МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
Установа освіти
"Гомельський державний університет
імені Франциска Скорини "
Математичний факультет
Кафедра теорії ймовірностей
Курсова робота
Розробка факультативу
«Оптимальний портфель цінних паперів»
Виконавець:
студентка групи H.01.01.01 М-41
Афонасьева С.М.
Науковий керівник:
доктор фізико-математичних наук,
професор кафедри Алгебри і геометрії
Монахов В.С.
Гомель 2004
Зміст
Введення
1. План-конспект уроків
1.1 Перший урок
1.1.1 Введення
1.1.2 Введення понять дескретной випадкової величини, ймовірності за допомогою завдань
1.1.3 Домашнє завдання
1.2 Другий урок
1.2.1 Перевірка домашнього завдання
1.2.2 Введення понять математичного сподівання, середньоквадратичного відхилення, коваріації
1.2.3 Домашнє завдання
1.3 Третій урок
1.3.1 Перевірка домашнього завдання
1.3.2 Введення понять вектор, матриця
1.3.3 Множення матриць. Властивості
1.3.4 Домашнє завдання
1.4 Четвертий урок
1.4.1 Перевірка домашнього завдання
1.4.2 Транспонування
1.4.3 Визначник матриці
1.4.4 Домашнє завдання
1.5 П'ятий урок
1.5.1 Перевірка домашнього завдання
1.5.2 Зворотній матриця
1.5.3 Домашнє завдання
1.6 Шостий урок
1.6.1 Математична постановка задачі
1.6.2 Рішення завдання
1.7 Сьомий урок
Висновок
Список літератури
Введення
У багатьох школах існують профільні класи, і спостерігається тенденіція зростання їх кількості. Їх мета - профорієнтація і якісна підготовка учнів до вступних іспитів до обраних навчальних закладів. Також профільні класи дозволяють сформувати теоретичну базу, необхідну для успішного навчання спеціальності. Однак, деякі класи не повною мірою виконують ці завдання. Це може відбуватися через те, що основні дисципліни вищих та середньо-спеціальних навчальних закладів не включені в курс середньої школи. Звичайно, важко, та й не потрібно вводити всі спеціальні предмети, необхідні для оволодіння професією, в програму шкільного навчання. Але деякі короткі спецкурси, факультативи все-таки необхідні. Розглянемо предмети десятий економічних класів: основи економіки, основи споживчого права. Обидва предмета носять розвиваючий характер і не розкривають специфіки роботи економіста. Основи економіки є обов'язковим предметом для всіх факультетів
ВНЗ, а основами споживчого права добре було б володіти всім, а не тільки економістам. Також відбувається ненавмисне замовчування про тісний зв'язок економіки та математики. У результаті - у школярів може складеться спрощене уявлення про економіку.
Цілі даної роботи: розробка факультативу для ліцейських економічних класів на тему "Оптимальний портфель цінних паперів". Факультатив повинен показати один з аспектів роботи економіста, встановити зв'язок між економікою й математикою, сприяти профорієнтації учнів, ознайомити учнів з азами теорії ймовірності. Учням пропонується сформувати оптимальний портфель Тобіна максимальної ефективності з декількох цінних паперів за запропонованою формулою. Але існує розрив між їх рівнем знань і потрібним для обчислень. У формулі Тобіна використовуються поняття векторної алгебри (вектор, матриця, визначник, транспонування тощо) і ТВіМС (випадкова величина, математичне сподівання, дисперсія, коваріація та ін.) Необхідно заповнити цей розрив, при цьому не завантажуючи учнів зайвої (не потрібною для вирішення поставленого завдання) інформацією, не розтягуючи загальний час курсу. Для цього всі математичні поняття були введені за допомогою нескладних завдань, прикладів, а тільки потім сформульовані несуворі (інтуїтивні) визначення.
Робота містить теоретичні відомості, задачі, приклади для засвоєння учнями, а також пропонується спосіб подачі інформації та коментарі з проведеним уроків для викладача. Тому вона може використовуватися і вчителем при підготовці до занять, і учнями при самостійному вивченні теми.
1. ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКІВ
1.1 Перший урок
1.1.1 Введення
Набір цінних паперів, що знаходяться в учасника ринку, називається його портфелем. Існує декілька варіантів формування портфелів. Основні з них - портфель обережного і портфель ризикового інвесторів. У першому випадку необхідно мінімізувати ризик, а в другому максимізувати дохід (через це зростає ризик). Американський економіст Марковіц (Markovitz) в 1953р. запропонував математичну формаліцацію завдання формування оптимального портфеля, за що пізніше отримав Нобелівську премію. Через кілька років після дослідження Марковіца інший найбільший американський економіст Тобін (Tobin - теж в подальшому лауреат Нобелівської премії) зауважив, що якщо на ринку є безризикові папери (до таких з деякою натяжкою можна віднести державні ц.б.), то рішення задачі про оптимальний портфелі сильно спрощується. Використовуючи формулу, отриману Тобіна, із заданих ц.б. ми сформуємо оптимальний портфель. Але для цього нам необхідно познайомиться з азами математичної статистики і алгебри.
