Федеральне агентство з освіти
Державна освітня установа вищої професійної освіти
Вятський державний гуманітарний університет
Математичний факультет
Кафедра алгебри і геометрії
Випускна кваліфікаційна робота
Розширення кільця за допомогою полутела
Виконав:
студент V курсу математичного факультету
Лукін Михайло Олександрович
_____________________
Науковий керівник:
д. ф.-м. н., професор, зав. кафедрою алгебри і геометрії
Вечтомов Євген Михайлович
_____________________
Рецензент:
к. ф.-м. н., доцент, доцент кафедри алгебри і геометрії
Чермний Василь Володимирович
_____________________
Допущений до захисту в державної атестаційної комісії
«___» __________2005 Р. Зав. кафедрою Є. М. Вечтомов
«___»___________ 2005 Декан факультету В. І. Варанкіна
Кіров - 2005
Зміст
Введення ................................................. ....................................... 3
§ 1. Допустимі кільця і грати .............................................. 6
§ 2. Допустимі полутела ................................................ .......... 10
§ 3. Про єдиності розширення ............................................ 12
Висновок ................................................. ................................ 14
Бібліографічний список ................................................ ........ 15
Введення
Теорія півкілець є активно розвиваються розділом сучасної алгебри, знаходить застосування в комп'ютерної алгебри, Ідемпотентний аналізі, теорії оптимального управління.
Для отримання нових конструкцій півкілець може виявитися корисним поняття подвійного розширення півкілець (або 0-1 розширення).
У роботі досліджується наступне запитання. Для яких кільця R, полутела U і обмеженою дистрибутивної решітки L існує 0-1-розширення кільця R і полутела U за допомогою решітки L?
Півкільцем називається така алгебраїчна структура á S; +, ×, 0ñ, що á S; +, 0ñ - комутативне моноїд з нулем 0, á S, ñ - напівгрупа і в S виконуються тотожності a (b + c) = ab + ac, (a + b) c = ac + bc і a 0 = 0 a = 0. Неодноелементное півкільце з розподілом, що не є кільцем, називається полутелом (з нулем). Якщо з полутела S виключити 0, то отримаємо структуру á S; +, ñ, яку будемо називати полутелом без нуля, або просто полутелом. Півкільце з Квазітотожність a + b = 0 Þ a = 0 назвемо антікольцом. Півкільце з тотожністю a + a = a називається Ідемпотентний. А півкільце з Квазітотожність a + b = a + c Þ b = c називається скоротливості.
Півкільце S назвемо 0-розширенням півкільця K з допомогою півкільця T, якщо на S існує така конгруенцію s, що K @ [0] s - ізоморфно нульового ядру - і S / s @ T. Аналогічно, півкільце S з одиницею 1 називається 1-розширенням півкільця K, можливе без нуля, з допомогою півкільця T, якщо на S існує конгруенції r, для якої K @ [1] r - Ізоморфно одиничного ядру - і S / r @ T. На відміну від кілець дані розширення дозволяють ширше представляти самі півкільця, скажімо, вивчити симбіоз кілець і полутел, або кілець і антіколец (див. [1]).
Для довільного півкільця S позначимо через R (S) множина всіх адитивно оборотних елементів в S, а через U (S) - множина всіх оборотних елементів в S у випадку, коли S володіє 1. Очевидно, що R (S) є кільцем і суворим ідеалом півкільця S (тобто a + b Î R (S) Þ a, b Î R (S)).
Нехай S / R (S) - Фактор-півкільце півкільця S по конгруенції Берна, відповідної ідеалу R (S): s конгруентно t Û s + a = t + b для деяких a, b Î R (S). Позитивне регулярне півкільце, всі ідемпотенти якого центральні, називаються arp-півкільцем [2]. При цьому позитивність півкільця S з 1 означає, що всі елементи виду a +1, a Î S, оборотні, а його регулярність означає розв'язність в S кожного рівняння axa = a.
Справедливі наступні твердження.
1. Будь-яке півкільце S є 0-розширенням кільця, ізоморфного R (S), за допомогою позитивно упорядкованого півкільця [1]
2. Півкільце S з 1 ізоморфно прямому твору кільця і антікольца тоді і тільки тоді, коли його ідеал R (S) має одиничний елемент, коммутирующий з кожним елементом з S [1].
3. Півкільце S служить 0-розширенням кільця за допомогою полутела тоді і тільки тоді, коли ідеал R (S) полульца S простий (тобто ab Î R (S) тягне a Î R (S) або b Î R (S)).
4. Для півкільця S з 1 фактор-півкільце S / R (S) є полутелом з нулем тоді і тільки, коли R (S) є максимальний односторонній ідеал у S.
В якості слідства тверджень 2 і 4 очевидним чином формулюється критерій разложимости півкільця з 1 у прямий добуток кільця і полутела з нулем. Відзначимо також, що подпрямие твори кільця і обмеженою дистрибутивної решітки абстрактно охарактеризовано в [3].
5. Для існування 1-розширення півкільця K, можливо не має нуля, з допомогою півкільця T необхідно і достатньо, щоб K мало 1, а T було Ідемпотентний півкільцем з 1.
