайти точку, рівновіддаленість від трьох даних точок.
2. Побудувати трикутник у цій підставі, бічній стороні і висоті, опущеною на основу.
3. Побудувати трикутник за двома кутах і медіані.
Діагностує контрольна робота № 2
1. Дано 3 точки: А, В, С. Побудуйте точку Х, яка рівновіддалена від точок А і В і знаходиться на даному відстані від точки С.
2. Побудувати паралелограм, знаючи одну зі сторін, опущену на цей бік висоту і одну з діагоналей.
3. Побудувати трикутник, знаючи відношення трьох його сторін і бісектрису кута
Програма факультативного курсу занять для 8 класу за темою "Завдання на побудову та методи їх вирішення"
Програма розрахована на 6 годин. Заняття проводяться по 1 годині.
Заняття № 1
Тема: ГМТ. Метод ГМТ.
Тип: урок вивчення нового матеріалу
Цілі:
1) освітні: повторити раніше вивчений геометричний матеріал на тему рішення задач на побудову, сформувати в учнів поняття геометричного місця точок, сформувати уявлення про метод ГМТ, навчити застосовувати метод ГМТ при вирішенні задач на побудову, сформувати чітке уявлення про етапи розв'язування задач на побудову;
2) виховні: виховати вміння проводити аналіз, дослідження задачі, вміння бачити рішення, формувати грамотність мови;
3) розвиваючі: розвинути вміння застосовувати метод ГМТ для інших завдань.
Етапи:
1. Організаційний момент
2. Актуалізація знань
3. Вивчення нового матеріалу
4. Рішення задач
5. Підведення підсумків.
Хід факультативного заняття:
1. Організаційний момент
Як ви вже зрозуміли з анкети, завдання на побудову можна вирішувати різними методами: методом геометричних місць точок, подібності, осьової симетрії, центральної симетрії, повороту, паралельного переносу, алгебраїчним методом. Сьогодні на уроці ми введемо поняття ГМТ і розглянемо в чому полягає метод ГМТ. Запишіть тему уроку: "ГМТ. Метод ГМТ ".
2. Актуалізація знань
Ви вивчали геометричні побудови протягом 7 і 8 класів. Згадайте, які побудови ви виконували? Таким чином, ви знаєте як виконати побудову:
1) відрізка, рівного даному;
2) кута, рівного даному;
3) бісектриси кута;
4) перпендикулярних прямих;
5) середини відрізка;
6) трикутника за трьома сторонами;
7) розподіл відрізка на n рівних частин.
3. Вивчення нового матеріалу
Також ви будували серединний перпендикуляр до даного відрізку. Як ви це робили? (Креслення на дошці)
Напевно ви говорили про те, що на середину перпендикуляре до даного відрізку знаходяться всі точки, які рівновіддалені від кінців відрізка.
Кажуть, що серединний перпендикуляр - це геометричне місце точок, рівновіддалених від двох даних точок.
Геометричним місцем точок площини, що володіють даними властивістю, називається безліч всіх точок площини, кожна з яких володіє цією властивістю (запис визначення в зошити).
Розглянемо ще деякі основні геометричні побудови (роздатковий матеріал):
I. Геометричне місце точок, однаково віддалених від даної точки (Коло).
II. Геометричне місце точок, однаково віддалених від даної прямої (Пара паралельних прямих).
III. Геометричне місце точок, рівновіддалених від двох даних точок (Серединний перпендикуляр до відрізка)
IV. Геометричне місце точок, рівновіддалених від двох даних а) перетинаються, б) паралельних прямих (Пара перпендикулярних прямих у першому випадку, пряма лінія - у другому).
Існують також більш складні ГМТ, які використовуються при вирішенні завдань (роздатковий матеріал):
1) Геометричне місце вершин З трикутників, що мають загальну підставу АВ, у яких бічна сторона АС дорівнює даному відрізку.
2) Геометричне місце вершин З трикутників із загальним підставою АВ, у яких медіана, проведена до основи, дорівнює даному відрізку.
3) Геометричне місце центрів кіл даного радіуса, що проходять через дану точку.
4) Геометричне місце центрів кіл даного радіуса, що стосуються даної окружності (зовнішнім чином, внутрішнім чином).
5) Геометричне місце вершин трикутників із загальним підставою, у яких висота, опущена на цю підставу, дорівнює даному відрізку.
6) Геометричне місце центрів кіл даного радіуса, що стосуються даної прямої.
7) Геометричне місце центрів кіл даного радіуса, відтинають на даній прямій хорду даної довжини.
8) Геометричне місце середин відрізків, що з'єднують цю точку з усіма точками даної прямої.
9) Геометричне місце вершин рівнобедрених трикутників із загальним підставою.
10) Геометричне місце центрів кіл, які проходять через дві дані точки.
11) Геометричне місце центрів кіл, описаних близько усіх трикутників із загальним підставою.
12) Геометричне місце центрів кіл, що стосуються зовнішнім образом (внутрішнім чином) двох рівних кіл.