1.1.2 Введення понять дискретної випадкової величини, ймовірності за допомогою завдань
(
-Як це перевірити? Необхідно підкинути монету велике число разів. Припустимо 1000, підрахувати скільки разів випав орел. І це число розділити на 1000. Вийде близько
Тут подія випадання орла равновероятно події випадання решки.
Відступ. Анекдот. У чоловіка запитали яка ймовірність того, що він зустріне на вулиці динозавра. "Ну, не знаю. Одна мільярдна." Те ж питання задали дівчині, і вона відповіла. "П'ятдесят на п'ятдесят - або зустріч або не зустріну."
- На перший погляд логіка у відповіді дівчини є. А ми підійдемо до питання з наукової точки зору і знайдемо ймовірність дослідним шляхом. Проведемо 1000 дослідів, тобто 1000 разів вийдемо на вулицю і порахуємо скільки разів зустрінемо динозавра. Потім це число розділимо на 1000 і, швидше за все, отримаємо нуль. А бідна дівчина буде зустрічати динозавра кожен другий свій похід на вулицю.
Завдання 2. З якою ймовірністю з колоди можна витягнути туз пік з першого разу? Колода 54 карти.
(
У цьому прикладі подія витягування будь-якої однієї карти равновероятно події витягування будь-який інший карти. Оскільки карт 54, то ймовірності рівні
Завдання 3. Дитина грає з десятьма буквами розрізної абетки "М, М, А, А, А, Т, Т, Е, І, К". Знайти ймовірність того, що розкладаючи літери, він отримає слово "математика".
Необхідно показати як відбувається вибір букв. Всього 10 букв, з них дві літери М. Нам не важливо яку з них вибрати, значить ймовірність, того що першою буде стояти буква М
(
Завдання 4. Кістки гральні підкидається три рази.
Викликати учня до дошки. Скільки раз може випадати парне число очок? Від нуля до трьох. Намалюємо таблицю. Скільки граней на кубику з парним числом очок? Три. А скільки всього граней? Шість. Значить з якою ймовірністю при одному кидку випаде парне число? Відношення кількості парних граней до загальної кількості граней. Знайдемо з якою ймовірністю жодного разу не випаде парного числа очок. А якщо випаде один раз парна кількість очок? Це може проізоті наступним чином: при першому підкиданні - парне, другому і третьому - не парне; при другому - парне, при першому і третьому - непарне; при першому і другому - непарне, при третьому - парне. Знайдемо ці три ймовірності та складемо їх, отримаємо ймовірність того, що парне число очок випало один раз. Очевидно, що
Зауважимо, що
Завдання 5. Кістки гральні впадає шість разів. Знайти ймовірність того, що
а) одиниця випала 1 раз;
б) трійка випала два рази.
Розповісти для прикладу а). Всього у нас шість дослідів - викидання кубика. З них одиниця випадає один раз, а п'ять разів випадають інші п'ять цифр. Одиниця може випасти першої, другої, третьої, четвертої, п'ятої, шостий. Необхідно це врахувати. Робимо аналогічно завданню 4.
Для прикладу б). У нас трійка випадає 2 рази. Першої та другої, першої і третьої, і т.д., п'ятої та шостої. Скільки цих пар? 15. а)
б)
Коментар. Для ефективної роботи необхідно зацікавити учнів, створити діалог. Можна поцікавитися які предмети економічного циклу вони вивчають, поговорити про них, розповісти які економічні дисципліни вивчають у ВУЗах. Помітити, що вся практична економіка пов'язана з математикою.
Під час вирішення завдань всі дії необоходимо промовляти. Якщо рішення залишається незрозумілим - повторити його.
При правильному підході матеріал першого уроку не викликає труднощів у учнів.]
1.1.3 Домашнє завдання
Завдання вирішується аналогічно третин.
Завдання 6. Людина забув останні три цифри телефону, але, пам'ятаючи що вони різні, набрав номер навмання. Знайти ймовірність того, що був набраний потрібний номер.
Завдання вирішується аналогічно четвертою.
Завдання 7. Ймовірність влучення в ціль при одному пострілі - 0.8.
1.2 Другий урок
1.2.1 Перевірка домашнього завдання
1.2.2 Введення понять математичного сподівання, середньоквадратичного відхилення і коваріації с.в.
