Міністерство освіти і науки Російської Федерації
Федеральне агентство з освіти
Державна освітня установа вищої професійної освіти
Якутський державний університет імені М.К. Аммосова
Інститут математики та інформатики
Кафедра прикладної математики
Дипломна робота
"Різницеві схеми для рівняння переносу на нерівномірних сітках"
"Спеціальність 010501.65-
Прикладна математика та інформатика "
Спеціалізація "Математичне моделювання"
Едісеева Зоя Микитівна
Науковий керівник: Охлопков Н.М
к.ф-м.н. професор
Рецензент: Миколаїв Володимир Єгорович
к.ф.-м.н., доцент
Якутськ 2009
Зміст
Введення
Глава I. Основні поняття різницевих схем
1.1 Сіткова область
1.2 Сіткова функція. Простір сіткових функцій. Норми сіткових функцій
1.3 Апроксимація диференційних операторів
1.4 Різницева схема
1.5 Коректність різницевої схеми
1.6 Апроксимація і збіжність
1.7 Нерівномірна сітка
1.7.1 Побудова сіткової області
1.7.2 Формування сітки
Глава II. Одномірне рівняння переносу з змінними коефіцієнтами
2.1 Постановка завдання
2.2 "Явні" схеми
2.3 Неявні схеми
2.3.1 Центрально-різницева схема
2.3.2 трехточечная схема з вагою
Глава III. Одномірне рівняння переносу з постійними коефіцієнтами
3.1 Постановка завдання
3.2 Схема біжить рахунки
3.3 Неявні схеми
3.3.1 Центрально-різницева схема
3.3.2 трехточечная схема вагою
3.3.3 Схема "прямокутник"
3.3.4 Схема зі згладжуванням
3.3.5 Схема прямокутник зі згладжуванням
3.3.6 "Шахова" схема
Висновок
Використана література
Додаток 1
Додаток 2
Додаток 3
Додаток 4
Додаток 5
Додаток 6
Введення
Обчислювальну математику у вузькому сенсі розуміють як теорію чисельних методів і алгоритмів вирішення широкого кола математичних задач.
У цьому сенсі теорія різницевих схем - це розділ обчислювальної математики, що вивчає методи наближеного рішення диференціальних рівнянь шляхом їх заміни кінцево-різницевими рівняннями (різницевими схемами).
Різницева схема повинна відповідати таким основним вимогам:
1.Визначення порядок апроксимації, стійкість економічність, консервативність, однорідність.
2.Важно характеристикою різницевої схеми, встановлює її зв'язок з вихідним диференціальним рівнянням, є похибка апроксимації, визначена як величина нев'язки, що виникає при підстановці в різницеву схему рішення вихідної задачі.
Від того, в якому сенсі дана схема апроксимує завдання, залежить вибір методу дослідження точності схем і тип апріорних оцінок, що виражають стійкість по правій частині.
Стійкість є внутрішньою властивістю різницевої схеми, яка вивчається незалежно від апроксимації і збіжності.
Об'єктом дослідження обрані різницеві схеми, апроксимуючі вихідну завдання.
Мета дипломної роботи - вибір найбільш стійкою різницевої схеми.
Для досягнення мети поставлені такі завдання:
- Розглянути різницеві методи рішення для рівнянь переносу зі змінними і постійними коефіцієнтами на нерівномірних сітках;
- Виконати чисельний експеримент розглянутих схем.
Глава I. Основні поняття теорії різницевих схем
Для чисельного розв'язання задач з диференціальних рівнянь методом сіток (кінцевих різниць) необхідно виконати наступне. Область безперервної зміни аргументу (аргументів) шуканої функції замінюється кінцевим дискретною безліччю точок, які називаються вузлами сітки. Всі похідні, що входять в диференціальну задачу, замінюються різницевими похідними. Це здійснюється тим чи іншим методом конструювання різницевих схем. У кінцевому підсумку отримуємо систему алгебраїчних рівнянь. Таким чином, сутність методу сіток, в даний час самого універсального розв'язувача диференціальних рівнянь, полягає в заміні вихідних диференціальних завдань системами алгебраїчних рівнянь, їх наближено замінюють.
Якщо при подрібненні кроків сітки рішення різницевої схеми збігається до вирішення вихідної диференціальної задачі, то за рішення вихідної задачі приймається рішення різницевої схеми. Після конструювання різницевої схеми необхідно провести теоретичні дослідження розв'язності задач. Внутрішніми властивостями різницевої схеми є апроксимація і стійкість. Ці властивості різницевої схеми повинні досліджуватися для кожної схеми.
