ВСТУП
Прості числа з давніх часів привертають увагу математиків. Прості числа слід одне за одним по закону, який ще не знайдений. Але прості числа в математиці відіграють важливу роль. Серед натурального ряду виділяють прості числа.
У даній роботі поставлена мета:
довести, що прості числа грають велику роль в математиці.
Завдання для цієї роботи такі:
Показати способи знаходження простих чисел.
Назвати імена математиків, пов'язаних з історією відкриття простих чисел.
Скласти завдання з використанням простих чисел.
РОЛЬ ПРОСТИХ ЧИСЕЛ У МАТЕМАТИКЕ
Кожне натуральне число, більше одиниці, ділиться принаймні на два числа: на 1 і на саме себе. Якщо ні на яке інше натуральне число воно на ціле не ділиться, то називається простим, а якщо у нього є ще якісь цілі дільники, то складеним. Не про всякий числі можна відразу сказати, просте воно чи складене. Візьмемо, наприклад, число 1999. Якщо немає під рукою спеціальних довідкових таблиць або помічника комп'ютера, то доведеться згадати про старе, але надійному решеті Ератосфена. Старовинний спосіб, придуманий ще в 3 ст. До н. е.. Ератосфеном Кіренським, зберігачем знаменитої Олександрійської бібліотеки.
Випишемо кілька поспіль чисел, починаючи з 2. Двійку відберемо в свою колекцію, а інші числа, кратні 2, закреслимо. Найближчим не закресленим числом буде 3. Візьмемо до колекції і його, а всі інші числа, кратні 3, закреслимо. При цьому виявиться, що деякі числа вже були викреслені раніше, як, наприклад, 6, 12 та інші. Наступне найменше не закреслено число-це 5. Беремо п'ятірку, а інші числа, кратні 5, перекреслюємо. Повторюючи цю процедуру знову і знову, ми врешті-решт досягнемо того, що не закресленими залишаться одні лише прості числа-вони немов просіяти крізь решето. Тому такий спосіб і отримав назву решето Ератосфена. Чи можна, повторювати поетові, сказати, що простих чисел стільки, "скільки зірок на небі, скільки риб у воді"? Відповідь знаходимо в дев'ятій книзі знаменитого твору Евкліда "Начала" - нетлінного пам'ятника Стародавнього світу. Двадцята теорема в цій книзі стверджує: "Перших (простих) чисел існує більше будь-якого вказаного числа їх".
Ось доказ цієї теореми. Припустимо, що існує якесь найбільше просте число P. Тоді перемножимо всі прості числа, починаючи з 2 і закінчуючи P, і збільшимо отримане твір на одиницю: 2 3 5 7 * ... P + 1 = M. Якщо число М складене, то вона повинна мати принаймні один простий дільник. Але цим дільником не може бути ні одне з простих чисел 2, 3, 5, ..., Р, оскільки при розподілі М на кожне з них отримуємо в залишку 1. Отже, число М або саме просте, або ділиться на просте число, більше Р. Значить, припущення, що існує найбільша просте число Р, напевно й безліч простих чисел нескінченно.
Не про всякий числі можна відразу сказати, просте воно чи складене. Візьмемо, наприклад, число 1999. Якщо немає під рукою спеціальних довідкових таблиць або помічника-комп'ютера, то доведеться згадати про старе, але надійному решеті Ератосфена.
Першу відому нам таблицю простих чисел склав італійський математик П'єтро Антоніо Катальді в 1603 р. Вона захоплювала всі прості числа від 2 до 743
У 1770 р. Німецький математик Йоганн Генріх Ламберт опублікував таблицю найменших дільників всіх чисел, не переважаючих 102000 і не діляться на 2, 3, 5. Вклавши в цю працю воістину колосальні зусилля, Ламберт гарантував безсмертя тому, хто доведе таблицю дільників до мільйона. На його заклик відгукнулися багато обчислювачі.
До середини 19 століття вже були складені таблиці найменших дільників не тільки першого мільйона, а й наступних, в плоть до 9. В цей же час в пресі з'явилися повідомлення, що подавалися абсолютно фантастичними: у Віденську академію надійшло 7 великих томів рукописних таблиць "Великий канон дільників всіх чисел, які не діляться на 2, 3 і 5, і простих чисел між ними до 100 330 201". Автором цієї праці був Якуб Філіп Кулик, професор вищої математики Празького університету.