Величина
Властивості мат.ожіданія.
1)
2)
3)
Завдання 1. С.в. задана рядом розподілу. Знайти
Мат.ожіданіе - це величина, яка показує яка с.в. в середньому випадає. Але в деяких випадках цієї інформації не достатньо. Наприклад, нам відома середня прибутковість акцій, але для більш раціонального розподілу коштів необхідно знати на скільки може зміниться ця прибутковість. Тобто відхилення прибутковості. Для цього в МС використовують середньоквадратичне відхилення
Завдання 2. Знайдемо
У нашому випадку математичне сподівання - це середня очікувана прибутковість, а середньоквадратичне відхилення - це ризик ц.б.
Завдання 3. Я задумав три цифри. Ви повинні написати їх у тій же послідовності.
Для вирішення нашого завдання з формування портфеля необхідно враховувати як впливає одна с.в. на іншу. Допустимо у нас акції нафтовидобувних компаній двох видів. Якщо ціни на нафту впадуть, то прибутковість знизиться в обох ц.б. А якщо у нас ц.б. Лукойл і МТС, то падіння цін на нафту слабо відіб'ється на прибутковість компанії зв'язку. Рідше зустрічаються випадки, коли падіння цін однієї ц.б. тягне за собою зростання цін інший. В економіці два ц.б. у яких відбувається одночасне зростання називаються ц.б. з прямою кореляційною залежністю. Якщо одна ц.б. падає в ціні, а інша зростає, то це зворотна кореляційна залежність. Якщо ж зміна цін однієї не тягне оновлено цін інший, то це папери називають некоррелірованнимі.
Очевидно, нам доведеться вводити ще одну чисельну характеристику с.в. - ковариацию. Нехай дано с.в.
Коваріація
При нестачі часу про коефіцієнт кореляції можна не розповідати, тому що при вирішенні поставленої задачі він не використовується. Однак, він корисний для самоконтролю (
Завдання 4. Випадкові величини задані таблицею розподілу. Наити їх ковариацию і коефіцієнт кореляції.
При введенні дисперсії і коваріації необхідно записати основну формулу через мат.ожіданіе. Викликати учня до дошки, і направляючи його отримати формули зручні для використання на практиці. При цьому необхідно спиратися на властивості математичного сподівання, промовляючи або пропонуючи згадати підходяще учням. По ходу уроку доводиться неодноразово промовляти що таке с.в., що показує середньоквадратичне відхилення, коефіцієнт корелляціі. Складнощі виникають з тим, що школярі не звикли позначати математичні величини двома літерами. У цьому випадку можна провести аналогію між функцією і математичним очікуванням, показати що
Як показали проведені уроки, цей урок займає 2 академічні години. ]
1.2.3 Домашнє завдання
Завдання 5. Випадкові величини задані таблицею розподілу. Наити їх ковариацию і коефіцієнт кореляції.
1.3 Третій урок
1.3.1 Перевірка домашнього завдання
1.3.2 Введення понять вектор, матриця
У загальному вигляді можна вектор можна записати так
Завдання 1. Наведіть приклади векторів.
Яким чином записують результати футбольних матчів? (За допомогою таблиць.)
Нехай у групі В грали п'ять команд за коловою системою. Результати гри відображені в таблиці.
Де 2 - перемога, 1 - нічия, 0 - поразку.
Цю таблицю також можна назвати матрицею.
Опр. Таблицю виду
будемо називати матрицею розмірності
Для стислості будемо позначати матриці великими латинськими літерами.
Вектор є окремим випадком матриці при m = 1.
1.3.3 Множення матриць. Властивості
Опр. Сумою матриць
Приклад.
Як підсумувати матриці ви вже знаєте. Тепер придумайте як помножити матрицю на число.
Опр. Твором
Приклад.
Крім введених операцій нам знадобиться множення матриць.
Опр. Твором матриць
Установа освіти
"Гомельський державний університет
імені Франциска Скорини "
Математичний факультет
Кафедра теорії ймовірностей
Курсова робота
Розробка факультативу
«Оптимальний портфель цінних паперів»
Виконавець:
студентка групи H.01.01.01 М-41
Афонасьева С.М.
Науковий керівник:
доктор фізико-математичних наук,
професор кафедри Алгебри і геометрії
Монахов В.С.