Отримувані різницеві схеми вирішуються тими чи іншими методами розв'язування систем алгебраїчних рівнянь. Дозволяючий алгоритм повинен бути економічним і цим же вимогам повинна володіти і різницева схема.
1.1 Сіткова область
Для побудови різницевої схеми необхідно побудувати сітку G h-кінцеве безліч точок, що належать G, щільність розподілу яких характеризується параметрами h-кроком сітки. Хай область зміни аргументу x є відрізок G = {0 ≤ x ≤ 1}. Розіб'ємо цей відрізок точками x i = i ∙ h, i = 0, n на n рівних частин довжини h = 1 / n кожна. Безліч точок x i = i ∙ h, називається рівномірною сіткою на відрізку 0 ≤ x ≤ 1 і позначимо = {X i = i ∙ h, i = 0, n}, а число h-відстань між точками (вузлами) сітки називається кроком сітки. Розбиття відрізка 0 ≤ x ≤ 1 точками x i, i = 0, n можна виробляти довільним чином - 0 <x 1 <... <x n -1 <1. Тоді отримуємо сітку
= {X i, i = 0, n, x 0 = 0, x n = 1} c кроками h i = x i - x i -1, яке залежить від номера вузла сітки. Якщо h i ≠ h i +1 хоча б в одній точці, то сітка називається нерівномірною і таку сітку позначають ŵ
. Точки x 0 і x n назвемо граничними вузлами і позначимо їх р h. Інші вузли назвемо внутрішніми і позначимо їх w h. Вузли сусідні з межують назвемо прикордонними. Тоді маємо
= W h
г h.
1.2 Сіткова функція. Простір сіткових функцій. Норми сіткових функцій
Функція y = y (x i) дискретного аргументу x i називається сіткової функцією, визначеною на сітці . Сіткові функції можна розглядати як функції цілого аргумента, що є номером вузла сітки, тобто y = y (x i) = y (i). Далі ми будемо писати y (x i) = y i.
Сіткова область w h залежить від параметра h. При різних значеннях параметра h маємо різні сіткові області. Тому і сіткові функції y h (x) залежать від параметра h.
Функції u (x) неперервного аргументу є елементами функціонального простору H. Безліч сіткових функцій y h (x) утворює простір H h. Таким чином, у методі сіток простір H, замінюється простором H h сіткових функцій y h (x).
Так як розглядається безліч сіток {w h}, то ми отримуємо безліч {H h} просторів сіткових функцій, визначених на {w h}.
Нехай u (x) - розв'язок вихідної безперервної завдання
Lu (x) = f (x), (1)
; Y h - рішення різницевої задачі,
. Для теорії наближених обчислень представляє великий інтерес оцінка близькості u (x) і y h (x), але u (x) і y h (x) є елементами з різних просторів. Простір H відображається на простір H h. Кожній функції
ставиться у відповідність сіткова функція y h (x), x
w h, так що y h = P h u
H h, де P h - лінійний оператор з H в H h. Це відповідність можна здійснити різними способами, тобто залежить від вибору оператора P h. Тепер, маючи сіткову функцію u h, утворюємо різниця y h - u h, яка є вектором простору H h. Близькість y h і u h характеризується числом
y h - u h
Hh, де
Hh - норма на H h.
Відповідність функцій u (x) і u h можна встановити різними способами, наприклад,
u h = u (x), x w h.
Надалі ми будемо користуватися цим способом відповідності.
У лінійному просторі H h введемо норму Hh, яка є аналогом норми
Н у вихідному просторі Н. Зазвичай прийнято вибирати норму в просторі H h так, щоб при прагненні до нуля h вона переходила в ту чи іншу норму функцій, заданих на всьому відрізку, тобто щоб виконувалася умова
Hh =
H, (2)
де Н - норма в просторі функцій, визначених на відрізку, якому належить рішення.
Умова (2) називають умовою узгодження в просторах H h і Н.
Розглянемо найпростіші типи норм у H h для випадку сіток
w h = {x i = i ∙ h} на відрізку 0 ≤ x ≤ 1.
1. Норма Hh =
задовольняє умові (2), якщо в якості Н розглядати простір неперервних функцій з нормою
H =
, H = [a, b],
а сіткову функцію визначати у вигляді (2), тобто
y h (x) = u h (x), x w h
2. Норма Hh =
задовольняють умові (2), якщо за Н прийняти простір неперервних функцій з нормою
H =
u 2 (x) dx, H = C [a, b],
а сіткову функцію визначати у вигляді
y h = u h (x), x w h.