6. Будь-яке arp - півкільце S є 1-розширенням полутела U (S) за допомогою обмеженою дистрибутивної решітки S / r, де r - конгруенції на S, така, що a r b означає aU (S) = bU (S). Для комутативними півкілець вірно і зворотне твердження. Див [2].
7. Всяке полутело є 1-розширенням скоротливості полутела за допомогою Ідемпотентний полутела [4].
Півкільце S з 1 назвемо 0-1-розширенням півкільця K і півкільця без нуля L з допомогою півкільця T, якщо на S існує така конгруенції r, що [0] ρ @ K, [1] r @ L і S / r @ T.
Нехай для кільця R, полутела U і обмеженою дистрибутивної решітки L існує 0-1-розширення кільця R і полутела U за допомогою решітки L. Відповідну трійку <R, P, L> будемо називати допустимої.
§ 1. Допустимі кільця і решітки
Мова в главі піде про решітці і кільці, які перебували у допустимої трійці.
Позначимо через D двоелементною ланцюг.
Нехай є півкільце S з конгруенції r, для якої [0] r @ R, [1] r @ P, F / r @ D. Таке півкільце S назвемо діз'юнктним об'єднанням кільця R і полутела P, і позначимо P
З іншого боку, якщо будь-який елемент півкільця S з 1 або звернемо, або має протилежний елемент, то S буде діз'юнктним об'єднанням кільця R (S) і полутела U (S). При цьому розбиття {R (S), U (S)} індукує шукану конгруенцію r на S.
Пропозиція. В U
Доказ. А) Нехай
б) Нехай мультиплікативна операція задана. Якщо
Теорема 1. Для довільного кільця R еквівалентні наступні умови:
1) існує допустима трійка á R, U, L ñ, де L - будь-яка дистрибутивна решітка з 1 ¹ 0;
2) існує півкільце, що є діз'юнктним об'єднанням кільця R і полутела U;
3) R - радикальне по Джекобсон кільце, адитивна група якого є ділима група без скруту.
Доказ.
1Þ2. Для даної трійки розглянемо відповідні півкільце S і конгруенцію r. Оскільки D - підгратка дистрибутивної решітки L з 0 і 1, як діз'юнктного об'єднання можна взяти подполукольцо [1] r È [0] r в S.
2Þ1. Будь-яка дистрибутивна решітка L володіє простим ідеалом I, більше того L \ I - дуальний ідеал.
Тому як півкільця S можна взяти безліч пар (i, r), i Î I, r Î R È (l, p), l Î L / I, p Î P з покоординатного складанням і множенням. Зважаючи на простоти I операції задані коректно, аксіоми півкільця виконуються, оскільки вони виконуються для лівої координати, як аксіоми решітки та для правої координати, що випливає з існування F, [0] r @ R, [1] r @ P, F / r @ L 2. Якщо в якості конгруенції g вибрати ставлення рівності першого координат, то [0] g @ R, [1] g @ P, S / g @ L 2, що завершує доказ.
Лема. Нехай у кільці R "r $ r ¢" t Î R, (r + r ¢ r + r ¢) t = 0Ù, (r + rr ¢ + r ¢) t = 0, тоді "r $ r ², r + r ² r + r ² = 0Ù r + r ² r + r ² = 0.
Доказ. Нехай виконуються умови леми, тоді, покладемо r ² =- r - r ¢ r. Маємо
r + r ² r + r ² = r + (- r - r ¢ r) r - r - r ¢ r = (r + r ¢ r + r ¢) (- r) = 0
r + rr ² + r ² = r + r (- r - r ¢ r) - r - r ¢ r = (r + rr ¢ + r ¢) (- r) = 0.
Кільце R називається радикальним по Джекобсон, якщо воно збігається зі своїм радикалом Джекобсона (див., наприклад, [5]). Це означає, що операція «кругової композиції» r ° s = r + s + rs в R є груповий, з нейтральним елементом 0. Іншими словами, в кільці R для будь-якого елемента r існує єдиний елемент s, такий, що r + s + rs = 0.
2) Þ3). P містить Q +, інакше 1 + 1 = 1, помноживши рівність на ненульовий елемент кільця r, маємо r + r = r Û r = 0 - протиріччя. Таким чином, R - полумодуль над Q + і, значить, модуль над Q. Тому <R, +> - ділима абелева група без крутіння (детально див також пропозиція).
Безліч T = Q + + R є подполутелом в U, оскільки
q 1 + r 1 + q 2 + r 2 = (Q 1 + q 2) + (r 1 + r 2);
(Q 1 + r 1) (q 2 + r 2) = (q 1 q 2 + q 1 r 2 + r 1 q 2 + r 1 r 2) = q 1 q 2 + (q 1 r 2 + r 1 q 2 + r 1 r 2);
t = q + r Þ 1 = qt -1 + rt -1 Þ t -1 = q -1 - q -1 rt -1 Î Q + + R.