Гомель 2004
Зміст
Введення
1. План-конспект уроків
1.1 Перший урок
1.1.1 Введення
1.1.2 Введення понять дескретной випадкової величини, ймовірності за допомогою завдань
1.1.3 Домашнє завдання
1.2 Другий урок
1.2.1 Перевірка домашнього завдання
1.2.2 Введення понять математичного сподівання, середньоквадратичного відхилення, коваріації
1.2.3 Домашнє завдання
1.3 Третій урок
1.3.1 Перевірка домашнього завдання
1.3.2 Введення понять вектор, матриця
1.3.3 Множення матриць. Властивості
1.3.4 Домашнє завдання
1.4 Четвертий урок
1.4.1 Перевірка домашнього завдання
1.4.2 Транспонування
1.4.3 Визначник матриці
1.4.4 Домашнє завдання
1.5 П'ятий урок
1.5.1 Перевірка домашнього завдання
1.5.2 Зворотній матриця
1.5.3 Домашнє завдання
1.6 Шостий урок
1.6.1 Математична постановка задачі
1.6.2 Рішення завдання
1.7 Сьомий урок
Висновок
Список літератури
Введення
У багатьох школах існують профільні класи, і спостерігається тенденіція зростання їх кількості. Їх мета - профорієнтація і якісна підготовка учнів до вступних іспитів до обраних навчальних закладів. Також профільні класи дозволяють сформувати теоретичну базу, необхідну для успішного навчання спеціальності. Однак, деякі класи не повною мірою виконують ці завдання. Це може відбуватися через те, що основні дисципліни вищих та середньо-спеціальних навчальних закладів не включені в курс середньої школи. Звичайно, важко, та й не потрібно вводити всі спеціальні предмети, необхідні для оволодіння професією, в програму шкільного навчання. Але деякі короткі спецкурси, факультативи все-таки необхідні. Розглянемо предмети десятий економічних класів: основи економіки, основи споживчого права. Обидва предмета носять розвиваючий характер і не розкривають специфіки роботи економіста. Основи економіки є обов'язковим предметом для всіх факультетів
ВНЗ, а основами споживчого права добре було б володіти всім, а не тільки економістам. Також відбувається ненавмисне замовчування про тісний зв'язок економіки та математики. У результаті - у школярів може складеться спрощене уявлення про економіку.
Цілі даної роботи: розробка факультативу для ліцейських економічних класів на тему "Оптимальний портфель цінних паперів". Факультатив повинен показати один з аспектів роботи економіста, встановити зв'язок між економікою й математикою, сприяти профорієнтації учнів, ознайомити учнів з азами теорії ймовірності. Учням пропонується сформувати оптимальний портфель Тобіна максимальної ефективності з декількох цінних паперів за запропонованою формулою. Але існує розрив між їх рівнем знань і потрібним для обчислень. У формулі Тобіна використовуються поняття векторної алгебри (вектор, матриця, визначник, транспонування тощо) і ТВіМС (випадкова величина, математичне сподівання, дисперсія, коваріація та ін.) Необхідно заповнити цей розрив, при цьому не завантажуючи учнів зайвої (не потрібною для вирішення поставленого завдання) інформацією, не розтягуючи загальний час курсу. Для цього всі математичні поняття були введені за допомогою нескладних завдань, прикладів, а тільки потім сформульовані несуворі (інтуїтивні) визначення.
Робота містить теоретичні відомості, задачі, приклади для засвоєння учнями, а також пропонується спосіб подачі інформації та коментарі з проведеним уроків для викладача. Тому вона може використовуватися і вчителем при підготовці до занять, і учнями при самостійному вивченні теми.
1. ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКІВ
1.1 Перший урок
1.1.1 Введення
Набір цінних паперів, що знаходяться в учасника ринку, називається його портфелем. Існує декілька варіантів формування портфелів. Основні з них - портфель обережного і портфель ризикового інвесторів. У першому випадку необхідно мінімізувати ризик, а в другому максимізувати дохід (через це зростає ризик). Американський економіст Марковіц (Markovitz) в 1953р. запропонував математичну формаліцацію завдання формування оптимального портфеля, за що пізніше отримав Нобелівську премію. Через кілька років після дослідження Марковіца інший найбільший американський економіст Тобін (Tobin - теж в подальшому лауреат Нобелівської премії) зауважив, що якщо на ринку є безризикові папери (до таких з деякою натяжкою можна віднести державні ц.б.), то рішення задачі про оптимальний портфелі сильно спрощується. Використовуючи формулу, отриману Тобіна, із заданих ц.б. ми сформуємо оптимальний портфель. Але для цього нам необхідно познайомиться з азами математичної статистики і алгебри.
1.1.2 Введення понять дискретної випадкової величини, ймовірності за допомогою завдань
(
-Як це перевірити? Необхідно підкинути монету велике число разів. Припустимо 1000, підрахувати скільки разів випав орел. І це число розділити на 1000. Вийде близько
Тут подія випадання орла равновероятно події випадання решки.
Відступ. Анекдот. У чоловіка запитали яка ймовірність того, що він зустріне на вулиці динозавра. "Ну, не знаю. Одна мільярдна." Те ж питання задали дівчині, і вона відповіла. "П'ятдесят на п'ятдесят - або зустріч або не зустріну."