У подальшому пошуку простих чисел вже не носили характеру масового полювання, з якою можна порівняти складання таблиць, а перетворилися на цілеспрямований відбір окремих представників. У мисливців за числами найбільше популярні прості числа Марсена. Вони названі на честь французького вченого Марена Марсенна, що зіграв в 18в. Значну роль у становленні європейської науки.
Деякі уявлення про розподілу простих чисел мали вже стародавні греки. З докази Евкліда випливає, наприклад, що вони не зібрані разом, а розкидані по всій числовій осі. Але як часто?
У 1845 р французький математик Жозеф Бертан, досліджуючи таблицю простих чисел у проміжку від 1 до 6000000, виявив, що між числами n і n 2 - 2, де n> 3, міститься принаймні одне просте число. Надалі це властивість отримало назву постулату Бертрана, хоча самому Бертані обгрунтувати його так і не вдалося. Довів його в 1852 г російський математик Пафнутій Львович Чебишев. З результату Чебишева слідувала і більш точна оцінка. Таким чином, навіть серед дуже великих чисел прості числа не так вже й рідкісні.
З іншого боку, існують проміжки, що включають тисячі, мільйони, мільярди і взагалі яке завгодно велику кількість поспіль стоять натуральних чисел, серед яких не можна знайти жодного простого! Справді, задавшись довільним великим натуральним числом к, побудуємо ряд чисел к! +2, К! +3, ..., К! + К (тут до! = 1 * 2 * 3 * ... * к). Кожне з цих чисел складене. Наприклад, число к! + М ділиться на м, оскільки до! ділиться на м і саме м ділиться на м.
Прості числа, що діляться тільки на одиницю і на самих себе (2,3,5,7,11,13,17, ...), з давніх часів привертають увагу математиків. Більше двох тисяч років тому великий давньогрецький математик Евклід довів, що ряд простих чисел нескінченний. Прості числа слідують одне за одним по закону, який ще не знайдений. Ці числа то на довго зникають з натурального ряду, то по є в ньому часто, а іноді і по сусідству: 11,13,; 5971847,5971849.
Професор І.К. Андронов в книзі <<Арифметика натуральних чисел>> наводить розповідь про уявному подорож по нескінченній дорозі простих чисел: <<Подумки візьмемо прямо лінійний провід, що виходить з класної кімнати в світовий простір, що пробиває земну атмосферу, що минає туди, де Місяць здійснює обертання, і далі за вогненна куля Сонце, в світову нескінченність.
Подумки підвісимо на провід через кожен метр електричні лампочки, нумеруючи їх, починаючи з ближньої: 1,2,3, ..., 1 000, ..., 1 000 000, ..., включимо струм з таким розрахунком, щоб спалахнули всі лампочки з простими номерами, і полетимо у районі дроти>>.
Разом з автором цієї книги ми починаємо рух з першої електричної лампочки, яка не освітила нам старту, вона не горить, так як її номер (одиниця) не є простим числом. Відразу за нею дві лампочки з номерами 2 і 3 включені, ці числа прості. Залишимо позаду гарячі лампочки 5 і 7. Вони пронумеровані простими числами. На нашому довгому шляху дуже рідко будуть потрапляти числа-близнюки. Ось промайнули наступні числа-близнюки: 11 і 13, 17 і 19. Ми швидко набираємо швидкість; залишаючи позаду лампочки 101 і 103, 827 і 829; тепер рідше і рідше зустрічаються освітлені острівці з лампочок, пронумеровані простими числами-близнюками. Ось на тлі темряви і мороку засяяли лампочки з номерами 10 016 957 і 10 016 959; це остання пара відомих простих чисел-близнюків. Можливо, десь у нескінченних просторах порадують наш погляд ще пара світяться лампочок, або такі близнюки зникнуть на завжди. Нам зустрічаються ділянки, досить часто освітлювані лампочками, але частіше шлях проходить в темряві. З першого мільйона промайнуло всього 78 498 палаючих лампочок, 921 502 не горіли.
Однак ми тільки почали рух, вони ще зустрінуться, але в якийсь мить? Закономірності немає.
Як і простір, безліч простих чисел нескінченно. Нескінченний ряд чисел, який ми в результаті рахунку предметів, називається натуральним рядом чисел: 1,2,3,4,5, .... Серед натурального ряду чисел ми виділяємо прості числа. Простими числами називаються такі, які діляться на 1 і на самих себе. Найменше просте число2.