1.3 Апроксимація диференційних операторів
Нехай маємо диференціальний оператор
Цей оператор можна апроксимувати декількома способами. Наприклад,
- Права різницева похідна, (3)
- Ліва різницева похідна; (4)
- Центральна різницева похідна; (5)
Можна взяти їх лінійну комбінацію
, (6) де у-речовинний параметр.
При у = 1 з (6) отримуємо апроксимацію (3); при у = 0 - апроксимацію (4), а при у = 0.5-апроксимацію (7).
Щоб показати похибка апроксимації, розкладемо по формулі Тейлора
припускаючи, що функція v (x) досить гладка в деякій околиці (x - h 0, x + h 0) точки х, h <h 0, h 0 - фіксоване число.
Підставляючи це розкладання в (3), (4), (5), отримаємо:
Звідси видно, що
Нехай L - диференційний оператор, L h - різницевий оператор, заданий на сітці w h. Кажуть, що різницевий оператор L h:
апроксимуємо диференціальний оператор L у вузлі x i
w h, якщо
, Де v (x) - досить гладка функція, прагне до нуля при h → 0;
апроксимуємо L з порядком n> 0 у вузлі x i
, Тобто
, M = const> 0.
В якості наступного прикладу розглянемо оператор .
Для апроксимації цього оператора використовуємо триточковий шаблон (x - h, x, x + h).
Помічаючи , Маємо
Звідси
Користуючись розкладанням (7), покажемо, що порядок апроксимації дорівнює двом, тобто
так як
1.4 Різницева схема
Як правило, диференціальне рівняння вирішується з деякими додатковими умовами - початковими (задача Коші), крайовими (крайова задача) або і з початковими, і з крайовими умовами (змішані задачі). Ці додаткові умови при переході до різницевих рівнянь треба так само апроксимувати.
Нехай маємо деяку диференціальну задачу, записану у вигляді
Lu = f (x), x G (8)
з додатковою умовою
lu = ц (x), x Г. (9)
Введемо в області Г сітку
і поставимо у відповідність завданню (8), (9) різницеву завдання
L h y h = f h, x w h, (10)
L h y h = ц h, x г h. (11)
Функція y h (x), f h (x), ц h (x) залежать від кроку сітки. Змінюючи h, отримуємо безлічі функцій {y h}, {f h}, {ц h}, що залежать від параметра h. Таким чином, ми розглядаємо не одну різницеву завдання, а сімейство завдань, залежне від параметра h. Це сімейство завдань називається різницевої схемою.
Розглянемо приклади різницевих схем, апроксимуючих диференціальні завдання.
Приклад 1. Маємо завдання Коші
, 0 <x ≤ 1, л = const
.
Використовуємо апроксимації:
;
.
Після цього маємо різницеву схему:
Розрахунковий алгоритм маємо вигляд
Приклад 2. Розглянемо задачу Коші.
Скористаємося наступними апроксимаціями:
Після цього маємо різницеву схему
1.5 Коректність різницевої схеми
Нехай маємо диференціальну задачу
, (12)
(13) і на сітці
апроксимуємо її різницевої схемою
(14)
(15)
Завдання (12), (13) поставлено коректно, якщо виконані умови:
завдання однозначно вирішити за будь-яких правих частинах
вирішення завдання безперервно залежить від правих частин
тобто
H ≤ M 1 ∙
H + M 2 ∙
H.
Аналогічно визначається поняття коректності різницевої схеми (14), (15). Кажуть, що різницева схема (14), (15) коректна, якщо при всіх досить малих │ h │ <h 0:
1) вирішення y h різницевої схеми існує і єдино для всіх вхідних даних f h H h, ц h
H h;
2) існують постійні M 1> 0, M 2> 0 не залежать від h і такі, що при будь-яких f h H h, ц h
H h справедлива оцінка
Hh ≤ M 1 ∙
Hh + M 2 ∙
Hh. (16)
Властивість 2), що означає безперервну залежність, рівномірну щодо h, рішення різницевої схеми від правих частин, називається стійкістю різницевої схеми. Розглянемо приклади.
Приклад 1. Нехай маємо задачу:
(17)
Точним рішенням задачі (17) є функція
Якщо ввести нову функцію то отримаємо завдання
(18)
Рішенням задачі (18) є функція
Задачу (18) апроксимуємо на рівномірній сітці = {X i = ih, i = 0, n} схемою:
(19)
Перепишемо схему (19) у вигляді
Звідси маємо
Розглянемо фіксовану точку і виберемо послідовність сіток
таких, щоб
= I 0 ∙ h, тобто
є вузлом сітки
при h → 0.