- На перший погляд логіка у відповіді дівчини є. А ми підійдемо до питання з наукової точки зору і знайдемо ймовірність дослідним шляхом. Проведемо 1000 дослідів, тобто 1000 разів вийдемо на вулицю і порахуємо скільки разів зустрінемо динозавра. Потім це число розділимо на 1000 і, швидше за все, отримаємо нуль. А бідна дівчина буде зустрічати динозавра кожен другий свій похід на вулицю.
Завдання 2. З якою ймовірністю з колоди можна витягнути туз пік з першого разу? Колода 54 карти.
(
У цьому прикладі подія витягування будь-якої однієї карти равновероятно події витягування будь-який інший карти. Оскільки карт 54, то ймовірності рівні
Завдання 3. Дитина грає з десятьма буквами розрізної абетки "М, М, А, А, А, Т, Т, Е, І, К". Знайти ймовірність того, що розкладаючи літери, він отримає слово "математика".
Необхідно показати як відбувається вибір букв. Всього 10 букв, з них дві літери М. Нам не важливо яку з них вибрати, значить ймовірність, того що першою буде стояти буква М
(
Завдання 4. Кістки гральні підкидається три рази.
Викликати учня до дошки. Скільки раз може випадати парне число очок? Від нуля до трьох. Намалюємо таблицю. Скільки граней на кубику з парним числом очок? Три. А скільки всього граней? Шість. Значить з якою ймовірністю при одному кидку випаде парне число? Відношення кількості парних граней до загальної кількості граней. Знайдемо з якою ймовірністю жодного разу не випаде парного числа очок. А якщо випаде один раз парна кількість очок? Це може проізоті наступним чином: при першому підкиданні - парне, другому і третьому - не парне; при другому - парне, при першому і третьому - непарне; при першому і другому - непарне, при третьому - парне. Знайдемо ці три ймовірності та складемо їх, отримаємо ймовірність того, що парне число очок випало один раз. Очевидно, що
Зауважимо, що
Завдання 5. Кістки гральні впадає шість разів. Знайти ймовірність того, що
а) одиниця випала 1 раз;
б) трійка випала два рази.
Розповісти для прикладу а). Всього у нас шість дослідів - викидання кубика. З них одиниця випадає один раз, а п'ять разів випадають інші п'ять цифр. Одиниця може випасти першої, другої, третьої, четвертої, п'ятої, шостий. Необхідно це врахувати. Робимо аналогічно завданню 4.
Для прикладу б). У нас трійка випадає 2 рази. Першої та другої, першої і третьої, і т.д., п'ятої та шостої. Скільки цих пар? 15. а)
б)
Коментар. Для ефективної роботи необхідно зацікавити учнів, створити діалог. Можна поцікавитися які предмети економічного циклу вони вивчають, поговорити про них, розповісти які економічні дисципліни вивчають у ВУЗах. Помітити, що вся практична економіка пов'язана з математикою.
Під час вирішення завдань всі дії необоходимо промовляти. Якщо рішення залишається незрозумілим - повторити його.
При правильному підході матеріал першого уроку не викликає труднощів у учнів.]
1.1.3 Домашнє завдання
Завдання вирішується аналогічно третин.
Завдання 6. Людина забув останні три цифри телефону, але, пам'ятаючи що вони різні, набрав номер навмання. Знайти ймовірність того, що був набраний потрібний номер.
Завдання вирішується аналогічно четвертою.
Завдання 7. Ймовірність влучення в ціль при одному пострілі - 0.8.
1.2 Другий урок
1.2.1 Перевірка домашнього завдання
1.2.2 Введення понять математичного сподівання, середньоквадратичного відхилення і коваріації с.в.
Величина
Властивості мат.ожіданія.
1)
2)
3)
Завдання 1. С.в. задана рядом розподілу. Знайти
Мат.ожіданіе - це величина, яка показує яка с.в. в середньому випадає. Але в деяких випадках цієї інформації не достатньо. Наприклад, нам відома середня прибутковість акцій, але для більш раціонального розподілу коштів необхідно знати на скільки може зміниться ця прибутковість. Тобто відхилення прибутковості. Для цього в МС використовують середньоквадратичне відхилення
Завдання 2. Знайдемо
У нашому випадку математичне сподівання - це середня очікувана прибутковість, а середньоквадратичне відхилення - це ризик ц.б.
Завдання 3. Я задумав три цифри. Ви повинні написати їх у тій же послідовності.