Виділення простих чисел є складним завданням математики. Учені впродовж багатьох століть намагаються знайти формулу, яка дозволила б з безлічі натуральних чисел виписати прості. Перший, хто займався цим завданням, був великий математик давнини Ератосфен, що жив майже 2 300 років тому. Ератосфен був головним бібліотекар знаменитої Олександрійської бібліотеки, математиком, географом, істориком, астрономом, філософом і поетом. Ератосфен обчислив нахил екліптики - великого кола сфери, по якій проходить видиме річне рух сонця, відстань від сонця і місяця, довжину земного меридіана (вимірявши відстань від Асуана до Олександрії), склавши карту світу з урахуванням кулястості Землі і т. д.
Спосіб Ератосфена складання таблиць простих чисел надзвичайно простий і не вимагає перевірки чисел на подільність. Він скористався особливим методом, який був названий на честь вченого <<Решето Ератосфена>>. Щоб очистити зерно, ми його просіваємо. Подібно до цього Ератосфен <<просівали>> числа натурального ряду, користуючись особливим прийомом.
Припустимо, що були виписані (в таблиці з 10рядов) все по отже від 1 до 100. Перш за все треба <<викинути>> всі парні числа, крім 2. Підкресливши число2, інші числа, що діляться на 2, закреслимо. Після 2 в таблиці йде просте число 3. Підкреслимо число 3 як просте, а всі інші, що ділиться на 3, закреслимо. (Числа, кратні 3, стоять на місцях через два на третє.) Тепер наступне просте число 5, яке знову підкреслюємо; викидаємо всі числа, кратні 5, які розташовані на місцях через четверте на п'яте, вважаючи раніше закреслені. Далі підкреслюємо наступне число 7 і перекреслюємо числа, що діляться на 7, і т. д. Зауважте, що з усіх натуральних чисел не закресленими залишаються прості числа. Ератосфен у кожного складового числа прокладав отвір, і виходило щось на зразок решета, через яке ці складові числа <<просівали>>.
Давньо грецьких вчених зацікавило: скільки може бути простих чисел в натуральному ряді? Відповів на це питання Евклід, довівши, що простих чисел нескінченна безліч.
Однак спосіб Ератосфена не зміг задовольнити вчених, і вони намагалися знайти формулу простих чисел. Протягом багатьох сторіч це зробити не вдавалося. У ряду простих чисел було знайдено багато цікаві закономірності, але поставлена задача залишалася без відповіді. Першим наблизився до вирішення проблем простих чисел П.Л. Чебишев.
У 1750 р. Леонард Ейлер встановив, що число 2 ³ ¹ - 1 є простим. Воно залишалося найбільшим з відомих простих чисел більше ста років. У 1876 р. Французький математик Лукас встановив, що величезна кількість
2127 - 1 = 170 141 183 560 469 231 731 687 303 715 884 105727
також просте. Воно містить 39 цифр. Для його обчислення були механічні настільні рахункові машини. У 1957 р. було знайдено наступне просте число: 23217 - 1. А просте число 244 497 - 1 складається з 13 000 цифр.
УЗИ ДРУЖБИ У СВІТІ ЧИСЕЛ
Два натуральних числа m і n називаються дружніми, якщо сума власних дільників m дорівнює n, а сума власних дільників n дорівнює m.
Історія дружніх чисел губиться в глибині століть. За свідченням античного філософа Ямвлиха (III - IV ст.), Великий Піфагор на питання, кого слід вважати своїм другом, відповів: <<Того, хто є моїм другим я, як числа 220 і 284>>. Перевірте, будь ласка, що числа 220 і 284 дружні.
Для знаходження дружніх чисел арабський учений Сабіт Ібн Куррі (IX ст.) Запропонував хитромудрий спосіб: задавшись натуральним числом n, підрахувати спамогательние величини p = 3 * 2 n -1 - 1, q = 3 * 2 n -1 і r = 9 * 2 лютого n - 1 `-1. Якщо виявиться, що числа p, q, r прості, тоді числа А = 2 n p q і В = 2 nr дружні.
Пифагорова пара 220 і 284 виходять за цим методом при n = 2. Наступну пару чисел - 17 296 і 18 416 - виявили незалежно один від одного марокканський учений Ібн Аль - Банна і три століття потому француз П'єр Ферма. У цьому випадку n = 4. Третю пару - 9363584 та 9437056 (при n = 7) - вказав у 1638 р. Рене Декарт. Подальші спроби знайти дружні пари при не великих значеннях n до успіху не приводять. Більше того спосіб Сабіта ібн Куррі не виявляється жодної нової пари дружніх чисел, якщо n збільшувати до 20 000! Невже дружні числа - алмази-самородки і для підрахунку їх пар забагато пальців однієї руки?