Обчислимо значення у в цій точці y ( ) = Y i 0 = s i 0 y 0. Так як │ s │ <1 при б> 0
і будь-яких h, то │ y ( ) │ ≤ │ s i 0 │ ∙ │ y 0 │ <│ y (0) │ при будь-якому h. З цього
нерівності видно, що рішення різницевої схеми (19) безперервно залежить від вхід € них даних. У таких випадках кажуть, що різницева схема стійка за вхідними даними (по початкових умов і по правій частині).
Приклад 2. Маємо рівняння
,
(20)
Точним рішенням задачі (20) є функція
Звідси випливає нерівність
, (21)
при л> 0.
Для стійкості обчислювальних алгоритмів розв'язання задачі (20) повинна бути виконана умова виду (21) тобто
(22)
Задачу (20) апроксимуємо явною схемою Ейлера
(23)
.
Висловлюючи рішення схеми (23) через початкова умова, маємо
Нерівність (22) буде виконано, якщо
тобто .
Таким чином, явна схема Ейлера умовно стійка.
Приклад 3. Для чисельного розв'язання задачі (20) використовуємо неявну схему Ейлера
(24)
Звідси
тобто
при
Схема (24) абсолютно стійка, бо виконана умова (22) при будь-якому h.
Приклад 4. Задачу (20) апроксимуємо схемою з вагою
(25)
Звідси маємо
Умова (22) буде виконано, якщо
т.е
Звідси отримуємо
Схема абсолютно стійка при
і
тобто схема (25) умовно стійка при
1.6 Апроксимація і збіжність
Для того, щоб з'ясувати, з якою точністю наблизили функцію u = u (x) за допомогою функції y (x), ми повинні їх порівняти. Нехай u h значення функції u (x) на сіткової області , Тобто u h
H h.
Розглянемо похибка рішення різницевої схеми (14), (15), яка апроксимує на сітці диференціальну задачу (12), (13).
Введемо функцію похибки рішення
z h = Y h - u h,
де y h - Рішення схеми (14), (15), u h - вирішення задачі (12), (13) на сітці ͞ w h. Підставивши y h = Z h + u h в лінійну задачу (14), (15), отримаємо для zh завдання того ж виду, що і (14), (15):
(26)
(27)
(28)
Функції (28) називаються похибкою апроксимації задачі (12), (13), схемою (14), (15) на рішення задачі (12), (13).
Будемо говорити, що рішення різницевої схеми (14), (15) сходиться до вирішення завдання (12), (13), якщо
Hh =
Hh → 0 при h → 0.
Різницева схема сходиться зі швидкістю О (hn) або має n-ий порядок точності, якщо при досить малому h ≤ h 0 виконується нерівність
Hh =
Hh ≤ M ∙ h n,
де M> 0, не залежить від h, n> 0.
Кажуть, що різницева схема має n-ий порядок апроксимації, якщо
ш h = O (h n),
т.е ≤ M ∙ h n.
Теорема. Нехай диференціальна завдання (12), (13) поставлено коректно, різницева схема (14), (15) є коректною і апроксимує вихідну задачу (12), (13). Тоді рішення різницевої схеми (14), (15) сходиться до вирішення вихідної задачі (12), (13), причому порядок точності збігається з порядком апроксимації.
Доказ. Якщо схема (14), (15) коректна, то не важко отримати оцінку похибки рішення через похибка апроксимації (28).
Завдання (26), (27) аналогічна задачі (14), (15), тому для неї користуючись апріорної оцінкою виду (16), одержимо оцінку
Hh =
Hh ≤ M 1
Hh + M 2
Hh. (29)
Таким чином, якщо схема (14), (15) коректна і апроксимує завдання (12), (13), то вона сходиться при h → 0. Норма похибки ‖ z h ‖ Hh → 0 при h → 0, якщо Hh → 0 і
Hh → 0 при h → 0.
З оцінки (28) видно, що порядок точності схеми (14), (15) визначається порядком апроксимації, і щоб схема сходилася зі швидкістю O (h n), n> 0 досить, щоб вона мала апроксимацію того ж порядку, тобто .
Hh = О (h n),
Hh = O (h n).
Розглянемо приклади.
Приклад 1. Розглянемо явну схему Ейлера
яка апроксимує диференціальну задачу (20). Покажемо порядок похибки апроксимації і збіжність.