Отже, для будь-якого елементу 1 + r, r Î R знайдеться, 1 + r ¢, r ¢ Î R що (1 + r) (1 + r ¢) = (1 + r ¢) (1 + r) = 1. З дистрибутивності випливає, що 1 + r + rr ¢ + r ¢ = 1 + r + r ¢ r + r ¢ = 1. Множачи останнє рівність на будь-t Î R, маємо (r + r ¢ r + r ¢) t = 0Ù (r + rr ¢ + r ¢) t = 0, значить, на увазі леми, R радикально по Джекобсон.
3) Þ2). Оскільки R радикально по Джекобсон, алгебра Q + 'R з операціями
(Q 1, r 1) + (q 2, r 2) = (Q 1 + q 2) + (r 1 + r 2), (q 1, r 1) × (q 2, r 2) = (q 1 q 2, q 1 r 2 + r 1 q 2 + r 1 r 2)
є полутелом з одиничним елементом (1,0). А безліч S @ (Q + È {0}) 'R з тими ж операціями збігається з (Q +' R)
Приклади. 1. Будь-яке Ніль-кільце радикально по Джекобсон. Зокрема таке кільце з нульовим множенням.
Ще одним окремим випадком є нільпотентні кільце R, породжене одним елементом e.
Нехай e - утворює. Оскільки як елементів R виступають p 1 e + p 2 e 2 + ... + p n -1 e n -1, p i Î Q, n - найменша нульова ступінь e, T
(Q + q 1 e + q 2 e 2 + ... + q n -1 e n -1, p 1 e + p 2 e 2 + ... + p n -1 e n -1) q Î Q +, q i , p i Î Q або
(Q + q 1 e + q 2 e 2 + ... + q n -1 e n -2, p 1 e + p 2 e 2 + ... + p n -1 e n -1) q Î Q +, q i , p i Î Q
c операціями
(Q 1, r 1) + (q 2, r 2) = (q 1 + q 2) + (r 1 + r 2), (q 1, r 1) × (q 2, r 2) = (q 1 q 2, q 1 r 2 + r 1 q 2 + r 1 r 2).
2. Радикальним по Джекобсон буде кільце, що збігається з підмножиною гіпердействітельних чисел R @ m (0). Це комутативне кільце без дільників нуля. "A Î m (0), a + x + ax = 0Û x = (- a) / (1 + a) Î m (0)
Моделлю представленого півкільця є прямий добуток двох підмножин кільця Q [x]: многочленів з ненегативним вільним членом і многочленів з позитивним вільним членом. Безліч пар, виду (q + q 1 e + q 2 e 2 + ... + q n -1 e l, p 1 e + p 2 e 2 + ... + p n -1 e m) q Î Q +, q i , p i Î
Відповідно приватному функцій задаються всі операції в цій множині (зрозуміло, береться не все безліч пар, а безліч класів факторполукольца, де дві пари еквівалентні тоді і тільки тоді, коли рівні урожай його протилежних координат).
Цей приклад легко узагальнюється для многочленів від довільного безлічі змінних.
§ 2. Допустимі полутела
Подальший ряд пропозицій направлений на відшукання всіляких полутел P, що P
Зауваження. 1. Нехай дано допустиме кільце R, тоді безліч елементів M = {m Î R, "r Î R | r ∙ m = m ∙ r = 0} утворює в ньому підкільце.
2. Безліч елементів E = {e Î R, 1 + e = 1} утворює в M і в R двосторонній ідеал з подільною адитивної групою.
3. Безліч Q + Ч (R / I) є полутелом з операціями (q 1, r 1) + (q 2, r 2) = (q 1 + q 2) + (r 1 + r 2), (q 1, r 1) × (q 2, r 2 ) = (q 1 q 2, q 1 r 2 + r 1 q 2 + r 1 r 2), де I - довільний ідеал з подільною адитивної групою кільця R.
Теорема 2. Нехай á R, U, D ñ - допустима трійка і R ненульове. Тоді безліч Q + + R є подполутело U, ізоморфне ((R / I) 'Q +), де I деякий ідеал аннулятора з подільною адитивної групою. І існує канонічний гомоморфізм a полутела U в кільце R-модульних ендоморфізму End R R, образ якого містить Q +. Якщо правий аннулятор кільця R нульовий, то полутело Im a містить подполутело, ізоморфне ((R / I) 'Q +).
Доказ. Нехай T, R - з допустимої трійки. Будь-який елемент T представимо у вигляді q + r, q Î Q +, r Î R. Два елементи q + r 1 і q + r 2 рівні тоді і тільки тоді, коли 1 + r 1 - r 2 = 1. З іншого боку, якщо 1 + r = 1, то 1 + r 1 + r = 1 + r 1. Тому всі елементи виду q + r + e, 1 + e = 1 "e зливаються в класи q Ч (R / I), де I - множина всіх e.
Відображення j u: R ® uR, u Î U зважаючи дистрибутивності і асоціативності у U
Нехай правий аннулятор R нульовою, тоді для двох елементів q 1 + r 1, q 2 + r 2, вважаючи без обмеження спільності, q 1 = q 2 + q 3 (q 3 може дорівнювати нулю), "r, (q 1 + r 1) r = (q 2 + r 2) r Û (q 3 + r 1 - r 2) r = 0Þ q 3 = 0, r 1 = r 2. Елементи q 1 + r 1 і q 2 + r 2 однаково діють на R тільки у випадку рівності. Тому a - мономорфизм і Im a містить подполутело, ізоморфне ((R / I) 'Q +).