У 1747-1750 рр.. Леонард Ейлер провів унікальні числові розкопки. Він придумав оригінальні методи пошуку і виявив відразу 61 нову пару дружніх чисел. Примітно, що серед них опинилися і не парні числа: 69 615 і 11498355; 87633 і 12024045. Зараз відомо близько 1100 пар дружніх чисел. Цікаво, що в 1866 р. італійський школяр Н. Паганіні (однофамілець відомого скрипаля) знайшов пару дружніх чисел 1184 і 1210, яку всі, в тому числі і видатне математики, прогледіли!
Ось пари дружніх чисел в межі 100 000:
220 - 284
1184 - 1210
2620 - 2924
5020 - 5564
6232 - 6368
10744 - 10856
12285 - 14595
17296 - 18416
63020 - 76084
66928 - 66992
67095 - 71145
69615 - 87633
79750 - 88730
Дружні числа продовжують приховувати безліч таємниць. Чи є змішані пари, у яких одне число парне, а інше не парне? Існує загальна формула, що описує всі дружні пари? На ці та інші питання відповіді поки не знайдені.
З досвіду обчислення люди знали, що кожне число є або простим, або добутком декількох простих чисел. Але вони не вміли цього доводити. Піфагор або хтось із його послідовників знайшов доказ цього твердження.
Тепер легко пояснити роль простих чисел в математиці: вони є тими цеглинками, з яких за допомогою множення будують всі інші числа. Добре було б, якщо всі прості числа можна було порахувати! Хай їх було б хоч мільйон - все одно ми знали б, що, перемноживши ці прості числа, можемо отримати всі інші. Але це виявилося не так. Через два століття після Піфагора грецький геометр Евклід написав книгу <<Почала>>. І одними з тверджень цієї книги було наступне: найбільшого простого числа не існує.
Прості числа в натуральному ряді чисел, розташовані дуже химерно. Іноді між ними є тільки одне парне число (всі прості числа, крім числа 2, непарні). Такими близнюками так їх кличуть у науці, є: 11 і 13, 17 і 19, 29 і 31. Досі не відомо, чи є найбільші близнюки чи ні. А іноді між сусідніми простими числами лежить прірва в мільйони і мільярди чисел. Першим глибокі результати про те, як розкидані прості числа серед інших натуральних чисел, отримав великий російський математик Пафнутій Львович Чебишев, засновник і керівник російських математичних досліджень в минулому столітті.
ПРОБЛЕМА Гольдбаха
З простих чисел можна отримати будь-яке число за допомогою множення. А що буде, якщо складати прості числа? Звичайно, якщо брати скільки завгодно доданків, то можна отримати будь-яке число: парні числа виходять шляхом складання двійок, а не парні шляхом складання одного трійки і декількох двійок. Але жив в Росії в XVIII столітті математик Гольдбах вирішив складати непарні прості числа лише попарно. Він виявив дивовижну річ: кожен раз йому вдавалося уявити парне число у вигляді суми двох простих чисел. Ось ці розкладання для двозначних чисел (як це було за часів Гольдбаха, ми вважаємо 1 простий числом):
4 = 1 +3, 6 = 1 +5, 8 = 1 +7, 10 = 3 +7, 12 = 5 +7, 14 = 3 +11,
16 = 3 +13, 18 = 5 +13, 20 = 3 +17, 22 = 11 +11, 24 = 11 +13,
26 = 13 +13, 28 = 23 +5, 30 = 23 +7, 32 = 19 +13, 34 = 17 +17,
36 = 17 +19, 38 = 19 +19, 40 = 37 +3, 42 = 37 +5, 44 = 37 +7,
46 = 23 +23, 48 = 47 +1, 50 = 47 +3, 52 = 47 +5, 54 = 47 +7,
56 = 53 +3, 58 = 53 +5, 60 = 53 +7, 62 = 31 +31, 64 = 61 +3,
66 = 61 +5, 68 = 61 +7, 70 = 67 +3, 72 = 67 +5, 74 = 37 +37,
76 = 73 +3, 78 = 73 +5, 80 = 73 +7, 82 = 41 +41, 84 = 41 = 43,
86 = 43 +43, 88 = 87 +1, 90 = 87 +3, 92 = 87 +5,94 = 87 +7,
96 = 89 +7, 98 = 97 +1.