Розглянемо функцію похибки рішення
Для z i отримуємо схему:
(30)
Розкладемо u i +1 за формулою Тейлора в точці x i, маємо
(31)
Підставляючи (31) в ш i, отримаємо
тобто маємо порядок апроксимації. З (30) маємо
При маємо
Висловлюючи z i через z 0, отримаємо:
Звідси видно, що при h → 0, │ z i │ → 0. Для точності схеми маємо
│ z i +1 │ ≤ h ∙ │ ш s │ ≤ h ∙ i ∙ O (h) = x i ∙ O (h) ≤ M ∙ h,
тобто схема має перший порядок точності.
Приклад 2. Розглянемо неявну схему Ейлера
,
яка апроксимує диференціальну задачу (20). Для похибки рішення z i = Y i - u i отримуємо різницеву схему:
Підставляючи розкладання (31) в ш i , Отримаємо
Звідси маємо
тобто перший порядок апроксимації. Для збіжності розглянемо розв'язок задачі для z i:
Множник при л> 0. Висловлюючи z i через z 0, маємо
Звідси │ z i │ ≤ M ∙ h, тобто схема має перший порядок точності. Таким же чином можна показати, що схема з вагою
має перший порядок апроксимації і при виконанні умов стійкості має місце збіжність і притому порядок точності збігається з порядком похибки апроксимації.
1.7 Нерівномірна сітка
1.7.1 Побудова сіткової області
Нехай вихідна область = {
}. Її апроксимуємо сіткової областю:
,
- Середній крок} - сітка по х;
,
- Середній крок} - сітка по t;
Тоді шукана сітка є - Нерівномірна сітка.
На цій сітці апроксимуємо диференціальні оператори:
- Права різницева похідна по х; (1)
-Сіткова функція;
- Ліва різницева похідна по х, (2)
- Центральна різницева похідна по х, (3)
- Апроксимація з вагою
; (4)
Апроксимація першої похідної по t має вигляд:
- Права різницева похідна за t; (5)
- Ліва різницева похідна за t; (6)
- Центральна різницева похідна за t; (7)
Апроксимація другої похідної по х і по t має вигляд:
; (8)
; (9)
Покажемо похибка апроксимації першої похідної по х.
Для цього введемо функцію похибки рішення Знайдемо
і підставимо в (1).
Маємо =
,
Функцію розкладемо по формулі Тейлора
,
і підставимо в Маємо
,
звідси отримуємо апроксимацію першого порядку .
1.7.2 Формування сітки
I варіант
,
(1)
, Q> 1-возраст.геометр.прогрессія
, Q <1-убив.геометр.прогрессія
1) , (2)
, Q> 1. (3)
2) , (4)
, Q <1. (5)
і
- Задаємо самі.
Приклад Нехай
q> 1 і за формулою (3) n
Приклад Нехай
обчислюємо за формулою (5)
Дійсно
II варіант
Можна використовувати інший підхід:
,
,
,
,
,
.
a) , Q <1 - спадна геом. прогресія n і q-задаємо самі.
в) , Q> 1 - зростаюча геом. прогресія.
Таким чином, можна розглядати такі модулі сіток:
Рівномірна сітка
.
Квазіравномерная сітка (
...).
Нерівномірне по зростаючій геометричній прогресії
.
Нерівномірне по спадної геометричної прогресії
.
Середньоарифметичний метод 3) і 4)
.
Глава II. Одновимірного рівняння переносу з змінними коефіцієнтами
2.1 Постановка завдання
Розглянемо рівняння виду:
(1)
задовольняє початковим умовам
(2)
і граничним умовам:
(3)
Вхідні дані:
1)
l = 1, T = 1
точне рішення:
2)
точне рішення:
3)
точне рішення:
4)
точне рішення:
Для вирішення задачі (1) - (3) використовуємо різні різницеві схеми, вірніше, явну і неявну.
2.2 "Явні" схеми
Явні схеми для нашої задачі використовуються тоді, коли p (x, t)> 0, (p 0> 0, p N> 0) або p (x, t) <0, (p 0 <0, p N <0) . На практиці часто використовують схему біжить рахунку. У залежності від знака функції p (x, t) використовують праву чи ліву різницеві схеми.
Отже, розглянемо схему біжить рахунки в обох випадках.
1) p (x, t)> 0, (p 0> 0, p N> 0)
Різницева схема (права) має вигляд
; (1 ')
; (2 ')
; (3 ')
з (1 ') ,
де
.
2) p (x, t) <0, (p 0 <0, p N <0)
У цьому випадку використовується ліва різницева схема
; (1 ")
; (2 ")
; (3 ")
з (1 ') ,
де
.