Для вирішення нашого завдання з формування портфеля необхідно враховувати як впливає одна с.в. на іншу. Допустимо у нас акції нафтовидобувних компаній двох видів. Якщо ціни на нафту впадуть, то прибутковість знизиться в обох ц.б. А якщо у нас ц.б. Лукойл і МТС, то падіння цін на нафту слабо відіб'ється на прибутковість компанії зв'язку. Рідше зустрічаються випадки, коли падіння цін однієї ц.б. тягне за собою зростання цін інший. В економіці два ц.б. у яких відбувається одночасне зростання називаються ц.б. з прямою кореляційною залежністю. Якщо одна ц.б. падає в ціні, а інша зростає, то це зворотна кореляційна залежність. Якщо ж зміна цін однієї не тягне оновлено цін інший, то це папери називають некоррелірованнимі.
Очевидно, нам доведеться вводити ще одну чисельну характеристику с.в. - ковариацию. Нехай дано с.в.
Коваріація
При нестачі часу про коефіцієнт кореляції можна не розповідати, тому що при вирішенні поставленої задачі він не використовується. Однак, він корисний для самоконтролю (
Завдання 4. Випадкові величини задані таблицею розподілу. Наити їх ковариацию і коефіцієнт кореляції.
При введенні дисперсії і коваріації необхідно записати основну формулу через мат.ожіданіе. Викликати учня до дошки, і направляючи його отримати формули зручні для використання на практиці. При цьому необхідно спиратися на властивості математичного сподівання, промовляючи або пропонуючи згадати підходяще учням. По ходу уроку доводиться неодноразово промовляти що таке с.в., що показує середньоквадратичне відхилення, коефіцієнт корелляціі. Складнощі виникають з тим, що школярі не звикли позначати математичні величини двома літерами. У цьому випадку можна провести аналогію між функцією і математичним очікуванням, показати що
Як показали проведені уроки, цей урок займає 2 академічні години. ]
1.2.3 Домашнє завдання
Завдання 5. Випадкові величини задані таблицею розподілу. Наити їх ковариацию і коефіцієнт кореляції.
1.3 Третій урок
1.3.1 Перевірка домашнього завдання
1.3.2 Введення понять вектор, матриця
У загальному вигляді можна вектор можна записати так
Завдання 1. Наведіть приклади векторів.
Яким чином записують результати футбольних матчів? (За допомогою таблиць.)
Нехай у групі В грали п'ять команд за коловою системою. Результати гри відображені в таблиці.
Де 2 - перемога, 1 - нічия, 0 - поразку.
Цю таблицю також можна назвати матрицею.
Опр. Таблицю виду
будемо називати матрицею розмірності
Для стислості будемо позначати матриці великими латинськими літерами.
Вектор є окремим випадком матриці при m = 1.
1.3.3 Множення матриць. Властивості
Опр. Сумою матриць
Приклад.
Як підсумувати матриці ви вже знаєте. Тепер придумайте як помножити матрицю на число.
Опр. Твором
Приклад.
Крім введених операцій нам знадобиться множення матриць.
Опр. Твором матриць
Необхідно показати і озвучити практичний спосіб множення матриць: рядок множиться на стовпець. Беремо перший рядок матриці А, ставимо її вертикально навпроти першого стовпця матриці В, множимо елементи цього рядка і стовпця, які стоять напроти др.др., складаємо твори. Це перший елемент матриці С. Тепер таким же чином множимо цей рядок на другий стовпець - отримуємо другий елемент першого рядка матриці С. І т.д. Отримаємо перший рядок нової матриці. Для того, щоб отримати другий рядок, проробляємо теж саме з другим рядком матриці А.
Приклад.
Завдання 1. Виконати множення.
1.3.4 Домашнє завдання
Завдання 2. Виконати множення.
1.4 Четвертий урок
1.4.1 Перевірка домашнього завдання
1.4.2 Транспонування
Опр. Заміна рядків матриці на її стовпці (а стольбцов на рядки) називається транспонування. Позначається
Приклад.
1.4.3 Визначник матриці
Поставимо кожній матриці за певним правилом у відповідність число і назвемо його визначником матриці.
Наприклад:
Таким чином обчислюють визначники двхмерной і тривимірної матриць. Ця схема обчислення називається мнемонічним правилом. Для чотиривимірний матриці не зручно складати такі схеми. Існує суворе правило знаходження визначника матриці n-го порядку. Але ми будемо працювати тільки з тривимірними матрицями.
Необхідно звернути увагу на те, що матриця пишеться в круглих дужках, а визначник матриці - у прямих.
Завдання 1. Знайти визначники матриць А і
Звернути увагу, на те що визначник матриці не збігається з визначником транспонованої матриці.
Завдання 2. Знайти визначники матриць.
1.4.4 Домашнє завдання
Завдання 3. Знайти добуток матриць А і В з завдання 2. Обчислити визначник отриманої матриці.