Про своє спостереженні Гольдбах написав великому математику XVIII століття Леонарду Ейлера, який був членом Петербурзької академії наук. Перевіривши ще багато парних чисел, Ейлер переконався, що всі вони є сумами двох простих чисел. Але парних чисел нескінченно багато. З цього обчислення Ейлера давали надію на те, що властивістю, що помітив Гольдбах, мають всі числа. Проте спроби довести, що це завжди буде так, ні до чого не привели.
Двісті років математики міркували над проблемою Гольдбаха. І тільки радянському вченому Івану Матвійовичу Виноградову вдалося зробити вирішальний крок. Він встановив, що будь-яке досить велике натуральне число є сумою трьох простих чисел. Але число, починаючи з якого вірне твердження Виноградова, неймовірно велике. За цим поки що, на жаль, немає надії навіть за допомогою самих кращих ЕОМ перевірити, чи вірно це твердження для всіх інших чисел.
АЛГОРИТМ
Для знаходження всіх простих чисел не більше заданого числа n, дотримуючись методу Ератосфена, потрібно виконати наступні кроки:
1) Виписати підряд всі цілі числа від 2 до n (2,3,4 ..., n)
2) Нехай змінна p спочатку дорівнює 2-першому простому числу.
3) Викреслити зі списку всі числа від 2 p до n, що діляться на p (тобто, числа 2 p, 3 p, 4 p, ....)
4) знайти перше невичеркнутое число, більше, ніж р, і привласнити значенням змінної p це число.
5) Повторювати кроки 3 та 4 до тих пір, поки p не стане більше, ніж n.
6) Всі невичеркнутие числа у списку - прості числа.
На практиці, алгоритм можна трохи покращити таким чином.
На кроці № 3, числа можна викреслювати, починаючи відразу з числа p 2, тому що всі складові числа менше його вже будуть викреслені до цього часу.
І, відповідно, зупиняти алгоритм можна, коли p 2 стане більше, ніж n.
ЗАВДАННЯ
У деякому царстві, у деякій державі жила принцеса. І одного разу їй захотілося дізнатися відповідь на своє питання про сусідньому королівстві. У сусідньому королівстві було 12 фей. За ніч всім феям треба було виконати однакову кількість бажань. Всього їм треба було виконати 144 бажання. І принцесі захотілося дізнатися, скільки бажань повинна виконана одна фея за ніч. Але щоб дізнатися відповідь на питання, принцесі треба було злітати в сусіднє королівство і запитати у фей. Долетіти до королівства принцеса доручила дракону і дала йому на всю дорогу 6 годин. Відстань до королівства 448,8 км. З якою швидкістю повинен летіти дракон, щоб встигнути злітати і туди, і назад?
Рішення
1) 6:2 = 3 (години) - за такий час дракон повинен злітати туди або назад.
2) 448,8:3 = 149,6 (км / ч) - з такою швидкістю повинен летіти дракон, що б прилетіти в своє королівство вчасно.
(Задачу придумала Сторожева Яна).
Дракону треба летіти зі швидкістю 149,6 км / год, що прилетіти в своє королівство вчасно.
Тим часів дракон прилетів в сусіднє королівство. Вирішення питання принцеси виявилося дуже простим:
Рішення
1) 144:12 = 12 (бажань) - повинна виконати 1 фея за ніч.
(Задачу придумала Бордюгова Анастасія).
1 фея повинна виконати 12 бажань за ніч.
Дракон прилетів назад і отримав за відповідь на питання принцеси винагороду: 1,2 кг морозива. Він вирішив поділитися морозивом з друзями. Друзів у нього було 7. Скільки морозива дісталося кожному другу і самому дракону?
Рішення
1) 7 +1 = 8 - друзі і сам дракон.
2) 1,2:8 = 0,15 (кг) - дісталося кожному другу і самому дракону.
(Задачу придумала Хісемятдінова Нейл).
0,15 кг морозива дісталося кожному другу і самому дракону.
Принцеса вирішила покликати до себе на роботу 7 гномів, щоб вони шукали смарагди. І сказала їм, що за тиждень вони повинні знайти 147 смарагдів. А сама принцеса вирішила дізнатися: скільки 7 гномів повинні знайти смарагдів за 1 день? Скільки 1 гном повинен знайти смарагдів за 1 день? Скільки 1 гном повинен знайти смарагдів за тиждень?
Рішення
1) 147:7 = 21 (смарагд) - повинні знайти 7 гномів за 1 день.