Таблиця 1 Чисельне рішення рівняння переносу з змінними коефіцієнтами схема біжить рахунки "явна" схема (права різницева схема)
------------- Kogda p 0> 0, pN> 0 ------------- 50sloy | |||
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti | |||
0 | 0.10039200 | 0.10004559 | 0.00034641 |
1 | 0.10731313 | 0.10694264 | 0.00037049 |
2 | 0.11471141 | 0.11431517 | 0.00039623 |
3 | 0.12261970 | 0.12219596 | 0.00042375 |
4 | 0.13107319 | 0.13062004 | 0.00045315 |
5 | 0.14010945 | 0.13962487 | 0.00048458 |
6 | 0.14976865 | 0.14925048 | 0.00051817 |
7 | 0.16009374 | 0.15953968 | 0.00055407 |
8 | 0.17113063 | 0.17053820 | 0.00059243 |
9 | 0.18292837 | 0.18229495 | 0.00063342 |
10 | 0.19553941 | 0.19486220 | 0.00067721 |
11 | 0.20901984 | 0.20829583 | 0.00072401 |
12 | 0.22342957 | 0.22265555 | 0.00077402 |
13 | 0.23883258 | 0.23800523 | 0.00082736 |
14 | 0.25528740 | ||
0.25441310 | 0.00087431 | ||
15 | 0.27195211 | 0.27195211 | 0.00000000 |
Таблиця 2. Чисельне рішення рівняння переносу з змінними коефіцієнтами схема біжить рахунки "явна" схема (ліва різницева схема)
------------- Kogda p0 <0, pN <0 -------------- 50sloy | |||
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti | |||
0 | 0.14715178 | 0.14715178 | 0.00000000 |
1 | 0.14242453 | 0.14232757 | 0.00009697 |
2 | 0.13785337 | 0.13766151 | 0.00019185 |
3 | 0.13343317 | 0.13314843 | 0.00028474 |
4 | 0.12915902 | 0.12878331 | 0.00037571 |
5 | 0.12502613 | 0.12456129 | 0.00046484 |
6 | 0.12102988 | 0.12047768 | 0.00055219 |
7 | 0.11716580 | 0.11652796 | 0.00063785 |
8 | 0.11342959 | 0.11270772 | 0.00072187 |
9 | 0.10981705 | 0.10901272 | 0.00080434 |
10 | 0.10632415 | 0.10543886 | 0.00088530 |
11 | 0.10294698 | 0.10198216 | 0.00096483 |
12 | 0.09968176 | 0.09863879 | 0.00104298 |
13 | 0.09652483 | 0.09540502 | 0.00111981 |
14 | 0.09347266 | 0.09227727 | 0.00119539 |
15 | 0.09052183 | 0.08925206 | 0.00126976 |
Текст програми дивись у додатку 1
2.3 Неявні схеми
На відміну від явної схеми неявні схеми використовуються для задачі (1) - (3) у всіх випадках 1) p 0> 0, p N> 0, 2) p 0 <0, p N <0, 3) p 0> 0 , p N <0, 4) p 0 <0, p N> 0.
Розглянемо 2 різні різницеві схеми:
Центрально-різницева схема.
Трехточечная схема з вагою.
Всі ці схеми вирішуються методом прогонки і всі ці різницеві рівняння, тобто отримані при апроксимації схеми, вірніше, рівняння зводяться до вигляду:
(4)
Коефіцієнти A i, B i, C i повинні відповідати умовам:
(5)
Коефіцієнти B 0, C 0, F 0, A N, C N, F N знаходяться з граничних умов. У цьому завданню в залежності від знака функції p (x, t) ставляться граничні умови і тим самим знаходяться наші коефіцієнти. Розглянемо всі 4 випадки:
1) p 0> 0, p N> 0, u (l, t) = м 2 (t), (3 ')
з рівняння (3 ') A N, C N, F N.
B 0, C 0, F 0 перебувають з додаткового умови, яка ставиться на лівому кінці.
2) p 0 <0, p N <0, u (0, t) = м 1 (t), (3 ") з рівняння (3 ") B 0, C 0, F 0.
A N, C N, F N перебувають з додаткового умови, яка ставиться на правому кінці.
3) p 0 <0, p N> 0, u (0, t) = м 1 (t), u (l, t) = м 2 (t), (3 "')
з рівняння (3 "') B 0, C 0, F 0
A N, C N, F N
4) p 0> 0, p N <0, немає граничних умов.
Додаткова умова ставиться на лівому і на правому кінцях. Знаходимо B 0, C 0, F 0, A N, C N, F N.