Завдання 4. Знайти значення виразу
Необхідно сказати, що послідовність виконання операцій, така ж як і для чисел, але першим виконують транспонування.
1.5 П'ятий урок
1.5.1 Перевірка домашнього завдання
1.5.2 Зворотній матриця
Опр. Якщо
Де
Для того, щоб знайти зворотну матрицю нам необхідно знайти т.зв. алгебраїчне доповнення.
Нехай дана матриця
число
називається алгебраїчним доповненням елемента
Опр. Алгебраїчним доповненням елемента
Тепер можна знайти і зворотну матрицю.
Завдання 1. Знайти обернену матрицю.
3.5.3 Домашнє завдання
Завдання 1. Знайти обернену матрицю.
1.6 Шостий урок
1.6.1 Математична постановка задачі
Прибутковість безризикової ц.б.
Якщо сьогодні вартість портфеля
Аналогічно дохідності всього портфеля знаходиться дохідність кожного виду акцій. Тобто нам потрібно скласти таблицю доходностей для ц.б. першого та другого видів. Наприклад, для ц.б. першого виду прибутковість за перший рік буде
Як правило, дохідність паперів коливається в часі, так що будемо вважати її випадкової величиною. Знайдемо середню очікувану прибутковість
Позначимо
Використовуючи введені позначення, поставимо математичну задачу. Як зазначалося вище:
1.6.2 Рішення завдання
У результаті виконаних операцій отримаємо двомірний вектор - частки ризикових акцій у портфелі. Частка безризикової акції в портфелі знайдеться з рівності
Знаходити рішення поставленої задачі зручніше розбивши формулу по діях. Якщо учні добре засвоїли попередній матеріал, то обчислення не викличуть ні яких труднощів, тому що не містять нового матеріалу.
1.7 Сьомий урок
Нагадати результати постановку математичної задачі. Записати результ, до якого прийшли на минулому уроці. Продовжити рішення.
Частки акцій можуть виявитися більше 1, або навіть негативними. Якщо частка акції негативна - необхідно пройзвесті операцію short sale. Суть цієї операції полягає в наступному: інвестор, формуючий портфель, зобов'язується через якийсь час поставити папери i-го виду (разом з доходом, який вони принесли б власникові за цей час). За це він зараз отримує їх грошовий еквівалент. Ці гроші він приєднує до свого капіталу і купує рекомендовані оптимальним рішенням ц.б. Оскільки цінні папери інших видів більш ефективні, то інвестор виявляється у виграші. Можна обійтися і без операції short sale, якщо інвесторові доступні позики грошових коштів за безризиковою ставкою. Тоді накладають додаткову умову
Висновок
У результаті проведеної роботи було складено факультативний курс за темою "Оптимальний портфель цінних паперів". Він дозволяє учням профільних економічних класів глибше зрозуміти суть роботи економістів, побачити тісний зв'язок між математикою та економікою, зробити професійний вибір. У ході факультативних занять школярі знайомляться з основними поняттями ТВіМС.
Факультатив містить тільки необхідні для вирішення поставленого завдання (формування оптимального портфеля Тобіна максимальної ефективності із запропонованих цінних паперів) поняття. Однак, вивчений матеріал дозволяє сформувати в учнів уявлення про ТВіМС.
Факультатив розрахований на 10, 11 профільні математичні та економічні класи з високим рівнем успеваімості. Проведені в 10 економічному класі МПГ № 56 м. Гомель заняття показали, що школярі здатні усаваівать даний матеріал. Однак час уроків 2-6 необхідно збільшити до 2 академічних годин.
Література
1. Малихін В.М. "Оптимальний портфель і пакети" м.: ОЛМА-ПРЕСС. 2000
2. Малихін В.М. "Фінансова математика" М.: ИНФРА-М, 1999
3. Маршалл Дж. "Фінансова інженерія" М.: ИНФРА-М, 1998
4. Малінковскій Ю.В. Лекції з ТВіМС
5. Бузланов А.В. Лекції з алгебри і теорії чисел
6. Журнал "Математика в школі", 1975-1985
Приклад.
Завдання 1. Виконати множення.
1.3.4 Домашнє завдання
Завдання 2. Виконати множення.
1.4 Четвертий урок
1.4.1 Перевірка домашнього завдання
1.4.2 Транспонування
Опр. Заміна рядків матриці на її стовпці (а стольбцов на рядки) називається транспонування. Позначається
Приклад.
1.4.3 Визначник матриці
Поставимо кожній матриці за певним правилом у відповідність число і назвемо його визначником матриці.