Зауваження. Система (Q + Ч (R / I)) È ({0} Ч R) з операціями (q 1, r 1) + (q 2, r 2) = (q 1 + q 2) + (r 1 + r 2), (q 1, r 1) × (q 2, r 2) = (q 1 q 2, q 1 r 2 + r 1 q 2 + r 1 r 2) і довільним ідеалом аннулятора з подільною адитивної групою I є діз'юнктним об'єднанням. Додавання класу (R / I) з елементом кільця визначається як складання будь-якого елементу цього класу з елементом кільця.
§ 3. Про єдиності розширення
При вивченні структури діз'юнктних об'єднань кільця і полутела виникає питання про одиничність U
Нехай для даних полутела U і кільця R існує комутативне U
(Q + q 1 e + q 2 e 2 + ... + q n -1 e n -1, p 1 e + p 2 e 2 + ... + p n -1 e n -1) q Î Q +, q i , p i Î Q з прикладу 1).
Визначимо нові операції на U È R наступним чином: Множення залишимо незмінним, а додавання елементів r Î R і u Î U складання задамо законом u Å r = u + r + r × t. Оскільки операції всередині полутела і кільця при цьому не змінюються, досить перевірити виконання законів:
1. Асоціативність додавання:
(U 1 Å u 2) Å r = u 1 Å (u 2 Å r) Û u 1 + u 2 + r + rt = u 1 + u 2 + r + rt
(U Å r 1) Å r 2 = u Å (r 1 Å r 2) Û u + r 1 + r 1 t + r 2 + r 2 t = u + r 1 + r 2 + (r 1 + r 2 ) t.
2. Дистрибутивність:
u 1 (r Å u 2) = u 1 r Å u 1 u 2 Û u 1 (r + u 2 + rt) = u 1 u 2 + u 1 r + u 1 rt
r 1 (u Å r 2) = r 1 u Å r 1 r 2 Û r 1 u + r 1 r 2 + r 1 r 2 t = r 1 u + r 1 r 2.
Таким чином, U È R з новими операціями є діз'юнктним об'єднанням. Проте, два наявних півкільця ізоморфні між собою, оскільки існує ізоморфізм f: u ® u "u Î U:
r ® (1 + t) -1 r "r Î R. Причому f t : R ® (1 + t) -1 r "r Î R - автоморфізм R.
Доказ. Маємо f t - автоморфізм R, оскільки для кожного елемента r є свій праобраз (1 + t) r. І виконуються тотожності
"R 1, r 2, f t (r 1 + r 2) = (1 + t) -1 (r 1 + r 2) = (1 + t) -1 r 1 + (1 + t) -1 r 2 = f t (r 1) + f t (r 2)
"R 1, r 2, (1 + t) -1 (r 1 ∙ r 2) = (1 + t) -1 (1 + t) -1 (r 1 ∙ r 2),
оскільки (1 + t) r 1 r 2 = r 1 r 2. Тому на увазі комутативності півкільця f t (r 1 ∙ r 2) = f t (r 1) f t (R 2).
Оскільки при відображенні f кільце і полутело автоморфних переходять в себе, ізоморфізм півкілець випливає з таких тотожностей:
"U Î U, r Î R f (u + r) = u + r = u + r + (1 + t) -1 r f (u) Å f (r)
"U Î U, r Î R f (ur) = (1 + t) -1 ur = u (1 + t) -1 r = f (u) f (r).
Питання про те, єдиним чи є діз'юнктное об'єднання з точністю до ізоморфізму залишається відкритим.
Висновок
У дипломній роботі представлено опис 0-1-розширень кільця R і полутела U за допомогою решітки L. Встановлено, наступні факти:
існування 0-1-розширення не залежить від будови дистрибутивної решітки L (теорема 1);
кільце R складається в якій або допустимої трійці тоді і тільки тоді, коли воно радикально по Джекобсон (теорема 1);
будова полутела U істотно залежить від будови R (теорема 2).
Не вирішеним залишається питання про одиничність з точністю до ізоморфізму U
Бібліографічний список
1. Вечтомов Є.М. Дві загальні структурні теореми про полумодулях / / абелевих груп та модулі: зб. статей / За ред. А.В. Михальова. Вип. 15. -Томськ: ТГУ, 2000. - С. 17-23.
2. Вечтомов Є.М., Михальов О.В., Чермний В.В. Абелева-регурярние позитивні півкільця / / Праці семінару ім. І.Г. Петровського. - 2000. - Т 20. - С. 282-309.
3. Golan JS The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science / / Pitman monographs and surveys in pure and applied mathematics. V. 54. - 1992. - S. 93-98.
4. Семенов О.М. Про будову полутел / / Вісник ВятГГУ. - 2003. - № 8. - С. 105-107.
5. Херстейн І. некомутативних кільця. - М.: Світ, 1972. - 200 с.