Алгоритм правої прогонки
,
.
,
.
При виконанні умов алгоритм правої прогонки стійкий.
2.3.1 Центрально різницева схема
Різницева схема має вигляд (задачі (1) - (3)):
,
.
1) P 0> 0, P N> 0
,
,
.
2) P 0 <0, P N <0
.
3) P 0 <0, P N> 0
B 0 = 0, C 0 = 1, F 0 =
,
→ A N = 0, C N = 1,
.
4) P 0> 0, P N <0
,
Таблиця 3. Чисельне рішення рівняння переносу з змінними коефіцієнтами центральна різницева схема метод прогонки
------------- Kogda p 0> 0, pN> 0 ------------ 50sloy | |||
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti | |||
0 | 0.18772094 | 0.18765555 | 0.00006539 |
1 | 0.18147920 | 0.18150347 | 0.00002427 |
2 | 0.17566576 | 0.17555308 | 0.00011268 |
3 | 0.16982701 | 0.16979776 | 0.00002924 |
4 | 0.16440069 | 0.16423113 | 0.00016956 |
5 | 0.15890974 | 0.15884699 | 0.00006275 |
6 | 0.15384782 | 0.15363937 | 0.00020845 |
7 | 0.14868453 | 0.14860247 | 0.00008206 |
8 | 0.14391438 | 0.14373070 | 0.00018368 |
9 | 0.13904086 | 0.13901865 | 0.00002221 |
10 | 0.13462315 | 0.13446108 | 0.00016208 |
11 | 0.13004378 | 0.13005292 | 0.00000914 |
12 | 0.12593278 | 0.12578928 | 0.00014351 |
13 | 0.12169429 | 0.12166541 | 0.00002888 |
14 | 0.11786577 | 0.11767675 | 0.00018903 |
15 | 0.11381884 | 0.11381884 | 0.00000000 |
Таблиця 4. Чисельне рішення рівняння переносу з змінними коефіцієнтами центральна різницева схема метод прогонки
------------- Kogda p 0 <0, pN <0 -------------- 50 sloy | |||
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti | |||
0 | 0.14715178 | 0.14715178 | 0.00000000 |
1 | 0.14240331 | 0.14232757 | 0.00007574 |
2 | 0.13769681 | 0.13766151 | 0.00003530 |
3 | 0.13325746 | 0.13314843 | 0.00010903 |
4 | 0.12885248 | 0.12878331 | 0.00006918 |
5 | 0.12470227 | 0.12456129 | 0.00014098 |
6 | 0.12057943 | 0.12047768 | 0.00010174 |
7 | 0.11669966 | 0.11652796 | 0.00017170 |
8 | 0.11284082 | 0.11270772 | 0.00013310 |
9 | 0.10921401 | 0.10901272 | 0.00020130 |
10 | 0.10560221 | 0.10543886 | 0.00016335 |
11 | 0.10221201 | 0.10198216 | 0.00022985 |
12 | 0.09883137 | 0.09863879 | 0.00019259 |
13 | 0.09566248 | 0.09540502 | 0.00025746 |
14 | 0.09249816 | 0.09227727 | 0.00022089 |
15 | 0.08953626 | 0.08925206 | 0.00028420 |
Таблиця 5. Чисельне рішення рівняння переносу з змінними коефіцієнтами центральна різницева схема метод прогонки
------------- Kogda p 0 <0, pN> 0 -------------- 50sloy | |||
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti | |||
0 | 0.03678794 | 0.03678794 | 0.00000000 |
1 | 0.03565917 | 0.03558189 | 0.00007728 |
2 | 0.03439784 | 0.03441538 | 0.00001754 |
3 | 0.03335557 | 0.03328711 | 0.00006846 |
4 | 0.03216179 | 0.03219583 | 0.00003404 |
5 | 0.03119895 | 0.03114032 | 0.00005863 |
6 | 0.03007027 | 0.03011942 | 0.00004915 |
7 | 0.02917987 | 0.02913199 | 0.00004788 |
8 | 0.02811435 | 0.02817693 | 0.00006258 |
9 | 0.02728957 | 0.02725318 | 0.00003639 |
10 | 0.02628567 | 0.02635971 | 0.00007405 |
11 | 0.02551993 | 0.02549554 | 0.00002439 |
12 | 0.02457633 | 0.02465970 | 0.00008337 |
13 | 0.02386341 | 0.02385126 | 0.00001215 |