2) 21:7 = 3 (смарагду) - повинен знайти 1 гном за 1 день.
3) 3 * 7 = 21 (смарагд) - повинен знайти 1 гном за тиждень.
(Задачу придумала Сторожева Яна).
21 смарагд повинні знайти 7 гномів за 1 день, 3 смарагду повинен знайти 1 гном за 1 день, 21 смарагд повинен знайти 1 гном за тиждень. Гномам треба було десь жити. Принцеса вирішила віддати їм підвал. У підвалі було 476м 2. Скільки кожному гномові повинне дістатися м 2, щоб кожному гномові дісталося однакову кількість м 2?
Рішення
1) 476:7 = 68 (м 2) - дістанеться кожному гномові.
(Задачу придумала Бордюгова Анастасія).
Кожному гномові дістанеться по 68м 2.
Якось до принцеси прийшла Червона шапочка і сказала, що не вміє ділити. Вона приготувала 381 пиріжок і повинна роздати його 3 своїм бабусям. Але вона не знає, скільки пиріжків повинне дістатися кожної бабусі. Принцеса стала вважати:
Рішення
1) 381:3 = 127 (пиріжків) - дістанеться кожній бабусі.
(Задачу придумала Хісемятдінова Нейл).
Принцеса сказала Червону шапочку, що кожній бабусі дістанеться по 127 пиріжків. Червона шапочка п
Індійські математики знайшли унікальний алгоритм пошуку простих чисел
Індійські математики та спеціалісти в галузі комп'ютерного забезпечення заявляють, що розробили метод, що дозволяє безпомилково і швидко визначати, простим чи є те чи інше число. Проблема швидкого визначення простих чисел, над якою дослідники билися протягом більш ніж 2200 років, є найважливішою в поліпшенні сучасної комп'ютерної техніки.
Прості числа - це ключ до розв'язання багатьох математичних проблем, вони також відіграють велику роль в криптографії (шифрування), завдяки чому цікавлять не тільки математиків, а й військових, розвідку і контррозвідку. Просте число - те, яке ділиться без залишку тільки на одиницю і на саме себе. Так, до простих числах відносяться 2, 3, 5, 7, 11, 13 і так далі по зростаючій.
Першим проблему визначення простих чисел поставив давньогрецький вчений Ератосфен приблизно в 220 році до нашої ери, запропонувавши один з шляхів визначення простих чисел. З тих пір вчені поступово просувалися вперед, а в останні десятиліття їм на допомогу в перевірці подільності величезних чисел прийшли комп'ютери. Математики, а пізніше і фахівці з комп'ютерного програмування розробили багато способів вирішення цієї проблеми, однак всі вони несуть невелику потенційну можливість помилки.
"Наш алгоритм виключає ймовірність будь-якої помилки", - заявив основний розробник нового методу Маніндра Агравал. Результати обчислень вже розіслані провідним комп'ютерним фахівцям і математикам в усьому світі. Вчені еже отримали кілька відгуків. Ніхто не висловлює сумнівів в новому алгоритмі, і всі висловлюють задоволення досягнутим результатом, повідомляє NTVRU. Com.
ВИСНОВОК
У даній роботі розглянуті питання:
Історія виникнення простих чисел.
Розглянуто алгоритм знаходження простих чисел.
Названо імена вчених, які займалися вивченням простих чисел.
А також підібрані завдання на прості числа.
Дану роботу можна використовувати на уроках математики, і в гурткової роботи, що б не здавалося, що наука математика це суха, суха нецікава наука.
БІБЛІОГРАФІЯ
1. Шейніна О.С., Соловйова Г.М. Математика. Заняття шкільного гуртка 6 травня кл. М.: изд під НЦ ЕНАС, 2005 208с (портфель вчителя)
2. Агеєва І.Д. Цікаві матеріали з інформатики та математики. Методичний посібник. М.: Ту. Сфера, 2006 240с (ігрові методи навчання).
3. Математика: Учеб. Для 5 кл. загальноосвітній установ / Г.В. Дорофєєв, І.Ф. Шаригін. С.Б. Суворова та ін; Під редакцією Г.В. Дорофєєва, І.Ф. Шаригіна. М.: Освіти, 1998. 368с.: Іл. ISBN 5 вересня 008 059 3
4. Цікаві дидактичні матеріали з математики. Збірник завдань. Випуск 2 В.В. Трошин М.: Глобус, 2008 282с. (Вчення із захопленням).