Державна освітня установа вищої професійної освіти
Вятський державний гуманітарний університет
Математичний факультет
Кафедра алгебри і геометрії
Випускна кваліфікаційна робота
Розширення кільця за допомогою полутела
Виконав:
студент V курсу математичного факультету
Лукін Михайло Олександрович
_____________________
Науковий керівник:
д. ф.-м. н., професор, зав. кафедрою алгебри і геометрії
Вечтомов Євген Михайлович
_____________________
Рецензент:
к. ф.-м. н., доцент, доцент кафедри алгебри і геометрії
Чермний Василь Володимирович
_____________________
Допущений до захисту в державної атестаційної комісії
«___» __________2005 Р. Зав. кафедрою Є. М. Вечтомов
«___»___________ 2005 Декан факультету В. І. Варанкіна
Зміст
Введення ................................................. ....................................... 3
§ 1. Допустимі кільця і грати .............................................. 6
§ 2. Допустимі полутела ................................................ .......... 10
§ 3. Про єдиності розширення ............................................ 12
Висновок ................................................. ................................ 14
Бібліографічний список ................................................ ........ 15
Введення
Теорія півкілець є активно розвиваються розділом сучасної алгебри, знаходить застосування в комп'ютерної алгебри, Ідемпотентний аналізі, теорії оптимального управління.
Для отримання нових конструкцій півкілець може виявитися корисним поняття подвійного розширення півкілець (або 0-1 розширення).
У роботі досліджується наступне запитання. Для яких кільця R, полутела U і обмеженою дистрибутивної решітки L існує 0-1-розширення кільця R і полутела U за допомогою решітки L?
Півкільцем називається така алгебраїчна структура á S; +, ×, 0ñ, що á S; +, 0ñ - комутативне моноїд з нулем 0, á S, ñ - напівгрупа і в S виконуються тотожності a (b + c) = ab + ac, (a + b) c = ac + bc і a 0 = 0 a = 0. Неодноелементное півкільце з розподілом, що не є кільцем, називається полутелом (з нулем). Якщо з полутела S виключити 0, то отримаємо структуру á S; +, ñ, яку будемо називати полутелом без нуля, або просто полутелом. Півкільце з Квазітотожність a + b = 0 Þ a = 0 назвемо антікольцом. Півкільце з тотожністю a + a = a називається Ідемпотентний. А півкільце з Квазітотожність a + b = a + c Þ b = c називається скоротливості.
Півкільце S назвемо 0-розширенням півкільця K з допомогою півкільця T, якщо на S існує така конгруенцію s, що K @ [0] s - ізоморфно нульового ядру - і S / s @ T. Аналогічно, півкільце S з одиницею 1 називається 1-розширенням півкільця K, можливе без нуля, з допомогою півкільця T, якщо на S існує конгруенції r, для якої K @ [1] r - Ізоморфно одиничного ядру - і S / r @ T. На відміну від кілець дані розширення дозволяють ширше представляти самі півкільця, скажімо, вивчити симбіоз кілець і полутел, або кілець і антіколец (див. [1]).
Для довільного півкільця S позначимо через R (S) множина всіх адитивно оборотних елементів в S, а через U (S) - множина всіх оборотних елементів в S у випадку, коли S володіє 1. Очевидно, що R (S) є кільцем і суворим ідеалом півкільця S (тобто a + b Î R (S) Þ a, b Î R (S)).
Нехай S / R (S) - Фактор-півкільце півкільця S по конгруенції Берна, відповідної ідеалу R (S): s конгруентно t Û s + a = t + b для деяких a, b Î R (S). Позитивне регулярне півкільце, всі ідемпотенти якого центральні, називаються arp-півкільцем [2]. При цьому позитивність півкільця S з 1 означає, що всі елементи виду a +1, a Î S, оборотні, а його регулярність означає розв'язність в S кожного рівняння axa = a.
Справедливі наступні твердження.
1. Будь-яке півкільце S є 0-розширенням кільця, ізоморфного R (S), за допомогою позитивно упорядкованого півкільця [1]
2. Півкільце S з 1 ізоморфно прямому твору кільця і антікольца тоді і тільки тоді, коли його ідеал R (S) має одиничний елемент, коммутирующий з кожним елементом з S [1].
3. Півкільце S служить 0-розширенням кільця за допомогою полутела тоді і тільки тоді, коли ідеал R (S) полульца S простий (тобто ab Î R (S) тягне a Î R (S) або b Î R (S)).
4. Для півкільця S з 1 фактор-півкільце S / R (S) є полутелом з нулем тоді і тільки, коли R (S) є максимальний односторонній ідеал у S.
В якості слідства тверджень 2 і 4 очевидним чином формулюється критерій разложимости півкільця з 1 у прямий добуток кільця і полутела з нулем. Відзначимо також, що подпрямие твори кільця і обмеженою дистрибутивної решітки абстрактно охарактеризовано в [3].
5. Для існування 1-розширення півкільця K, можливо не має нуля, з допомогою півкільця T необхідно і достатньо, щоб K мало 1, а T було Ідемпотентний півкільцем з 1.