13) Геометричне місце центрів кіл, що стосуються двох даних (перетинаються, паралельні) прямих.
14) Геометричне місце вершин прямокутних трикутників із загальною гіпотенузою.
Тепер згадайте, як ви будували трикутник за трьома сторонами (креслення на дошці).
Які ГМТ тут використовуються? Їхнє перетинання дає нам третій вершину шуканого трикутника. Виявляється, що при вирішенні даного завдання ви використовували метод ГМТ.
Суть методу ГМТ полягає в наступному: зводять задачу до знаходження деякої точки, яка визначається двома умовами, що випливають з вимоги завдання.
Припустимо, геометричним місцем точок, що задовольняють першому умові, є фігура F 1, а геометричним місцем точок, що задовольняють другій умові, є фігура F 2. Тоді кожна точка перетину цих двох геометричних місць задовольняє вимогам задачі. Наприклад, побудова трикутника за трьома сторонами.
Таким чином, завдання не буде мати рішень, якщо ці ГМТ не перетинаються. І буде мати стільки рішень, скільки наявних точок перетину вказаних місць (показати на тому ж прикладі).
4. Рішення задач
1) Побудувати трикутник за основою, бічній стороні і медіані, проведеної до основи (перетин ГМТ № 1 і № 2).
2) Побудуйте рівнобедрений трикутник по підставі і радіусу описаного кола (перетин ГМТ № 9 і описаного кола, центр якої - ГМТ № 11).
3) Побудувати коло даного радіуса, що проходить через дві дані точки (перетин ГМТ № 3 та № 3).
5. Підведення підсумків
Отже, що ви дізналися на сьогоднішньому занятті? Сформулюйте поняття ГМТ. У чому полягає метод ГМТ? Які існують етапи рішення задач на побудову? Розкрийте суть кожного з етапів.
Домашнє завдання: 1) Побудувати рівнобедрений трикутник по підставі і бічній стороні. 2) Побудуйте ромб так, щоб дві протилежні його вершини були в двох даних точках А і В і третя на даній окружності Про. 3) Побудуйте коло, яка стосується сторін даного кута, причому однією з них - в даній точці.
Рекомендована література: [11], [16], [18], [22].
Заняття № 2
Тема: Застосування методу ГМТ до розв'язання задач на побудову.
Цілі: Навчити застосовувати метод ГМТ до розв'язання задач на побудову.
Короткий зміст: Повторення вивченого матеріалу, розв'язування задач на побудову, в яких використовується більш складні геометричні місця точок.
Рекомендована література: [11], [16], [18], [22].
Заняття № 3
Тема: Подоба. Метод подібності.
Цілі: Повторити тему подібності фігур, сформувати поняття про метод подібності при вирішенні задач на побудову.
Короткий зміст: розгляд випадків, коли завдання на побудову вирішується методом подібності, суть методу подоби, рішення задач, в яких розміри фігури визначаються завданням деякого відрізка, різні випадки вибору центру подоби.
Рекомендована література: [4], [11], [16].
Заняття № 4
Тема: Застосування методу подібності до розв'язання задач на побудову.
Цілі: Навчити застосовувати метод подібності до розв'язання задач на побудову.
Короткий зміст: Повторення вивченого матеріалу, розв'язування задач на побудову, в яких розміри фігури визначаються завданням деякого відрізка, суми або різниці відрізків.
Рекомендована література: [4], [11], [16].
Заняття № 5
Тема: Рішення задач на побудову методами ГМТ і подоби.
Цілі: Навчити бачити який з методів слід застосовувати до тієї чи іншої задачі.
Короткий зміст: Рішення завдань на застосування різних методів: ГМТ і подоби.
Рекомендована література: [4], [11], [16], [18], [20], [21], [22].
Заняття № 6
Тема: Рішення задач на побудову методами ГМТ і подоби.
Цілі: Навчити застосовувати методи ГМТ і подібності до вирішення складніших завдань на побудову, навчити бачити який з методів слід застосовувати до тієї чи іншої задачі.
Короткий зміст: Рішення більш складних завдань на побудову на застосування різних методів: ГМТ і подоби.
Рекомендована література: [4], [11], [16], [18], [20], [21], [22].
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Педагогіка | Диплом
414.6кб. | скачати


Схожі роботи:
Вивчення методу координат у курсі геометрії основної школи
Математичні ігри як засіб розвитку логічного мислення
Арифметичні задачі як засіб розвитку у дітей логічного мислення
Розвиток логічного мислення учнів при вирішенні завдань на побудову
Розвиток логічного мислення учнів у процесі вивчення геометрії
Дидактичні ігри під час вивчення курсу геометрії основної школи
Навчання рішенню завдань на відсотки в курсі алгебри основної школи
Вивчення теми Трикутники в курсі геометрії 7-9 класів середньої школи
Методика вивчення геометричних величин в курсі геометрії середньої школи
© Усі права захищені
написати до нас