Наприклад:
Таким чином обчислюють визначники двхмерной і тривимірної матриць. Ця схема обчислення називається мнемонічним правилом. Для чотиривимірний матриці не зручно складати такі схеми. Існує суворе правило знаходження визначника матриці n-го порядку. Але ми будемо працювати тільки з тривимірними матрицями.
Необхідно звернути увагу на те, що матриця пишеться в круглих дужках, а визначник матриці - у прямих.
Завдання 1. Знайти визначники матриць А і
Звернути увагу, на те що визначник матриці не збігається з визначником транспонованої матриці.
Завдання 2. Знайти визначники матриць.
1.4.4 Домашнє завдання
Завдання 3. Знайти добуток матриць А і В з завдання 2. Обчислити визначник отриманої матриці.
Завдання 4. Знайти значення виразу
Необхідно сказати, що послідовність виконання операцій, така ж як і для чисел, але першим виконують транспонування.
1.5 П'ятий урок
1.5.1 Перевірка домашнього завдання
1.5.2 Зворотній матриця
Опр. Якщо
Де
Для того, щоб знайти зворотну матрицю нам необхідно знайти т.зв. алгебраїчне доповнення.
Нехай дана матриця
число
називається алгебраїчним доповненням елемента
Опр. Алгебраїчним доповненням елемента
Тепер можна знайти і зворотну матрицю.
Завдання 1. Знайти обернену матрицю.
3.5.3 Домашнє завдання
Завдання 1. Знайти обернену матрицю.
1.6 Шостий урок
1.6.1 Математична постановка задачі
Прибутковість безризикової ц.б.
Якщо сьогодні вартість портфеля
Аналогічно дохідності всього портфеля знаходиться дохідність кожного виду акцій. Тобто нам потрібно скласти таблицю доходностей для ц.б. першого та другого видів. Наприклад, для ц.б. першого виду прибутковість за перший рік буде
Як правило, дохідність паперів коливається в часі, так що будемо вважати її випадкової величиною. Знайдемо середню очікувану прибутковість
Позначимо
Використовуючи введені позначення, поставимо математичну задачу. Як зазначалося вище:
1.6.2 Рішення завдання
У результаті виконаних операцій отримаємо двомірний вектор - частки ризикових акцій у портфелі. Частка безризикової акції в портфелі знайдеться з рівності
Знаходити рішення поставленої задачі зручніше розбивши формулу по діях. Якщо учні добре засвоїли попередній матеріал, то обчислення не викличуть ні яких труднощів, тому що не містять нового матеріалу.
1.7 Сьомий урок
Нагадати результати постановку математичної задачі. Записати результ, до якого прийшли на минулому уроці. Продовжити рішення.
Частки акцій можуть виявитися більше 1, або навіть негативними. Якщо частка акції негативна - необхідно пройзвесті операцію short sale. Суть цієї операції полягає в наступному: інвестор, формуючий портфель, зобов'язується через якийсь час поставити папери i-го виду (разом з доходом, який вони принесли б власникові за цей час). За це він зараз отримує їх грошовий еквівалент. Ці гроші він приєднує до свого капіталу і купує рекомендовані оптимальним рішенням ц.б. Оскільки цінні папери інших видів більш ефективні, то інвестор виявляється у виграші. Можна обійтися і без операції short sale, якщо інвесторові доступні позики грошових коштів за безризиковою ставкою. Тоді накладають додаткову умову
Висновок
У результаті проведеної роботи було складено факультативний курс за темою "Оптимальний портфель цінних паперів". Він дозволяє учням профільних економічних класів глибше зрозуміти суть роботи економістів, побачити тісний зв'язок між математикою та економікою, зробити професійний вибір. У ході факультативних занять школярі знайомляться з основними поняттями ТВіМС.
Факультатив містить тільки необхідні для вирішення поставленого завдання (формування оптимального портфеля Тобіна максимальної ефективності із запропонованих цінних паперів) поняття. Однак, вивчений матеріал дозволяє сформувати в учнів уявлення про ТВіМС.
Факультатив розрахований на 10, 11 профільні математичні та економічні класи з високим рівнем успеваімості. Проведені в 10 економічному класі МПГ № 56 м. Гомель заняття показали, що школярі здатні усаваівать даний матеріал. Однак час уроків 2-6 необхідно збільшити до 2 академічних годин.
Література
1. Малихін В.М. "Оптимальний портфель і пакети" м.: ОЛМА-ПРЕСС. 2000
2. Малихін В.М. "Фінансова математика" М.: ИНФРА-М, 1999
3. Маршалл Дж. "Фінансова інженерія" М.: ИНФРА-М, 1998
4. Малінковскій Ю.В. Лекції з ТВіМС
5. Бузланов А.В. Лекції з алгебри і теорії чисел
6. Журнал "Математика в школі", 1975-1985