6. Будь-яке arp - півкільце S є 1-розширенням полутела U (S) за допомогою обмеженою дистрибутивної решітки S / r, де r - конгруенції на S, така, що a r b означає aU (S) = bU (S). Для комутативними півкілець вірно і зворотне твердження. Див [2].
7. Всяке полутело є 1-розширенням скоротливості полутела за допомогою Ідемпотентний полутела [4].
Півкільце S з 1 назвемо 0-1-розширенням півкільця K і півкільця без нуля L з допомогою півкільця T, якщо на S існує така конгруенції r, що [0] ρ @ K, [1] r @ L і S / r @ T.
Нехай для кільця R, полутела U і обмеженою дистрибутивної решітки L існує 0-1-розширення кільця R і полутела U за допомогою решітки L. Відповідну трійку <R, P, L> будемо називати допустимої.
§ 1. Допустимі кільця і решітки
Мова в главі піде про решітці і кільці, які перебували у допустимої трійці.
Позначимо через D двоелементною ланцюг.
Нехай є півкільце S з конгруенції r, для якої [0] r @ R, [1] r @ P, F / r @ D. Таке півкільце S назвемо діз'юнктним об'єднанням кільця R і полутела P, і позначимо P
З іншого боку, якщо будь-який елемент півкільця S з 1 або звернемо, або має протилежний елемент, то S буде діз'юнктним об'єднанням кільця R (S) і полутела U (S). При цьому розбиття {R (S), U (S)} індукує шукану конгруенцію r на S.
Пропозиція. В U
Доказ. А) Нехай
б) Нехай мультиплікативна операція задана. Якщо
Теорема 1. Для довільного кільця R еквівалентні наступні умови:
1) існує допустима трійка á R, U, L ñ, де L - будь-яка дистрибутивна решітка з 1 ¹ 0;
2) існує півкільце, що є діз'юнктним об'єднанням кільця R і полутела U;
3) R - радикальне по Джекобсон кільце, адитивна група якого є ділима група без скруту.
Доказ.
1Þ2. Для даної трійки розглянемо відповідні півкільце S і конгруенцію r. Оскільки D - підгратка дистрибутивної решітки L з 0 і 1, як діз'юнктного об'єднання можна взяти подполукольцо [1] r È [0] r в S.
2Þ1. Будь-яка дистрибутивна решітка L володіє простим ідеалом I, більше того L \ I - дуальний ідеал.
Тому як півкільця S можна взяти безліч пар (i, r), i Î I, r Î R È (l, p), l Î L / I, p Î P з покоординатного складанням і множенням. Зважаючи на простоти I операції задані коректно, аксіоми півкільця виконуються, оскільки вони виконуються для лівої координати, як аксіоми решітки та для правої координати, що випливає з існування F, [0] r @ R, [1] r @ P, F / r @ L 2. Якщо в якості конгруенції g вибрати ставлення рівності першого координат, то [0] g @ R, [1] g @ P, S / g @ L 2, що завершує доказ.
Лема. Нехай у кільці R "r $ r ¢" t Î R, (r + r ¢ r + r ¢) t = 0Ù, (r + rr ¢ + r ¢) t = 0, тоді "r $ r ², r + r ² r + r ² = 0Ù r + r ² r + r ² = 0.
Доказ. Нехай виконуються умови леми, тоді, покладемо r ² =- r - r ¢ r. Маємо
r + r ² r + r ² = r + (- r - r ¢ r) r - r - r ¢ r = (r + r ¢ r + r ¢) (- r) = 0
r + rr ² + r ² = r + r (- r - r ¢ r) - r - r ¢ r = (r + rr ¢ + r ¢) (- r) = 0.
Кільце R називається радикальним по Джекобсон, якщо воно збігається зі своїм радикалом Джекобсона (див., наприклад, [5]). Це означає, що операція «кругової композиції» r ° s = r + s + rs в R є груповий, з нейтральним елементом 0. Іншими словами, в кільці R для будь-якого елемента r існує єдиний елемент s, такий, що r + s + rs = 0.
2) Þ3). P містить Q +, інакше 1 + 1 = 1, помноживши рівність на ненульовий елемент кільця r, маємо r + r = r Û r = 0 - протиріччя. Таким чином, R - полумодуль над Q + і, значить, модуль над Q. Тому <R, +> - ділима абелева група без крутіння (детально див також пропозиція).
Безліч T = Q + + R є подполутелом в U, оскільки
q 1 + r 1 + q 2 + r 2 = (Q 1 + q 2) + (r 1 + r 2);
(Q 1 + r 1) (q 2 + r 2) = (q 1 q 2 + q 1 r 2 + r 1 q 2 + r 1 r 2) = q 1 q 2 + (q 1 r 2 + r 1 q 2 + r 1 r 2);
t = q + r Þ 1 = qt -1 + rt -1 Þ t -1 = q -1 - q -1 rt -1 Î Q + + R.