14 | 0.02297890 | 0.02306932 | 0.00009042 |
15 | 0.02231302 | 0.02231302 | 0.00000000 |
Таблиця 6. Чисельне рішення рівняння переносу з змінними коефіцієнтами центральна різницева схема метод прогонки
------------- Kogda p 0> 0, pN <0 -------------- 50sloy | |||
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti | |||
0 | 0.00379722 | 0.00375311 | 0.00004410 |
1 | 0.00328998 | 0.00328462 | 0.00000536 |
2 | 0.00291427 | 0.00287461 | 0.00003966 |
3 | 0.00250378 | 0.00251579 | 0.00001200 |
4 | 0.00225176 | 0.00220175 | 0.00005001 |
5 | 0.00190450 | 0.00192691 | 0.00002241 |
6 | 0.00172045 | 0.00168638 | 0.00003407 |
7 | 0.00145947 | 0.00147588 | 0.00001640 |
8 | 0.00129005 | 0.00129165 | 0.00000159 |
9 | 0.00109247 | 0.00113042 | 0.00003795 |
10 | 0.00092289 | 0.00098931 | 0.00006642 |
11 | 0.00074314 | 0.00086582 | 0.00012268 |
12 | 0.00056520 | 0.00075774 | 0.00019254 |
13 | 0.00038370 | 0.00066315 | 0.00027946 |
14 | 0.00020306 | 0.00058037 | 0.00037731 |
15 | 0.00002275 | 0.00050793 | 0.00048518 |
Текст програми дивись в додатку 2
2.3.2 трехточечная схема з вагою
Різницева схема для нашої задачі ((1) - (3)) має вигляд:
(0)
Рівняння (0) приведемо до вигляду
(1)
З рівняння (1) знаходимо коефіцієнти
,
,
,
.
1) P 0> 0, P N> 0 y N j +1 = м 2 j +1 → A N = 0, C N = 1, F N = м 2 j +1
(1.0)
Рівняння (1.0) приводимо до виду
(1.1)
З рівняння (1.1) знаходимо
,
,
.
2) P 0 <0, P N <0 y 0 j +1 = м 1 j +1 → B 0 = 0, C 0 = 1, F 0 = м 1 j +1
. (2.0)
Рівняння (2.0) приводимо до виду
(2.1)
З рівняння (2.1) знаходимо ,
,
.
3) P 0 <0, P N> 0
y 0 j +1 = м 1 j +1 → B 0 = 0 , C 0 = 1, F 0 = м 1 j +1 ,
y N j +1 = м 2 j +1 → A N = 0 , C N = 1, F N = м 2 j +1.
4) P 0> 0, P N <0
B 0 = 0, C 0 = 1, F 0 = м 1 j +1
A N = 0, C N = 1, F N = м 2 j +1
Таблиця 7. Чисельне рішення рівняння переносу з змінними коефіцієнтами трехточечная схема з вагою Метод прогонки
------------------- Kogda p0> 0, pN> 0 --------------- kogda G = 1 | |||
50sloy N priblijennoe tochnoe pogreshnosti | |||
0 | 0.36842774 | 0.36787944 | 0.00054830 |
1 | 0.35627966 | 0.35581892 | 0.00046075 |
2 | 0.34461653 | 0.34415379 | 0.00046275 |
3 | 0.33324870 | 0.33287108 | 0.00037762 |
4 | 0.32234219 | 0.32195827 | 0.00038392 |
5 | 0.31170418 | 0.31140322 | 0.00030095 |
6 | 0.30150555 | 0.30119421 | 0.00031134 |
7 | 0.29155019 | 0.29131989 | 0.00023030 |
8 | 0.28201389 | 0.28176929 | 0.00024460 |
9 | 0.27269705 | 0.27253179 | 0.00016526 |
10 | 0.26378042 | 0.26359714 | 0.00018329 |
11 | 0.25506082 | 0.25495540 | 0.00010543 |
12 | 0.24672399 | 0.24659696 | 0.00012703 |
13 | 0.23856301 | 0.23851255 | 0.00005045 |
14 | 0.23076867 | 0.23069318 | 0.00007549 |
15 | 0.22313016 | 0.22313016 | 0.00000000 |
Таблиця 8. Чисельне рішення рівняння переносу на с переменнмі коефіцієнтами трехточечная схема з вагою Метод прогонки
------------------- Kogda p0> 0, pN> 0 --------------- kogda G = 0.5 | |||
50sloy N priblijennoe tochnoe pogreshnosti | |||
0 | 0.22317966 | 0.36787944 | 0.14469979 |
1 | 0.32550240 | 0.35581892 | 0.03031652 |
2 | |||