Отже, для будь-якого елементу 1 + r, r Î R знайдеться, 1 + r ¢, r ¢ Î R що (1 + r) (1 + r ¢) = (1 + r ¢) (1 + r) = 1. З дистрибутивності випливає, що 1 + r + rr ¢ + r ¢ = 1 + r + r ¢ r + r ¢ = 1. Множачи останнє рівність на будь-t Î R, маємо (r + r ¢ r + r ¢) t = 0Ù (r + rr ¢ + r ¢) t = 0, значить, на увазі леми, R радикально по Джекобсон.
3) Þ2). Оскільки R радикально по Джекобсон, алгебра Q + 'R з операціями
(Q 1, r 1) + (q 2, r 2) = (Q 1 + q 2) + (r 1 + r 2), (q 1, r 1) × (q 2, r 2) = (q 1 q 2, q 1 r 2 + r 1 q 2 + r 1 r 2)
є полутелом з одиничним елементом (1,0). А безліч S @ (Q + È {0}) 'R з тими ж операціями збігається з (Q +' R)
Приклади. 1. Будь-яке Ніль-кільце радикально по Джекобсон. Зокрема таке кільце з нульовим множенням.
Ще одним окремим випадком є нільпотентні кільце R, породжене одним елементом e.
Нехай e - утворює. Оскільки як елементів R виступають p 1 e + p 2 e 2 + ... + p n -1 e n -1, p i Î Q, n - найменша нульова ступінь e, T
(Q + q 1 e + q 2 e 2 + ... + q n -1 e n -1, p 1 e + p 2 e 2 + ... + p n -1 e n -1) q Î Q +, q i , p i Î Q або
(Q + q 1 e + q 2 e 2 + ... + q n -1 e n -2, p 1 e + p 2 e 2 + ... + p n -1 e n -1) q Î Q +, q i , p i Î Q
c операціями
(Q 1, r 1) + (q 2, r 2) = (q 1 + q 2) + (r 1 + r 2), (q 1, r 1) × (q 2, r 2) = (q 1 q 2, q 1 r 2 + r 1 q 2 + r 1 r 2).
2. Радикальним по Джекобсон буде кільце, що збігається з підмножиною гіпердействітельних чисел R @ m (0). Це комутативне кільце без дільників нуля. "A Î m (0), a + x + ax = 0Û x = (- a) / (1 + a) Î m (0)
Моделлю представленого півкільця є прямий добуток двох підмножин кільця Q [x]: многочленів з ненегативним вільним членом і многочленів з позитивним вільним членом. Безліч пар, виду (q + q 1 e + q 2 e 2 + ... + q n -1 e l, p 1 e + p 2 e 2 + ... + p n -1 e m) q Î Q +, q i , p i Î
Відповідно приватному функцій задаються всі операції в цій множині (зрозуміло, береться не все безліч пар, а безліч класів факторполукольца, де дві пари еквівалентні тоді і тільки тоді, коли рівні урожай його протилежних координат).
Цей приклад легко узагальнюється для многочленів від довільного безлічі змінних.
§ 2. Допустимі полутела
Подальший ряд пропозицій направлений на відшукання всіляких полутел P, що P
Зауваження. 1. Нехай дано допустиме кільце R, тоді безліч елементів M = {m Î R, "r Î R | r ∙ m = m ∙ r = 0} утворює в ньому підкільце.
2. Безліч елементів E = {e Î R, 1 + e = 1} утворює в M і в R двосторонній ідеал з подільною адитивної групою.
3. Безліч Q + Ч (R / I) є полутелом з операціями (q 1, r 1) + (q 2, r 2) = (q 1 + q 2) + (r 1 + r 2), (q 1, r 1) × (q 2, r 2 ) = (q 1 q 2, q 1 r 2 + r 1 q 2 + r 1 r 2), де I - довільний ідеал з подільною адитивної групою кільця R.
Теорема 2. Нехай á R, U, D ñ - допустима трійка і R ненульове. Тоді безліч Q + + R є подполутело U, ізоморфне ((R / I) 'Q +), де I деякий ідеал аннулятора з подільною адитивної групою. І існує канонічний гомоморфізм a полутела U в кільце R-модульних ендоморфізму End R R, образ якого містить Q +. Якщо правий аннулятор кільця R нульовий, то полутело Im a містить подполутело, ізоморфне ((R / I) 'Q +).
Доказ. Нехай T, R - з допустимої трійки. Будь-який елемент T представимо у вигляді q + r, q Î Q +, r Î R. Два елементи q + r 1 і q + r 2 рівні тоді і тільки тоді, коли 1 + r 1 - r 2 = 1. З іншого боку, якщо 1 + r = 1, то 1 + r 1 + r = 1 + r 1. Тому всі елементи виду q + r + e, 1 + e = 1 "e зливаються в класи q Ч (R / I), де I - множина всіх e.
Відображення j u: R ® uR, u Î U зважаючи дистрибутивності і асоціативності у U
Нехай правий аннулятор R нульовою, тоді для двох елементів q 1 + r 1, q 2 + r 2, вважаючи без обмеження спільності, q 1 = q 2 + q 3 (q 3 може дорівнювати нулю), "r, (q 1 + r 1) r = (q 2 + r 2) r Û (q 3 + r 1 - r 2) r = 0Þ q 3 = 0, r 1 = r 2. Елементи q 1 + r 1 і q 2 + r 2 однаково діють на R тільки у випадку рівності. Тому a - мономорфизм і Im a містить подполутело, ізоморфне ((R / I) 'Q +).
Зауваження. Система (Q + Ч (R / I)) È ({0} Ч R) з операціями (q 1, r 1) + (q 2, r 2) = (q 1 + q 2) + (r 1 + r 2), (q 1, r 1) × (q 2, r 2) = (q 1 q 2, q 1 r 2 + r 1 q 2 + r 1 r 2) і довільним ідеалом аннулятора з подільною адитивної групою I є діз'юнктним об'єднанням. Додавання класу (R / I) з елементом кільця визначається як складання будь-якого елементу цього класу з елементом кільця.
§ 3. Про єдиності розширення
При вивченні структури діз'юнктних об'єднань кільця і полутела виникає питання про одиничність U
Нехай для даних полутела U і кільця R існує комутативне U
(Q + q 1 e + q 2 e 2 + ... + q n -1 e n -1, p 1 e + p 2 e 2 + ... + p n -1 e n -1) q Î Q +, q i , p i Î Q з прикладу 1).
Визначимо нові операції на U È R наступним чином: Множення залишимо незмінним, а додавання елементів r Î R і u Î U складання задамо законом u Å r = u + r + r × t. Оскільки операції всередині полутела і кільця при цьому не змінюються, досить перевірити виконання законів:
1. Асоціативність додавання:
(U 1 Å u 2) Å r = u 1 Å (u 2 Å r) Û u 1 + u 2 + r + rt = u 1 + u 2 + r + rt
(U Å r 1) Å r 2 = u Å (r 1 Å r 2) Û u + r 1 + r 1 t + r 2 + r 2 t = u + r 1 + r 2 + (r 1 + r 2 ) t.
2. Дистрибутивність:
u 1 (r Å u 2) = u 1 r Å u 1 u 2 Û u 1 (r + u 2 + rt) = u 1 u 2 + u 1 r + u 1 rt
r 1 (u Å r 2) = r 1 u Å r 1 r 2 Û r 1 u + r 1 r 2 + r 1 r 2 t = r 1 u + r 1 r 2.
Таким чином, U È R з новими операціями є діз'юнктним об'єднанням. Проте, два наявних півкільця ізоморфні між собою, оскільки існує ізоморфізм f: u ® u "u Î U:
r ® (1 + t) -1 r "r Î R. Причому f t : R ® (1 + t) -1 r "r Î R - автоморфізм R.
Доказ. Маємо f t - автоморфізм R, оскільки для кожного елемента r є свій праобраз (1 + t) r. І виконуються тотожності
"R 1, r 2, f t (r 1 + r 2) = (1 + t) -1 (r 1 + r 2) = (1 + t) -1 r 1 + (1 + t) -1 r 2 = f t (r 1) + f t (r 2)
"R 1, r 2, (1 + t) -1 (r 1 ∙ r 2) = (1 + t) -1 (1 + t) -1 (r 1 ∙ r 2),
оскільки (1 + t) r 1 r 2 = r 1 r 2. Тому на увазі комутативності півкільця f t (r 1 ∙ r 2) = f t (r 1) f t (R 2).
Оскільки при відображенні f кільце і полутело автоморфних переходять в себе, ізоморфізм півкілець випливає з таких тотожностей:
"U Î U, r Î R f (u + r) = u + r = u + r + (1 + t) -1 r f (u) Å f (r)
"U Î U, r Î R f (ur) = (1 + t) -1 ur = u (1 + t) -1 r = f (u) f (r).
Питання про те, єдиним чи є діз'юнктное об'єднання з точністю до ізоморфізму залишається відкритим.
Висновок
У дипломній роботі представлено опис 0-1-розширень кільця R і полутела U за допомогою решітки L. Встановлено, наступні факти:
існування 0-1-розширення не залежить від будови дистрибутивної решітки L (теорема 1);
кільце R складається в якій або допустимої трійці тоді і тільки тоді, коли воно радикально по Джекобсон (теорема 1);
будова полутела U істотно залежить від будови R (теорема 2).
Не вирішеним залишається питання про одиничність з точністю до ізоморфізму U
Бібліографічний список
1. Вечтомов Є.М. Дві загальні структурні теореми про полумодулях / / абелевих груп та модулі: зб. статей / За ред. А.В. Михальова. Вип. 15. -Томськ: ТГУ, 2000. - С. 17-23.
2. Вечтомов Є.М., Михальов О.В., Чермний В.В. Абелева-регурярние позитивні півкільця / / Праці семінару ім. І.Г. Петровського. - 2000. - Т 20. - С. 282-309.
3. Golan JS The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science / / Pitman monographs and surveys in pure and applied mathematics. V. 54. - 1992. - S. 93-98.
4. Семенов О.М. Про будову полутел / / Вісник ВятГГУ. - 2003. - № 8. - С. 105-107.
5. Херстейн І. некомутативних кільця. - М.: Світ, 1972. - 200 с.